Theorem gsumzrsum 33146

Description: Relate a group sum on ℤ_ring to a finite sum on the complex numbers. See also gsumfsum 21422. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumzrsum.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
gsumzrsum.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
gsumzrsum	⊢ (𝜑 → (ℤring Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem gsumzrsum

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnfldbas 21346	. . 3 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
2		cnfldadd 21348	. . 3 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
3		df-zring 21435	. . 3 ⊢ ℤring = (ℂfld ↾s ℤ)
4		cnfldex 21345	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ V
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℂfld ∈ V)
6		gsumzrsum.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
7		zsscn 12521	. . . 4 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℤ ⊆ ℂ)
9		gsumzrsum.2	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
10	9	fmpttd 7059	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶ℤ)
11		0zd 12525	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
12		addlid 11318	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℂ → (0 + 𝑘) = 𝑘)
13		addrid 11315	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℂ → (𝑘 + 0) = 𝑘)
14	12, 13	jca 511	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℂ → ((0 + 𝑘) = 𝑘 ∧ (𝑘 + 0) = 𝑘))
15	14	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((0 + 𝑘) = 𝑘 ∧ (𝑘 + 0) = 𝑘))
16	1, 2, 3, 5, 6, 8, 10, 11, 15	gsumress 18639	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = (ℤring Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
17	9	zcnd 12623	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
18	6, 17	gsumfsum 21422	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
19	16, 18	eqtr3d 2774	1 ⊢ (𝜑 → (ℤring Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430   ⊆ wss 3890   ↦ cmpt 5167  (class class class)co 7358  Fincfn 8884  ℂcc 11025  0cc0 11027   + caddc 11030  ℤcz 12513  Σcsu 15637   Σ_g cgsu 17392  ℂ_fldccnfld 21342  ℤ_ringczring 21434

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-inf2 9551  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-pre-sup 11105  ax-addf 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8102  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-sup 9346  df-oi 9416  df-card 9852  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-4 12235  df-5 12236  df-6 12237  df-7 12238  df-8 12239  df-9 12240  df-n0 12427  df-z 12514  df-dec 12634  df-uz 12778  df-rp 12932  df-fz 13451  df-fzo 13598  df-seq 13953  df-exp 14013  df-hash 14282  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15439  df-sum 15638  df-struct 17106  df-sets 17123  df-slot 17141  df-ndx 17153  df-base 17169  df-ress 17190  df-plusg 17222  df-mulr 17223  df-starv 17224  df-tset 17228  df-ple 17229  df-ds 17231  df-unif 17232  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-cntz 19281  df-cmn 19746  df-abl 19747  df-mgp 20111  df-ur 20152  df-ring 20205  df-cring 20206  df-cnfld 21343  df-zring 21435

This theorem is referenced by:  gsummulgc2  33147