Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frlmfzoccat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frlmfzoccat 40616
Description: The concatenation of two vectors of dimension 𝑁 and 𝑀 forms a vector of dimension 𝑁 + 𝑀. (Contributed by SN, 31-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmfzoccat.w 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0..^𝐿))
frlmfzoccat.x 𝑋 = (𝐾 freeLMod (0..^𝑀))
frlmfzoccat.y 𝑌 = (𝐾 freeLMod (0..^𝑁))
frlmfzoccat.b 𝐵 = (Base‘𝑊)
frlmfzoccat.c 𝐶 = (Base‘𝑋)
frlmfzoccat.d 𝐷 = (Base‘𝑌)
frlmfzoccat.k (𝜑𝐾𝑍)
frlmfzoccat.l (𝜑 → (𝑀 + 𝑁) = 𝐿)
frlmfzoccat.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
frlmfzoccat.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
frlmfzoccat.u (𝜑𝑈𝐶)
frlmfzoccat.v (𝜑𝑉𝐷)
Assertion
Ref Expression
frlmfzoccat (𝜑 → (𝑈 ++ 𝑉) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem frlmfzoccat
StepHypRef Expression
1 frlmfzoccat.u . . . 4 (𝜑𝑈𝐶)
2 frlmfzoccat.x . . . . 5 𝑋 = (𝐾 freeLMod (0..^𝑀))
3 frlmfzoccat.c . . . . 5 𝐶 = (Base‘𝑋)
4 eqid 2737 . . . . 5 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
52, 3, 4frlmfzowrd 40613 . . . 4 (𝑈𝐶𝑈 ∈ Word (Base‘𝐾))
61, 5syl 17 . . 3 (𝜑𝑈 ∈ Word (Base‘𝐾))
7 frlmfzoccat.v . . . 4 (𝜑𝑉𝐷)
8 frlmfzoccat.y . . . . 5 𝑌 = (𝐾 freeLMod (0..^𝑁))
9 frlmfzoccat.d . . . . 5 𝐷 = (Base‘𝑌)
108, 9, 4frlmfzowrd 40613 . . . 4 (𝑉𝐷𝑉 ∈ Word (Base‘𝐾))
117, 10syl 17 . . 3 (𝜑𝑉 ∈ Word (Base‘𝐾))
12 ccatcl 14415 . . 3 ((𝑈 ∈ Word (Base‘𝐾) ∧ 𝑉 ∈ Word (Base‘𝐾)) → (𝑈 ++ 𝑉) ∈ Word (Base‘𝐾))
136, 11, 12syl2anc 584 . 2 (𝜑 → (𝑈 ++ 𝑉) ∈ Word (Base‘𝐾))
14 ccatlen 14416 . . . 4 ((𝑈 ∈ Word (Base‘𝐾) ∧ 𝑉 ∈ Word (Base‘𝐾)) → (♯‘(𝑈 ++ 𝑉)) = ((♯‘𝑈) + (♯‘𝑉)))
156, 11, 14syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (♯‘(𝑈 ++ 𝑉)) = ((♯‘𝑈) + (♯‘𝑉)))
16 frlmfzoccat.m . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
17 ovexd 7386 . . . . . 6 (𝜑 → (0..^𝑀) ∈ V)
182, 4, 3frlmbasf 21118 . . . . . 6 (((0..^𝑀) ∈ V ∧ 𝑈𝐶) → 𝑈:(0..^𝑀)⟶(Base‘𝐾))
1917, 1, 18syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑𝑈:(0..^𝑀)⟶(Base‘𝐾))
20 fnfzo0hash 14300 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑈:(0..^𝑀)⟶(Base‘𝐾)) → (♯‘𝑈) = 𝑀)
2116, 19, 20syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (♯‘𝑈) = 𝑀)
22 frlmfzoccat.n . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
23 ovexd 7386 . . . . . 6 (𝜑 → (0..^𝑁) ∈ V)
248, 4, 9frlmbasf 21118 . . . . . 6 (((0..^𝑁) ∈ V ∧ 𝑉𝐷) → 𝑉:(0..^𝑁)⟶(Base‘𝐾))
2523, 7, 24syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑𝑉:(0..^𝑁)⟶(Base‘𝐾))
26 fnfzo0hash 14300 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑉:(0..^𝑁)⟶(Base‘𝐾)) → (♯‘𝑉) = 𝑁)
2722, 25, 26syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (♯‘𝑉) = 𝑁)
2821, 27oveq12d 7369 . . 3 (𝜑 → ((♯‘𝑈) + (♯‘𝑉)) = (𝑀 + 𝑁))
29 frlmfzoccat.l . . 3 (𝜑 → (𝑀 + 𝑁) = 𝐿)
3015, 28, 293eqtrd 2781 . 2 (𝜑 → (♯‘(𝑈 ++ 𝑉)) = 𝐿)
31 frlmfzoccat.k . . 3 (𝜑𝐾𝑍)
3216, 22nn0addcld 12435 . . . 4 (𝜑 → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0)
3329, 32eqeltrrd 2839 . . 3 (𝜑𝐿 ∈ ℕ0)
34 frlmfzoccat.w . . . 4 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0..^𝐿))
35 frlmfzoccat.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑊)
3634, 35, 4frlmfzowrdb 40615 . . 3 ((𝐾𝑍𝐿 ∈ ℕ0) → ((𝑈 ++ 𝑉) ∈ 𝐵 ↔ ((𝑈 ++ 𝑉) ∈ Word (Base‘𝐾) ∧ (♯‘(𝑈 ++ 𝑉)) = 𝐿)))
3731, 33, 36syl2anc 584 . 2 (𝜑 → ((𝑈 ++ 𝑉) ∈ 𝐵 ↔ ((𝑈 ++ 𝑉) ∈ Word (Base‘𝐾) ∧ (♯‘(𝑈 ++ 𝑉)) = 𝐿)))
3813, 30, 37mpbir2and 711 1 (𝜑 → (𝑈 ++ 𝑉) ∈ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  Vcvv 3443  wf 6489  cfv 6493  (class class class)co 7351  0cc0 11009   + caddc 11012  0cn0 12371  ..^cfzo 13521  chash 14183  Word cword 14355   ++ cconcat 14411  Basecbs 17042   freeLMod cfrlm 21104
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-om 7795  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-supp 8085  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-1o 8404  df-er 8606  df-map 8725  df-ixp 8794  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-fin 8845  df-fsupp 9264  df-sup 9336  df-card 9833  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-nn 12112  df-2 12174  df-3 12175  df-4 12176  df-5 12177  df-6 12178  df-7 12179  df-8 12180  df-9 12181  df-n0 12372  df-z 12458  df-dec 12577  df-uz 12722  df-fz 13379  df-fzo 13522  df-hash 14184  df-word 14356  df-concat 14412  df-struct 16978  df-sets 16995  df-slot 17013  df-ndx 17025  df-base 17043  df-ress 17072  df-plusg 17105  df-mulr 17106  df-sca 17108  df-vsca 17109  df-ip 17110  df-tset 17111  df-ple 17112  df-ds 17114  df-hom 17116  df-cco 17117  df-0g 17282  df-prds 17288  df-pws 17290  df-sra 20585  df-rgmod 20586  df-dsmm 21090  df-frlm 21105
This theorem is referenced by:  frlmvscadiccat  40617
  Copyright terms: Public domain W3C validator