Theorem gsumtp 33512

Description: Group sum of an unordered triple. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumtp.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumtp.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
gsumtp.s	⊢ (𝑘 = 𝑀 → 𝐴 = 𝐶)
gsumtp.t	⊢ (𝑘 = 𝑁 → 𝐴 = 𝐷)
gsumtp.u	⊢ (𝑘 = 𝑂 → 𝐴 = 𝐸)
gsumtp.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsumtp.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑉)
gsumtp.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑊)
gsumtp.4	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑋)
gsumtp.5	⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 𝑁)
gsumtp.6	⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 𝑂)
gsumtp.7	⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 𝑂)
gsumtp.8	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
gsumtp.9	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝐵)
gsumtp.10	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
gsumtp	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁, 𝑂} ↦ 𝐴)) = ((𝐶 + 𝐷) + 𝐸))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘   𝐷,𝑘   𝑘,𝐸   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝑘,𝑂   𝑘,𝑉   𝑘,𝑊   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   + (𝑘)   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem gsumtp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumtp.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsumtp.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3		gsumtp.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
4		tpfi 9299	. . . 4 ⊢ {𝑀, 𝑁, 𝑂} ∈ Fin
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑀, 𝑁, 𝑂} ∈ Fin)
6		gsumtp.s	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → 𝐴 = 𝐶)
7	6	adantl 487	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁, 𝑂}) ∧ 𝑘 = 𝑀) → 𝐴 = 𝐶)
8		gsumtp.8	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
9	8	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁, 𝑂}) ∧ 𝑘 = 𝑀) → 𝐶 ∈ 𝐵)
10	7, 9	eqeltrd 2862	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁, 𝑂}) ∧ 𝑘 = 𝑀) → 𝐴 ∈ 𝐵)
11		gsumtp.t	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → 𝐴 = 𝐷)
12	11	adantl 487	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁, 𝑂}) ∧ 𝑘 = 𝑁) → 𝐴 = 𝐷)
13		gsumtp.9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝐵)
14	13	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁, 𝑂}) ∧ 𝑘 = 𝑁) → 𝐷 ∈ 𝐵)
15	12, 14	eqeltrd 2862	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁, 𝑂}) ∧ 𝑘 = 𝑁) → 𝐴 ∈ 𝐵)
16		gsumtp.u	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑂 → 𝐴 = 𝐸)
17	16	adantl 487	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁, 𝑂}) ∧ 𝑘 = 𝑂) → 𝐴 = 𝐸)
18		gsumtp.10	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐵)
19	18	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁, 𝑂}) ∧ 𝑘 = 𝑂) → 𝐸 ∈ 𝐵)
20	17, 19	eqeltrd 2862	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁, 𝑂}) ∧ 𝑘 = 𝑂) → 𝐴 ∈ 𝐵)
21		eltpi 4652	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁, 𝑂} → (𝑘 = 𝑀 ∨ 𝑘 = 𝑁 ∨ 𝑘 = 𝑂))
22	21	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁, 𝑂}) → (𝑘 = 𝑀 ∨ 𝑘 = 𝑁 ∨ 𝑘 = 𝑂))
23	10, 15, 20, 22	mpjao3dan 1459	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁, 𝑂}) → 𝐴 ∈ 𝐵)
24		gsumtp.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 𝑂)
25		gsumtp.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 𝑂)
26		disjprsn 4678	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ≠ 𝑂 ∧ 𝑁 ≠ 𝑂) → ({𝑀, 𝑁} ∩ {𝑂}) = ∅)
27	24, 25, 26	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝑀, 𝑁} ∩ {𝑂}) = ∅)
28		df-tp 4592	. . . 4 ⊢ {𝑀, 𝑁, 𝑂} = ({𝑀, 𝑁} ∪ {𝑂})
29	28	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑀, 𝑁, 𝑂} = ({𝑀, 𝑁} ∪ {𝑂}))
30	1, 2, 3, 5, 23, 27, 29	gsummptfidmsplit 20063	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁, 𝑂} ↦ 𝐴)) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴)) + (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑂} ↦ 𝐴))))
31		gsumtp.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑉)
32		gsumtp.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑊)
33		gsumtp.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 𝑁)
34	1, 2, 6, 11	gsumpr 20088	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊 ∧ 𝑀 ≠ 𝑁) ∧ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵)) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴)) = (𝐶 + 𝐷))
35	3, 31, 32, 33, 8, 13, 34	syl132anc 1415	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴)) = (𝐶 + 𝐷))
36	3	cmnmndd 19937	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
37		gsumtp.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑋)
38	16	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑂) → 𝐴 = 𝐸)
39	1, 36, 37, 18, 38	gsumsnd 20085	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑂} ↦ 𝐴)) = 𝐸)
40	35, 39	oveq12d 7435	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴)) + (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑂} ↦ 𝐴))) = ((𝐶 + 𝐷) + 𝐸))
41	30, 40	eqtrd 2797	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁, 𝑂} ↦ 𝐴)) = ((𝐶 + 𝐷) + 𝐸))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ w3o 1102   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957   ∪ cun 3900   ∩ cin 3901  ∅c0 4282  {csn 4587  {cpr 4589  {ctp 4591   ↦ cmpt 5190  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  Fincfn 8956  Basecbs 17307  +_gcplusg 17348   Σ_g cgsu 17531  CMndccmn 19913

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-of 7682  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-supp 8163  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-fsupp 9336  df-oi 9486  df-card 9948  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-fz 13566  df-fzo 13714  df-seq 14070  df-hash 14399  df-sets 17262  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-ress 17329  df-plusg 17361  df-0g 17532  df-gsum 17533  df-mre 17676  df-mrc 17677  df-acs 17679  df-mgm 18736  df-sgrp 18827  df-mnd 18843  df-submnd 18898  df-mulg 19197  df-cntz 19450  df-cmn 19915

This theorem is used by:  evl1deg2  33995