Theorem frlmfzoccat 43378

Description: The concatenation of two vectors of dimension 𝑁 and 𝑀 forms a vector of dimension 𝑁 + 𝑀. (Contributed by SN, 31-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmfzoccat.w	⊢ 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0..^𝐿))
frlmfzoccat.x	⊢ 𝑋 = (𝐾 freeLMod (0..^𝑀))
frlmfzoccat.y	⊢ 𝑌 = (𝐾 freeLMod (0..^𝑁))
frlmfzoccat.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
frlmfzoccat.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑋)
frlmfzoccat.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝑌)
frlmfzoccat.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑍)
frlmfzoccat.l	⊢ (𝜑 → (𝑀 + 𝑁) = 𝐿)
frlmfzoccat.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
frlmfzoccat.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
frlmfzoccat.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐶)
frlmfzoccat.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
frlmfzoccat	⊢ (𝜑 → (𝑈 ++ 𝑉) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem frlmfzoccat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frlmfzoccat.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐶)
2		frlmfzoccat.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (𝐾 freeLMod (0..^𝑀))
3		frlmfzoccat.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑋)
4		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
5	2, 3, 4	frlmfzowrd 43375	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐶 → 𝑈 ∈ Word (Base‘𝐾))
6	1, 5	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Word (Base‘𝐾))
7		frlmfzoccat.v	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝐷)
8		frlmfzoccat.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (𝐾 freeLMod (0..^𝑁))
9		frlmfzoccat.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝑌)
10	8, 9, 4	frlmfzowrd 43375	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ 𝐷 → 𝑉 ∈ Word (Base‘𝐾))
11	7, 10	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ Word (Base‘𝐾))
12		ccatcl 14639	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ Word (Base‘𝐾) ∧ 𝑉 ∈ Word (Base‘𝐾)) → (𝑈 ++ 𝑉) ∈ Word (Base‘𝐾))
13	6, 11, 12	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ++ 𝑉) ∈ Word (Base‘𝐾))
14		ccatlen 14640	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ Word (Base‘𝐾) ∧ 𝑉 ∈ Word (Base‘𝐾)) → (♯‘(𝑈 ++ 𝑉)) = ((♯‘𝑈) + (♯‘𝑉)))
15	6, 11, 14	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑈 ++ 𝑉)) = ((♯‘𝑈) + (♯‘𝑉)))
16		frlmfzoccat.m	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
17		ovexd 7451	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0..^𝑀) ∈ V)
18	2, 4, 3	frlmbasf 21972	. . . . . 6 ⊢ (((0..^𝑀) ∈ V ∧ 𝑈 ∈ 𝐶) → 𝑈:(0..^𝑀)⟶(Base‘𝐾))
19	17, 1, 18	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈:(0..^𝑀)⟶(Base‘𝐾))
20		fnfzo0hash 14515	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑈:(0..^𝑀)⟶(Base‘𝐾)) → (♯‘𝑈) = 𝑀)
21	16, 19, 20	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑈) = 𝑀)
22		frlmfzoccat.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
23		ovexd 7451	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0..^𝑁) ∈ V)
24	8, 4, 9	frlmbasf 21972	. . . . . 6 ⊢ (((0..^𝑁) ∈ V ∧ 𝑉 ∈ 𝐷) → 𝑉:(0..^𝑁)⟶(Base‘𝐾))
25	23, 7, 24	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑉:(0..^𝑁)⟶(Base‘𝐾))
26		fnfzo0hash 14515	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑉:(0..^𝑁)⟶(Base‘𝐾)) → (♯‘𝑉) = 𝑁)
27	22, 25, 26	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑉) = 𝑁)
28	21, 27	oveq12d 7434	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑈) + (♯‘𝑉)) = (𝑀 + 𝑁))
29		frlmfzoccat.l	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 𝑁) = 𝐿)
30	15, 28, 29	3eqtrd 2801	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑈 ++ 𝑉)) = 𝐿)
31		frlmfzoccat.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑍)
32	16, 22	nn0addcld 12594	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0)
33	29, 32	eqeltrrd 2863	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℕ0)
34		frlmfzoccat.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0..^𝐿))
35		frlmfzoccat.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
36	34, 35, 4	frlmfzowrdb 43377	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑍 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → ((𝑈 ++ 𝑉) ∈ 𝐵 ↔ ((𝑈 ++ 𝑉) ∈ Word (Base‘𝐾) ∧ (♯‘(𝑈 ++ 𝑉)) = 𝐿)))
37	31, 33, 36	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 ++ 𝑉) ∈ 𝐵 ↔ ((𝑈 ++ 𝑉) ∈ Word (Base‘𝐾) ∧ (♯‘(𝑈 ++ 𝑉)) = 𝐿)))
38	13, 30, 37	mpbir2and 726	1 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ++ 𝑉) ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3453  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  0cc0 11125   + caddc 11128  ℕ₀cn0 12529  ..^cfzo 13709  ♯chash 14394  Word cword 14578   ++ cconcat 14635  Basecbs 17303   freeLMod cfrlm 21958

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-er 8699  df-map 8831  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9335  df-sup 9415  df-card 9947  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-4 12330  df-5 12331  df-6 12332  df-7 12333  df-8 12334  df-9 12335  df-n0 12530  df-z 12617  df-dec 12738  df-uz 12889  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-hash 14395  df-word 14579  df-concat 14636  df-struct 17241  df-sets 17258  df-slot 17276  df-ndx 17288  df-base 17304  df-ress 17325  df-plusg 17357  df-mulr 17358  df-sca 17360  df-vsca 17361  df-ip 17362  df-tset 17363  df-ple 17364  df-ds 17366  df-hom 17368  df-cco 17369  df-0g 17528  df-prds 17534  df-pws 17536  df-sra 21356  df-rgmod 21357  df-dsmm 21944  df-frlm 21959

This theorem is used by:  frlmvscadiccat  43379