Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nnlog2ge0lt1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnlog2ge0lt1 44528
Description: A positive integer is 1 iff its binary logarithm is between 0 and 1. (Contributed by AV, 30-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
nnlog2ge0lt1 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 = 1 ↔ (0 ≤ (2 logb 𝑁) ∧ (2 logb 𝑁) < 1)))

Proof of Theorem nnlog2ge0lt1
StepHypRef Expression
1 0le0 11732 . . . . 5 0 ≤ 0
2 2cn 11706 . . . . . 6 2 ∈ ℂ
3 2ne0 11735 . . . . . 6 2 ≠ 0
4 1ne2 11839 . . . . . . 7 1 ≠ 2
54necomi 3075 . . . . . 6 2 ≠ 1
6 logb1 25279 . . . . . 6 ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb 1) = 0)
72, 3, 5, 6mp3an 1454 . . . . 5 (2 logb 1) = 0
81, 7breqtrri 5090 . . . 4 0 ≤ (2 logb 1)
9 0lt1 11156 . . . . 5 0 < 1
107, 9eqbrtri 5084 . . . 4 (2 logb 1) < 1
118, 10pm3.2i 471 . . 3 (0 ≤ (2 logb 1) ∧ (2 logb 1) < 1)
12 oveq2 7158 . . . . 5 (𝑁 = 1 → (2 logb 𝑁) = (2 logb 1))
1312breq2d 5075 . . . 4 (𝑁 = 1 → (0 ≤ (2 logb 𝑁) ↔ 0 ≤ (2 logb 1)))
1412breq1d 5073 . . . 4 (𝑁 = 1 → ((2 logb 𝑁) < 1 ↔ (2 logb 1) < 1))
1513, 14anbi12d 630 . . 3 (𝑁 = 1 → ((0 ≤ (2 logb 𝑁) ∧ (2 logb 𝑁) < 1) ↔ (0 ≤ (2 logb 1) ∧ (2 logb 1) < 1)))
1611, 15mpbiri 259 . 2 (𝑁 = 1 → (0 ≤ (2 logb 𝑁) ∧ (2 logb 𝑁) < 1))
17 2z 12008 . . . . . . 7 2 ∈ ℤ
18 uzid 12252 . . . . . . 7 (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ‘2))
1917, 18ax-mp 5 . . . . . 6 2 ∈ (ℤ‘2)
2019a1i 11 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ (ℤ‘2))
21 nnrp 12395 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
22 logbge0b 44525 . . . . 5 ((2 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (0 ≤ (2 logb 𝑁) ↔ 1 ≤ 𝑁))
2320, 21, 22syl2anc 584 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (0 ≤ (2 logb 𝑁) ↔ 1 ≤ 𝑁))
24 logblt1b 44526 . . . . 5 ((2 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → ((2 logb 𝑁) < 1 ↔ 𝑁 < 2))
2520, 21, 24syl2anc 584 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 logb 𝑁) < 1 ↔ 𝑁 < 2))
2623, 25anbi12d 630 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ((0 ≤ (2 logb 𝑁) ∧ (2 logb 𝑁) < 1) ↔ (1 ≤ 𝑁𝑁 < 2)))
27 df-2 11694 . . . . . . . 8 2 = (1 + 1)
2827breq2i 5071 . . . . . . 7 (𝑁 < 2 ↔ 𝑁 < (1 + 1))
2928a1i 11 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 < 2 ↔ 𝑁 < (1 + 1)))
3029anbi2d 628 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 ≤ 𝑁𝑁 < 2) ↔ (1 ≤ 𝑁𝑁 < (1 + 1))))
31 nnre 11639 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
32 1zzd 12007 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℤ)
33 flbi 13181 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((⌊‘𝑁) = 1 ↔ (1 ≤ 𝑁𝑁 < (1 + 1))))
3431, 32, 33syl2anc 584 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((⌊‘𝑁) = 1 ↔ (1 ≤ 𝑁𝑁 < (1 + 1))))
3530, 34bitr4d 283 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 ≤ 𝑁𝑁 < 2) ↔ (⌊‘𝑁) = 1))
36 nnz 11998 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
37 flid 13173 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → (⌊‘𝑁) = 𝑁)
3836, 37syl 17 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (⌊‘𝑁) = 𝑁)
3938eqcomd 2832 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 = (⌊‘𝑁))
4039adantr 481 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (⌊‘𝑁) = 1) → 𝑁 = (⌊‘𝑁))
41 simpr 485 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (⌊‘𝑁) = 1) → (⌊‘𝑁) = 1)
4240, 41eqtrd 2861 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (⌊‘𝑁) = 1) → 𝑁 = 1)
4342ex 413 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ((⌊‘𝑁) = 1 → 𝑁 = 1))
4435, 43sylbid 241 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 ≤ 𝑁𝑁 < 2) → 𝑁 = 1))
4526, 44sylbid 241 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → ((0 ≤ (2 logb 𝑁) ∧ (2 logb 𝑁) < 1) → 𝑁 = 1))
4616, 45impbid2 227 1 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 = 1 ↔ (0 ≤ (2 logb 𝑁) ∧ (2 logb 𝑁) < 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3021   class class class wbr 5063  cfv 6354  (class class class)co 7150  cc 10529  cr 10530  0cc0 10531  1c1 10532   + caddc 10534   < clt 10669  cle 10670  cn 11632  2c2 11686  cz 11975  cuz 12237  +crp 12384  cfl 13155   logb clogb 25274
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-inf2 9098  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609  ax-addf 10610  ax-mulf 10611
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-iin 4920  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-isom 6363  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7403  df-om 7574  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-supp 7827  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-2o 8099  df-oadd 8102  df-er 8284  df-map 8403  df-pm 8404  df-ixp 8456  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-fsupp 8828  df-fi 8869  df-sup 8900  df-inf 8901  df-oi 8968  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-q 12343  df-rp 12385  df-xneg 12502  df-xadd 12503  df-xmul 12504  df-ioo 12737  df-ioc 12738  df-ico 12739  df-icc 12740  df-fz 12888  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-mod 13233  df-seq 13365  df-exp 13425  df-fac 13629  df-bc 13658  df-hash 13686  df-shft 14421  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-limsup 14823  df-clim 14840  df-rlim 14841  df-sum 15038  df-ef 15416  df-sin 15418  df-cos 15419  df-pi 15421  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-starv 16575  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-ip 16578  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-unif 16583  df-hom 16584  df-cco 16585  df-rest 16691  df-topn 16692  df-0g 16710  df-gsum 16711  df-topgen 16712  df-pt 16713  df-prds 16716  df-xrs 16770  df-qtop 16775  df-imas 16776  df-xps 16778  df-mre 16852  df-mrc 16853  df-acs 16855  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-submnd 17952  df-mulg 18170  df-cntz 18392  df-cmn 18844  df-psmet 20472  df-xmet 20473  df-met 20474  df-bl 20475  df-mopn 20476  df-fbas 20477  df-fg 20478  df-cnfld 20481  df-top 21437  df-topon 21454  df-topsp 21476  df-bases 21489  df-cld 21562  df-ntr 21563  df-cls 21564  df-nei 21641  df-lp 21679  df-perf 21680  df-cn 21770  df-cnp 21771  df-haus 21858  df-tx 22105  df-hmeo 22298  df-fil 22389  df-fm 22481  df-flim 22482  df-flf 22483  df-xms 22864  df-ms 22865  df-tms 22866  df-cncf 23420  df-limc 24398  df-dv 24399  df-log 25072  df-logb 25275
This theorem is referenced by:  blen1b  44550
  Copyright terms: Public domain W3C validator