Theorem hilhhi 31151

Description: Deduce the structure of Hilbert space from its components. (Contributed by NM, 10-Apr-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hilhh.1	⊢ ℋ = (BaseSet‘𝑈)
hilhh.2	⊢ +ℎ = ( +𝑣 ‘𝑈)
hilhh.3	⊢ ·ℎ = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
hilhh.5	⊢ ·ih = (·𝑖OLD‘𝑈)
hilhh.9	⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec

Assertion

Ref	Expression
hilhhi	⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩

Proof of Theorem hilhhi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hilhh.9	. 2 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
2		hilhh.2	. . 3 ⊢ +ℎ = ( +𝑣 ‘𝑈)
3		hilhh.3	. . 3 ⊢ ·ℎ = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
4		hilhh.1	. . . 4 ⊢ ℋ = (BaseSet‘𝑈)
5		hilhh.5	. . . 4 ⊢ ·ih = (·𝑖OLD‘𝑈)
6	4, 5, 1	hilnormi 31150	. . 3 ⊢ normℎ = (normCV‘𝑈)
7	2, 3, 6	nvop 30663	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩)
8	1, 7	ax-mp 5	1 ⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ⟨cop 4581  ‘cfv 6487  NrmCVeccnv 30571   +_𝑣 cpv 30572  BaseSetcba 30573   ·_𝑠OLD cns 30574  ·_𝑖OLDcdip 30687   ℋchba 30906   +_ℎ cva 30907   ·_ℎ csm 30908   ·_ih csp 30909  norm_ℎcno 30910

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-inf2 9537  ax-cnex 11068  ax-resscn 11069  ax-1cn 11070  ax-icn 11071  ax-addcl 11072  ax-addrcl 11073  ax-mulcl 11074  ax-mulrcl 11075  ax-mulcom 11076  ax-addass 11077  ax-mulass 11078  ax-distr 11079  ax-i2m1 11080  ax-1ne0 11081  ax-1rid 11082  ax-rnegex 11083  ax-rrecex 11084  ax-cnre 11085  ax-pre-lttri 11086  ax-pre-lttrn 11087  ax-pre-ltadd 11088  ax-pre-mulgt0 11089  ax-pre-sup 11090  ax-hfi 31066

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-isom 6496  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-sup 9332  df-oi 9402  df-card 9838  df-pnf 11154  df-mnf 11155  df-xr 11156  df-ltxr 11157  df-le 11158  df-sub 11352  df-neg 11353  df-div 11781  df-nn 12132  df-2 12194  df-3 12195  df-4 12196  df-n0 12388  df-z 12475  df-uz 12739  df-rp 12897  df-fz 13414  df-fzo 13561  df-seq 13915  df-exp 13975  df-hash 14244  df-cj 15012  df-re 15013  df-im 15014  df-sqrt 15148  df-abs 15149  df-clim 15401  df-sum 15600  df-grpo 30480  df-gid 30481  df-ginv 30482  df-ablo 30532  df-vc 30546  df-nv 30579  df-va 30582  df-ba 30583  df-sm 30584  df-0v 30585  df-nmcv 30587  df-dip 30688  df-hnorm 30955

This theorem is referenced by:  hilims  31184  hilcompl  31188