Theorem frlmfzowrdb 39218

Description: The vectors of a module with indices 0 to 𝑁 − 1 are the length- 𝑁 words over the scalars of the module. (Contributed by SN, 1-Sep-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmfzowrd.w	⊢ 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0..^𝑁))
frlmfzowrd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
frlmfzowrd.s	⊢ 𝑆 = (Base‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
frlmfzowrdb	⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑋 ∈ 𝐵 ↔ (𝑋 ∈ Word 𝑆 ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁)))

Proof of Theorem frlmfzowrdb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frlmfzowrd.w	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0..^𝑁))
2		frlmfzowrd.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
3		frlmfzowrd.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (Base‘𝐾)
4	1, 2, 3	frlmfzowrd 39216	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ Word 𝑆)
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ Word 𝑆))
6	1, 2, 3	frlmfzolen 39217	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (♯‘𝑋) = 𝑁)
7	6	ex 415	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑋 ∈ 𝐵 → (♯‘𝑋) = 𝑁))
8	7	adantl 484	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑋 ∈ 𝐵 → (♯‘𝑋) = 𝑁))
9	5, 8	jcad 515	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝑋 ∈ Word 𝑆 ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁)))
10		simp3l 1196	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑋 ∈ Word 𝑆 ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁)) → 𝑋 ∈ Word 𝑆)
11		wrdf 13864	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ Word 𝑆 → 𝑋:(0..^(♯‘𝑋))⟶𝑆)
12	10, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑋 ∈ Word 𝑆 ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁)) → 𝑋:(0..^(♯‘𝑋))⟶𝑆)
13		simp3r 1197	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑋 ∈ Word 𝑆 ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁)) → (♯‘𝑋) = 𝑁)
14	13	oveq2d 7169	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑋 ∈ Word 𝑆 ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁)) → (0..^(♯‘𝑋)) = (0..^𝑁))
15	14	feq2d 6497	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑋 ∈ Word 𝑆 ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁)) → (𝑋:(0..^(♯‘𝑋))⟶𝑆 ↔ 𝑋:(0..^𝑁)⟶𝑆))
16	12, 15	mpbid 234	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑋 ∈ Word 𝑆 ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁)) → 𝑋:(0..^𝑁)⟶𝑆)
17		simp1 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑋 ∈ Word 𝑆 ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁)) → 𝐾 ∈ 𝑉)
18		fzofi 13340	. . . . 5 ⊢ (0..^𝑁) ∈ Fin
19	1, 3, 2	frlmfielbas 39214	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ (0..^𝑁) ∈ Fin) → (𝑋 ∈ 𝐵 ↔ 𝑋:(0..^𝑁)⟶𝑆))
20	17, 18, 19	sylancl 588	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑋 ∈ Word 𝑆 ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁)) → (𝑋 ∈ 𝐵 ↔ 𝑋:(0..^𝑁)⟶𝑆))
21	16, 20	mpbird 259	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑋 ∈ Word 𝑆 ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
22	21	3expia 1116	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑋 ∈ Word 𝑆 ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁) → 𝑋 ∈ 𝐵))
23	9, 22	impbid 214	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑋 ∈ 𝐵 ↔ (𝑋 ∈ Word 𝑆 ∧ (♯‘𝑋) = 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1082   = wceq 1536   ∈ wcel 2113  ⟶wf 6348  ‘cfv 6352  (class class class)co 7153  Fincfn 8506  0cc0 10534  ℕ₀cn0 11895  ..^cfzo 13031  ♯chash 13688  Word cword 13859  Basecbs 16479   freeLMod cfrlm 20886

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2792  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5327  ax-un 7458  ax-cnex 10590  ax-resscn 10591  ax-1cn 10592  ax-icn 10593  ax-addcl 10594  ax-addrcl 10595  ax-mulcl 10596  ax-mulrcl 10597  ax-mulcom 10598  ax-addass 10599  ax-mulass 10600  ax-distr 10601  ax-i2m1 10602  ax-1ne0 10603  ax-1rid 10604  ax-rnegex 10605  ax-rrecex 10606  ax-cnre 10607  ax-pre-lttri 10608  ax-pre-lttrn 10609  ax-pre-ltadd 10610  ax-pre-mulgt0 10611

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2892  df-nfc 2962  df-ne 3016  df-nel 3123  df-ral 3142  df-rex 3143  df-reu 3144  df-rab 3146  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4465  df-pw 4538  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4836  df-int 4874  df-iun 4918  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5457  df-eprel 5462  df-po 5471  df-so 5472  df-fr 5511  df-we 5513  df-xp 5558  df-rel 5559  df-cnv 5560  df-co 5561  df-dm 5562  df-rn 5563  df-res 5564  df-ima 5565  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-riota 7111  df-ov 7156  df-oprab 7157  df-mpo 7158  df-om 7578  df-1st 7686  df-2nd 7687  df-supp 7828  df-wrecs 7944  df-recs 8005  df-rdg 8043  df-1o 8099  df-oadd 8103  df-er 8286  df-map 8405  df-ixp 8459  df-en 8507  df-dom 8508  df-sdom 8509  df-fin 8510  df-fsupp 8831  df-sup 8903  df-card 9365  df-pnf 10674  df-mnf 10675  df-xr 10676  df-ltxr 10677  df-le 10678  df-sub 10869  df-neg 10870  df-nn 11636  df-2 11698  df-3 11699  df-4 11700  df-5 11701  df-6 11702  df-7 11703  df-8 11704  df-9 11705  df-n0 11896  df-z 11980  df-dec 12097  df-uz 12242  df-fz 12891  df-fzo 13032  df-hash 13689  df-word 13860  df-struct 16481  df-ndx 16482  df-slot 16483  df-base 16485  df-sets 16486  df-ress 16487  df-plusg 16574  df-mulr 16575  df-sca 16577  df-vsca 16578  df-ip 16579  df-tset 16580  df-ple 16581  df-ds 16583  df-hom 16585  df-cco 16586  df-0g 16711  df-prds 16717  df-pws 16719  df-sra 19940  df-rgmod 19941  df-dsmm 20872  df-frlm 20887

This theorem is referenced by:  frlmfzoccat  39219