Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frlmfzoccat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frlmfzoccat 39464
 Description: The concatenation of two vectors of dimension 𝑁 and 𝑀 forms a vector of dimension 𝑁 + 𝑀. (Contributed by SN, 31-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmfzoccat.w 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0..^𝐿))
frlmfzoccat.x 𝑋 = (𝐾 freeLMod (0..^𝑀))
frlmfzoccat.y 𝑌 = (𝐾 freeLMod (0..^𝑁))
frlmfzoccat.b 𝐵 = (Base‘𝑊)
frlmfzoccat.c 𝐶 = (Base‘𝑋)
frlmfzoccat.d 𝐷 = (Base‘𝑌)
frlmfzoccat.k (𝜑𝐾 ∈ Ring)
frlmfzoccat.l (𝜑 → (𝑀 + 𝑁) = 𝐿)
frlmfzoccat.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
frlmfzoccat.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
frlmfzoccat.u (𝜑𝑈𝐶)
frlmfzoccat.v (𝜑𝑉𝐷)
Assertion
Ref Expression
frlmfzoccat (𝜑 → (𝑈 ++ 𝑉) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem frlmfzoccat
StepHypRef Expression
1 frlmfzoccat.u . . . 4 (𝜑𝑈𝐶)
2 frlmfzoccat.x . . . . 5 𝑋 = (𝐾 freeLMod (0..^𝑀))
3 frlmfzoccat.c . . . . 5 𝐶 = (Base‘𝑋)
4 eqid 2798 . . . . 5 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
52, 3, 4frlmfzowrd 39461 . . . 4 (𝑈𝐶𝑈 ∈ Word (Base‘𝐾))
61, 5syl 17 . . 3 (𝜑𝑈 ∈ Word (Base‘𝐾))
7 frlmfzoccat.v . . . 4 (𝜑𝑉𝐷)
8 frlmfzoccat.y . . . . 5 𝑌 = (𝐾 freeLMod (0..^𝑁))
9 frlmfzoccat.d . . . . 5 𝐷 = (Base‘𝑌)
108, 9, 4frlmfzowrd 39461 . . . 4 (𝑉𝐷𝑉 ∈ Word (Base‘𝐾))
117, 10syl 17 . . 3 (𝜑𝑉 ∈ Word (Base‘𝐾))
12 ccatcl 13920 . . 3 ((𝑈 ∈ Word (Base‘𝐾) ∧ 𝑉 ∈ Word (Base‘𝐾)) → (𝑈 ++ 𝑉) ∈ Word (Base‘𝐾))
136, 11, 12syl2anc 587 . 2 (𝜑 → (𝑈 ++ 𝑉) ∈ Word (Base‘𝐾))
14 ccatlen 13921 . . . 4 ((𝑈 ∈ Word (Base‘𝐾) ∧ 𝑉 ∈ Word (Base‘𝐾)) → (♯‘(𝑈 ++ 𝑉)) = ((♯‘𝑈) + (♯‘𝑉)))
156, 11, 14syl2anc 587 . . 3 (𝜑 → (♯‘(𝑈 ++ 𝑉)) = ((♯‘𝑈) + (♯‘𝑉)))
16 frlmfzoccat.m . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
17 ovexd 7171 . . . . . 6 (𝜑 → (0..^𝑀) ∈ V)
182, 4, 3frlmbasf 20454 . . . . . 6 (((0..^𝑀) ∈ V ∧ 𝑈𝐶) → 𝑈:(0..^𝑀)⟶(Base‘𝐾))
1917, 1, 18syl2anc 587 . . . . 5 (𝜑𝑈:(0..^𝑀)⟶(Base‘𝐾))
20 fnfzo0hash 13807 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑈:(0..^𝑀)⟶(Base‘𝐾)) → (♯‘𝑈) = 𝑀)
2116, 19, 20syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → (♯‘𝑈) = 𝑀)
22 frlmfzoccat.n . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
23 ovexd 7171 . . . . . 6 (𝜑 → (0..^𝑁) ∈ V)
248, 4, 9frlmbasf 20454 . . . . . 6 (((0..^𝑁) ∈ V ∧ 𝑉𝐷) → 𝑉:(0..^𝑁)⟶(Base‘𝐾))
2523, 7, 24syl2anc 587 . . . . 5 (𝜑𝑉:(0..^𝑁)⟶(Base‘𝐾))
26 fnfzo0hash 13807 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑉:(0..^𝑁)⟶(Base‘𝐾)) → (♯‘𝑉) = 𝑁)
2722, 25, 26syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → (♯‘𝑉) = 𝑁)
2821, 27oveq12d 7154 . . 3 (𝜑 → ((♯‘𝑈) + (♯‘𝑉)) = (𝑀 + 𝑁))
29 frlmfzoccat.l . . 3 (𝜑 → (𝑀 + 𝑁) = 𝐿)
3015, 28, 293eqtrd 2837 . 2 (𝜑 → (♯‘(𝑈 ++ 𝑉)) = 𝐿)
31 frlmfzoccat.k . . 3 (𝜑𝐾 ∈ Ring)
3216, 22nn0addcld 11950 . . . 4 (𝜑 → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0)
3329, 32eqeltrrd 2891 . . 3 (𝜑𝐿 ∈ ℕ0)
34 frlmfzoccat.w . . . 4 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0..^𝐿))
35 frlmfzoccat.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑊)
3634, 35, 4frlmfzowrdb 39463 . . 3 ((𝐾 ∈ Ring ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → ((𝑈 ++ 𝑉) ∈ 𝐵 ↔ ((𝑈 ++ 𝑉) ∈ Word (Base‘𝐾) ∧ (♯‘(𝑈 ++ 𝑉)) = 𝐿)))
3731, 33, 36syl2anc 587 . 2 (𝜑 → ((𝑈 ++ 𝑉) ∈ 𝐵 ↔ ((𝑈 ++ 𝑉) ∈ Word (Base‘𝐾) ∧ (♯‘(𝑈 ++ 𝑉)) = 𝐿)))
3813, 30, 37mpbir2and 712 1 (𝜑 → (𝑈 ++ 𝑉) ∈ 𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3441  ⟶wf 6321  ‘cfv 6325  (class class class)co 7136  0cc0 10529   + caddc 10532  ℕ0cn0 11888  ..^cfzo 13031  ♯chash 13689  Word cword 13860   ++ cconcat 13916  Basecbs 16478  Ringcrg 19294   freeLMod cfrlm 20440 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4840  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6117  df-ord 6163  df-on 6164  df-lim 6165  df-suc 6166  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-riota 7094  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-om 7564  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-supp 7817  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-1o 8088  df-oadd 8092  df-er 8275  df-map 8394  df-ixp 8448  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-fin 8499  df-fsupp 8821  df-sup 8893  df-card 9355  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11629  df-2 11691  df-3 11692  df-4 11693  df-5 11694  df-6 11695  df-7 11696  df-8 11697  df-9 11698  df-n0 11889  df-z 11973  df-dec 12090  df-uz 12235  df-fz 12889  df-fzo 13032  df-hash 13690  df-word 13861  df-concat 13917  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-ip 16578  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-hom 16584  df-cco 16585  df-0g 16710  df-prds 16716  df-pws 16718  df-sra 19941  df-rgmod 19942  df-dsmm 20426  df-frlm 20441 This theorem is referenced by:  frlmvscadiccat  39465
 Copyright terms: Public domain W3C validator