Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frlmfzowrdb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frlmfzowrdb 41571
Description: The vectors of a module with indices 0 to 𝑁 − 1 are the length- 𝑁 words over the scalars of the module. (Contributed by SN, 1-Sep-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmfzowrd.w 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0..^𝑁))
frlmfzowrd.b 𝐵 = (Base‘𝑊)
frlmfzowrd.s 𝑆 = (Base‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
frlmfzowrdb ((𝐾𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑋𝐵 ↔ (𝑋 ∈ Word 𝑆 ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁)))

Proof of Theorem frlmfzowrdb
StepHypRef Expression
1 frlmfzowrd.w . . . . 5 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0..^𝑁))
2 frlmfzowrd.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑊)
3 frlmfzowrd.s . . . . 5 𝑆 = (Base‘𝐾)
41, 2, 3frlmfzowrd 41569 . . . 4 (𝑋𝐵𝑋 ∈ Word 𝑆)
54a1i 11 . . 3 ((𝐾𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑋𝐵𝑋 ∈ Word 𝑆))
61, 2, 3frlmfzolen 41570 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝐵) → (♯‘𝑋) = 𝑁)
76ex 412 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑋𝐵 → (♯‘𝑋) = 𝑁))
87adantl 481 . . 3 ((𝐾𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑋𝐵 → (♯‘𝑋) = 𝑁))
95, 8jcad 512 . 2 ((𝐾𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑋𝐵 → (𝑋 ∈ Word 𝑆 ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁)))
10 simp3l 1198 . . . . . 6 ((𝐾𝑉𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑋 ∈ Word 𝑆 ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁)) → 𝑋 ∈ Word 𝑆)
11 wrdf 14466 . . . . . 6 (𝑋 ∈ Word 𝑆𝑋:(0..^(♯‘𝑋))⟶𝑆)
1210, 11syl 17 . . . . 5 ((𝐾𝑉𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑋 ∈ Word 𝑆 ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁)) → 𝑋:(0..^(♯‘𝑋))⟶𝑆)
13 simp3r 1199 . . . . . . 7 ((𝐾𝑉𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑋 ∈ Word 𝑆 ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁)) → (♯‘𝑋) = 𝑁)
1413oveq2d 7417 . . . . . 6 ((𝐾𝑉𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑋 ∈ Word 𝑆 ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁)) → (0..^(♯‘𝑋)) = (0..^𝑁))
1514feq2d 6693 . . . . 5 ((𝐾𝑉𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑋 ∈ Word 𝑆 ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁)) → (𝑋:(0..^(♯‘𝑋))⟶𝑆𝑋:(0..^𝑁)⟶𝑆))
1612, 15mpbid 231 . . . 4 ((𝐾𝑉𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑋 ∈ Word 𝑆 ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁)) → 𝑋:(0..^𝑁)⟶𝑆)
17 simp1 1133 . . . . 5 ((𝐾𝑉𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑋 ∈ Word 𝑆 ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁)) → 𝐾𝑉)
18 fzofi 13936 . . . . 5 (0..^𝑁) ∈ Fin
191, 3, 2frlmfielbas 41567 . . . . 5 ((𝐾𝑉 ∧ (0..^𝑁) ∈ Fin) → (𝑋𝐵𝑋:(0..^𝑁)⟶𝑆))
2017, 18, 19sylancl 585 . . . 4 ((𝐾𝑉𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑋 ∈ Word 𝑆 ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁)) → (𝑋𝐵𝑋:(0..^𝑁)⟶𝑆))
2116, 20mpbird 257 . . 3 ((𝐾𝑉𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑋 ∈ Word 𝑆 ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁)) → 𝑋𝐵)
22213expia 1118 . 2 ((𝐾𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑋 ∈ Word 𝑆 ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) → 𝑋𝐵))
239, 22impbid 211 1 ((𝐾𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑋𝐵 ↔ (𝑋 ∈ Word 𝑆 ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wf 6529  cfv 6533  (class class class)co 7401  Fincfn 8935  0cc0 11106  0cn0 12469  ..^cfzo 13624  chash 14287  Word cword 14461  Basecbs 17143   freeLMod cfrlm 21609
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8141  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-map 8818  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-sup 9433  df-card 9930  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-hash 14288  df-word 14462  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-hom 17220  df-cco 17221  df-0g 17386  df-prds 17392  df-pws 17394  df-sra 21011  df-rgmod 21012  df-dsmm 21595  df-frlm 21610
This theorem is referenced by:  frlmfzoccat  41572
  Copyright terms: Public domain W3C validator