Theorem hilhhi 31255

Description: Deduce the structure of Hilbert space from its components. (Contributed by NM, 10-Apr-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hilhh.1	⊢ ℋ = (BaseSet‘𝑈)
hilhh.2	⊢ +ℎ = ( +𝑣 ‘𝑈)
hilhh.3	⊢ ·ℎ = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
hilhh.5	⊢ ·ih = (·𝑖OLD‘𝑈)
hilhh.9	⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec

Assertion

Ref	Expression
hilhhi	⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩

Proof of Theorem hilhhi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hilhh.9	. 2 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
2		hilhh.2	. . 3 ⊢ +ℎ = ( +𝑣 ‘𝑈)
3		hilhh.3	. . 3 ⊢ ·ℎ = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
4		hilhh.1	. . . 4 ⊢ ℋ = (BaseSet‘𝑈)
5		hilhh.5	. . . 4 ⊢ ·ih = (·𝑖OLD‘𝑈)
6	4, 5, 1	hilnormi 31254	. . 3 ⊢ normℎ = (normCV‘𝑈)
7	2, 3, 6	nvop 30767	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
8	1, 7	ax-mp 5	1 ⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ⟨cop 4574  ‘cfv 6490  NrmCVeccnv 30675   +_𝑣 cpv 30676  BaseSetcba 30677   ·_𝑠OLD cns 30678  ·_𝑖OLDcdip 30791   ℋchba 31010   +_ℎ cva 31011   ·_ℎ csm 31012   ·_ih csp 31013  norm_ℎcno 31014

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-inf2 9551  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-pre-sup 11105  ax-hfi 31170

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-sup 9346  df-oi 9416  df-card 9852  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-4 12235  df-n0 12427  df-z 12514  df-uz 12778  df-rp 12932  df-fz 13451  df-fzo 13598  df-seq 13953  df-exp 14013  df-hash 14282  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15439  df-sum 15638  df-grpo 30584  df-gid 30585  df-ginv 30586  df-ablo 30636  df-vc 30650  df-nv 30683  df-va 30686  df-ba 30687  df-sm 30688  df-0v 30689  df-nmcv 30691  df-dip 30792  df-hnorm 31059

This theorem is referenced by:  hilims  31288  hilcompl  31292