Theorem frlmfzoccat 42904

Description: The concatenation of two vectors of dimension 𝑁 and 𝑀 forms a vector of dimension 𝑁 + 𝑀. (Contributed by SN, 31-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmfzoccat.w	⊢ 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0..^𝐿))
frlmfzoccat.x	⊢ 𝑋 = (𝐾 freeLMod (0..^𝑀))
frlmfzoccat.y	⊢ 𝑌 = (𝐾 freeLMod (0..^𝑁))
frlmfzoccat.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
frlmfzoccat.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑋)
frlmfzoccat.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝑌)
frlmfzoccat.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑍)
frlmfzoccat.l	⊢ (𝜑 → (𝑀 + 𝑁) = 𝐿)
frlmfzoccat.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
frlmfzoccat.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
frlmfzoccat.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐶)
frlmfzoccat.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
frlmfzoccat	⊢ (𝜑 → (𝑈 ++ 𝑉) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem frlmfzoccat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frlmfzoccat.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐶)
2		frlmfzoccat.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (𝐾 freeLMod (0..^𝑀))
3		frlmfzoccat.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑋)
4		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
5	2, 3, 4	frlmfzowrd 42901	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐶 → 𝑈 ∈ Word (Base‘𝐾))
6	1, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Word (Base‘𝐾))
7		frlmfzoccat.v	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝐷)
8		frlmfzoccat.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (𝐾 freeLMod (0..^𝑁))
9		frlmfzoccat.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝑌)
10	8, 9, 4	frlmfzowrd 42901	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ 𝐷 → 𝑉 ∈ Word (Base‘𝐾))
11	7, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ Word (Base‘𝐾))
12		ccatcl 14511	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ Word (Base‘𝐾) ∧ 𝑉 ∈ Word (Base‘𝐾)) → (𝑈 ++ 𝑉) ∈ Word (Base‘𝐾))
13	6, 11, 12	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ++ 𝑉) ∈ Word (Base‘𝐾))
14		ccatlen 14512	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ Word (Base‘𝐾) ∧ 𝑉 ∈ Word (Base‘𝐾)) → (♯‘(𝑈 ++ 𝑉)) = ((♯‘𝑈) + (♯‘𝑉)))
15	6, 11, 14	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑈 ++ 𝑉)) = ((♯‘𝑈) + (♯‘𝑉)))
16		frlmfzoccat.m	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
17		ovexd 7405	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0..^𝑀) ∈ V)
18	2, 4, 3	frlmbasf 21732	. . . . . 6 ⊢ (((0..^𝑀) ∈ V ∧ 𝑈 ∈ 𝐶) → 𝑈:(0..^𝑀)⟶(Base‘𝐾))
19	17, 1, 18	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈:(0..^𝑀)⟶(Base‘𝐾))
20		fnfzo0hash 14387	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑈:(0..^𝑀)⟶(Base‘𝐾)) → (♯‘𝑈) = 𝑀)
21	16, 19, 20	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑈) = 𝑀)
22		frlmfzoccat.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
23		ovexd 7405	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0..^𝑁) ∈ V)
24	8, 4, 9	frlmbasf 21732	. . . . . 6 ⊢ (((0..^𝑁) ∈ V ∧ 𝑉 ∈ 𝐷) → 𝑉:(0..^𝑁)⟶(Base‘𝐾))
25	23, 7, 24	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑉:(0..^𝑁)⟶(Base‘𝐾))
26		fnfzo0hash 14387	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑉:(0..^𝑁)⟶(Base‘𝐾)) → (♯‘𝑉) = 𝑁)
27	22, 25, 26	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑉) = 𝑁)
28	21, 27	oveq12d 7388	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑈) + (♯‘𝑉)) = (𝑀 + 𝑁))
29		frlmfzoccat.l	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 𝑁) = 𝐿)
30	15, 28, 29	3eqtrd 2776	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑈 ++ 𝑉)) = 𝐿)
31		frlmfzoccat.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑍)
32	16, 22	nn0addcld 12480	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0)
33	29, 32	eqeltrrd 2838	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℕ0)
34		frlmfzoccat.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0..^𝐿))
35		frlmfzoccat.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
36	34, 35, 4	frlmfzowrdb 42903	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑍 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → ((𝑈 ++ 𝑉) ∈ 𝐵 ↔ ((𝑈 ++ 𝑉) ∈ Word (Base‘𝐾) ∧ (♯‘(𝑈 ++ 𝑉)) = 𝐿)))
37	31, 33, 36	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 ++ 𝑉) ∈ 𝐵 ↔ ((𝑈 ++ 𝑉) ∈ Word (Base‘𝐾) ∧ (♯‘(𝑈 ++ 𝑉)) = 𝐿)))
38	13, 30, 37	mpbir2and 714	1 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ++ 𝑉) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3442  ⟶wf 6498  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370  0cc0 11040   + caddc 11043  ℕ₀cn0 12415  ..^cfzo 13584  ♯chash 14267  Word cword 14450   ++ cconcat 14507  Basecbs 17150   freeLMod cfrlm 21718

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-supp 8115  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-1o 8409  df-er 8647  df-map 8779  df-ixp 8850  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-fin 8901  df-fsupp 9279  df-sup 9359  df-card 9865  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-nn 12160  df-2 12222  df-3 12223  df-4 12224  df-5 12225  df-6 12226  df-7 12227  df-8 12228  df-9 12229  df-n0 12416  df-z 12503  df-dec 12622  df-uz 12766  df-fz 13438  df-fzo 13585  df-hash 14268  df-word 14451  df-concat 14508  df-struct 17088  df-sets 17105  df-slot 17123  df-ndx 17135  df-base 17151  df-ress 17172  df-plusg 17204  df-mulr 17205  df-sca 17207  df-vsca 17208  df-ip 17209  df-tset 17210  df-ple 17211  df-ds 17213  df-hom 17215  df-cco 17216  df-0g 17375  df-prds 17381  df-pws 17383  df-sra 21142  df-rgmod 21143  df-dsmm 21704  df-frlm 21719

This theorem is referenced by:  frlmvscadiccat  42905