Theorem gsumzrsum 33670

Description: Relate a group sum on ℤ_ring to a finite sum on the complex numbers. See also gsumfsum 21742. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumzrsum.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
gsumzrsum.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
gsumzrsum	⊢ (𝜑 → (ℤring Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem gsumzrsum

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnfldbas 21684	. . 3 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
2		cnfldadd 21686	. . 3 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
3		df-zring 21755	. . 3 ⊢ ℤring = (ℂfld ↾s ℤ)
4		cnfldex 21683	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ V
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℂfld ∈ V)
6		gsumzrsum.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
7		zsscn 12703	. . . 4 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℤ ⊆ ℂ)
9		gsumzrsum.2	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
10	9	fmpttd 7115	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶ℤ)
11		0zd 12707	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
12		addlid 11495	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℂ → (0 + 𝑘) = 𝑘)
13		addrid 11492	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℂ → (𝑘 + 0) = 𝑘)
14	12, 13	jca 521	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℂ → ((0 + 𝑘) = 𝑘 ∧ (𝑘 + 0) = 𝑘))
15	14	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((0 + 𝑘) = 𝑘 ∧ (𝑘 + 0) = 𝑘))
16	1, 2, 3, 5, 6, 8, 10, 11, 15	gsumress 18873	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = (ℤring Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
17	9	zcnd 12806	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
18	6, 17	gsumfsum 21742	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
19	16, 18	eqtr3d 2797	1 ⊢ (𝜑 → (ℤring Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450   ⊆ wss 3895   ↦ cmpt 5185  (class class class)co 7420  Fincfn 8975  ℂcc 11200  0cc0 11202   + caddc 11205  ℤcz 12695  Σcsu 15855   Σ_g cgsu 17613  ℂ_fldccnfld 21680  ℤ_ringczring 21754

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9644  ax-cnex 11258  ax-resscn 11259  ax-1cn 11260  ax-icn 11261  ax-addcl 11262  ax-addrcl 11263  ax-mulcl 11264  ax-mulrcl 11265  ax-mulcom 11266  ax-addass 11267  ax-mulass 11268  ax-distr 11269  ax-i2m1 11270  ax-1ne0 11271  ax-1rid 11272  ax-rnegex 11273  ax-rrecex 11274  ax-cnre 11275  ax-pre-lttri 11276  ax-pre-lttrn 11277  ax-pre-ltadd 11278  ax-pre-mulgt0 11279  ax-pre-sup 11280  ax-addf 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8179  df-frecs 8301  df-wrecs 8332  df-recs 8381  df-rdg 8420  df-1o 8478  df-er 8719  df-en 8976  df-dom 8977  df-sdom 8978  df-fin 8979  df-sup 9436  df-oi 9506  df-card 10022  df-pnf 11347  df-mnf 11348  df-xr 11349  df-ltxr 11350  df-le 11351  df-sub 11545  df-neg 11546  df-div 11976  df-nn 12338  df-2 12407  df-3 12408  df-4 12409  df-5 12410  df-6 12411  df-7 12412  df-8 12413  df-9 12414  df-n0 12609  df-z 12696  df-dec 12817  df-uz 12968  df-rp 13123  df-fz 13642  df-fzo 13791  df-seq 14147  df-exp 14207  df-hash 14477  df-cj 15268  df-re 15269  df-im 15270  df-sqrt 15404  df-abs 15405  df-clim 15657  df-sum 15856  df-struct 17327  df-sets 17344  df-slot 17362  df-ndx 17374  df-base 17390  df-ress 17411  df-plusg 17443  df-mulr 17444  df-starv 17445  df-tset 17449  df-ple 17450  df-ds 17452  df-unif 17453  df-0g 17614  df-gsum 17615  df-mgm 18818  df-sgrp 18910  df-mnd 18926  df-grp 19149  df-minusg 19150  df-cntz 19533  df-cmn 19998  df-abl 19999  df-mgp 20363  df-ur 20410  df-ring 20463  df-cring 20464  df-cnfld 21681  df-zring 21755

This theorem is used by:  gsummulgc2  33671