Theorem frlmfzoccat 42500

Description: The concatenation of two vectors of dimension 𝑁 and 𝑀 forms a vector of dimension 𝑁 + 𝑀. (Contributed by SN, 31-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmfzoccat.w	⊢ 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0..^𝐿))
frlmfzoccat.x	⊢ 𝑋 = (𝐾 freeLMod (0..^𝑀))
frlmfzoccat.y	⊢ 𝑌 = (𝐾 freeLMod (0..^𝑁))
frlmfzoccat.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
frlmfzoccat.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑋)
frlmfzoccat.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝑌)
frlmfzoccat.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑍)
frlmfzoccat.l	⊢ (𝜑 → (𝑀 + 𝑁) = 𝐿)
frlmfzoccat.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
frlmfzoccat.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
frlmfzoccat.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐶)
frlmfzoccat.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
frlmfzoccat	⊢ (𝜑 → (𝑈 ++ 𝑉) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem frlmfzoccat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frlmfzoccat.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐶)
2		frlmfzoccat.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (𝐾 freeLMod (0..^𝑀))
3		frlmfzoccat.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑋)
4		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
5	2, 3, 4	frlmfzowrd 42497	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐶 → 𝑈 ∈ Word (Base‘𝐾))
6	1, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Word (Base‘𝐾))
7		frlmfzoccat.v	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝐷)
8		frlmfzoccat.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (𝐾 freeLMod (0..^𝑁))
9		frlmfzoccat.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝑌)
10	8, 9, 4	frlmfzowrd 42497	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ 𝐷 → 𝑉 ∈ Word (Base‘𝐾))
11	7, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ Word (Base‘𝐾))
12		ccatcl 14546	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ Word (Base‘𝐾) ∧ 𝑉 ∈ Word (Base‘𝐾)) → (𝑈 ++ 𝑉) ∈ Word (Base‘𝐾))
13	6, 11, 12	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ++ 𝑉) ∈ Word (Base‘𝐾))
14		ccatlen 14547	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ Word (Base‘𝐾) ∧ 𝑉 ∈ Word (Base‘𝐾)) → (♯‘(𝑈 ++ 𝑉)) = ((♯‘𝑈) + (♯‘𝑉)))
15	6, 11, 14	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑈 ++ 𝑉)) = ((♯‘𝑈) + (♯‘𝑉)))
16		frlmfzoccat.m	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
17		ovexd 7425	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0..^𝑀) ∈ V)
18	2, 4, 3	frlmbasf 21676	. . . . . 6 ⊢ (((0..^𝑀) ∈ V ∧ 𝑈 ∈ 𝐶) → 𝑈:(0..^𝑀)⟶(Base‘𝐾))
19	17, 1, 18	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈:(0..^𝑀)⟶(Base‘𝐾))
20		fnfzo0hash 14422	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑈:(0..^𝑀)⟶(Base‘𝐾)) → (♯‘𝑈) = 𝑀)
21	16, 19, 20	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑈) = 𝑀)
22		frlmfzoccat.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
23		ovexd 7425	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0..^𝑁) ∈ V)
24	8, 4, 9	frlmbasf 21676	. . . . . 6 ⊢ (((0..^𝑁) ∈ V ∧ 𝑉 ∈ 𝐷) → 𝑉:(0..^𝑁)⟶(Base‘𝐾))
25	23, 7, 24	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑉:(0..^𝑁)⟶(Base‘𝐾))
26		fnfzo0hash 14422	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑉:(0..^𝑁)⟶(Base‘𝐾)) → (♯‘𝑉) = 𝑁)
27	22, 25, 26	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑉) = 𝑁)
28	21, 27	oveq12d 7408	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑈) + (♯‘𝑉)) = (𝑀 + 𝑁))
29		frlmfzoccat.l	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 𝑁) = 𝐿)
30	15, 28, 29	3eqtrd 2769	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑈 ++ 𝑉)) = 𝐿)
31		frlmfzoccat.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑍)
32	16, 22	nn0addcld 12514	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0)
33	29, 32	eqeltrrd 2830	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℕ0)
34		frlmfzoccat.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0..^𝐿))
35		frlmfzoccat.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
36	34, 35, 4	frlmfzowrdb 42499	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑍 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → ((𝑈 ++ 𝑉) ∈ 𝐵 ↔ ((𝑈 ++ 𝑉) ∈ Word (Base‘𝐾) ∧ (♯‘(𝑈 ++ 𝑉)) = 𝐿)))
37	31, 33, 36	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 ++ 𝑉) ∈ 𝐵 ↔ ((𝑈 ++ 𝑉) ∈ Word (Base‘𝐾) ∧ (♯‘(𝑈 ++ 𝑉)) = 𝐿)))
38	13, 30, 37	mpbir2and 713	1 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ++ 𝑉) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3450  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  0cc0 11075   + caddc 11078  ℕ₀cn0 12449  ..^cfzo 13622  ♯chash 14302  Word cword 14485   ++ cconcat 14542  Basecbs 17186   freeLMod cfrlm 21662

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-map 8804  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9320  df-sup 9400  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-hash 14303  df-word 14486  df-concat 14543  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-hom 17251  df-cco 17252  df-0g 17411  df-prds 17417  df-pws 17419  df-sra 21087  df-rgmod 21088  df-dsmm 21648  df-frlm 21663

This theorem is referenced by:  frlmvscadiccat  42501