Theorem hilcompl 31682

Description: Lemma used for derivation of the completeness axiom ax-hcompl 31683 from ZFC Hilbert space theory. The first five hypotheses would be satisfied by the definitions described in ax-hilex 31480; the 6th would be satisfied by eqid 2760; the 7th by a given fixed Hilbert space; and the last by Theorem hlcompl 31396. (Contributed by NM, 13-Sep-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 14-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hilcompl.1	⊢ ℋ = (BaseSet‘𝑈)
hilcompl.2	⊢ +ℎ = ( +𝑣 ‘𝑈)
hilcompl.3	⊢ ·ℎ = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
hilcompl.4	⊢ ·ih = (·𝑖OLD‘𝑈)
hilcompl.5	⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
hilcompl.6	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
hilcompl.7	⊢ 𝑈 ∈ CHilOLD
hilcompl.8	⊢ (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) → ∃𝑥 ∈ ℋ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥)

Assertion

Ref	Expression
hilcompl	⊢ (𝐹 ∈ Cauchy → ∃𝑥 ∈ ℋ 𝐹 ⇝𝑣 𝑥)

Distinct variable group:   𝑥,𝐹

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥)   𝑈(𝑥)   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem hilcompl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hilcompl.1	. . 3 ⊢ ℋ = (BaseSet‘𝑈)
2		hilcompl.2	. . 3 ⊢ +ℎ = ( +𝑣 ‘𝑈)
3		hilcompl.3	. . 3 ⊢ ·ℎ = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
4		hilcompl.4	. . 3 ⊢ ·ih = (·𝑖OLD‘𝑈)
5		hilcompl.7	. . . 4 ⊢ 𝑈 ∈ CHilOLD
6	5	hlnvi 31373	. . 3 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
7	1, 2, 3, 4, 6	hilhhi 31645	. 2 ⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
8		hilcompl.5	. 2 ⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
9		hilcompl.6	. 2 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
10		hilcompl.8	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) → ∃𝑥 ∈ ℋ 𝐹(⇝𝑡‘𝐽)𝑥)
11	7, 8, 9, 10	hhcmpl 31681	1 ⊢ (𝐹 ∈ Cauchy → ∃𝑥 ∈ ℋ 𝐹 ⇝𝑣 𝑥)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3086   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  MetOpencmopn 21575  ⇝_𝑡clm 23451  Cauccau 25481   +_𝑣 cpv 31066  BaseSetcba 31067   ·_𝑠OLD cns 31068  IndMetcims 31072  ·_𝑖OLDcdip 31181  CHil_OLDchlo 31366   ℋchba 31400   +_ℎ cva 31401   ·_ℎ csm 31402   ·_ih csp 31403  Cauchyccauold 31407   ⇝_𝑣 chli 31408

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-inf2 9620  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202  ax-addf 11203  ax-mulf 11204  ax-hilex 31480  ax-hfvadd 31481  ax-hvcom 31482  ax-hvass 31483  ax-hv0cl 31484  ax-hvaddid 31485  ax-hfvmul 31486  ax-hvmulid 31487  ax-hvmulass 31488  ax-hvdistr1 31489  ax-hvdistr2 31490  ax-hvmul0 31491  ax-hfi 31560  ax-his1 31563  ax-his2 31564  ax-his3 31565  ax-his4 31566

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-card 9944  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-q 12998  df-rp 13043  df-xneg 13163  df-xadd 13164  df-xmul 13165  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-seq 14066  df-exp 14126  df-hash 14395  df-cj 15186  df-re 15187  df-im 15188  df-sqrt 15322  df-abs 15323  df-clim 15575  df-sum 15774  df-topgen 17528  df-psmet 21577  df-xmet 21578  df-met 21579  df-bl 21580  df-mopn 21581  df-top 23119  df-topon 23136  df-bases 23171  df-lm 23454  df-cau 25484  df-grpo 30974  df-gid 30975  df-ginv 30976  df-gdiv 30977  df-ablo 31026  df-vc 31040  df-nv 31073  df-va 31076  df-ba 31077  df-sm 31078  df-0v 31079  df-vs 31080  df-nmcv 31081  df-ims 31082  df-dip 31182  df-cbn 31344  df-hlo 31367  df-hnorm 31449  df-hvsub 31452  df-hlim 31453  df-hcau 31454

This theorem is used by: (None)