MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumle 15154
Description: If all of the terms of finite sums compare, so do the sums. (Contributed by NM, 11-Dec-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumle.1 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fsumle.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
fsumle.3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
fsumle.4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵𝐶)
Assertion
Ref Expression
fsumle (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 ≤ Σ𝑘𝐴 𝐶)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem fsumle
StepHypRef Expression
1 fsumle.1 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
2 fsumle.3 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
3 fsumle.2 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
42, 3resubcld 11066 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐶𝐵) ∈ ℝ)
5 fsumle.4 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵𝐶)
62, 3subge0d 11228 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → (0 ≤ (𝐶𝐵) ↔ 𝐵𝐶))
75, 6mpbird 260 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 0 ≤ (𝐶𝐵))
81, 4, 7fsumge0 15150 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑘𝐴 (𝐶𝐵))
92recnd 10667 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
103recnd 10667 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
111, 9, 10fsumsub 15143 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 (𝐶𝐵) = (Σ𝑘𝐴 𝐶 − Σ𝑘𝐴 𝐵))
128, 11breqtrd 5078 . 2 (𝜑 → 0 ≤ (Σ𝑘𝐴 𝐶 − Σ𝑘𝐴 𝐵))
131, 2fsumrecl 15091 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐶 ∈ ℝ)
141, 3fsumrecl 15091 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℝ)
1513, 14subge0d 11228 . 2 (𝜑 → (0 ≤ (Σ𝑘𝐴 𝐶 − Σ𝑘𝐴 𝐵) ↔ Σ𝑘𝐴 𝐵 ≤ Σ𝑘𝐴 𝐶))
1612, 15mpbid 235 1 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 ≤ Σ𝑘𝐴 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  wcel 2115   class class class wbr 5052  (class class class)co 7149  Fincfn 8505  cr 10534  0cc0 10535  cle 10674  cmin 10868  Σcsu 15042
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-inf2 9101  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612  ax-pre-sup 10613
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-se 5502  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-isom 6352  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-sup 8903  df-oi 8971  df-card 9365  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-div 11296  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-n0 11895  df-z 11979  df-uz 12241  df-rp 12387  df-ico 12741  df-fz 12895  df-fzo 13038  df-seq 13374  df-exp 13435  df-hash 13696  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-clim 14845  df-sum 15043
This theorem is referenced by:  o1fsum  15168  climcndslem1  15204  climcndslem2  15205  mertenslem1  15240  ovoliunlem1  24113  ovolicc2lem4  24131  uniioombllem4  24197  dvfsumle  24631  dvfsumabs  24633  mtest  25006  mtestbdd  25007  abelthlem7  25040  birthdaylem3  25546  fsumharmonic  25604  ftalem1  25665  ftalem5  25669  basellem8  25680  chtleppi  25801  chpub  25811  logfaclbnd  25813  bposlem1  25875  chebbnd1lem1  26060  chtppilimlem1  26064  vmadivsum  26073  rplogsumlem1  26075  rplogsumlem2  26076  rpvmasumlem  26078  dchrisumlem2  26081  dchrmusum2  26085  dchrvmasumlem3  26090  dchrvmasumiflem1  26092  dchrisum0fno1  26102  dchrisum0lem1  26107  dchrisum0lem2a  26108  mudivsum  26121  mulogsumlem  26122  mulog2sumlem2  26126  vmalogdivsum2  26129  2vmadivsumlem  26131  selberglem2  26137  selbergb  26140  selberg2b  26143  chpdifbndlem1  26144  logdivbnd  26147  selberg3lem1  26148  selberg4lem1  26151  pntrlog2bndlem1  26168  pntrlog2bndlem2  26169  pntrlog2bndlem3  26170  pntrlog2bndlem5  26172  pntrlog2bndlem6  26174  pntpbnd2  26178  pntlemj  26194  reprlt  31951  reprgt  31953  hgt750lemf  31985  hgt750lemb  31988  knoppndvlem11  33922  geomcau  35146  lcmineqlem17  39285  fltnltalem  39539  stoweidlem11  42584  stoweidlem26  42599  stoweidlem38  42611  stirlinglem12  42658  etransclem23  42830  etransclem32  42839  sge0le  42977  hoidmvlelem2  43166
  Copyright terms: Public domain W3C validator