Theorem frlmfzoccat 42781

Description: The concatenation of two vectors of dimension 𝑁 and 𝑀 forms a vector of dimension 𝑁 + 𝑀. (Contributed by SN, 31-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmfzoccat.w	⊢ 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0..^𝐿))
frlmfzoccat.x	⊢ 𝑋 = (𝐾 freeLMod (0..^𝑀))
frlmfzoccat.y	⊢ 𝑌 = (𝐾 freeLMod (0..^𝑁))
frlmfzoccat.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
frlmfzoccat.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑋)
frlmfzoccat.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝑌)
frlmfzoccat.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑍)
frlmfzoccat.l	⊢ (𝜑 → (𝑀 + 𝑁) = 𝐿)
frlmfzoccat.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
frlmfzoccat.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
frlmfzoccat.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐶)
frlmfzoccat.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
frlmfzoccat	⊢ (𝜑 → (𝑈 ++ 𝑉) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem frlmfzoccat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frlmfzoccat.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐶)
2		frlmfzoccat.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (𝐾 freeLMod (0..^𝑀))
3		frlmfzoccat.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑋)
4		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
5	2, 3, 4	frlmfzowrd 42778	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐶 → 𝑈 ∈ Word (Base‘𝐾))
6	1, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Word (Base‘𝐾))
7		frlmfzoccat.v	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝐷)
8		frlmfzoccat.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (𝐾 freeLMod (0..^𝑁))
9		frlmfzoccat.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝑌)
10	8, 9, 4	frlmfzowrd 42778	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ 𝐷 → 𝑉 ∈ Word (Base‘𝐾))
11	7, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ Word (Base‘𝐾))
12		ccatcl 14499	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ Word (Base‘𝐾) ∧ 𝑉 ∈ Word (Base‘𝐾)) → (𝑈 ++ 𝑉) ∈ Word (Base‘𝐾))
13	6, 11, 12	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ++ 𝑉) ∈ Word (Base‘𝐾))
14		ccatlen 14500	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ Word (Base‘𝐾) ∧ 𝑉 ∈ Word (Base‘𝐾)) → (♯‘(𝑈 ++ 𝑉)) = ((♯‘𝑈) + (♯‘𝑉)))
15	6, 11, 14	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑈 ++ 𝑉)) = ((♯‘𝑈) + (♯‘𝑉)))
16		frlmfzoccat.m	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
17		ovexd 7393	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0..^𝑀) ∈ V)
18	2, 4, 3	frlmbasf 21717	. . . . . 6 ⊢ (((0..^𝑀) ∈ V ∧ 𝑈 ∈ 𝐶) → 𝑈:(0..^𝑀)⟶(Base‘𝐾))
19	17, 1, 18	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈:(0..^𝑀)⟶(Base‘𝐾))
20		fnfzo0hash 14375	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑈:(0..^𝑀)⟶(Base‘𝐾)) → (♯‘𝑈) = 𝑀)
21	16, 19, 20	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑈) = 𝑀)
22		frlmfzoccat.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
23		ovexd 7393	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0..^𝑁) ∈ V)
24	8, 4, 9	frlmbasf 21717	. . . . . 6 ⊢ (((0..^𝑁) ∈ V ∧ 𝑉 ∈ 𝐷) → 𝑉:(0..^𝑁)⟶(Base‘𝐾))
25	23, 7, 24	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑉:(0..^𝑁)⟶(Base‘𝐾))
26		fnfzo0hash 14375	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑉:(0..^𝑁)⟶(Base‘𝐾)) → (♯‘𝑉) = 𝑁)
27	22, 25, 26	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑉) = 𝑁)
28	21, 27	oveq12d 7376	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑈) + (♯‘𝑉)) = (𝑀 + 𝑁))
29		frlmfzoccat.l	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 𝑁) = 𝐿)
30	15, 28, 29	3eqtrd 2775	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑈 ++ 𝑉)) = 𝐿)
31		frlmfzoccat.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑍)
32	16, 22	nn0addcld 12468	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0)
33	29, 32	eqeltrrd 2837	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℕ0)
34		frlmfzoccat.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0..^𝐿))
35		frlmfzoccat.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
36	34, 35, 4	frlmfzowrdb 42780	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑍 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → ((𝑈 ++ 𝑉) ∈ 𝐵 ↔ ((𝑈 ++ 𝑉) ∈ Word (Base‘𝐾) ∧ (♯‘(𝑈 ++ 𝑉)) = 𝐿)))
37	31, 33, 36	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 ++ 𝑉) ∈ 𝐵 ↔ ((𝑈 ++ 𝑉) ∈ Word (Base‘𝐾) ∧ (♯‘(𝑈 ++ 𝑉)) = 𝐿)))
38	13, 30, 37	mpbir2and 713	1 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ++ 𝑉) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3440  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  0cc0 11028   + caddc 11031  ℕ₀cn0 12403  ..^cfzo 13572  ♯chash 14255  Word cword 14438   ++ cconcat 14495  Basecbs 17138   freeLMod cfrlm 21703

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-map 8767  df-ixp 8838  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-fin 8889  df-fsupp 9267  df-sup 9347  df-card 9853  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-4 12212  df-5 12213  df-6 12214  df-7 12215  df-8 12216  df-9 12217  df-n0 12404  df-z 12491  df-dec 12610  df-uz 12754  df-fz 13426  df-fzo 13573  df-hash 14256  df-word 14439  df-concat 14496  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-hom 17203  df-cco 17204  df-0g 17363  df-prds 17369  df-pws 17371  df-sra 21127  df-rgmod 21128  df-dsmm 21689  df-frlm 21704

This theorem is referenced by:  frlmvscadiccat  42782