Theorem nnlog2ge0lt1 45345

Description: A positive integer is 1 iff its binary logarithm is between 0 and 1. (Contributed by AV, 30-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nnlog2ge0lt1	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 = 1 ↔ (0 ≤ (2 logb 𝑁) ∧ (2 logb 𝑁) < 1)))

Proof of Theorem nnlog2ge0lt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0le0 11775	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 0
2		2cn 11749	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
3		2ne0 11778	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 0
4		1ne2 11882	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 2
5	4	necomi 3005	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 1
6		logb1 25454	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb 1) = 0)
7	2, 3, 5, 6	mp3an 1458	. . . . 5 ⊢ (2 logb 1) = 0
8	1, 7	breqtrri 5059	. . . 4 ⊢ 0 ≤ (2 logb 1)
9		0lt1 11200	. . . . 5 ⊢ 0 < 1
10	7, 9	eqbrtri 5053	. . . 4 ⊢ (2 logb 1) < 1
11	8, 10	pm3.2i 474	. . 3 ⊢ (0 ≤ (2 logb 1) ∧ (2 logb 1) < 1)
12		oveq2 7158	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 1 → (2 logb 𝑁) = (2 logb 1))
13	12	breq2d 5044	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 1 → (0 ≤ (2 logb 𝑁) ↔ 0 ≤ (2 logb 1)))
14	12	breq1d 5042	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 1 → ((2 logb 𝑁) < 1 ↔ (2 logb 1) < 1))
15	13, 14	anbi12d 633	. . 3 ⊢ (𝑁 = 1 → ((0 ≤ (2 logb 𝑁) ∧ (2 logb 𝑁) < 1) ↔ (0 ≤ (2 logb 1) ∧ (2 logb 1) < 1)))
16	11, 15	mpbiri 261	. 2 ⊢ (𝑁 = 1 → (0 ≤ (2 logb 𝑁) ∧ (2 logb 𝑁) < 1))
17		2z 12053	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
18		uzid 12297	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ≥‘2))
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘2)
20	19	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ (ℤ≥‘2))
21		nnrp 12441	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
22		logbge0b 45342	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (0 ≤ (2 logb 𝑁) ↔ 1 ≤ 𝑁))
23	20, 21, 22	syl2anc 587	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0 ≤ (2 logb 𝑁) ↔ 1 ≤ 𝑁))
24		logblt1b 45343	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → ((2 logb 𝑁) < 1 ↔ 𝑁 < 2))
25	20, 21, 24	syl2anc 587	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 logb 𝑁) < 1 ↔ 𝑁 < 2))
26	23, 25	anbi12d 633	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((0 ≤ (2 logb 𝑁) ∧ (2 logb 𝑁) < 1) ↔ (1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 < 2)))
27		df-2 11737	. . . . . . . 8 ⊢ 2 = (1 + 1)
28	27	breq2i 5040	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 < 2 ↔ 𝑁 < (1 + 1))
29	28	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 < 2 ↔ 𝑁 < (1 + 1)))
30	29	anbi2d 631	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 < 2) ↔ (1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 < (1 + 1))))
31		nnre 11681	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
32		1zzd 12052	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℤ)
33		flbi 13235	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((⌊‘𝑁) = 1 ↔ (1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 < (1 + 1))))
34	31, 32, 33	syl2anc 587	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((⌊‘𝑁) = 1 ↔ (1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 < (1 + 1))))
35	30, 34	bitr4d 285	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 < 2) ↔ (⌊‘𝑁) = 1))
36		nnz 12043	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
37		flid 13227	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (⌊‘𝑁) = 𝑁)
38	36, 37	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (⌊‘𝑁) = 𝑁)
39	38	eqcomd 2764	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 = (⌊‘𝑁))
40	39	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (⌊‘𝑁) = 1) → 𝑁 = (⌊‘𝑁))
41		simpr 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (⌊‘𝑁) = 1) → (⌊‘𝑁) = 1)
42	40, 41	eqtrd 2793	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (⌊‘𝑁) = 1) → 𝑁 = 1)
43	42	ex 416	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((⌊‘𝑁) = 1 → 𝑁 = 1))
44	35, 43	sylbid 243	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 < 2) → 𝑁 = 1))
45	26, 44	sylbid 243	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((0 ≤ (2 logb 𝑁) ∧ (2 logb 𝑁) < 1) → 𝑁 = 1))
46	16, 45	impbid2 229	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 = 1 ↔ (0 ≤ (2 logb 𝑁) ∧ (2 logb 𝑁) < 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951   class class class wbr 5032  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150  ℂcc 10573  ℝcr 10574  0cc0 10575  1c1 10576   + caddc 10578   < clt 10713   ≤ cle 10714  ℕcn 11674  2c2 11729  ℤcz 12020  ℤ_≥cuz 12282  ℝ⁺crp 12430  ⌊cfl 13209   log_b clogb 25449

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-inf2 9137  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652  ax-pre-sup 10653  ax-addf 10654  ax-mulf 10655

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-int 4839  df-iun 4885  df-iin 4886  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-isom 6344  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7405  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-supp 7836  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-1o 8112  df-2o 8113  df-er 8299  df-map 8418  df-pm 8419  df-ixp 8480  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-fin 8531  df-fsupp 8867  df-fi 8908  df-sup 8939  df-inf 8940  df-oi 9007  df-card 9401  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-div 11336  df-nn 11675  df-2 11737  df-3 11738  df-4 11739  df-5 11740  df-6 11741  df-7 11742  df-8 11743  df-9 11744  df-n0 11935  df-z 12021  df-dec 12138  df-uz 12283  df-q 12389  df-rp 12431  df-xneg 12548  df-xadd 12549  df-xmul 12550  df-ioo 12783  df-ioc 12784  df-ico 12785  df-icc 12786  df-fz 12940  df-fzo 13083  df-fl 13211  df-mod 13287  df-seq 13419  df-exp 13480  df-fac 13684  df-bc 13713  df-hash 13741  df-shft 14474  df-cj 14506  df-re 14507  df-im 14508  df-sqrt 14642  df-abs 14643  df-limsup 14876  df-clim 14893  df-rlim 14894  df-sum 15091  df-ef 15469  df-sin 15471  df-cos 15472  df-pi 15474  df-struct 16543  df-ndx 16544  df-slot 16545  df-base 16547  df-sets 16548  df-ress 16549  df-plusg 16636  df-mulr 16637  df-starv 16638  df-sca 16639  df-vsca 16640  df-ip 16641  df-tset 16642  df-ple 16643  df-ds 16645  df-unif 16646  df-hom 16647  df-cco 16648  df-rest 16754  df-topn 16755  df-0g 16773  df-gsum 16774  df-topgen 16775  df-pt 16776  df-prds 16779  df-xrs 16833  df-qtop 16838  df-imas 16839  df-xps 16841  df-mre 16915  df-mrc 16916  df-acs 16918  df-mgm 17918  df-sgrp 17967  df-mnd 17978  df-submnd 18023  df-mulg 18292  df-cntz 18514  df-cmn 18975  df-psmet 20158  df-xmet 20159  df-met 20160  df-bl 20161  df-mopn 20162  df-fbas 20163  df-fg 20164  df-cnfld 20167  df-top 21594  df-topon 21611  df-topsp 21633  df-bases 21646  df-cld 21719  df-ntr 21720  df-cls 21721  df-nei 21798  df-lp 21836  df-perf 21837  df-cn 21927  df-cnp 21928  df-haus 22015  df-tx 22262  df-hmeo 22455  df-fil 22546  df-fm 22638  df-flim 22639  df-flf 22640  df-xms 23022  df-ms 23023  df-tms 23024  df-cncf 23579  df-limc 24565  df-dv 24566  df-log 25247  df-logb 25450

This theorem is referenced by:  blen1b  45367