Theorem hilcompl 31582

Description: Lemma used for derivation of the completeness axiom ax-hcompl 31583 from ZFC Hilbert space theory. The first five hypotheses would be satisfied by the definitions described in ax-hilex 31380; the 6th would be satisfied by eqid 2765; the 7th by a given fixed Hilbert space; and the last by Theorem hlcompl 31296. (Contributed by NM, 13-Sep-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 14-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hilcompl.1	⊢ ℋ = (BaseSet‘𝑈)
hilcompl.2	⊢ +ℎ = ( +𝑣 ‘𝑈)
hilcompl.3	⊢ ·ℎ = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
hilcompl.4	⊢ ·ih = (·𝑖OLD‘𝑈)
hilcompl.5	⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
hilcompl.6	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
hilcompl.7	⊢ 𝑈 ∈ CHilOLD
hilcompl.8	⊢ (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) → ∃𝑥 ∈ ℋ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥)

Assertion

Ref	Expression
hilcompl	⊢ (𝐹 ∈ Cauchy → ∃𝑥 ∈ ℋ 𝐹 ⇝𝑣 𝑥)

Distinct variable group:   𝑥,𝐹

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥)   𝑈(𝑥)   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem hilcompl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hilcompl.1	. . 3 ⊢ ℋ = (BaseSet‘𝑈)
2		hilcompl.2	. . 3 ⊢ +ℎ = ( +𝑣 ‘𝑈)
3		hilcompl.3	. . 3 ⊢ ·ℎ = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
4		hilcompl.4	. . 3 ⊢ ·ih = (·𝑖OLD‘𝑈)
5		hilcompl.7	. . . 4 ⊢ 𝑈 ∈ CHilOLD
6	5	hlnvi 31273	. . 3 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
7	1, 2, 3, 4, 6	hilhhi 31545	. 2 ⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
8		hilcompl.5	. 2 ⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
9		hilcompl.6	. 2 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
10		hilcompl.8	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) → ∃𝑥 ∈ ℋ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥)
11	7, 8, 9, 10	hhcmpl 31581	1 ⊢ (𝐹 ∈ Cauchy → ∃𝑥 ∈ ℋ 𝐹 ⇝𝑣 𝑥)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∃wrex 3091   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  MetOpencmopn 21541  ⇝_𝑡clm 23412  Cauccau 25441   +_𝑣 cpv 30966  BaseSetcba 30967   ·_𝑠OLD cns 30968  IndMetcims 30972  ·_𝑖OLDcdip 31081  CHil_OLDchlo 31266   ℋchba 31300   +_ℎ cva 31301   ·_ℎ csm 31302   ·_ih csp 31303  Cauchyccauold 31307   ⇝_𝑣 chli 31308

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-inf2 9613  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188  ax-pre-sup 11189  ax-addf 11190  ax-mulf 11191  ax-hilex 31380  ax-hfvadd 31381  ax-hvcom 31382  ax-hvass 31383  ax-hv0cl 31384  ax-hvaddid 31385  ax-hfvmul 31386  ax-hvmulid 31387  ax-hvmulass 31388  ax-hvdistr1 31389  ax-hvdistr2 31390  ax-hvmul0 31391  ax-hfi 31460  ax-his1 31463  ax-his2 31464  ax-his3 31465  ax-his4 31466

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9405  df-inf 9406  df-oi 9475  df-card 9937  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-div 11883  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-4 12316  df-n0 12516  df-z 12603  df-uz 12874  df-q 12984  df-rp 13028  df-xneg 13148  df-xadd 13149  df-xmul 13150  df-fz 13547  df-fzo 13695  df-seq 14051  df-exp 14111  df-hash 14380  df-cj 15169  df-re 15170  df-im 15171  df-sqrt 15305  df-abs 15306  df-clim 15558  df-sum 15757  df-topgen 17513  df-psmet 21543  df-xmet 21544  df-met 21545  df-bl 21546  df-mopn 21547  df-top 23080  df-topon 23097  df-bases 23132  df-lm 23415  df-cau 25444  df-grpo 30874  df-gid 30875  df-ginv 30876  df-gdiv 30877  df-ablo 30926  df-vc 30940  df-nv 30973  df-va 30976  df-ba 30977  df-sm 30978  df-0v 30979  df-vs 30980  df-nmcv 30981  df-ims 30982  df-dip 31082  df-cbn 31244  df-hlo 31267  df-hnorm 31349  df-hvsub 31352  df-hlim 31353  df-hcau 31354

This theorem is used by: (None)