Theorem hilcompl 31297

Description: Lemma used for derivation of the completeness axiom ax-hcompl 31298 from ZFC Hilbert space theory. The first five hypotheses would be satisfied by the definitions described in ax-hilex 31095; the 6th would be satisfied by eqid 2740; the 7th by a given fixed Hilbert space; and the last by Theorem hlcompl 31011. (Contributed by NM, 13-Sep-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 14-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hilcompl.1	⊢ ℋ = (BaseSet‘𝑈)
hilcompl.2	⊢ +ℎ = ( +𝑣 ‘𝑈)
hilcompl.3	⊢ ·ℎ = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
hilcompl.4	⊢ ·ih = (·𝑖OLD‘𝑈)
hilcompl.5	⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
hilcompl.6	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
hilcompl.7	⊢ 𝑈 ∈ CHilOLD
hilcompl.8	⊢ (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) → ∃𝑥 ∈ ℋ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥)

Assertion

Ref	Expression
hilcompl	⊢ (𝐹 ∈ Cauchy → ∃𝑥 ∈ ℋ 𝐹 ⇝𝑣 𝑥)

Distinct variable group:   𝑥,𝐹

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥)   𝑈(𝑥)   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem hilcompl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hilcompl.1	. . 3 ⊢ ℋ = (BaseSet‘𝑈)
2		hilcompl.2	. . 3 ⊢ +ℎ = ( +𝑣 ‘𝑈)
3		hilcompl.3	. . 3 ⊢ ·ℎ = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
4		hilcompl.4	. . 3 ⊢ ·ih = (·𝑖OLD‘𝑈)
5		hilcompl.7	. . . 4 ⊢ 𝑈 ∈ CHilOLD
6	5	hlnvi 30988	. . 3 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
7	1, 2, 3, 4, 6	hilhhi 31260	. 2 ⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
8		hilcompl.5	. 2 ⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
9		hilcompl.6	. 2 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
10		hilcompl.8	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) → ∃𝑥 ∈ ℋ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥)
11	7, 8, 9, 10	hhcmpl 31296	1 ⊢ (𝐹 ∈ Cauchy → ∃𝑥 ∈ ℋ 𝐹 ⇝𝑣 𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∃wrex 3064   class class class wbr 5079  ‘cfv 6492  MetOpencmopn 21344  ⇝_𝑡clm 23216  Cauccau 25245   +_𝑣 cpv 30681  BaseSetcba 30682   ·_𝑠OLD cns 30683  IndMetcims 30687  ·_𝑖OLDcdip 30796  CHil_OLDchlo 30981   ℋchba 31015   +_ℎ cva 31016   ·_ℎ csm 31017   ·_ih csp 31018  Cauchyccauold 31022   ⇝_𝑣 chli 31023

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-inf2 9560  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-pre-sup 11114  ax-addf 11115  ax-mulf 11116  ax-hilex 31095  ax-hfvadd 31096  ax-hvcom 31097  ax-hvass 31098  ax-hv0cl 31099  ax-hvaddid 31100  ax-hfvmul 31101  ax-hvmulid 31102  ax-hvmulass 31103  ax-hvdistr1 31104  ax-hvdistr2 31105  ax-hvmul0 31106  ax-hfi 31175  ax-his1 31178  ax-his2 31179  ax-his3 31180  ax-his4 31181

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-er 8640  df-map 8772  df-pm 8773  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9352  df-inf 9353  df-oi 9422  df-card 9861  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-n0 12436  df-z 12523  df-uz 12787  df-q 12897  df-rp 12941  df-xneg 13061  df-xadd 13062  df-xmul 13063  df-fz 13460  df-fzo 13607  df-seq 13962  df-exp 14022  df-hash 14291  df-cj 15059  df-re 15060  df-im 15061  df-sqrt 15195  df-abs 15196  df-clim 15448  df-sum 15647  df-topgen 17404  df-psmet 21346  df-xmet 21347  df-met 21348  df-bl 21349  df-mopn 21350  df-top 22884  df-topon 22901  df-bases 22936  df-lm 23219  df-cau 25248  df-grpo 30589  df-gid 30590  df-ginv 30591  df-gdiv 30592  df-ablo 30641  df-vc 30655  df-nv 30688  df-va 30691  df-ba 30692  df-sm 30693  df-0v 30694  df-vs 30695  df-nmcv 30696  df-ims 30697  df-dip 30797  df-cbn 30959  df-hlo 30982  df-hnorm 31064  df-hvsub 31067  df-hlim 31068  df-hcau 31069

This theorem is referenced by: (None)