Theorem fsumle 15511

Description: If all of the terms of finite sums compare, so do the sums. (Contributed by NM, 11-Dec-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumle.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumle.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
fsumle.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
fsumle.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
fsumle	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem fsumle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsumle.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
2		fsumle.3	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
3		fsumle.2	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
4	2, 3	resubcld 11403	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℝ)
5		fsumle.4	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ 𝐶)
6	2, 3	subge0d 11565	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (0 ≤ (𝐶 − 𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐶))
7	5, 6	mpbird 256	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ≤ (𝐶 − 𝐵))
8	1, 4, 7	fsumge0 15507	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶 − 𝐵))
9	2	recnd 11003	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
10	3	recnd 11003	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
11	1, 9, 10	fsumsub 15500	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶 − 𝐵) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 − Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
12	8, 11	breqtrd 5100	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 − Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
13	1, 2	fsumrecl 15446	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℝ)
14	1, 3	fsumrecl 15446	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ)
15	13, 14	subge0d 11565	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 − Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ↔ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶))
16	12, 15	mpbid 231	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5074  (class class class)co 7275  Fincfn 8733  ℝcr 10870  0cc0 10871   ≤ cle 11010   − cmin 11205  Σcsu 15397

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-ico 13085  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-clim 15197  df-sum 15398

This theorem is referenced by:  o1fsum  15525  climcndslem1  15561  climcndslem2  15562  mertenslem1  15596  ovoliunlem1  24666  ovolicc2lem4  24684  uniioombllem4  24750  dvfsumle  25185  dvfsumabs  25187  mtest  25563  mtestbdd  25564  abelthlem7  25597  birthdaylem3  26103  fsumharmonic  26161  ftalem1  26222  ftalem5  26226  basellem8  26237  chtleppi  26358  chpub  26368  logfaclbnd  26370  bposlem1  26432  chebbnd1lem1  26617  chtppilimlem1  26621  vmadivsum  26630  rplogsumlem1  26632  rplogsumlem2  26633  rpvmasumlem  26635  dchrisumlem2  26638  dchrmusum2  26642  dchrvmasumlem3  26647  dchrvmasumiflem1  26649  dchrisum0fno1  26659  dchrisum0lem1  26664  dchrisum0lem2a  26665  mudivsum  26678  mulogsumlem  26679  mulog2sumlem2  26683  vmalogdivsum2  26686  2vmadivsumlem  26688  selberglem2  26694  selbergb  26697  selberg2b  26700  chpdifbndlem1  26701  logdivbnd  26704  selberg3lem1  26705  selberg4lem1  26708  pntrlog2bndlem1  26725  pntrlog2bndlem2  26726  pntrlog2bndlem3  26727  pntrlog2bndlem5  26729  pntrlog2bndlem6  26731  pntpbnd2  26735  pntlemj  26751  reprlt  32599  reprgt  32601  hgt750lemf  32633  hgt750lemb  32636  knoppndvlem11  34702  geomcau  35917  lcmineqlem17  40053  fltnltalem  40499  stoweidlem11  43552  stoweidlem26  43567  stoweidlem38  43579  stirlinglem12  43626  etransclem23  43798  etransclem32  43807  sge0le  43945  hoidmvlelem2  44134