Theorem fsumle 15832

Description: If all of the terms of finite sums compare, so do the sums. (Contributed by NM, 11-Dec-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumle.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumle.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
fsumle.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
fsumle.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
fsumle	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem fsumle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsumle.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
2		fsumle.3	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
3		fsumle.2	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
4	2, 3	resubcld 11689	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℝ)
5		fsumle.4	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ 𝐶)
6	2, 3	subge0d 11851	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (0 ≤ (𝐶 − 𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐶))
7	5, 6	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ≤ (𝐶 − 𝐵))
8	1, 4, 7	fsumge0 15828	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶 − 𝐵))
9	2	recnd 11287	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
10	3	recnd 11287	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
11	1, 9, 10	fsumsub 15821	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶 − 𝐵) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 − Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
12	8, 11	breqtrd 5174	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 − Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
13	1, 2	fsumrecl 15767	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℝ)
14	1, 3	fsumrecl 15767	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ)
15	13, 14	subge0d 11851	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 − Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ↔ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶))
16	12, 15	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  Fincfn 8984  ℝcr 11152  0cc0 11153   ≤ cle 11294   − cmin 11490  Σcsu 15719

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-ico 13390  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-sum 15720

This theorem is referenced by:  o1fsum  15846  climcndslem1  15882  climcndslem2  15883  mertenslem1  15917  ovoliunlem1  25551  ovolicc2lem4  25569  uniioombllem4  25635  dvfsumle  26075  dvfsumleOLD  26076  dvfsumabs  26078  mtest  26462  mtestbdd  26463  abelthlem7  26497  birthdaylem3  27011  fsumharmonic  27070  ftalem1  27131  ftalem5  27135  basellem8  27146  chtleppi  27269  chpub  27279  logfaclbnd  27281  bposlem1  27343  chebbnd1lem1  27528  chtppilimlem1  27532  vmadivsum  27541  rplogsumlem1  27543  rplogsumlem2  27544  rpvmasumlem  27546  dchrisumlem2  27549  dchrmusum2  27553  dchrvmasumlem3  27558  dchrvmasumiflem1  27560  dchrisum0fno1  27570  dchrisum0lem1  27575  dchrisum0lem2a  27576  mudivsum  27589  mulogsumlem  27590  mulog2sumlem2  27594  vmalogdivsum2  27597  2vmadivsumlem  27599  selberglem2  27605  selbergb  27608  selberg2b  27611  chpdifbndlem1  27612  logdivbnd  27615  selberg3lem1  27616  selberg4lem1  27619  pntrlog2bndlem1  27636  pntrlog2bndlem2  27637  pntrlog2bndlem3  27638  pntrlog2bndlem5  27640  pntrlog2bndlem6  27642  pntpbnd2  27646  pntlemj  27662  reprlt  34613  reprgt  34615  hgt750lemf  34647  hgt750lemb  34650  knoppndvlem11  36505  geomcau  37746  lcmineqlem17  42027  unitscyglem4  42180  fltnltalem  42649  stoweidlem11  45967  stoweidlem26  45982  stoweidlem38  45994  stirlinglem12  46041  etransclem23  46213  etransclem32  46222  sge0le  46363  hoidmvlelem2  46552