Theorem gpgedgvtx0 47992

Description: The edges starting at an outside vertex in a generalized Petersen graph 𝐺. (Contributed by AV, 29-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
gpgedgvtx0.j	⊢ 𝐽 = (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))
gpgedgvtx0.g	⊢ 𝐺 = (𝑁 gPetersenGr 𝐾)
gpgedgvtx0.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
gpgedgvtx0.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
gpgedgvtx0	⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (1st ‘𝑋) = 0)) → ({𝑋, ⟨0, (((2nd ‘𝑋) + 1) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {𝑋, ⟨1, (2nd ‘𝑋)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {𝑋, ⟨0, (((2nd ‘𝑋) − 1) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸))

Proof of Theorem gpgedgvtx0

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (0..^𝑁) = (0..^𝑁)
2		gpgedgvtx0.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))
3		gpgedgvtx0.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑁 gPetersenGr 𝐾)
4		gpgedgvtx0.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
5	1, 2, 3, 4	gpgvtxel 47978	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (𝑋 ∈ 𝑉 ↔ ∃𝑥 ∈ {0, 1}∃𝑦 ∈ (0..^𝑁)𝑋 = ⟨𝑥, 𝑦⟩))
6		fveq2 6886	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → (1st ‘𝑋) = (1st ‘⟨𝑥, 𝑦⟩))
7	6	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ (𝑥 ∈ {0, 1} ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁))) ∧ 𝑋 = ⟨𝑥, 𝑦⟩) → (1st ‘𝑋) = (1st ‘⟨𝑥, 𝑦⟩))
8		vex 3467	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑥 ∈ V
9		vex 3467	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑦 ∈ V
10	8, 9	op1st 8004	. . . . . . . 8 ⊢ (1st ‘⟨𝑥, 𝑦⟩) = 𝑥
11	7, 10	eqtrdi 2785	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ (𝑥 ∈ {0, 1} ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁))) ∧ 𝑋 = ⟨𝑥, 𝑦⟩) → (1st ‘𝑋) = 𝑥)
12	11	eqeq1d 2736	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ (𝑥 ∈ {0, 1} ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁))) ∧ 𝑋 = ⟨𝑥, 𝑦⟩) → ((1st ‘𝑋) = 0 ↔ 𝑥 = 0))
13		opeq1 4853	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 0 → ⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨0, 𝑦⟩)
14	13	eqeq2d 2745	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑋 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ↔ 𝑋 = ⟨0, 𝑦⟩))
15	14	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ (𝑥 ∈ {0, 1} ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁))) ∧ 𝑥 = 0) → (𝑋 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ↔ 𝑋 = ⟨0, 𝑦⟩))
16		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑦 ∈ (0..^𝑁))
17		opeq2 4854	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ⟨0, 𝑧⟩ = ⟨0, 𝑦⟩)
18		oveq1 7420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑧 + 1) = (𝑦 + 1))
19	18	oveq1d 7428	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ((𝑧 + 1) mod 𝑁) = ((𝑦 + 1) mod 𝑁))
20	19	opeq2d 4860	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ⟨0, ((𝑧 + 1) mod 𝑁)⟩ = ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 𝑁)⟩)
21	17, 20	preq12d 4721	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → {⟨0, 𝑧⟩, ⟨0, ((𝑧 + 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 𝑁)⟩})
22	21	eqeq2d 2745	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ({⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨0, ((𝑧 + 1) mod 𝑁)⟩} ↔ {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 𝑁)⟩}))
23		opeq2 4854	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ⟨1, 𝑧⟩ = ⟨1, 𝑦⟩)
24	17, 23	preq12d 4721	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → {⟨0, 𝑧⟩, ⟨1, 𝑧⟩} = {⟨0, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑦⟩})
25	24	eqeq2d 2745	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ({⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨1, 𝑧⟩} ↔ {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑦⟩}))
26		oveq1 7420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑧 + 𝐾) = (𝑦 + 𝐾))
27	26	oveq1d 7428	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁) = ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁))
28	27	opeq2d 4860	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ⟨1, ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩)
29	23, 28	preq12d 4721	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → {⟨1, 𝑧⟩, ⟨1, ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})
30	29	eqeq2d 2745	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ({⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑧⟩, ⟨1, ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ↔ {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
31	22, 25, 30	3orbi123d 1436	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (({⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨0, ((𝑧 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨1, 𝑧⟩} ∨ {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑧⟩, ⟨1, ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) ↔ ({⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑦⟩} ∨ {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})))
32	31	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑧 = 𝑦) → (({⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨0, ((𝑧 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨1, 𝑧⟩} ∨ {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑧⟩, ⟨1, ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) ↔ ({⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑦⟩} ∨ {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})))
33		eqid 2734	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 𝑁)⟩}
34	33	3mix1i 1333	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ({⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑦⟩} ∨ {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})
35	34	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁)) → ({⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑦⟩} ∨ {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
36	16, 32, 35	rspcedvd 3607	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁)) → ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)({⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨0, ((𝑧 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨1, 𝑧⟩} ∨ {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑧⟩, ⟨1, ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
37	21	eqeq2d 2745	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ({⟨0, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑦⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨0, ((𝑧 + 1) mod 𝑁)⟩} ↔ {⟨0, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑦⟩} = {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 𝑁)⟩}))
38	24	eqeq2d 2745	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ({⟨0, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑦⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨1, 𝑧⟩} ↔ {⟨0, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑦⟩} = {⟨0, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑦⟩}))
39	29	eqeq2d 2745	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → ({⟨0, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑦⟩} = {⟨1, 𝑧⟩, ⟨1, ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ↔ {⟨0, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑦⟩} = {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
40	37, 38, 39	3orbi123d 1436	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (({⟨0, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑦⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨0, ((𝑧 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨0, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑦⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨1, 𝑧⟩} ∨ {⟨0, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑦⟩} = {⟨1, 𝑧⟩, ⟨1, ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) ↔ ({⟨0, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑦⟩} = {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨0, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑦⟩} = {⟨0, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑦⟩} ∨ {⟨0, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑦⟩} = {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})))
41	40	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑧 = 𝑦) → (({⟨0, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑦⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨0, ((𝑧 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨0, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑦⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨1, 𝑧⟩} ∨ {⟨0, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑦⟩} = {⟨1, 𝑧⟩, ⟨1, ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) ↔ ({⟨0, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑦⟩} = {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨0, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑦⟩} = {⟨0, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑦⟩} ∨ {⟨0, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑦⟩} = {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})))
42		eqid 2734	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ {⟨0, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑦⟩} = {⟨0, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑦⟩}
43	42	3mix2i 1334	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ({⟨0, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑦⟩} = {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨0, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑦⟩} = {⟨0, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑦⟩} ∨ {⟨0, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑦⟩} = {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})
44	43	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁)) → ({⟨0, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑦⟩} = {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨0, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑦⟩} = {⟨0, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑦⟩} ∨ {⟨0, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑦⟩} = {⟨1, 𝑦⟩, ⟨1, ((𝑦 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
45	16, 41, 44	rspcedvd 3607	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁)) → ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)({⟨0, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑦⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨0, ((𝑧 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨0, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑦⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨1, 𝑧⟩} ∨ {⟨0, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑦⟩} = {⟨1, 𝑧⟩, ⟨1, ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
46		elfzo0l 13777	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^𝑁) → (𝑦 = 0 ∨ 𝑦 ∈ (1..^𝑁)))
47		eluzge3nn 12914	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℕ)
48	47	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 = 0) → 𝑁 ∈ ℕ)
49		fzo0end 13779	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ (0..^𝑁))
50	48, 49	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 = 0) → (𝑁 − 1) ∈ (0..^𝑁))
51		opeq2 4854	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 = 0 → ⟨0, 𝑦⟩ = ⟨0, 0⟩)
52		oveq1 7420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝑦 − 1) = (0 − 1))
53	52	oveq1d 7428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 = 0 → ((𝑦 − 1) mod 𝑁) = ((0 − 1) mod 𝑁))
54	53	opeq2d 4860	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 = 0 → ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 𝑁)⟩ = ⟨0, ((0 − 1) mod 𝑁)⟩)
55	51, 54	preq12d 4721	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 = 0 → {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 0⟩, ⟨0, ((0 − 1) mod 𝑁)⟩})
56		opeq2 4854	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑧 = (𝑁 − 1) → ⟨0, 𝑧⟩ = ⟨0, (𝑁 − 1)⟩)
57		oveq1 7420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑧 = (𝑁 − 1) → (𝑧 + 1) = ((𝑁 − 1) + 1))
58	57	oveq1d 7428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑧 = (𝑁 − 1) → ((𝑧 + 1) mod 𝑁) = (((𝑁 − 1) + 1) mod 𝑁))
59	58	opeq2d 4860	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑧 = (𝑁 − 1) → ⟨0, ((𝑧 + 1) mod 𝑁)⟩ = ⟨0, (((𝑁 − 1) + 1) mod 𝑁)⟩)
60	56, 59	preq12d 4721	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 = (𝑁 − 1) → {⟨0, 𝑧⟩, ⟨0, ((𝑧 + 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, (𝑁 − 1)⟩, ⟨0, (((𝑁 − 1) + 1) mod 𝑁)⟩})
61	55, 60	eqeqan12d 2748	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦 = 0 ∧ 𝑧 = (𝑁 − 1)) → ({⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨0, ((𝑧 + 1) mod 𝑁)⟩} ↔ {⟨0, 0⟩, ⟨0, ((0 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, (𝑁 − 1)⟩, ⟨0, (((𝑁 − 1) + 1) mod 𝑁)⟩}))
62		opeq2 4854	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑧 = (𝑁 − 1) → ⟨1, 𝑧⟩ = ⟨1, (𝑁 − 1)⟩)
63	56, 62	preq12d 4721	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 = (𝑁 − 1) → {⟨0, 𝑧⟩, ⟨1, 𝑧⟩} = {⟨0, (𝑁 − 1)⟩, ⟨1, (𝑁 − 1)⟩})
64	55, 63	eqeqan12d 2748	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦 = 0 ∧ 𝑧 = (𝑁 − 1)) → ({⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨1, 𝑧⟩} ↔ {⟨0, 0⟩, ⟨0, ((0 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, (𝑁 − 1)⟩, ⟨1, (𝑁 − 1)⟩}))
65		oveq1 7420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑧 = (𝑁 − 1) → (𝑧 + 𝐾) = ((𝑁 − 1) + 𝐾))
66	65	oveq1d 7428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑧 = (𝑁 − 1) → ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁) = (((𝑁 − 1) + 𝐾) mod 𝑁))
67	66	opeq2d 4860	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑧 = (𝑁 − 1) → ⟨1, ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, (((𝑁 − 1) + 𝐾) mod 𝑁)⟩)
68	62, 67	preq12d 4721	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 = (𝑁 − 1) → {⟨1, 𝑧⟩, ⟨1, ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, (𝑁 − 1)⟩, ⟨1, (((𝑁 − 1) + 𝐾) mod 𝑁)⟩})
69	55, 68	eqeqan12d 2748	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦 = 0 ∧ 𝑧 = (𝑁 − 1)) → ({⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑧⟩, ⟨1, ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ↔ {⟨0, 0⟩, ⟨0, ((0 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, (𝑁 − 1)⟩, ⟨1, (((𝑁 − 1) + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
70	61, 64, 69	3orbi123d 1436	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 = 0 ∧ 𝑧 = (𝑁 − 1)) → (({⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨0, ((𝑧 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨1, 𝑧⟩} ∨ {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑧⟩, ⟨1, ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) ↔ ({⟨0, 0⟩, ⟨0, ((0 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, (𝑁 − 1)⟩, ⟨0, (((𝑁 − 1) + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨0, 0⟩, ⟨0, ((0 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, (𝑁 − 1)⟩, ⟨1, (𝑁 − 1)⟩} ∨ {⟨0, 0⟩, ⟨0, ((0 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, (𝑁 − 1)⟩, ⟨1, (((𝑁 − 1) + 𝐾) mod 𝑁)⟩})))
71	70	adantll 714	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 = 0) ∧ 𝑧 = (𝑁 − 1)) → (({⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨0, ((𝑧 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨1, 𝑧⟩} ∨ {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑧⟩, ⟨1, ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) ↔ ({⟨0, 0⟩, ⟨0, ((0 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, (𝑁 − 1)⟩, ⟨0, (((𝑁 − 1) + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨0, 0⟩, ⟨0, ((0 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, (𝑁 − 1)⟩, ⟨1, (𝑁 − 1)⟩} ∨ {⟨0, 0⟩, ⟨0, ((0 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, (𝑁 − 1)⟩, ⟨1, (((𝑁 − 1) + 𝐾) mod 𝑁)⟩})))
72		nncn 12256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
73		npcan1 11670	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
74	47, 72, 73	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
75	74	oveq1d 7428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (((𝑁 − 1) + 1) mod 𝑁) = (𝑁 mod 𝑁))
76		nnrp 13028	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
77		modid0 13919	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ+ → (𝑁 mod 𝑁) = 0)
78	47, 76, 77	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑁 mod 𝑁) = 0)
79	75, 78	eqtr2d 2770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 0 = (((𝑁 − 1) + 1) mod 𝑁))
80	79	opeq2d 4860	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → ⟨0, 0⟩ = ⟨0, (((𝑁 − 1) + 1) mod 𝑁)⟩)
81		df-neg 11477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ -1 = (0 − 1)
82	81	eqcomi 2743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (0 − 1) = -1
83	82	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (0 − 1) = -1)
84	83	oveq1d 7428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → ((0 − 1) mod 𝑁) = (-1 mod 𝑁))
85		m1modnnsub1 13940	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (-1 mod 𝑁) = (𝑁 − 1))
86	47, 85	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (-1 mod 𝑁) = (𝑁 − 1))
87	84, 86	eqtrd 2769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → ((0 − 1) mod 𝑁) = (𝑁 − 1))
88	87	opeq2d 4860	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → ⟨0, ((0 − 1) mod 𝑁)⟩ = ⟨0, (𝑁 − 1)⟩)
89	80, 88	preq12d 4721	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → {⟨0, 0⟩, ⟨0, ((0 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, (((𝑁 − 1) + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, (𝑁 − 1)⟩})
90	89	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 = 0) → {⟨0, 0⟩, ⟨0, ((0 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, (((𝑁 − 1) + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, (𝑁 − 1)⟩})
91		prcom 4712	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ {⟨0, (((𝑁 − 1) + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, (𝑁 − 1)⟩} = {⟨0, (𝑁 − 1)⟩, ⟨0, (((𝑁 − 1) + 1) mod 𝑁)⟩}
92	90, 91	eqtrdi 2785	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 = 0) → {⟨0, 0⟩, ⟨0, ((0 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, (𝑁 − 1)⟩, ⟨0, (((𝑁 − 1) + 1) mod 𝑁)⟩})
93	92	3mix1d 1336	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 = 0) → ({⟨0, 0⟩, ⟨0, ((0 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, (𝑁 − 1)⟩, ⟨0, (((𝑁 − 1) + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨0, 0⟩, ⟨0, ((0 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, (𝑁 − 1)⟩, ⟨1, (𝑁 − 1)⟩} ∨ {⟨0, 0⟩, ⟨0, ((0 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, (𝑁 − 1)⟩, ⟨1, (((𝑁 − 1) + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
94	50, 71, 93	rspcedvd 3607	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 = 0) → ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)({⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨0, ((𝑧 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨1, 𝑧⟩} ∨ {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑧⟩, ⟨1, ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
95	94	expcom 413	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = 0 → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)({⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨0, ((𝑧 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨1, 𝑧⟩} ∨ {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑧⟩, ⟨1, ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})))
96		elfzofz 13697	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 ∈ (1..^𝑁) → 𝑦 ∈ (1...𝑁))
97		fz1fzo0m1 13732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 ∈ (1...𝑁) → (𝑦 − 1) ∈ (0..^𝑁))
98	96, 97	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 ∈ (1..^𝑁) → (𝑦 − 1) ∈ (0..^𝑁))
99	98	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁)) → (𝑦 − 1) ∈ (0..^𝑁))
100		opeq2 4854	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑧 = (𝑦 − 1) → ⟨0, 𝑧⟩ = ⟨0, (𝑦 − 1)⟩)
101		oveq1 7420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑧 = (𝑦 − 1) → (𝑧 + 1) = ((𝑦 − 1) + 1))
102	101	oveq1d 7428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑧 = (𝑦 − 1) → ((𝑧 + 1) mod 𝑁) = (((𝑦 − 1) + 1) mod 𝑁))
103	102	opeq2d 4860	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑧 = (𝑦 − 1) → ⟨0, ((𝑧 + 1) mod 𝑁)⟩ = ⟨0, (((𝑦 − 1) + 1) mod 𝑁)⟩)
104	100, 103	preq12d 4721	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 = (𝑦 − 1) → {⟨0, 𝑧⟩, ⟨0, ((𝑧 + 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, (𝑦 − 1)⟩, ⟨0, (((𝑦 − 1) + 1) mod 𝑁)⟩})
105	104	eqeq2d 2745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 = (𝑦 − 1) → ({⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨0, ((𝑧 + 1) mod 𝑁)⟩} ↔ {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, (𝑦 − 1)⟩, ⟨0, (((𝑦 − 1) + 1) mod 𝑁)⟩}))
106		opeq2 4854	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑧 = (𝑦 − 1) → ⟨1, 𝑧⟩ = ⟨1, (𝑦 − 1)⟩)
107	100, 106	preq12d 4721	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 = (𝑦 − 1) → {⟨0, 𝑧⟩, ⟨1, 𝑧⟩} = {⟨0, (𝑦 − 1)⟩, ⟨1, (𝑦 − 1)⟩})
108	107	eqeq2d 2745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 = (𝑦 − 1) → ({⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨1, 𝑧⟩} ↔ {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, (𝑦 − 1)⟩, ⟨1, (𝑦 − 1)⟩}))
109		oveq1 7420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑧 = (𝑦 − 1) → (𝑧 + 𝐾) = ((𝑦 − 1) + 𝐾))
110	109	oveq1d 7428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑧 = (𝑦 − 1) → ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁) = (((𝑦 − 1) + 𝐾) mod 𝑁))
111	110	opeq2d 4860	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑧 = (𝑦 − 1) → ⟨1, ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁)⟩ = ⟨1, (((𝑦 − 1) + 𝐾) mod 𝑁)⟩)
112	106, 111	preq12d 4721	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 = (𝑦 − 1) → {⟨1, 𝑧⟩, ⟨1, ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, (𝑦 − 1)⟩, ⟨1, (((𝑦 − 1) + 𝐾) mod 𝑁)⟩})
113	112	eqeq2d 2745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 = (𝑦 − 1) → ({⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑧⟩, ⟨1, ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁)⟩} ↔ {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, (𝑦 − 1)⟩, ⟨1, (((𝑦 − 1) + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
114	105, 108, 113	3orbi123d 1436	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 = (𝑦 − 1) → (({⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨0, ((𝑧 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨1, 𝑧⟩} ∨ {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑧⟩, ⟨1, ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) ↔ ({⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, (𝑦 − 1)⟩, ⟨0, (((𝑦 − 1) + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, (𝑦 − 1)⟩, ⟨1, (𝑦 − 1)⟩} ∨ {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, (𝑦 − 1)⟩, ⟨1, (((𝑦 − 1) + 𝐾) mod 𝑁)⟩})))
115	114	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁)) ∧ 𝑧 = (𝑦 − 1)) → (({⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨0, ((𝑧 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨1, 𝑧⟩} ∨ {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑧⟩, ⟨1, ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) ↔ ({⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, (𝑦 − 1)⟩, ⟨0, (((𝑦 − 1) + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, (𝑦 − 1)⟩, ⟨1, (𝑦 − 1)⟩} ∨ {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, (𝑦 − 1)⟩, ⟨1, (((𝑦 − 1) + 𝐾) mod 𝑁)⟩})))
116		elfzoelz 13681	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑦 ∈ (1..^𝑁) → 𝑦 ∈ ℤ)
117		zcn 12601	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
118		npcan1 11670	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → ((𝑦 − 1) + 1) = 𝑦)
119	116, 117, 118	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑦 ∈ (1..^𝑁) → ((𝑦 − 1) + 1) = 𝑦)
120	119	oveq1d 7428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 ∈ (1..^𝑁) → (((𝑦 − 1) + 1) mod 𝑁) = (𝑦 mod 𝑁))
121		elfzo1 13734	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑦 ∈ (1..^𝑁) ↔ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 < 𝑁))
122		nnre 12255	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ)
123	122, 76	anim12i 613	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+))
124	123	3adant3 1132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 < 𝑁) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+))
125		nnnn0 12516	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℕ0)
126	125	nn0ge0d 12573	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑦)
127	126	anim1i 615	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑦 < 𝑁) → (0 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑁))
128	127	3adant2 1131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 < 𝑁) → (0 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑁))
129	124, 128	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 < 𝑁) → ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑁)))
130	121, 129	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑦 ∈ (1..^𝑁) → ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑁)))
131		modid 13918	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑁)) → (𝑦 mod 𝑁) = 𝑦)
132	130, 131	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 ∈ (1..^𝑁) → (𝑦 mod 𝑁) = 𝑦)
133	120, 132	eqtrd 2769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑦 ∈ (1..^𝑁) → (((𝑦 − 1) + 1) mod 𝑁) = 𝑦)
134	133	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁)) → (((𝑦 − 1) + 1) mod 𝑁) = 𝑦)
135	134	eqcomd 2740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁)) → 𝑦 = (((𝑦 − 1) + 1) mod 𝑁))
136	135	opeq2d 4860	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁)) → ⟨0, 𝑦⟩ = ⟨0, (((𝑦 − 1) + 1) mod 𝑁)⟩)
137		1red 11244	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
138	122, 137	resubcld 11673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 − 1) ∈ ℝ)
139	138, 76	anim12i 613	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑦 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+))
140	139	3adant3 1132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 < 𝑁) → ((𝑦 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+))
141		nnm1ge0 12669	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 0 ≤ (𝑦 − 1))
142	141	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 < 𝑁) → 0 ≤ (𝑦 − 1))
143	138	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 < 𝑁) → (𝑦 − 1) ∈ ℝ)
144	122	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 < 𝑁) → 𝑦 ∈ ℝ)
145		nnre 12255	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
146	145	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
147	122	ltm1d 12182	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 − 1) < 𝑦)
148	147	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 < 𝑁) → (𝑦 − 1) < 𝑦)
149		simp3 1138	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 < 𝑁) → 𝑦 < 𝑁)
150	143, 144, 146, 148, 149	lttrd 11404	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 < 𝑁) → (𝑦 − 1) < 𝑁)
151	140, 142, 150	jca32 515	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑦 < 𝑁) → (((𝑦 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ (𝑦 − 1) ∧ (𝑦 − 1) < 𝑁)))
152	121, 151	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑦 ∈ (1..^𝑁) → (((𝑦 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ (𝑦 − 1) ∧ (𝑦 − 1) < 𝑁)))
153	152	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁)) → (((𝑦 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ (𝑦 − 1) ∧ (𝑦 − 1) < 𝑁)))
154		modid 13918	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑦 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ (𝑦 − 1) ∧ (𝑦 − 1) < 𝑁)) → ((𝑦 − 1) mod 𝑁) = (𝑦 − 1))
155	153, 154	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁)) → ((𝑦 − 1) mod 𝑁) = (𝑦 − 1))
156	155	opeq2d 4860	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁)) → ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 𝑁)⟩ = ⟨0, (𝑦 − 1)⟩)
157	136, 156	preq12d 4721	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁)) → {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, (((𝑦 − 1) + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, (𝑦 − 1)⟩})
158		prcom 4712	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ {⟨0, (((𝑦 − 1) + 1) mod 𝑁)⟩, ⟨0, (𝑦 − 1)⟩} = {⟨0, (𝑦 − 1)⟩, ⟨0, (((𝑦 − 1) + 1) mod 𝑁)⟩}
159	157, 158	eqtrdi 2785	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁)) → {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, (𝑦 − 1)⟩, ⟨0, (((𝑦 − 1) + 1) mod 𝑁)⟩})
160	159	3mix1d 1336	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁)) → ({⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, (𝑦 − 1)⟩, ⟨0, (((𝑦 − 1) + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, (𝑦 − 1)⟩, ⟨1, (𝑦 − 1)⟩} ∨ {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, (𝑦 − 1)⟩, ⟨1, (((𝑦 − 1) + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
161	99, 115, 160	rspcedvd 3607	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁)) → ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)({⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨0, ((𝑧 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨1, 𝑧⟩} ∨ {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑧⟩, ⟨1, ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
162	161	expcom 413	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ (1..^𝑁) → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)({⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨0, ((𝑧 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨1, 𝑧⟩} ∨ {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑧⟩, ⟨1, ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})))
163	95, 162	jaoi 857	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 = 0 ∨ 𝑦 ∈ (1..^𝑁)) → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)({⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨0, ((𝑧 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨1, 𝑧⟩} ∨ {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑧⟩, ⟨1, ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})))
164	46, 163	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^𝑁) → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)({⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨0, ((𝑧 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨1, 𝑧⟩} ∨ {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑧⟩, ⟨1, ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})))
165	164	impcom 407	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁)) → ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)({⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨0, ((𝑧 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨1, 𝑧⟩} ∨ {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑧⟩, ⟨1, ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))
166		gpgedgvtx0.e	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
167	1, 2, 3, 166	gpgedgel 47980	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → ({⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ↔ ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)({⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨0, ((𝑧 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨1, 𝑧⟩} ∨ {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑧⟩, ⟨1, ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})))
168	1, 2, 3, 166	gpgedgel 47980	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → ({⟨0, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑦⟩} ∈ 𝐸 ↔ ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)({⟨0, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑦⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨0, ((𝑧 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨0, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑦⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨1, 𝑧⟩} ∨ {⟨0, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑦⟩} = {⟨1, 𝑧⟩, ⟨1, ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})))
169	1, 2, 3, 166	gpgedgel 47980	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → ({⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ↔ ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)({⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨0, ((𝑧 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨1, 𝑧⟩} ∨ {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑧⟩, ⟨1, ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})))
170	167, 168, 169	3anbi123d 1437	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (({⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨0, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑦⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸) ↔ (∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)({⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨0, ((𝑧 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨1, 𝑧⟩} ∨ {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑧⟩, ⟨1, ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) ∧ ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)({⟨0, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑦⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨0, ((𝑧 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨0, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑦⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨1, 𝑧⟩} ∨ {⟨0, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑦⟩} = {⟨1, 𝑧⟩, ⟨1, ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) ∧ ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)({⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨0, ((𝑧 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨1, 𝑧⟩} ∨ {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑧⟩, ⟨1, ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))))
171	170	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁)) → (({⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨0, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑦⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸) ↔ (∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)({⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨0, ((𝑧 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨1, 𝑧⟩} ∨ {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑧⟩, ⟨1, ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) ∧ ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)({⟨0, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑦⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨0, ((𝑧 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨0, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑦⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨1, 𝑧⟩} ∨ {⟨0, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑦⟩} = {⟨1, 𝑧⟩, ⟨1, ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}) ∧ ∃𝑧 ∈ (0..^𝑁)({⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨0, ((𝑧 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑧⟩, ⟨1, 𝑧⟩} ∨ {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨1, 𝑧⟩, ⟨1, ((𝑧 + 𝐾) mod 𝑁)⟩}))))
172	36, 45, 165, 171	mpbir3and 1342	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁)) → ({⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨0, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑦⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸))
173	172	adantrl 716	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ (𝑥 ∈ {0, 1} ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁))) → ({⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨0, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑦⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸))
174		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 = ⟨0, 𝑦⟩ → 𝑋 = ⟨0, 𝑦⟩)
175		c0ex 11237	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 ∈ V
176	175, 9	op2ndd 8007	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑋 = ⟨0, 𝑦⟩ → (2nd ‘𝑋) = 𝑦)
177	176	oveq1d 7428	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑋 = ⟨0, 𝑦⟩ → ((2nd ‘𝑋) + 1) = (𝑦 + 1))
178	177	oveq1d 7428	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 = ⟨0, 𝑦⟩ → (((2nd ‘𝑋) + 1) mod 𝑁) = ((𝑦 + 1) mod 𝑁))
179	178	opeq2d 4860	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 = ⟨0, 𝑦⟩ → ⟨0, (((2nd ‘𝑋) + 1) mod 𝑁)⟩ = ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 𝑁)⟩)
180	174, 179	preq12d 4721	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 = ⟨0, 𝑦⟩ → {𝑋, ⟨0, (((2nd ‘𝑋) + 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 𝑁)⟩})
181	180	eleq1d 2818	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 = ⟨0, 𝑦⟩ → ({𝑋, ⟨0, (((2nd ‘𝑋) + 1) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ↔ {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸))
182	176	opeq2d 4860	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 = ⟨0, 𝑦⟩ → ⟨1, (2nd ‘𝑋)⟩ = ⟨1, 𝑦⟩)
183	174, 182	preq12d 4721	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 = ⟨0, 𝑦⟩ → {𝑋, ⟨1, (2nd ‘𝑋)⟩} = {⟨0, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑦⟩})
184	183	eleq1d 2818	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 = ⟨0, 𝑦⟩ → ({𝑋, ⟨1, (2nd ‘𝑋)⟩} ∈ 𝐸 ↔ {⟨0, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑦⟩} ∈ 𝐸))
185	176	oveq1d 7428	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑋 = ⟨0, 𝑦⟩ → ((2nd ‘𝑋) − 1) = (𝑦 − 1))
186	185	oveq1d 7428	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 = ⟨0, 𝑦⟩ → (((2nd ‘𝑋) − 1) mod 𝑁) = ((𝑦 − 1) mod 𝑁))
187	186	opeq2d 4860	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 = ⟨0, 𝑦⟩ → ⟨0, (((2nd ‘𝑋) − 1) mod 𝑁)⟩ = ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 𝑁)⟩)
188	174, 187	preq12d 4721	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 = ⟨0, 𝑦⟩ → {𝑋, ⟨0, (((2nd ‘𝑋) − 1) mod 𝑁)⟩} = {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 𝑁)⟩})
189	188	eleq1d 2818	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 = ⟨0, 𝑦⟩ → ({𝑋, ⟨0, (((2nd ‘𝑋) − 1) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ↔ {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸))
190	181, 184, 189	3anbi123d 1437	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 = ⟨0, 𝑦⟩ → (({𝑋, ⟨0, (((2nd ‘𝑋) + 1) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {𝑋, ⟨1, (2nd ‘𝑋)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {𝑋, ⟨0, (((2nd ‘𝑋) − 1) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸) ↔ ({⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 + 1) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨0, 𝑦⟩, ⟨1, 𝑦⟩} ∈ 𝐸 ∧ {⟨0, 𝑦⟩, ⟨0, ((𝑦 − 1) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸)))
191	173, 190	syl5ibrcom 247	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ (𝑥 ∈ {0, 1} ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁))) → (𝑋 = ⟨0, 𝑦⟩ → ({𝑋, ⟨0, (((2nd ‘𝑋) + 1) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {𝑋, ⟨1, (2nd ‘𝑋)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {𝑋, ⟨0, (((2nd ‘𝑋) − 1) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸)))
192	191	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ (𝑥 ∈ {0, 1} ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁))) ∧ 𝑥 = 0) → (𝑋 = ⟨0, 𝑦⟩ → ({𝑋, ⟨0, (((2nd ‘𝑋) + 1) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {𝑋, ⟨1, (2nd ‘𝑋)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {𝑋, ⟨0, (((2nd ‘𝑋) − 1) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸)))
193	15, 192	sylbid 240	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ (𝑥 ∈ {0, 1} ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁))) ∧ 𝑥 = 0) → (𝑋 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → ({𝑋, ⟨0, (((2nd ‘𝑋) + 1) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {𝑋, ⟨1, (2nd ‘𝑋)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {𝑋, ⟨0, (((2nd ‘𝑋) − 1) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸)))
194	193	impancom 451	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ (𝑥 ∈ {0, 1} ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁))) ∧ 𝑋 = ⟨𝑥, 𝑦⟩) → (𝑥 = 0 → ({𝑋, ⟨0, (((2nd ‘𝑋) + 1) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {𝑋, ⟨1, (2nd ‘𝑋)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {𝑋, ⟨0, (((2nd ‘𝑋) − 1) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸)))
195	12, 194	sylbid 240	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ (𝑥 ∈ {0, 1} ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁))) ∧ 𝑋 = ⟨𝑥, 𝑦⟩) → ((1st ‘𝑋) = 0 → ({𝑋, ⟨0, (((2nd ‘𝑋) + 1) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {𝑋, ⟨1, (2nd ‘𝑋)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {𝑋, ⟨0, (((2nd ‘𝑋) − 1) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸)))
196	195	ex 412	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ (𝑥 ∈ {0, 1} ∧ 𝑦 ∈ (0..^𝑁))) → (𝑋 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → ((1st ‘𝑋) = 0 → ({𝑋, ⟨0, (((2nd ‘𝑋) + 1) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {𝑋, ⟨1, (2nd ‘𝑋)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {𝑋, ⟨0, (((2nd ‘𝑋) − 1) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸))))
197	196	rexlimdvva 3200	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (∃𝑥 ∈ {0, 1}∃𝑦 ∈ (0..^𝑁)𝑋 = ⟨𝑥, 𝑦⟩ → ((1st ‘𝑋) = 0 → ({𝑋, ⟨0, (((2nd ‘𝑋) + 1) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {𝑋, ⟨1, (2nd ‘𝑋)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {𝑋, ⟨0, (((2nd ‘𝑋) − 1) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸))))
198	5, 197	sylbid 240	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) → (𝑋 ∈ 𝑉 → ((1st ‘𝑋) = 0 → ({𝑋, ⟨0, (((2nd ‘𝑋) + 1) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {𝑋, ⟨1, (2nd ‘𝑋)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {𝑋, ⟨0, (((2nd ‘𝑋) − 1) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸))))
199	198	imp32 418	1 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ 𝐽) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (1st ‘𝑋) = 0)) → ({𝑋, ⟨0, (((2nd ‘𝑋) + 1) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {𝑋, ⟨1, (2nd ‘𝑋)⟩} ∈ 𝐸 ∧ {𝑋, ⟨0, (((2nd ‘𝑋) − 1) mod 𝑁)⟩} ∈ 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∨ w3o 1085   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∃wrex 3059  {cpr 4608  ⟨cop 4612   class class class wbr 5123  ‘cfv 6541  (class class class)co 7413  1^st c1st 7994  2^nd c2nd 7995  ℂcc 11135  ℝcr 11136  0cc0 11137  1c1 11138   + caddc 11140   < clt 11277   ≤ cle 11278   − cmin 11474  -cneg 11475   / cdiv 11902  ℕcn 12248  2c2 12303  3c3 12304  ℤcz 12596  ℤ_≥cuz 12860  ℝ⁺crp 13016  ...cfz 13529  ..^cfzo 13676  ⌈cceil 13813   mod cmo 13891  Vtxcvtx 28942  Edgcedg 28993   gPetersenGr cgpg 47972

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-cnex 11193  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213  ax-pre-mulgt0 11214  ax-pre-sup 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-int 4927  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7870  df-1st 7996  df-2nd 7997  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-oadd 8492  df-er 8727  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-fin 8971  df-sup 9464  df-inf 9465  df-dju 9923  df-card 9961  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-ltxr 11282  df-le 11283  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11903  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-7 12316  df-8 12317  df-9 12318  df-n0 12510  df-xnn0 12583  df-z 12597  df-dec 12717  df-uz 12861  df-rp 13017  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-fl 13814  df-mod 13892  df-hash 14353  df-struct 17167  df-slot 17202  df-ndx 17214  df-base 17231  df-edgf 28935  df-vtx 28944  df-iedg 28945  df-edg 28994  df-gpg 47973

This theorem is referenced by:  gpgnbgrvtx0  48003