Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hilcompl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hilcompl 28962
 Description: Lemma used for derivation of the completeness axiom ax-hcompl 28963 from ZFC Hilbert space theory. The first five hypotheses would be satisfied by the definitions described in ax-hilex 28760; the 6th would be satisfied by eqid 2821; the 7th by a given fixed Hilbert space; and the last by theorem hlcompl 28676. (Contributed by NM, 13-Sep-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 14-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hilcompl.1 ℋ = (BaseSet‘𝑈)
hilcompl.2 + = ( +𝑣𝑈)
hilcompl.3 · = ( ·𝑠OLD𝑈)
hilcompl.4 ·ih = (·𝑖OLD𝑈)
hilcompl.5 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
hilcompl.6 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
hilcompl.7 𝑈 ∈ CHilOLD
hilcompl.8 (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) → ∃𝑥 ∈ ℋ 𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥)
Assertion
Ref Expression
hilcompl (𝐹 ∈ Cauchy → ∃𝑥 ∈ ℋ 𝐹𝑣 𝑥)
Distinct variable group:   𝑥,𝐹
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥)   𝑈(𝑥)   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem hilcompl
StepHypRef Expression
1 hilcompl.1 . . 3 ℋ = (BaseSet‘𝑈)
2 hilcompl.2 . . 3 + = ( +𝑣𝑈)
3 hilcompl.3 . . 3 · = ( ·𝑠OLD𝑈)
4 hilcompl.4 . . 3 ·ih = (·𝑖OLD𝑈)
5 hilcompl.7 . . . 4 𝑈 ∈ CHilOLD
65hlnvi 28653 . . 3 𝑈 ∈ NrmCVec
71, 2, 3, 4, 6hilhhi 28925 . 2 𝑈 = ⟨⟨ + , · ⟩, norm
8 hilcompl.5 . 2 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
9 hilcompl.6 . 2 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
10 hilcompl.8 . 2 (𝐹 ∈ (Cau‘𝐷) → ∃𝑥 ∈ ℋ 𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑥)
117, 8, 9, 10hhcmpl 28961 1 (𝐹 ∈ Cauchy → ∃𝑥 ∈ ℋ 𝐹𝑣 𝑥)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  ∃wrex 3127   class class class wbr 5039  ‘cfv 6328  MetOpencmopn 20510  ⇝𝑡clm 21809  Cauccau 23835   +𝑣 cpv 28346  BaseSetcba 28347   ·𝑠OLD cns 28348  IndMetcims 28352  ·𝑖OLDcdip 28461  CHilOLDchlo 28646   ℋchba 28680   +ℎ cva 28681   ·ℎ csm 28682   ·ih csp 28683  Cauchyccauold 28687   ⇝𝑣 chli 28688 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-inf2 9080  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591  ax-pre-sup 10592  ax-addf 10593  ax-mulf 10594  ax-hilex 28760  ax-hfvadd 28761  ax-hvcom 28762  ax-hvass 28763  ax-hv0cl 28764  ax-hvaddid 28765  ax-hfvmul 28766  ax-hvmulid 28767  ax-hvmulass 28768  ax-hvdistr1 28769  ax-hvdistr2 28770  ax-hvmul0 28771  ax-hfi 28840  ax-his1 28843  ax-his2 28844  ax-his3 28845  ax-his4 28846 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-int 4850  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-se 5488  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-1o 8077  df-oadd 8081  df-er 8264  df-map 8383  df-pm 8384  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-fin 8488  df-sup 8882  df-inf 8883  df-oi 8950  df-card 9344  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-div 11275  df-nn 11616  df-2 11678  df-3 11679  df-4 11680  df-n0 11876  df-z 11960  df-uz 12222  df-q 12327  df-rp 12368  df-xneg 12485  df-xadd 12486  df-xmul 12487  df-fz 12876  df-fzo 13017  df-seq 13353  df-exp 13414  df-hash 13675  df-cj 14437  df-re 14438  df-im 14439  df-sqrt 14573  df-abs 14574  df-clim 14824  df-sum 15022  df-topgen 16695  df-psmet 20512  df-xmet 20513  df-met 20514  df-bl 20515  df-mopn 20516  df-top 21477  df-topon 21494  df-bases 21529  df-lm 21812  df-cau 23838  df-grpo 28254  df-gid 28255  df-ginv 28256  df-gdiv 28257  df-ablo 28306  df-vc 28320  df-nv 28353  df-va 28356  df-ba 28357  df-sm 28358  df-0v 28359  df-vs 28360  df-nmcv 28361  df-ims 28362  df-dip 28462  df-cbn 28624  df-hlo 28647  df-hnorm 28729  df-hvsub 28732  df-hlim 28733  df-hcau 28734 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator