Theorem frlmfzoccat 43206

Description: The concatenation of two vectors of dimension 𝑁 and 𝑀 forms a vector of dimension 𝑁 + 𝑀. (Contributed by SN, 31-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmfzoccat.w	⊢ 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0..^𝐿))
frlmfzoccat.x	⊢ 𝑋 = (𝐾 freeLMod (0..^𝑀))
frlmfzoccat.y	⊢ 𝑌 = (𝐾 freeLMod (0..^𝑁))
frlmfzoccat.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
frlmfzoccat.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑋)
frlmfzoccat.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝑌)
frlmfzoccat.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑍)
frlmfzoccat.l	⊢ (𝜑 → (𝑀 + 𝑁) = 𝐿)
frlmfzoccat.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
frlmfzoccat.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
frlmfzoccat.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐶)
frlmfzoccat.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
frlmfzoccat	⊢ (𝜑 → (𝑈 ++ 𝑉) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem frlmfzoccat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frlmfzoccat.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐶)
2		frlmfzoccat.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (𝐾 freeLMod (0..^𝑀))
3		frlmfzoccat.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑋)
4		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
5	2, 3, 4	frlmfzowrd 43203	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐶 → 𝑈 ∈ Word (Base‘𝐾))
6	1, 5	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Word (Base‘𝐾))
7		frlmfzoccat.v	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝐷)
8		frlmfzoccat.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (𝐾 freeLMod (0..^𝑁))
9		frlmfzoccat.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝑌)
10	8, 9, 4	frlmfzowrd 43203	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ 𝐷 → 𝑉 ∈ Word (Base‘𝐾))
11	7, 10	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ Word (Base‘𝐾))
12		ccatcl 14613	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ Word (Base‘𝐾) ∧ 𝑉 ∈ Word (Base‘𝐾)) → (𝑈 ++ 𝑉) ∈ Word (Base‘𝐾))
13	6, 11, 12	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ++ 𝑉) ∈ Word (Base‘𝐾))
14		ccatlen 14614	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ Word (Base‘𝐾) ∧ 𝑉 ∈ Word (Base‘𝐾)) → (♯‘(𝑈 ++ 𝑉)) = ((♯‘𝑈) + (♯‘𝑉)))
15	6, 11, 14	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑈 ++ 𝑉)) = ((♯‘𝑈) + (♯‘𝑉)))
16		frlmfzoccat.m	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
17		ovexd 7448	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0..^𝑀) ∈ V)
18	2, 4, 3	frlmbasf 21881	. . . . . 6 ⊢ (((0..^𝑀) ∈ V ∧ 𝑈 ∈ 𝐶) → 𝑈:(0..^𝑀)⟶(Base‘𝐾))
19	17, 1, 18	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈:(0..^𝑀)⟶(Base‘𝐾))
20		fnfzo0hash 14489	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑈:(0..^𝑀)⟶(Base‘𝐾)) → (♯‘𝑈) = 𝑀)
21	16, 19, 20	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑈) = 𝑀)
22		frlmfzoccat.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
23		ovexd 7448	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0..^𝑁) ∈ V)
24	8, 4, 9	frlmbasf 21881	. . . . . 6 ⊢ (((0..^𝑁) ∈ V ∧ 𝑉 ∈ 𝐷) → 𝑉:(0..^𝑁)⟶(Base‘𝐾))
25	23, 7, 24	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑉:(0..^𝑁)⟶(Base‘𝐾))
26		fnfzo0hash 14489	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑉:(0..^𝑁)⟶(Base‘𝐾)) → (♯‘𝑉) = 𝑁)
27	22, 25, 26	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑉) = 𝑁)
28	21, 27	oveq12d 7431	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑈) + (♯‘𝑉)) = (𝑀 + 𝑁))
29		frlmfzoccat.l	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 𝑁) = 𝐿)
30	15, 28, 29	3eqtrd 2808	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑈 ++ 𝑉)) = 𝐿)
31		frlmfzoccat.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑍)
32	16, 22	nn0addcld 12571	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0)
33	29, 32	eqeltrrd 2870	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℕ0)
34		frlmfzoccat.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = (𝐾 freeLMod (0..^𝐿))
35		frlmfzoccat.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
36	34, 35, 4	frlmfzowrdb 43205	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝑍 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → ((𝑈 ++ 𝑉) ∈ 𝐵 ↔ ((𝑈 ++ 𝑉) ∈ Word (Base‘𝐾) ∧ (♯‘(𝑈 ++ 𝑉)) = 𝐿)))
37	31, 33, 36	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 ++ 𝑉) ∈ 𝐵 ↔ ((𝑈 ++ 𝑉) ∈ Word (Base‘𝐾) ∧ (♯‘(𝑈 ++ 𝑉)) = 𝐿)))
38	13, 30, 37	mpbir2and 725	1 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ++ 𝑉) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  Vcvv 3463  ⟶wf 6535  ‘cfv 6539  (class class class)co 7413  0cc0 11102   + caddc 11105  ℕ₀cn0 12506  ..^cfzo 13684  ♯chash 14368  Word cword 14552   ++ cconcat 14609  Basecbs 17271   freeLMod cfrlm 21867

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5273  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7735  ax-cnex 11158  ax-resscn 11159  ax-1cn 11160  ax-icn 11161  ax-addcl 11162  ax-addrcl 11163  ax-mulcl 11164  ax-mulrcl 11165  ax-mulcom 11166  ax-addass 11167  ax-mulass 11168  ax-distr 11169  ax-i2m1 11170  ax-1ne0 11171  ax-1rid 11172  ax-rnegex 11173  ax-rrecex 11174  ax-cnre 11175  ax-pre-lttri 11176  ax-pre-lttrn 11177  ax-pre-ltadd 11178  ax-pre-mulgt0 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5559  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-pred 6305  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-map 8828  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9324  df-sup 9404  df-card 9927  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12236  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12507  df-z 12594  df-dec 12714  df-uz 12865  df-fz 13538  df-fzo 13685  df-hash 14369  df-word 14553  df-concat 14610  df-struct 17209  df-sets 17226  df-slot 17244  df-ndx 17256  df-base 17272  df-ress 17293  df-plusg 17325  df-mulr 17326  df-sca 17328  df-vsca 17329  df-ip 17330  df-tset 17331  df-ple 17332  df-ds 17334  df-hom 17336  df-cco 17337  df-0g 17496  df-prds 17502  df-pws 17504  df-sra 21274  df-rgmod 21275  df-dsmm 21853  df-frlm 21868

This theorem is referenced by:  frlmvscadiccat  43207