HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hilhhi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hilhhi 30106
Description: Deduce the structure of Hilbert space from its components. (Contributed by NM, 10-Apr-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hilhh.1 ℋ = (BaseSet‘𝑈)
hilhh.2 + = ( +𝑣𝑈)
hilhh.3 · = ( ·𝑠OLD𝑈)
hilhh.5 ·ih = (·𝑖OLD𝑈)
hilhh.9 𝑈 ∈ NrmCVec
Assertion
Ref Expression
hilhhi 𝑈 = ⟨⟨ + , · ⟩, norm

Proof of Theorem hilhhi
StepHypRef Expression
1 hilhh.9 . 2 𝑈 ∈ NrmCVec
2 hilhh.2 . . 3 + = ( +𝑣𝑈)
3 hilhh.3 . . 3 · = ( ·𝑠OLD𝑈)
4 hilhh.1 . . . 4 ℋ = (BaseSet‘𝑈)
5 hilhh.5 . . . 4 ·ih = (·𝑖OLD𝑈)
64, 5, 1hilnormi 30105 . . 3 norm = (normCV𝑈)
72, 3, 6nvop 29618 . 2 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑈 = ⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩)
81, 7ax-mp 5 1 𝑈 = ⟨⟨ + , · ⟩, norm
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1541  wcel 2106  cop 4592  cfv 6496  NrmCVeccnv 29526   +𝑣 cpv 29527  BaseSetcba 29528   ·𝑠OLD cns 29529  ·𝑖OLDcdip 29642  chba 29861   + cva 29862   · csm 29863   ·ih csp 29864  normcno 29865
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-hfi 30021
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-sum 15571  df-grpo 29435  df-gid 29436  df-ginv 29437  df-ablo 29487  df-vc 29501  df-nv 29534  df-va 29537  df-ba 29538  df-sm 29539  df-0v 29540  df-nmcv 29542  df-dip 29643  df-hnorm 29910
This theorem is referenced by:  hilims  30139  hilcompl  30143
  Copyright terms: Public domain W3C validator