Theorem frlmfzowrdb 42949

Description: The vectors of a module with indices 0 to 𝑁 − 1 are the length- 𝑁 words over the scalars of the module. (Contributed by SN, 1-Sep-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmfzowrd.w	⊢ 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0..^𝑁))
frlmfzowrd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
frlmfzowrd.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
frlmfzowrdb	⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑋 ∈ 𝐵 ↔ (𝑋 ∈ Word 𝑆 ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁)))

Proof of Theorem frlmfzowrdb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frlmfzowrd.w	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0..^𝑁))
2		frlmfzowrd.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
3		frlmfzowrd.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝐾)
4	1, 2, 3	frlmfzowrd 42947	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ Word 𝑆)
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ Word 𝑆))
6	1, 2, 3	frlmfzolen 42948	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (♯‘𝑋) = 𝑁)
7	6	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑋 ∈ 𝐵 → (♯‘𝑋) = 𝑁))
8	7	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑋 ∈ 𝐵 → (♯‘𝑋) = 𝑁))
9	5, 8	jcad 512	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑋 ∈ Word 𝑆 ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁)))
10		simp3l 1203	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑋 ∈ Word 𝑆 ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁)) → 𝑋 ∈ Word 𝑆)
11		wrdf 14480	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ Word 𝑆 → 𝑋:(0..^(♯‘𝑋))⟶𝑆)
12	10, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑋 ∈ Word 𝑆 ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁)) → 𝑋:(0..^(♯‘𝑋))⟶𝑆)
13		simp3r 1204	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑋 ∈ Word 𝑆 ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁)) → (♯‘𝑋) = 𝑁)
14	13	oveq2d 7383	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑋 ∈ Word 𝑆 ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁)) → (0..^(♯‘𝑋)) = (0..^𝑁))
15	14	feq2d 6652	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑋 ∈ Word 𝑆 ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁)) → (𝑋:(0..^(♯‘𝑋))⟶𝑆 ↔ 𝑋:(0..^𝑁)⟶𝑆))
16	12, 15	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑋 ∈ Word 𝑆 ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁)) → 𝑋:(0..^𝑁)⟶𝑆)
17		simp1 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑋 ∈ Word 𝑆 ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁)) → 𝐾 ∈ 𝑉)
18		fzofi 13936	. . . . 5 ⊢ (0..^𝑁) ∈ Fin
19	1, 3, 2	frlmfielbas 42945	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ (0..^𝑁) ∈ Fin) → (𝑋 ∈ 𝐵 ↔ 𝑋:(0..^𝑁)⟶𝑆))
20	17, 18, 19	sylancl 587	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑋 ∈ Word 𝑆 ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁)) → (𝑋 ∈ 𝐵 ↔ 𝑋:(0..^𝑁)⟶𝑆))
21	16, 20	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑋 ∈ Word 𝑆 ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
22	21	3expia 1122	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑋 ∈ Word 𝑆 ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) → 𝑋 ∈ 𝐵))
23	9, 22	impbid 212	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑋 ∈ 𝐵 ↔ (𝑋 ∈ Word 𝑆 ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  Fincfn 8893  0cc0 11038  ℕ₀cn0 12437  ..^cfzo 13608  ♯chash 14292  Word cword 14475  Basecbs 17179   freeLMod cfrlm 21726

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-supp 8111  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-map 8775  df-ixp 8846  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fsupp 9275  df-sup 9355  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-hash 14293  df-word 14476  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-hom 17244  df-cco 17245  df-0g 17404  df-prds 17410  df-pws 17412  df-sra 21168  df-rgmod 21169  df-dsmm 21712  df-frlm 21727

This theorem is referenced by:  frlmfzoccat  42950