Theorem frlmfzowrdb 42492

Description: The vectors of a module with indices 0 to 𝑁 − 1 are the length- 𝑁 words over the scalars of the module. (Contributed by SN, 1-Sep-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmfzowrd.w	⊢ 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0..^𝑁))
frlmfzowrd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
frlmfzowrd.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
frlmfzowrdb	⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑋 ∈ 𝐵 ↔ (𝑋 ∈ Word 𝑆 ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁)))

Proof of Theorem frlmfzowrdb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frlmfzowrd.w	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0..^𝑁))
2		frlmfzowrd.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
3		frlmfzowrd.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝐾)
4	1, 2, 3	frlmfzowrd 42490	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ Word 𝑆)
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ Word 𝑆))
6	1, 2, 3	frlmfzolen 42491	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (♯‘𝑋) = 𝑁)
7	6	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑋 ∈ 𝐵 → (♯‘𝑋) = 𝑁))
8	7	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑋 ∈ 𝐵 → (♯‘𝑋) = 𝑁))
9	5, 8	jcad 512	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑋 ∈ Word 𝑆 ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁)))
10		simp3l 1202	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑋 ∈ Word 𝑆 ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁)) → 𝑋 ∈ Word 𝑆)
11		wrdf 14483	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ Word 𝑆 → 𝑋:(0..^(♯‘𝑋))⟶𝑆)
12	10, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑋 ∈ Word 𝑆 ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁)) → 𝑋:(0..^(♯‘𝑋))⟶𝑆)
13		simp3r 1203	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑋 ∈ Word 𝑆 ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁)) → (♯‘𝑋) = 𝑁)
14	13	oveq2d 7403	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑋 ∈ Word 𝑆 ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁)) → (0..^(♯‘𝑋)) = (0..^𝑁))
15	14	feq2d 6672	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑋 ∈ Word 𝑆 ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁)) → (𝑋:(0..^(♯‘𝑋))⟶𝑆 ↔ 𝑋:(0..^𝑁)⟶𝑆))
16	12, 15	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑋 ∈ Word 𝑆 ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁)) → 𝑋:(0..^𝑁)⟶𝑆)
17		simp1 1136	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑋 ∈ Word 𝑆 ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁)) → 𝐾 ∈ 𝑉)
18		fzofi 13939	. . . . 5 ⊢ (0..^𝑁) ∈ Fin
19	1, 3, 2	frlmfielbas 42488	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ (0..^𝑁) ∈ Fin) → (𝑋 ∈ 𝐵 ↔ 𝑋:(0..^𝑁)⟶𝑆))
20	17, 18, 19	sylancl 586	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑋 ∈ Word 𝑆 ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁)) → (𝑋 ∈ 𝐵 ↔ 𝑋:(0..^𝑁)⟶𝑆))
21	16, 20	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑋 ∈ Word 𝑆 ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
22	21	3expia 1121	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑋 ∈ Word 𝑆 ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) → 𝑋 ∈ 𝐵))
23	9, 22	impbid 212	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑋 ∈ 𝐵 ↔ (𝑋 ∈ Word 𝑆 ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  Fincfn 8918  0cc0 11068  ℕ₀cn0 12442  ..^cfzo 13615  ♯chash 14295  Word cword 14478  Basecbs 17179   freeLMod cfrlm 21655

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8140  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-map 8801  df-ixp 8871  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-fsupp 9313  df-sup 9393  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-hash 14296  df-word 14479  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-hom 17244  df-cco 17245  df-0g 17404  df-prds 17410  df-pws 17412  df-sra 21080  df-rgmod 21081  df-dsmm 21641  df-frlm 21656

This theorem is referenced by:  frlmfzoccat  42493