Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  gsumzrsum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsumzrsum 33044
Description: Relate a group sum on ring to a finite sum on the complex numbers. See also gsumfsum 21469. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Oct-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
gsumzrsum.1 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
gsumzrsum.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
Assertion
Ref Expression
gsumzrsum (𝜑 → (ℤring Σg (𝑘𝐴𝐵)) = Σ𝑘𝐴 𝐵)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem gsumzrsum
StepHypRef Expression
1 cnfldbas 21385 . . 3 ℂ = (Base‘ℂfld)
2 cnfldadd 21387 . . 3 + = (+g‘ℂfld)
3 df-zring 21475 . . 3 ring = (ℂflds ℤ)
4 cnfldex 21384 . . . 4 fld ∈ V
54a1i 11 . . 3 (𝜑 → ℂfld ∈ V)
6 gsumzrsum.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
7 zsscn 12618 . . . 4 ℤ ⊆ ℂ
87a1i 11 . . 3 (𝜑 → ℤ ⊆ ℂ)
9 gsumzrsum.2 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
109fmpttd 7134 . . 3 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵):𝐴⟶ℤ)
11 0zd 12622 . . 3 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
12 addlid 11441 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℂ → (0 + 𝑘) = 𝑘)
13 addrid 11438 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℂ → (𝑘 + 0) = 𝑘)
1412, 13jca 511 . . . 4 (𝑘 ∈ ℂ → ((0 + 𝑘) = 𝑘 ∧ (𝑘 + 0) = 𝑘))
1514adantl 481 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℂ) → ((0 + 𝑘) = 𝑘 ∧ (𝑘 + 0) = 𝑘))
161, 2, 3, 5, 6, 8, 10, 11, 15gsumress 18707 . 2 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘𝐴𝐵)) = (ℤring Σg (𝑘𝐴𝐵)))
179zcnd 12720 . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
186, 17gsumfsum 21469 . 2 (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘𝐴𝐵)) = Σ𝑘𝐴 𝐵)
1916, 18eqtr3d 2776 1 (𝜑 → (ℤring Σg (𝑘𝐴𝐵)) = Σ𝑘𝐴 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  Vcvv 3477  wss 3962  cmpt 5230  (class class class)co 7430  Fincfn 8983  cc 11150  0cc0 11152   + caddc 11155  cz 12610  Σcsu 15718   Σg cgsu 17486  fldccnfld 21381  ringczring 21474
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-sup 9479  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-rp 13032  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-seq 14039  df-exp 14099  df-hash 14366  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-clim 15520  df-sum 15719  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-abl 19815  df-mgp 20152  df-ur 20199  df-ring 20252  df-cring 20253  df-cnfld 21382  df-zring 21475
This theorem is referenced by:  gsummulgc2  33045
  Copyright terms: Public domain W3C validator