Theorem gsumtp 32928

Description: Group sum of an unordered triple. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumtp.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumtp.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
gsumtp.s	⊢ (𝑘 = 𝑀 → 𝐴 = 𝐶)
gsumtp.t	⊢ (𝑘 = 𝑁 → 𝐴 = 𝐷)
gsumtp.u	⊢ (𝑘 = 𝑂 → 𝐴 = 𝐸)
gsumtp.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsumtp.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑉)
gsumtp.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑊)
gsumtp.4	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑋)
gsumtp.5	⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 𝑁)
gsumtp.6	⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 𝑂)
gsumtp.7	⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 𝑂)
gsumtp.8	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
gsumtp.9	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝐵)
gsumtp.10	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
gsumtp	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁, 𝑂} ↦ 𝐴)) = ((𝐶 + 𝐷) + 𝐸))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘   𝐷,𝑘   𝑘,𝐸   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝑘,𝑂   𝑘,𝑉   𝑘,𝑊   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   + (𝑘)   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem gsumtp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumtp.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsumtp.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3		gsumtp.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
4		tpfi 9360	. . . 4 ⊢ {𝑀, 𝑁, 𝑂} ∈ Fin
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑀, 𝑁, 𝑂} ∈ Fin)
6		gsumtp.s	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → 𝐴 = 𝐶)
7	6	adantl 480	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁, 𝑂}) ∧ 𝑘 = 𝑀) → 𝐴 = 𝐶)
8		gsumtp.8	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
9	8	ad2antrr 724	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁, 𝑂}) ∧ 𝑘 = 𝑀) → 𝐶 ∈ 𝐵)
10	7, 9	eqeltrd 2826	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁, 𝑂}) ∧ 𝑘 = 𝑀) → 𝐴 ∈ 𝐵)
11		gsumtp.t	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → 𝐴 = 𝐷)
12	11	adantl 480	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁, 𝑂}) ∧ 𝑘 = 𝑁) → 𝐴 = 𝐷)
13		gsumtp.9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝐵)
14	13	ad2antrr 724	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁, 𝑂}) ∧ 𝑘 = 𝑁) → 𝐷 ∈ 𝐵)
15	12, 14	eqeltrd 2826	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁, 𝑂}) ∧ 𝑘 = 𝑁) → 𝐴 ∈ 𝐵)
16		gsumtp.u	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑂 → 𝐴 = 𝐸)
17	16	adantl 480	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁, 𝑂}) ∧ 𝑘 = 𝑂) → 𝐴 = 𝐸)
18		gsumtp.10	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐵)
19	18	ad2antrr 724	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁, 𝑂}) ∧ 𝑘 = 𝑂) → 𝐸 ∈ 𝐵)
20	17, 19	eqeltrd 2826	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁, 𝑂}) ∧ 𝑘 = 𝑂) → 𝐴 ∈ 𝐵)
21		eltpi 4686	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁, 𝑂} → (𝑘 = 𝑀 ∨ 𝑘 = 𝑁 ∨ 𝑘 = 𝑂))
22	21	adantl 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁, 𝑂}) → (𝑘 = 𝑀 ∨ 𝑘 = 𝑁 ∨ 𝑘 = 𝑂))
23	10, 15, 20, 22	mpjao3dan 1429	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁, 𝑂}) → 𝐴 ∈ 𝐵)
24		gsumtp.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 𝑂)
25		gsumtp.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 𝑂)
26		disjprsn 4713	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ≠ 𝑂 ∧ 𝑁 ≠ 𝑂) → ({𝑀, 𝑁} ∩ {𝑂}) = ∅)
27	24, 25, 26	syl2anc 582	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝑀, 𝑁} ∩ {𝑂}) = ∅)
28		df-tp 4628	. . . 4 ⊢ {𝑀, 𝑁, 𝑂} = ({𝑀, 𝑁} ∪ {𝑂})
29	28	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑀, 𝑁, 𝑂} = ({𝑀, 𝑁} ∪ {𝑂}))
30	1, 2, 3, 5, 23, 27, 29	gsummptfidmsplit 19924	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁, 𝑂} ↦ 𝐴)) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴)) + (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑂} ↦ 𝐴))))
31		gsumtp.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑉)
32		gsumtp.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑊)
33		gsumtp.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 𝑁)
34	1, 2, 6, 11	gsumpr 19949	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊 ∧ 𝑀 ≠ 𝑁) ∧ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵)) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴)) = (𝐶 + 𝐷))
35	3, 31, 32, 33, 8, 13, 34	syl132anc 1385	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴)) = (𝐶 + 𝐷))
36	3	cmnmndd 19798	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
37		gsumtp.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑋)
38	16	adantl 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑂) → 𝐴 = 𝐸)
39	1, 36, 37, 18, 38	gsumsnd 19946	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑂} ↦ 𝐴)) = 𝐸)
40	35, 39	oveq12d 7434	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴)) + (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑂} ↦ 𝐴))) = ((𝐶 + 𝐷) + 𝐸))
41	30, 40	eqtrd 2766	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁, 𝑂} ↦ 𝐴)) = ((𝐶 + 𝐷) + 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∨ w3o 1083   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2930   ∪ cun 3944   ∩ cin 3945  ∅c0 4322  {csn 4623  {cpr 4625  {ctp 4627   ↦ cmpt 5228  ‘cfv 6546  (class class class)co 7416  Fincfn 8966  Basecbs 17208  +_gcplusg 17261   Σ_g cgsu 17450  CMndccmn 19774

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5282  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4906  df-int 4947  df-iun 4995  df-iin 4996  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-se 5630  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-isom 6555  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-om 7869  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-supp 8167  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-2o 8489  df-er 8726  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-fsupp 9399  df-oi 9546  df-card 9975  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11487  df-neg 11488  df-nn 12259  df-2 12321  df-n0 12519  df-z 12605  df-uz 12869  df-fz 13533  df-fzo 13676  df-seq 14016  df-hash 14343  df-sets 17161  df-slot 17179  df-ndx 17191  df-base 17209  df-ress 17238  df-plusg 17274  df-0g 17451  df-gsum 17452  df-mre 17594  df-mrc 17595  df-acs 17597  df-mgm 18628  df-sgrp 18707  df-mnd 18723  df-submnd 18769  df-mulg 19058  df-cntz 19307  df-cmn 19776

This theorem is referenced by:  evl1deg2  33455