Theorem gsumtp 33036

Description: Group sum of an unordered triple. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumtp.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsumtp.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
gsumtp.s	⊢ (𝑘 = 𝑀 → 𝐴 = 𝐶)
gsumtp.t	⊢ (𝑘 = 𝑁 → 𝐴 = 𝐷)
gsumtp.u	⊢ (𝑘 = 𝑂 → 𝐴 = 𝐸)
gsumtp.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsumtp.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑉)
gsumtp.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑊)
gsumtp.4	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑋)
gsumtp.5	⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 𝑁)
gsumtp.6	⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 𝑂)
gsumtp.7	⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 𝑂)
gsumtp.8	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
gsumtp.9	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝐵)
gsumtp.10	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
gsumtp	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁, 𝑂} ↦ 𝐴)) = ((𝐶 + 𝐷) + 𝐸))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘   𝐷,𝑘   𝑘,𝐸   𝑘,𝐺   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝑘,𝑂   𝑘,𝑉   𝑘,𝑊   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   + (𝑘)   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem gsumtp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumtp.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsumtp.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3		gsumtp.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
4		tpfi 9210	. . . 4 ⊢ {𝑀, 𝑁, 𝑂} ∈ Fin
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑀, 𝑁, 𝑂} ∈ Fin)
6		gsumtp.s	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → 𝐴 = 𝐶)
7	6	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁, 𝑂}) ∧ 𝑘 = 𝑀) → 𝐴 = 𝐶)
8		gsumtp.8	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
9	8	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁, 𝑂}) ∧ 𝑘 = 𝑀) → 𝐶 ∈ 𝐵)
10	7, 9	eqeltrd 2831	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁, 𝑂}) ∧ 𝑘 = 𝑀) → 𝐴 ∈ 𝐵)
11		gsumtp.t	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → 𝐴 = 𝐷)
12	11	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁, 𝑂}) ∧ 𝑘 = 𝑁) → 𝐴 = 𝐷)
13		gsumtp.9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝐵)
14	13	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁, 𝑂}) ∧ 𝑘 = 𝑁) → 𝐷 ∈ 𝐵)
15	12, 14	eqeltrd 2831	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁, 𝑂}) ∧ 𝑘 = 𝑁) → 𝐴 ∈ 𝐵)
16		gsumtp.u	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑂 → 𝐴 = 𝐸)
17	16	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁, 𝑂}) ∧ 𝑘 = 𝑂) → 𝐴 = 𝐸)
18		gsumtp.10	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐵)
19	18	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁, 𝑂}) ∧ 𝑘 = 𝑂) → 𝐸 ∈ 𝐵)
20	17, 19	eqeltrd 2831	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁, 𝑂}) ∧ 𝑘 = 𝑂) → 𝐴 ∈ 𝐵)
21		eltpi 4641	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁, 𝑂} → (𝑘 = 𝑀 ∨ 𝑘 = 𝑁 ∨ 𝑘 = 𝑂))
22	21	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁, 𝑂}) → (𝑘 = 𝑀 ∨ 𝑘 = 𝑁 ∨ 𝑘 = 𝑂))
23	10, 15, 20, 22	mpjao3dan 1434	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁, 𝑂}) → 𝐴 ∈ 𝐵)
24		gsumtp.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 𝑂)
25		gsumtp.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 𝑂)
26		disjprsn 4667	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ≠ 𝑂 ∧ 𝑁 ≠ 𝑂) → ({𝑀, 𝑁} ∩ {𝑂}) = ∅)
27	24, 25, 26	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝑀, 𝑁} ∩ {𝑂}) = ∅)
28		df-tp 4581	. . . 4 ⊢ {𝑀, 𝑁, 𝑂} = ({𝑀, 𝑁} ∪ {𝑂})
29	28	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑀, 𝑁, 𝑂} = ({𝑀, 𝑁} ∪ {𝑂}))
30	1, 2, 3, 5, 23, 27, 29	gsummptfidmsplit 19843	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁, 𝑂} ↦ 𝐴)) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴)) + (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑂} ↦ 𝐴))))
31		gsumtp.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑉)
32		gsumtp.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑊)
33		gsumtp.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 𝑁)
34	1, 2, 6, 11	gsumpr 19868	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑊 ∧ 𝑀 ≠ 𝑁) ∧ (𝐶 ∈ 𝐵 ∧ 𝐷 ∈ 𝐵)) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴)) = (𝐶 + 𝐷))
35	3, 31, 32, 33, 8, 13, 34	syl132anc 1390	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴)) = (𝐶 + 𝐷))
36	3	cmnmndd 19717	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
37		gsumtp.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑋)
38	16	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝑂) → 𝐴 = 𝐸)
39	1, 36, 37, 18, 38	gsumsnd 19865	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑂} ↦ 𝐴)) = 𝐸)
40	35, 39	oveq12d 7364	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁} ↦ 𝐴)) + (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑂} ↦ 𝐴))) = ((𝐶 + 𝐷) + 𝐸))
41	30, 40	eqtrd 2766	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {𝑀, 𝑁, 𝑂} ↦ 𝐴)) = ((𝐶 + 𝐷) + 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ w3o 1085   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928   ∪ cun 3900   ∩ cin 3901  ∅c0 4283  {csn 4576  {cpr 4578  {ctp 4580   ↦ cmpt 5172  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Fincfn 8869  Basecbs 17120  +_gcplusg 17161   Σ_g cgsu 17344  CMndccmn 19693

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8091  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fsupp 9246  df-oi 9396  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-seq 13909  df-hash 14238  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-acs 17491  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-submnd 18692  df-mulg 18981  df-cntz 19230  df-cmn 19695

This theorem is referenced by:  evl1deg2  33538