Theorem gsumzrsum 33298

Description: Relate a group sum on ℤ_ring to a finite sum on the complex numbers. See also gsumfsum 21544. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumzrsum.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
gsumzrsum.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)

Assertion

Ref	Expression
gsumzrsum	⊢ (𝜑 → (ℤring Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem gsumzrsum

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnfldbas 21486	. . 3 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
2		cnfldadd 21488	. . 3 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
3		df-zring 21557	. . 3 ⊢ ℤring = (ℂfld ↾s ℤ)
4		cnfldex 21485	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ V
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℂfld ∈ V)
6		gsumzrsum.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
7		zsscn 12590	. . . 4 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℤ ⊆ ℂ)
9		gsumzrsum.2	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
10	9	fmpttd 7100	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶ℤ)
11		0zd 12594	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
12		addlid 11381	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℂ → (0 + 𝑘) = 𝑘)
13		addrid 11378	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℂ → (𝑘 + 0) = 𝑘)
14	12, 13	jca 520	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℂ → ((0 + 𝑘) = 𝑘 ∧ (𝑘 + 0) = 𝑘))
15	14	adantl 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((0 + 𝑘) = 𝑘 ∧ (𝑘 + 0) = 𝑘))
16	1, 2, 3, 5, 6, 8, 10, 11, 15	gsumress 18730	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = (ℤring Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
17	9	zcnd 12692	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
18	6, 17	gsumfsum 21544	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℂfld Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
19	16, 18	eqtr3d 2802	1 ⊢ (𝜑 → (ℤring Σg (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  Vcvv 3457   ⊆ wss 3907   ↦ cmpt 5186  (class class class)co 7400  Fincfn 8931  ℂcc 11086  0cc0 11088   + caddc 11091  ℤcz 12582  Σcsu 15727   Σ_g cgsu 17483  ℂ_fldccnfld 21482  ℤ_ringczring 21556

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-inf2 9598  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166  ax-addf 11167

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-se 5606  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-isom 6534  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8145  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-sup 9390  df-oi 9460  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-4 12296  df-5 12297  df-6 12298  df-7 12299  df-8 12300  df-9 12301  df-n0 12496  df-z 12583  df-dec 12703  df-uz 12854  df-rp 13008  df-fz 13527  df-fzo 13674  df-seq 14029  df-exp 14089  df-hash 14358  df-cj 15140  df-re 15141  df-im 15142  df-sqrt 15276  df-abs 15277  df-clim 15529  df-sum 15728  df-struct 17197  df-sets 17214  df-slot 17232  df-ndx 17244  df-base 17260  df-ress 17281  df-plusg 17313  df-mulr 17314  df-starv 17315  df-tset 17319  df-ple 17320  df-ds 17322  df-unif 17323  df-0g 17484  df-gsum 17485  df-mgm 18688  df-sgrp 18767  df-mnd 18783  df-grp 18993  df-minusg 18994  df-cntz 19378  df-cmn 19843  df-abl 19844  df-mgp 20208  df-ur 20255  df-ring 20308  df-cring 20309  df-cnfld 21483  df-zring 21557

This theorem is referenced by:  gsummulgc2  33299