Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  gsumtp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumtp 33031
Description: Group sum of an unordered triple. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Jun-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumtp.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumtp.p + = (+g𝐺)
gsumtp.s (𝑘 = 𝑀𝐴 = 𝐶)
gsumtp.t (𝑘 = 𝑁𝐴 = 𝐷)
gsumtp.u (𝑘 = 𝑂𝐴 = 𝐸)
gsumtp.1 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
gsumtp.2 (𝜑𝑀𝑉)
gsumtp.3 (𝜑𝑁𝑊)
gsumtp.4 (𝜑𝑂𝑋)
gsumtp.5 (𝜑𝑀𝑁)
gsumtp.6 (𝜑𝑁𝑂)
gsumtp.7 (𝜑𝑀𝑂)
gsumtp.8 (𝜑𝐶𝐵)
gsumtp.9 (𝜑𝐷𝐵)
gsumtp.10 (𝜑𝐸𝐵)
Assertion
Ref Expression
gsumtp (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁, 𝑂} ↦ 𝐴)) = ((𝐶 + 𝐷) + 𝐸))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘   𝐷,𝑘   𝑘,𝐸   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝑘,𝑂   𝑘,𝑉   𝑘,𝑊   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   + (𝑘)   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem gsumtp
StepHypRef Expression
1 gsumtp.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 gsumtp.p . . 3 + = (+g𝐺)
3 gsumtp.1 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
4 tpfi 9389 . . . 4 {𝑀, 𝑁, 𝑂} ∈ Fin
54a1i 11 . . 3 (𝜑 → {𝑀, 𝑁, 𝑂} ∈ Fin)
6 gsumtp.s . . . . . 6 (𝑘 = 𝑀𝐴 = 𝐶)
76adantl 481 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁, 𝑂}) ∧ 𝑘 = 𝑀) → 𝐴 = 𝐶)
8 gsumtp.8 . . . . . 6 (𝜑𝐶𝐵)
98ad2antrr 725 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁, 𝑂}) ∧ 𝑘 = 𝑀) → 𝐶𝐵)
107, 9eqeltrd 2838 . . . 4 (((𝜑𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁, 𝑂}) ∧ 𝑘 = 𝑀) → 𝐴𝐵)
11 gsumtp.t . . . . . 6 (𝑘 = 𝑁𝐴 = 𝐷)
1211adantl 481 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁, 𝑂}) ∧ 𝑘 = 𝑁) → 𝐴 = 𝐷)
13 gsumtp.9 . . . . . 6 (𝜑𝐷𝐵)
1413ad2antrr 725 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁, 𝑂}) ∧ 𝑘 = 𝑁) → 𝐷𝐵)
1512, 14eqeltrd 2838 . . . 4 (((𝜑𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁, 𝑂}) ∧ 𝑘 = 𝑁) → 𝐴𝐵)
16 gsumtp.u . . . . . 6 (𝑘 = 𝑂𝐴 = 𝐸)
1716adantl 481 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁, 𝑂}) ∧ 𝑘 = 𝑂) → 𝐴 = 𝐸)
18 gsumtp.10 . . . . . 6 (𝜑𝐸𝐵)
1918ad2antrr 725 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁, 𝑂}) ∧ 𝑘 = 𝑂) → 𝐸𝐵)
2017, 19eqeltrd 2838 . . . 4 (((𝜑𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁, 𝑂}) ∧ 𝑘 = 𝑂) → 𝐴𝐵)
21 eltpi 4711 . . . . 5 (𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁, 𝑂} → (𝑘 = 𝑀𝑘 = 𝑁𝑘 = 𝑂))
2221adantl 481 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁, 𝑂}) → (𝑘 = 𝑀𝑘 = 𝑁𝑘 = 𝑂))
2310, 15, 20, 22mpjao3dan 1432 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁, 𝑂}) → 𝐴𝐵)
24 gsumtp.7 . . . 4 (𝜑𝑀𝑂)
25 gsumtp.6 . . . 4 (𝜑𝑁𝑂)
26 disjprsn 4739 . . . 4 ((𝑀𝑂𝑁𝑂) → ({𝑀, 𝑁} ∩ {𝑂}) = ∅)
2724, 25, 26syl2anc 583 . . 3 (𝜑 → ({𝑀, 𝑁} ∩ {𝑂}) = ∅)
28 df-tp 4653 . . . 4 {𝑀, 𝑁, 𝑂} = ({𝑀, 𝑁} ∪ {𝑂})
2928a1i 11 . . 3 (𝜑 → {𝑀, 𝑁, 𝑂} = ({𝑀, 𝑁} ∪ {𝑂}))
301, 2, 3, 5, 23, 27, 29gsummptfidmsplit 19967 . 2 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁, 𝑂} ↦ 𝐴)) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴)) + (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑂} ↦ 𝐴))))
31 gsumtp.2 . . . 4 (𝜑𝑀𝑉)
32 gsumtp.3 . . . 4 (𝜑𝑁𝑊)
33 gsumtp.5 . . . 4 (𝜑𝑀𝑁)
341, 2, 6, 11gsumpr 19992 . . . 4 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀𝑉𝑁𝑊𝑀𝑁) ∧ (𝐶𝐵𝐷𝐵)) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴)) = (𝐶 + 𝐷))
353, 31, 32, 33, 8, 13, 34syl132anc 1388 . . 3 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴)) = (𝐶 + 𝐷))
363cmnmndd 19841 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
37 gsumtp.4 . . . 4 (𝜑𝑂𝑋)
3816adantl 481 . . . 4 ((𝜑𝑘 = 𝑂) → 𝐴 = 𝐸)
391, 36, 37, 18, 38gsumsnd 19989 . . 3 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑂} ↦ 𝐴)) = 𝐸)
4035, 39oveq12d 7463 . 2 (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴)) + (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑂} ↦ 𝐴))) = ((𝐶 + 𝐷) + 𝐸))
4130, 40eqtrd 2774 1 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁, 𝑂} ↦ 𝐴)) = ((𝐶 + 𝐷) + 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3o 1086   = wceq 1537  wcel 2103  wne 2942  cun 3968  cin 3969  c0 4347  {csn 4648  {cpr 4650  {ctp 4652  cmpt 5252  cfv 6572  (class class class)co 7445  Fincfn 8999  Basecbs 17253  +gcplusg 17306   Σg cgsu 17495  CMndccmn 19817
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2705  ax-rep 5306  ax-sep 5320  ax-nul 5327  ax-pow 5386  ax-pr 5450  ax-un 7766  ax-cnex 11236  ax-resscn 11237  ax-1cn 11238  ax-icn 11239  ax-addcl 11240  ax-addrcl 11241  ax-mulcl 11242  ax-mulrcl 11243  ax-mulcom 11244  ax-addass 11245  ax-mulass 11246  ax-distr 11247  ax-i2m1 11248  ax-1ne0 11249  ax-1rid 11250  ax-rnegex 11251  ax-rrecex 11252  ax-cnre 11253  ax-pre-lttri 11254  ax-pre-lttrn 11255  ax-pre-ltadd 11256  ax-pre-mulgt0 11257
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2890  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3383  df-reu 3384  df-rab 3439  df-v 3484  df-sbc 3799  df-csb 3916  df-dif 3973  df-un 3975  df-in 3977  df-ss 3987  df-pss 3990  df-nul 4348  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4973  df-iun 5021  df-iin 5022  df-br 5170  df-opab 5232  df-mpt 5253  df-tr 5287  df-id 5597  df-eprel 5603  df-po 5611  df-so 5612  df-fr 5654  df-se 5655  df-we 5656  df-xp 5705  df-rel 5706  df-cnv 5707  df-co 5708  df-dm 5709  df-rn 5710  df-res 5711  df-ima 5712  df-pred 6331  df-ord 6397  df-on 6398  df-lim 6399  df-suc 6400  df-iota 6524  df-fun 6574  df-fn 6575  df-f 6576  df-f1 6577  df-fo 6578  df-f1o 6579  df-fv 6580  df-isom 6581  df-riota 7401  df-ov 7448  df-oprab 7449  df-mpo 7450  df-of 7710  df-om 7900  df-1st 8026  df-2nd 8027  df-supp 8198  df-frecs 8318  df-wrecs 8349  df-recs 8423  df-rdg 8462  df-1o 8518  df-2o 8519  df-er 8759  df-en 9000  df-dom 9001  df-sdom 9002  df-fin 9003  df-fsupp 9428  df-oi 9575  df-card 10004  df-pnf 11322  df-mnf 11323  df-xr 11324  df-ltxr 11325  df-le 11326  df-sub 11518  df-neg 11519  df-nn 12290  df-2 12352  df-n0 12550  df-z 12636  df-uz 12900  df-fz 13564  df-fzo 13708  df-seq 14049  df-hash 14376  df-sets 17206  df-slot 17224  df-ndx 17236  df-base 17254  df-ress 17283  df-plusg 17319  df-0g 17496  df-gsum 17497  df-mre 17639  df-mrc 17640  df-acs 17642  df-mgm 18673  df-sgrp 18752  df-mnd 18768  df-submnd 18814  df-mulg 19103  df-cntz 19352  df-cmn 19819
This theorem is referenced by:  evl1deg2  33559
  Copyright terms: Public domain W3C validator