Theorem hilcompl 31181

Description: Lemma used for derivation of the completeness axiom ax-hcompl 31182 from ZFC Hilbert space theory. The first five hypotheses would be satisfied by the definitions described in ax-hilex 30979; the 6th would be satisfied by eqid 2731; the 7th by a given fixed Hilbert space; and the last by Theorem hlcompl 30895. (Contributed by NM, 13-Sep-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 14-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hilcompl.1	⊢ ℋ = (BaseSet‘𝑈)
hilcompl.2	⊢ +ℎ = ( +𝑣 ‘𝑈)
hilcompl.3	⊢ ·ℎ = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
hilcompl.4	⊢ ·ih = (·𝑖OLD‘𝑈)
hilcompl.5	⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
hilcompl.6	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
hilcompl.7	⊢ 𝑈 ∈ CHilOLD
hilcompl.8	⊢ (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) → ∃𝑥 ∈ ℋ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥)

Assertion

Ref	Expression
hilcompl	⊢ (𝐹 ∈ Cauchy → ∃𝑥 ∈ ℋ 𝐹 ⇝𝑣 𝑥)

Distinct variable group:   𝑥,𝐹

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥)   𝑈(𝑥)   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem hilcompl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hilcompl.1	. . 3 ⊢ ℋ = (BaseSet‘𝑈)
2		hilcompl.2	. . 3 ⊢ +ℎ = ( +𝑣 ‘𝑈)
3		hilcompl.3	. . 3 ⊢ ·ℎ = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
4		hilcompl.4	. . 3 ⊢ ·ih = (·𝑖OLD‘𝑈)
5		hilcompl.7	. . . 4 ⊢ 𝑈 ∈ CHilOLD
6	5	hlnvi 30872	. . 3 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
7	1, 2, 3, 4, 6	hilhhi 31144	. 2 ⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
8		hilcompl.5	. 2 ⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
9		hilcompl.6	. 2 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
10		hilcompl.8	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) → ∃𝑥 ∈ ℋ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥)
11	7, 8, 9, 10	hhcmpl 31180	1 ⊢ (𝐹 ∈ Cauchy → ∃𝑥 ∈ ℋ 𝐹 ⇝𝑣 𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3056   class class class wbr 5089  ‘cfv 6481  MetOpencmopn 21281  ⇝_𝑡clm 23141  Cauccau 25180   +_𝑣 cpv 30565  BaseSetcba 30566   ·_𝑠OLD cns 30567  IndMetcims 30571  ·_𝑖OLDcdip 30680  CHil_OLDchlo 30865   ℋchba 30899   +_ℎ cva 30900   ·_ℎ csm 30901   ·_ih csp 30902  Cauchyccauold 30906   ⇝_𝑣 chli 30907

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-inf2 9531  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084  ax-addf 11085  ax-mulf 11086  ax-hilex 30979  ax-hfvadd 30980  ax-hvcom 30981  ax-hvass 30982  ax-hv0cl 30983  ax-hvaddid 30984  ax-hfvmul 30985  ax-hvmulid 30986  ax-hvmulass 30987  ax-hvdistr1 30988  ax-hvdistr2 30989  ax-hvmul0 30990  ax-hfi 31059  ax-his1 31062  ax-his2 31063  ax-his3 31064  ax-his4 31065

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-map 8752  df-pm 8753  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-sup 9326  df-inf 9327  df-oi 9396  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-q 12847  df-rp 12891  df-xneg 13011  df-xadd 13012  df-xmul 13013  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-seq 13909  df-exp 13969  df-hash 14238  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-clim 15395  df-sum 15594  df-topgen 17347  df-psmet 21283  df-xmet 21284  df-met 21285  df-bl 21286  df-mopn 21287  df-top 22809  df-topon 22826  df-bases 22861  df-lm 23144  df-cau 25183  df-grpo 30473  df-gid 30474  df-ginv 30475  df-gdiv 30476  df-ablo 30525  df-vc 30539  df-nv 30572  df-va 30575  df-ba 30576  df-sm 30577  df-0v 30578  df-vs 30579  df-nmcv 30580  df-ims 30581  df-dip 30681  df-cbn 30843  df-hlo 30866  df-hnorm 30948  df-hvsub 30951  df-hlim 30952  df-hcau 30953

This theorem is referenced by: (None)