Theorem hilims 29093

Description: Hilbert space distance metric. (Contributed by NM, 13-Sep-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hilims.1	⊢ ℋ = (BaseSet‘𝑈)
hilims.2	⊢ +ℎ = ( +𝑣 ‘𝑈)
hilims.3	⊢ ·ℎ = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
hilims.5	⊢ ·ih = (·𝑖OLD‘𝑈)
hilims.8	⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
hilims.9	⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec

Assertion

Ref	Expression
hilims	⊢ 𝐷 = (normℎ ∘ −ℎ )

Proof of Theorem hilims

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hilims.1	. . 3 ⊢ ℋ = (BaseSet‘𝑈)
2		hilims.2	. . 3 ⊢ +ℎ = ( +𝑣 ‘𝑈)
3		hilims.3	. . 3 ⊢ ·ℎ = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
4		hilims.5	. . 3 ⊢ ·ih = (·𝑖OLD‘𝑈)
5		hilims.9	. . 3 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
6	1, 2, 3, 4, 5	hilhhi 29060	. 2 ⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
7		hilims.8	. 2 ⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
8	6, 7	hhims2 29069	1 ⊢ 𝐷 = (normℎ ∘ −ℎ )

Syntax hints:   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ∘ ccom 5532  ‘cfv 6340  NrmCVeccnv 28480   +_𝑣 cpv 28481  BaseSetcba 28482   ·_𝑠OLD cns 28483  IndMetcims 28487  ·_𝑖OLDcdip 28596   ℋchba 28815   +_ℎ cva 28816   ·_ℎ csm 28817   ·_ih csp 28818  norm_ℎcno 28819   −_ℎ cmv 28821

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-inf2 9150  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665  ax-pre-sup 10666  ax-hilex 28895  ax-hfvadd 28896  ax-hvcom 28897  ax-hvass 28898  ax-hv0cl 28899  ax-hvaddid 28900  ax-hfvmul 28901  ax-hvmulid 28902  ax-hvmulass 28903  ax-hvdistr1 28904  ax-hvdistr2 28905  ax-hvmul0 28906  ax-hfi 28975  ax-his1 28978  ax-his2 28979  ax-his3 28980  ax-his4 28981

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-se 5488  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-isom 6349  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7586  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-1o 8118  df-er 8305  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-fin 8544  df-sup 8952  df-oi 9020  df-card 9414  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-div 11349  df-nn 11688  df-2 11750  df-3 11751  df-4 11752  df-n0 11948  df-z 12034  df-uz 12296  df-rp 12444  df-fz 12953  df-fzo 13096  df-seq 13432  df-exp 13493  df-hash 13754  df-cj 14519  df-re 14520  df-im 14521  df-sqrt 14655  df-abs 14656  df-clim 14906  df-sum 15104  df-grpo 28389  df-gid 28390  df-ginv 28391  df-gdiv 28392  df-ablo 28441  df-vc 28455  df-nv 28488  df-va 28491  df-ba 28492  df-sm 28493  df-0v 28494  df-vs 28495  df-nmcv 28496  df-ims 28497  df-dip 28597  df-hnorm 28864  df-hvsub 28867

This theorem is referenced by: (None)