Theorem hilhhi 31759

Description: Deduce the structure of Hilbert space from its components. (Contributed by NM, 10-Apr-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hilhh.1	⊢ ℋ = (BaseSet‘𝑈)
hilhh.2	⊢ +ℎ = ( +𝑣 ‘𝑈)
hilhh.3	⊢ ·ℎ = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
hilhh.5	⊢ ·ih = (·𝑖OLD‘𝑈)
hilhh.9	⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec

Assertion

Ref	Expression
hilhhi	⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩

Proof of Theorem hilhhi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hilhh.9	. 2 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
2		hilhh.2	. . 3 ⊢ +ℎ = ( +𝑣 ‘𝑈)
3		hilhh.3	. . 3 ⊢ ·ℎ = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
4		hilhh.1	. . . 4 ⊢ ℋ = (BaseSet‘𝑈)
5		hilhh.5	. . . 4 ⊢ ·ih = (·𝑖OLD‘𝑈)
6	4, 5, 1	hilnormi 31758	. . 3 ⊢ normℎ = (normCV‘𝑈)
7	2, 3, 6	nvop 31271	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
8	1, 7	ax-mp 5	1 ⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ⟨cop 4590  ‘cfv 6537  NrmCVeccnv 31179   +_𝑣 cpv 31180  BaseSetcba 31181   ·_𝑠OLD cns 31182  ·_𝑖OLDcdip 31295   ℋchba 31514   +_ℎ cva 31515   ·_ℎ csm 31516   ·_ih csp 31517  norm_ℎcno 31518

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-inf2 9635  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270  ax-pre-sup 11271  ax-hfi 31674

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-sup 9427  df-oi 9497  df-card 10013  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-div 11967  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-4 12400  df-n0 12600  df-z 12687  df-uz 12959  df-rp 13114  df-fz 13633  df-fzo 13782  df-seq 14138  df-exp 14198  df-hash 14468  df-cj 15259  df-re 15260  df-im 15261  df-sqrt 15395  df-abs 15396  df-clim 15648  df-sum 15847  df-grpo 31088  df-gid 31089  df-ginv 31090  df-ablo 31140  df-vc 31154  df-nv 31187  df-va 31190  df-ba 31191  df-sm 31192  df-0v 31193  df-nmcv 31195  df-dip 31296  df-hnorm 31563

This theorem is used by:  hilims  31792  hilcompl  31796