Theorem frlmfzowrdb 42491

Description: The vectors of a module with indices 0 to 𝑁 − 1 are the length- 𝑁 words over the scalars of the module. (Contributed by SN, 1-Sep-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmfzowrd.w	⊢ 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0..^𝑁))
frlmfzowrd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
frlmfzowrd.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
frlmfzowrdb	⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑋 ∈ 𝐵 ↔ (𝑋 ∈ Word 𝑆 ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁)))

Proof of Theorem frlmfzowrdb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frlmfzowrd.w	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0..^𝑁))
2		frlmfzowrd.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
3		frlmfzowrd.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝐾)
4	1, 2, 3	frlmfzowrd 42489	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ Word 𝑆)
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ Word 𝑆))
6	1, 2, 3	frlmfzolen 42490	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (♯‘𝑋) = 𝑁)
7	6	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑋 ∈ 𝐵 → (♯‘𝑋) = 𝑁))
8	7	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑋 ∈ 𝐵 → (♯‘𝑋) = 𝑁))
9	5, 8	jcad 512	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑋 ∈ Word 𝑆 ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁)))
10		simp3l 1200	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑋 ∈ Word 𝑆 ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁)) → 𝑋 ∈ Word 𝑆)
11		wrdf 14554	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ Word 𝑆 → 𝑋:(0..^(♯‘𝑋))⟶𝑆)
12	10, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑋 ∈ Word 𝑆 ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁)) → 𝑋:(0..^(♯‘𝑋))⟶𝑆)
13		simp3r 1201	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑋 ∈ Word 𝑆 ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁)) → (♯‘𝑋) = 𝑁)
14	13	oveq2d 7447	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑋 ∈ Word 𝑆 ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁)) → (0..^(♯‘𝑋)) = (0..^𝑁))
15	14	feq2d 6723	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑋 ∈ Word 𝑆 ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁)) → (𝑋:(0..^(♯‘𝑋))⟶𝑆 ↔ 𝑋:(0..^𝑁)⟶𝑆))
16	12, 15	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑋 ∈ Word 𝑆 ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁)) → 𝑋:(0..^𝑁)⟶𝑆)
17		simp1 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑋 ∈ Word 𝑆 ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁)) → 𝐾 ∈ 𝑉)
18		fzofi 14012	. . . . 5 ⊢ (0..^𝑁) ∈ Fin
19	1, 3, 2	frlmfielbas 42487	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ (0..^𝑁) ∈ Fin) → (𝑋 ∈ 𝐵 ↔ 𝑋:(0..^𝑁)⟶𝑆))
20	17, 18, 19	sylancl 586	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑋 ∈ Word 𝑆 ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁)) → (𝑋 ∈ 𝐵 ↔ 𝑋:(0..^𝑁)⟶𝑆))
21	16, 20	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑋 ∈ Word 𝑆 ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
22	21	3expia 1120	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑋 ∈ Word 𝑆 ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) → 𝑋 ∈ 𝐵))
23	9, 22	impbid 212	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑋 ∈ 𝐵 ↔ (𝑋 ∈ Word 𝑆 ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  Fincfn 8984  0cc0 11153  ℕ₀cn0 12524  ..^cfzo 13691  ♯chash 14366  Word cword 14549  Basecbs 17245   freeLMod cfrlm 21784

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-sup 9480  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-hash 14367  df-word 14550  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17488  df-prds 17494  df-pws 17496  df-sra 21190  df-rgmod 21191  df-dsmm 21770  df-frlm 21785

This theorem is referenced by:  frlmfzoccat  42492