Theorem hilims 31800

Description: Hilbert space distance metric. (Contributed by NM, 13-Sep-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hilims.1	⊢ ℋ = (BaseSet‘𝑈)
hilims.2	⊢ +ℎ = ( +𝑣 ‘𝑈)
hilims.3	⊢ ·ℎ = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
hilims.5	⊢ ·ih = (·𝑖OLD‘𝑈)
hilims.8	⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
hilims.9	⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec

Assertion

Ref	Expression
hilims	⊢ 𝐷 = (normℎ ∘ −ℎ )

Proof of Theorem hilims

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hilims.1	. . 3 ⊢ ℋ = (BaseSet‘𝑈)
2		hilims.2	. . 3 ⊢ +ℎ = ( +𝑣 ‘𝑈)
3		hilims.3	. . 3 ⊢ ·ℎ = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
4		hilims.5	. . 3 ⊢ ·ih = (·𝑖OLD‘𝑈)
5		hilims.9	. . 3 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
6	1, 2, 3, 4, 5	hilhhi 31767	. 2 ⊢ 𝑈 = ⟨⟨ +ℎ , ·ℎ ⟩, normℎ⟩
7		hilims.8	. 2 ⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
8	6, 7	hhims2 31776	1 ⊢ 𝐷 = (normℎ ∘ −ℎ )

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∘ ccom 5655  ‘cfv 6539  NrmCVeccnv 31187   +_𝑣 cpv 31188  BaseSetcba 31189   ·_𝑠OLD cns 31190  IndMetcims 31194  ·_𝑖OLDcdip 31303   ℋchba 31522   +_ℎ cva 31523   ·_ℎ csm 31524   ·_ih csp 31525  norm_ℎcno 31526   −_ℎ cmv 31528

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7752  ax-inf2 9643  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278  ax-pre-sup 11279  ax-hilex 31602  ax-hfvadd 31603  ax-hvcom 31604  ax-hvass 31605  ax-hv0cl 31606  ax-hvaddid 31607  ax-hfvmul 31608  ax-hvmulid 31609  ax-hvmulass 31610  ax-hvdistr1 31611  ax-hvdistr2 31612  ax-hvmul0 31613  ax-hfi 31682  ax-his1 31685  ax-his2 31686  ax-his3 31687  ax-his4 31688

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3915  df-pss 4035  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6305  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-isom 6548  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8477  df-er 8718  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-sup 9435  df-oi 9505  df-card 10021  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-div 11975  df-nn 12337  df-2 12406  df-3 12407  df-4 12408  df-n0 12608  df-z 12695  df-uz 12967  df-rp 13122  df-fz 13641  df-fzo 13790  df-seq 14146  df-exp 14206  df-hash 14476  df-cj 15267  df-re 15268  df-im 15269  df-sqrt 15403  df-abs 15404  df-clim 15656  df-sum 15855  df-grpo 31096  df-gid 31097  df-ginv 31098  df-gdiv 31099  df-ablo 31148  df-vc 31162  df-nv 31195  df-va 31198  df-ba 31199  df-sm 31200  df-0v 31201  df-vs 31202  df-nmcv 31203  df-ims 31204  df-dip 31304  df-hnorm 31571  df-hvsub 31574

This theorem is used by: (None)