Theorem fsumle 15754

Description: If all of the terms of finite sums compare, so do the sums. (Contributed by NM, 11-Dec-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumle.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumle.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
fsumle.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
fsumle.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
fsumle	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem fsumle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsumle.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
2		fsumle.3	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
3		fsumle.2	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
4	2, 3	resubcld 11570	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℝ)
5		fsumle.4	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ 𝐶)
6	2, 3	subge0d 11732	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (0 ≤ (𝐶 − 𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐶))
7	5, 6	mpbird 258	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ≤ (𝐶 − 𝐵))
8	1, 4, 7	fsumge0 15750	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶 − 𝐵))
9	2	recnd 11165	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
10	3	recnd 11165	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
11	1, 9, 10	fsumsub 15742	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶 − 𝐵) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 − Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
12	8, 11	breqtrd 5099	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 − Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
13	1, 2	fsumrecl 15688	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℝ)
14	1, 3	fsumrecl 15688	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ)
15	13, 14	subge0d 11732	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 − Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ↔ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶))
16	12, 15	mpbid 233	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5073  (class class class)co 7357  Fincfn 8884  ℝcr 11029  0cc0 11030   ≤ cle 11172   − cmin 11369  Σcsu 15640

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5200  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-inf2 9554  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-int 4879  df-iun 4924  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-tr 5181  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7314  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7808  df-1st 7932  df-2nd 7933  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-sup 9346  df-oi 9416  df-card 9855  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-div 11800  df-nn 12167  df-2 12236  df-3 12237  df-n0 12430  df-z 12517  df-uz 12781  df-rp 12935  df-ico 13296  df-fz 13454  df-fzo 13601  df-seq 13956  df-exp 14016  df-hash 14285  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-clim 15442  df-sum 15641

This theorem is referenced by:  o1fsum  15768  climcndslem1  15806  climcndslem2  15807  mertenslem1  15841  ovoliunlem1  25488  ovolicc2lem4  25506  uniioombllem4  25572  dvfsumle  26007  dvfsumabs  26009  mtest  26388  mtestbdd  26389  abelthlem7  26422  birthdaylem3  26936  fsumharmonic  26994  ftalem1  27055  ftalem5  27059  basellem8  27070  chtleppi  27192  chpub  27202  logfaclbnd  27204  bposlem1  27266  chebbnd1lem1  27451  chtppilimlem1  27455  vmadivsum  27464  rplogsumlem1  27466  rplogsumlem2  27467  rpvmasumlem  27469  dchrisumlem2  27472  dchrmusum2  27476  dchrvmasumlem3  27481  dchrvmasumiflem1  27483  dchrisum0fno1  27493  dchrisum0lem1  27498  dchrisum0lem2a  27499  mudivsum  27512  mulogsumlem  27513  mulog2sumlem2  27517  vmalogdivsum2  27520  2vmadivsumlem  27522  selberglem2  27528  selbergb  27531  selberg2b  27534  chpdifbndlem1  27535  logdivbnd  27538  selberg3lem1  27539  selberg4lem1  27542  pntrlog2bndlem1  27559  pntrlog2bndlem2  27560  pntrlog2bndlem3  27561  pntrlog2bndlem5  27563  pntrlog2bndlem6  27565  pntpbnd2  27569  pntlemj  27585  reprlt  34812  reprgt  34814  hgt750lemf  34846  hgt750lemb  34849  knoppndvlem11  36837  geomcau  38135  lcmineqlem17  42539  unitscyglem4  42692  fltnltalem  43121  stoweidlem11  46462  stoweidlem26  46477  stoweidlem38  46489  stirlinglem12  46536  etransclem23  46708  etransclem32  46717  sge0le  46858  hoidmvlelem2  47047