Theorem gsumtp 33157

Description: Group sum of an unordered triple. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumtp.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumtp.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
gsumtp.s	⊢ (𝑘 = 𝑀 → 𝐴 = 𝐶)
gsumtp.t	⊢ (𝑘 = 𝑁 → 𝐴 = 𝐷)
gsumtp.u	⊢ (𝑘 = 𝑂 → 𝐴 = 𝐸)
gsumtp.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsumtp.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑉)
gsumtp.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑊)
gsumtp.4	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑋)
gsumtp.5	⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 𝑁)
gsumtp.6	⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 𝑂)
gsumtp.7	⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 𝑂)
gsumtp.8	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
gsumtp.9	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝐵)
gsumtp.10	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
gsumtp	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁, 𝑂} ↦ 𝐴)) = ((𝐶 + 𝐷) + 𝐸))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘   𝐷,𝑘   𝑘,𝐸   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝑘,𝑂   𝑘,𝑉   𝑘,𝑊   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   + (𝑘)   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem gsumtp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumtp.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsumtp.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3		gsumtp.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
4		tpfi 9238	. . . 4 ⊢ {𝑀, 𝑁, 𝑂} ∈ Fin
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑀, 𝑁, 𝑂} ∈ Fin)
6		gsumtp.s	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → 𝐴 = 𝐶)
7	6	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁, 𝑂}) ∧ 𝑘 = 𝑀) → 𝐴 = 𝐶)
8		gsumtp.8	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
9	8	ad2antrr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁, 𝑂}) ∧ 𝑘 = 𝑀) → 𝐶 ∈ 𝐵)
10	7, 9	eqeltrd 2837	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁, 𝑂}) ∧ 𝑘 = 𝑀) → 𝐴 ∈ 𝐵)
11		gsumtp.t	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → 𝐴 = 𝐷)
12	11	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁, 𝑂}) ∧ 𝑘 = 𝑁) → 𝐴 = 𝐷)
13		gsumtp.9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝐵)
14	13	ad2antrr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁, 𝑂}) ∧ 𝑘 = 𝑁) → 𝐷 ∈ 𝐵)
15	12, 14	eqeltrd 2837	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁, 𝑂}) ∧ 𝑘 = 𝑁) → 𝐴 ∈ 𝐵)
16		gsumtp.u	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑂 → 𝐴 = 𝐸)
17	16	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁, 𝑂}) ∧ 𝑘 = 𝑂) → 𝐴 = 𝐸)
18		gsumtp.10	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐵)
19	18	ad2antrr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁, 𝑂}) ∧ 𝑘 = 𝑂) → 𝐸 ∈ 𝐵)
20	17, 19	eqeltrd 2837	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁, 𝑂}) ∧ 𝑘 = 𝑂) → 𝐴 ∈ 𝐵)
21		eltpi 4647	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁, 𝑂} → (𝑘 = 𝑀 ∨ 𝑘 = 𝑁 ∨ 𝑘 = 𝑂))
22	21	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁, 𝑂}) → (𝑘 = 𝑀 ∨ 𝑘 = 𝑁 ∨ 𝑘 = 𝑂))
23	10, 15, 20, 22	mpjao3dan 1435	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁, 𝑂}) → 𝐴 ∈ 𝐵)
24		gsumtp.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 𝑂)
25		gsumtp.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 𝑂)
26		disjprsn 4673	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ≠ 𝑂 ∧ 𝑁 ≠ 𝑂) → ({𝑀, 𝑁} ∩ {𝑂}) = ∅)
27	24, 25, 26	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝑀, 𝑁} ∩ {𝑂}) = ∅)
28		df-tp 4587	. . . 4 ⊢ {𝑀, 𝑁, 𝑂} = ({𝑀, 𝑁} ∪ {𝑂})
29	28	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑀, 𝑁, 𝑂} = ({𝑀, 𝑁} ∪ {𝑂}))
30	1, 2, 3, 5, 23, 27, 29	gsummptfidmsplit 19871	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁, 𝑂} ↦ 𝐴)) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴)) + (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑂} ↦ 𝐴))))
31		gsumtp.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑉)
32		gsumtp.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑊)
33		gsumtp.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 𝑁)
34	1, 2, 6, 11	gsumpr 19896	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊 ∧ 𝑀 ≠ 𝑁) ∧ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵)) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴)) = (𝐶 + 𝐷))
35	3, 31, 32, 33, 8, 13, 34	syl132anc 1391	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴)) = (𝐶 + 𝐷))
36	3	cmnmndd 19745	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
37		gsumtp.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑋)
38	16	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑂) → 𝐴 = 𝐸)
39	1, 36, 37, 18, 38	gsumsnd 19893	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑂} ↦ 𝐴)) = 𝐸)
40	35, 39	oveq12d 7386	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴)) + (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑂} ↦ 𝐴))) = ((𝐶 + 𝐷) + 𝐸))
41	30, 40	eqtrd 2772	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁, 𝑂} ↦ 𝐴)) = ((𝐶 + 𝐷) + 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ w3o 1086   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   ∪ cun 3901   ∩ cin 3902  ∅c0 4287  {csn 4582  {cpr 4584  {ctp 4586   ↦ cmpt 5181  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  Fincfn 8895  Basecbs 17148  +_gcplusg 17189   Σ_g cgsu 17372  CMndccmn 19721

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-of 7632  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-supp 8113  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9277  df-oi 9427  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-seq 13937  df-hash 14266  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-0g 17373  df-gsum 17374  df-mre 17517  df-mrc 17518  df-acs 17520  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-submnd 18721  df-mulg 19010  df-cntz 19258  df-cmn 19723

This theorem is referenced by:  evl1deg2  33669