Theorem gsumzrsum 33195

Description: Relate a group sum on ℤ_ring to a finite sum on the complex numbers. See also gsumfsum 21455. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumzrsum.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
gsumzrsum.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
gsumzrsum	⊢ (𝜑 → (ℤring Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem gsumzrsum

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnfldbas 21397	. . 3 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
2		cnfldadd 21399	. . 3 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
3		df-zring 21468	. . 3 ⊢ ℤring = (ℂfld ↾s ℤ)
4		cnfldex 21396	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ V
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℂfld ∈ V)
6		gsumzrsum.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
7		zsscn 12562	. . . 4 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℤ ⊆ ℂ)
9		gsumzrsum.2	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
10	9	fmpttd 7081	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶ℤ)
11		0zd 12566	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
12		addlid 11352	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℂ → (0 + 𝑘) = 𝑘)
13		addrid 11349	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℂ → (𝑘 + 0) = 𝑘)
14	12, 13	jca 518	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℂ → ((0 + 𝑘) = 𝑘 ∧ (𝑘 + 0) = 𝑘))
15	14	adantl 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((0 + 𝑘) = 𝑘 ∧ (𝑘 + 0) = 𝑘))
16	1, 2, 3, 5, 6, 8, 10, 11, 15	gsumress 18688	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = (ℤring Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
17	9	zcnd 12664	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
18	6, 17	gsumfsum 21455	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
19	16, 18	eqtr3d 2789	1 ⊢ (𝜑 → (ℤring Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1550   ∈ wcel 2132  Vcvv 3444   ⊆ wss 3895   ↦ cmpt 5171  (class class class)co 7381  Fincfn 8912  ℂcc 11057  0cc0 11059   + caddc 11062  ℤcz 12554  Σcsu 15685   Σ_g cgsu 17441  ℂ_fldccnfld 21393  ℤ_ringczring 21467

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-rep 5217  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5312  ax-pr 5380  ax-un 7703  ax-inf2 9582  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137  ax-addf 11138

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-nel 3052  df-ral 3067  df-rex 3077  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-pss 3915  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-tp 4577  df-op 4579  df-uni 4856  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-tr 5198  df-id 5531  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-pred 6273  df-ord 6334  df-on 6335  df-lim 6336  df-suc 6337  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-isom 6515  df-riota 7338  df-ov 7384  df-oprab 7385  df-mpo 7386  df-om 7832  df-1st 7955  df-2nd 7956  df-supp 8125  df-frecs 8246  df-wrecs 8277  df-recs 8326  df-rdg 8365  df-1o 8421  df-er 8662  df-en 8913  df-dom 8914  df-sdom 8915  df-fin 8916  df-sup 9374  df-oi 9444  df-card 9883  df-pnf 11204  df-mnf 11205  df-xr 11206  df-ltxr 11207  df-le 11208  df-sub 11402  df-neg 11403  df-div 11831  df-nn 12197  df-2 12266  df-3 12267  df-4 12268  df-5 12269  df-6 12270  df-7 12271  df-8 12272  df-9 12273  df-n0 12468  df-z 12555  df-dec 12675  df-uz 12826  df-rp 12980  df-fz 13499  df-fzo 13646  df-seq 14001  df-exp 14061  df-hash 14330  df-cj 15098  df-re 15099  df-im 15100  df-sqrt 15234  df-abs 15235  df-clim 15487  df-sum 15686  df-struct 17155  df-sets 17172  df-slot 17190  df-ndx 17202  df-base 17218  df-ress 17239  df-plusg 17271  df-mulr 17272  df-starv 17273  df-tset 17277  df-ple 17278  df-ds 17280  df-unif 17281  df-0g 17442  df-gsum 17443  df-mgm 18646  df-sgrp 18725  df-mnd 18741  df-grp 18950  df-minusg 18951  df-cntz 19329  df-cmn 19794  df-abl 19795  df-mgp 20159  df-ur 20200  df-ring 20253  df-cring 20254  df-cnfld 21394  df-zring 21468

This theorem is referenced by:  gsummulgc2  33196