Theorem frlmfzowrdb 43306

Description: The vectors of a module with indices 0 to 𝑁 − 1 are the length- 𝑁 words over the scalars of the module. (Contributed by SN, 1-Sep-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmfzowrd.w	⊢ 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0..^𝑁))
frlmfzowrd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
frlmfzowrd.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
frlmfzowrdb	⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑋 ∈ 𝐵 ↔ (𝑋 ∈ Word 𝑆 ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁)))

Proof of Theorem frlmfzowrdb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frlmfzowrd.w	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0..^𝑁))
2		frlmfzowrd.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
3		frlmfzowrd.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝐾)
4	1, 2, 3	frlmfzowrd 43304	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ Word 𝑆)
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ Word 𝑆))
6	1, 2, 3	frlmfzolen 43305	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (♯‘𝑋) = 𝑁)
7	6	ex 417	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑋 ∈ 𝐵 → (♯‘𝑋) = 𝑁))
8	7	adantl 486	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑋 ∈ 𝐵 → (♯‘𝑋) = 𝑁))
9	5, 8	jcad 521	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑋 ∈ Word 𝑆 ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁)))
10		simp3l 1220	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑋 ∈ Word 𝑆 ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁)) → 𝑋 ∈ Word 𝑆)
11		wrdf 14560	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ Word 𝑆 → 𝑋:(0..^(♯‘𝑋))⟶𝑆)
12	10, 11	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑋 ∈ Word 𝑆 ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁)) → 𝑋:(0..^(♯‘𝑋))⟶𝑆)
13		simp3r 1221	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑋 ∈ Word 𝑆 ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁)) → (♯‘𝑋) = 𝑁)
14	13	oveq2d 7426	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑋 ∈ Word 𝑆 ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁)) → (0..^(♯‘𝑋)) = (0..^𝑁))
15	14	feq2d 6689	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑋 ∈ Word 𝑆 ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁)) → (𝑋:(0..^(♯‘𝑋))⟶𝑆 ↔ 𝑋:(0..^𝑁)⟶𝑆))
16	12, 15	mpbid 235	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑋 ∈ Word 𝑆 ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁)) → 𝑋:(0..^𝑁)⟶𝑆)
17		simp1 1154	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑋 ∈ Word 𝑆 ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁)) → 𝐾 ∈ 𝑉)
18		fzofi 14015	. . . . 5 ⊢ (0..^𝑁) ∈ Fin
19	1, 3, 2	frlmfielbas 43302	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ (0..^𝑁) ∈ Fin) → (𝑋 ∈ 𝐵 ↔ 𝑋:(0..^𝑁)⟶𝑆))
20	17, 18, 19	sylancl 597	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑋 ∈ Word 𝑆 ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁)) → (𝑋 ∈ 𝐵 ↔ 𝑋:(0..^𝑁)⟶𝑆))
21	16, 20	mpbird 260	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑋 ∈ Word 𝑆 ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
22	21	3expia 1139	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑋 ∈ Word 𝑆 ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) → 𝑋 ∈ 𝐵))
23	9, 22	impbid 215	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑋 ∈ 𝐵 ↔ (𝑋 ∈ Word 𝑆 ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Fincfn 8939  0cc0 11104  ℕ₀cn0 12508  ..^cfzo 13687  ♯chash 14371  Word cword 14555  Basecbs 17273   freeLMod cfrlm 21905

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-sup 9398  df-card 9930  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12238  df-2 12307  df-3 12308  df-4 12309  df-5 12310  df-6 12311  df-7 12312  df-8 12313  df-9 12314  df-n0 12509  df-z 12596  df-dec 12716  df-uz 12867  df-fz 13540  df-fzo 13688  df-hash 14372  df-word 14556  df-struct 17211  df-sets 17228  df-slot 17246  df-ndx 17258  df-base 17274  df-ress 17295  df-plusg 17327  df-mulr 17328  df-sca 17330  df-vsca 17331  df-ip 17332  df-tset 17333  df-ple 17334  df-ds 17336  df-hom 17338  df-cco 17339  df-0g 17498  df-prds 17504  df-pws 17506  df-sra 21303  df-rgmod 21304  df-dsmm 21891  df-frlm 21906

This theorem is used by:  frlmfzoccat  43307