Theorem nnlog2ge0lt1 48555

Description: A positive integer is 1 iff its binary logarithm is between 0 and 1. (Contributed by AV, 30-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nnlog2ge0lt1	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 = 1 ↔ (0 ≤ (2 logb 𝑁) ∧ (2 logb 𝑁) < 1)))

Proof of Theorem nnlog2ge0lt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0le0 12287	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 0
2		2cn 12261	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℂ
3		2ne0 12290	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 0
4		1ne2 12389	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 2
5	4	necomi 2979	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 1
6		logb1 26679	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb 1) = 0)
7	2, 3, 5, 6	mp3an 1463	. . . . 5 ⊢ (2 logb 1) = 0
8	1, 7	breqtrri 5134	. . . 4 ⊢ 0 ≤ (2 logb 1)
9		0lt1 11700	. . . . 5 ⊢ 0 < 1
10	7, 9	eqbrtri 5128	. . . 4 ⊢ (2 logb 1) < 1
11	8, 10	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ (0 ≤ (2 logb 1) ∧ (2 logb 1) < 1)
12		oveq2 7395	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 1 → (2 logb 𝑁) = (2 logb 1))
13	12	breq2d 5119	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 1 → (0 ≤ (2 logb 𝑁) ↔ 0 ≤ (2 logb 1)))
14	12	breq1d 5117	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 1 → ((2 logb 𝑁) < 1 ↔ (2 logb 1) < 1))
15	13, 14	anbi12d 632	. . 3 ⊢ (𝑁 = 1 → ((0 ≤ (2 logb 𝑁) ∧ (2 logb 𝑁) < 1) ↔ (0 ≤ (2 logb 1) ∧ (2 logb 1) < 1)))
16	11, 15	mpbiri 258	. 2 ⊢ (𝑁 = 1 → (0 ≤ (2 logb 𝑁) ∧ (2 logb 𝑁) < 1))
17		2z 12565	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
18		uzid 12808	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ≥‘2))
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘2)
20	19	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ (ℤ≥‘2))
21		nnrp 12963	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
22		logbge0b 48552	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (0 ≤ (2 logb 𝑁) ↔ 1 ≤ 𝑁))
23	20, 21, 22	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0 ≤ (2 logb 𝑁) ↔ 1 ≤ 𝑁))
24		logblt1b 48553	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → ((2 logb 𝑁) < 1 ↔ 𝑁 < 2))
25	20, 21, 24	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 logb 𝑁) < 1 ↔ 𝑁 < 2))
26	23, 25	anbi12d 632	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((0 ≤ (2 logb 𝑁) ∧ (2 logb 𝑁) < 1) ↔ (1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 < 2)))
27		df-2 12249	. . . . . . . 8 ⊢ 2 = (1 + 1)
28	27	breq2i 5115	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 < 2 ↔ 𝑁 < (1 + 1))
29	28	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 < 2 ↔ 𝑁 < (1 + 1)))
30	29	anbi2d 630	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 < 2) ↔ (1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 < (1 + 1))))
31		nnre 12193	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
32		1zzd 12564	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℤ)
33		flbi 13778	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((⌊‘𝑁) = 1 ↔ (1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 < (1 + 1))))
34	31, 32, 33	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((⌊‘𝑁) = 1 ↔ (1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 < (1 + 1))))
35	30, 34	bitr4d 282	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 < 2) ↔ (⌊‘𝑁) = 1))
36		nnz 12550	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
37		flid 13770	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (⌊‘𝑁) = 𝑁)
38	36, 37	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (⌊‘𝑁) = 𝑁)
39	38	eqcomd 2735	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 = (⌊‘𝑁))
40	39	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (⌊‘𝑁) = 1) → 𝑁 = (⌊‘𝑁))
41		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (⌊‘𝑁) = 1) → (⌊‘𝑁) = 1)
42	40, 41	eqtrd 2764	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (⌊‘𝑁) = 1) → 𝑁 = 1)
43	42	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((⌊‘𝑁) = 1 → 𝑁 = 1))
44	35, 43	sylbid 240	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 < 2) → 𝑁 = 1))
45	26, 44	sylbid 240	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((0 ≤ (2 logb 𝑁) ∧ (2 logb 𝑁) < 1) → 𝑁 = 1))
46	16, 45	impbid2 226	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 = 1 ↔ (0 ≤ (2 logb 𝑁) ∧ (2 logb 𝑁) < 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ℂcc 11066  ℝcr 11067  0cc0 11068  1c1 11069   + caddc 11071   < clt 11208   ≤ cle 11209  ℕcn 12186  2c2 12241  ℤcz 12529  ℤ_≥cuz 12793  ℝ⁺crp 12951  ⌊cfl 13752   log_b clogb 26674

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146  ax-addf 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-of 7653  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8140  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-er 8671  df-map 8801  df-pm 8802  df-ixp 8871  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-fsupp 9313  df-fi 9362  df-sup 9393  df-inf 9394  df-oi 9463  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-q 12908  df-rp 12952  df-xneg 13072  df-xadd 13073  df-xmul 13074  df-ioo 13310  df-ioc 13311  df-ico 13312  df-icc 13313  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13967  df-exp 14027  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15033  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-limsup 15437  df-clim 15454  df-rlim 15455  df-sum 15653  df-ef 16033  df-sin 16035  df-cos 16036  df-pi 16038  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-rest 17385  df-topn 17386  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-topgen 17406  df-pt 17407  df-prds 17410  df-xrs 17465  df-qtop 17470  df-imas 17471  df-xps 17473  df-mre 17547  df-mrc 17548  df-acs 17550  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-submnd 18711  df-mulg 19000  df-cntz 19249  df-cmn 19712  df-psmet 21256  df-xmet 21257  df-met 21258  df-bl 21259  df-mopn 21260  df-fbas 21261  df-fg 21262  df-cnfld 21265  df-top 22781  df-topon 22798  df-topsp 22820  df-bases 22833  df-cld 22906  df-ntr 22907  df-cls 22908  df-nei 22985  df-lp 23023  df-perf 23024  df-cn 23114  df-cnp 23115  df-haus 23202  df-tx 23449  df-hmeo 23642  df-fil 23733  df-fm 23825  df-flim 23826  df-flf 23827  df-xms 24208  df-ms 24209  df-tms 24210  df-cncf 24771  df-limc 25767  df-dv 25768  df-log 26465  df-logb 26675

This theorem is referenced by:  blen1b  48577