Theorem fsumle 15874

Description: If all of the terms of finite sums compare, so do the sums. (Contributed by NM, 11-Dec-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumle.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumle.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
fsumle.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
fsumle.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
fsumle	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem fsumle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsumle.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
2		fsumle.3	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
3		fsumle.2	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
4	2, 3	resubcld 11657	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℝ)
5		fsumle.4	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ≤ 𝐶)
6	2, 3	subge0d 11819	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (0 ≤ (𝐶 − 𝐵) ↔ 𝐵 ≤ 𝐶))
7	5, 6	mpbird 260	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ≤ (𝐶 − 𝐵))
8	1, 4, 7	fsumge0 15870	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶 − 𝐵))
9	2	recnd 11252	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
10	3	recnd 11252	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
11	1, 9, 10	fsumsub 15862	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶 − 𝐵) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 − Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
12	8, 11	breqtrd 5139	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 − Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
13	1, 2	fsumrecl 15808	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℝ)
14	1, 3	fsumrecl 15808	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ)
15	13, 14	subge0d 11819	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 − Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ↔ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶))
16	12, 15	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ≤ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5111  (class class class)co 7419  Fincfn 8949  ℝcr 11114  0cc0 11115   ≤ cle 11259   − cmin 11456  Σcsu 15761

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-inf2 9617  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192  ax-pre-sup 11193

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-sup 9409  df-oi 9479  df-card 9941  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-div 11887  df-nn 12249  df-2 12318  df-3 12319  df-n0 12520  df-z 12607  df-uz 12879  df-rp 13033  df-ico 13394  df-fz 13552  df-fzo 13700  df-seq 14056  df-exp 14116  df-hash 14385  df-cj 15174  df-re 15175  df-im 15176  df-sqrt 15310  df-abs 15311  df-clim 15563  df-sum 15762

This theorem is used by:  o1fsum  15888  climcndslem1  15926  climcndslem2  15927  mertenslem1  15961  ovoliunlem1  25712  ovolicc2lem4  25730  uniioombllem4  25796  dvfsumle  26231  dvfsumabs  26233  mtest  26618  mtestbdd  26619  abelthlem7  26652  birthdaylem3  27169  fsumharmonic  27227  ftalem1  27288  ftalem5  27292  basellem8  27303  chtleppi  27425  chpub  27435  logfaclbnd  27437  bposlem1  27499  chebbnd1lem1  27684  chtppilimlem1  27688  vmadivsum  27697  rplogsumlem1  27699  rplogsumlem2  27700  rpvmasumlem  27702  dchrisumlem2  27705  dchrmusum2  27709  dchrvmasumlem3  27714  dchrvmasumiflem1  27716  dchrisum0fno1  27726  dchrisum0lem1  27731  dchrisum0lem2a  27732  mudivsum  27745  mulogsumlem  27746  mulog2sumlem2  27750  vmalogdivsum2  27753  2vmadivsumlem  27755  selberglem2  27761  selbergb  27764  selberg2b  27767  chpdifbndlem1  27768  logdivbnd  27771  selberg3lem1  27772  selberg4lem1  27775  pntrlog2bndlem1  27792  pntrlog2bndlem2  27793  pntrlog2bndlem3  27794  pntrlog2bndlem5  27796  pntrlog2bndlem6  27798  pntpbnd2  27802  pntlemj  27818  reprlt  35071  reprgt  35073  hgt750lemf  35105  hgt750lemb  35108  knoppndvlem11  37168  geomcau  38468  lcmineqlem17  42870  unitscyglem4  43023  fltnltalem  43452  stoweidlem11  46783  stoweidlem26  46798  stoweidlem38  46810  stirlinglem12  46857  etransclem23  47029  etransclem32  47038  sge0le  47179  hoidmvlelem2  47368