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Theorem cmvthOLD 25952

Description: Obsolete version of cmvth 25951 as of 16-Apr-2025. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2016.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
cmvthOLD.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
cmvthOLD.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
cmvthOLD.lt	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
cmvthOLD.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
cmvthOLD.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
cmvthOLD.df	⊢ (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
cmvthOLD.dg	⊢ (𝜑 → dom (ℝ D 𝐺) = (𝐴(,)𝐵))

**Assertion**
Ref	Expression
cmvthOLD	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑥)) = (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))

Distinct variable groups: 𝑥,𝐴 𝑥,𝐵 𝑥,𝐹 𝑥,𝐺 𝜑,𝑥

Proof of Theorem cmvthOLD Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cmvthOLD.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		cmvthOLD.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		cmvthOLD.lt	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
4		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘ℂ_fld) = (TopOpen‘ℂ_fld)
5	4	subcn 24811	. . . 4 ⊢ − ∈ (((TopOpen‘ℂ_fld) ×_t (TopOpen‘ℂ_fld)) Cn (TopOpen‘ℂ_fld))
6	4	mulcn 24812	. . . . 5 ⊢ · ∈ (((TopOpen‘ℂ_fld) ×_t (TopOpen‘ℂ_fld)) Cn (TopOpen‘ℂ_fld))
7		cmvthOLD.f	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
8		cncff 24842	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
9	7, 8	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
10	1	rexrd 11182	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ^*)
11	2	rexrd 11182	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ^*)
12	1, 2, 3	ltled 11281	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
13		ubicc2 13381	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
14	10, 11, 12, 13	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
15	9, 14	ffvelcdmd 7030	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ∈ ℝ)
16		lbicc2 13380	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
17	10, 11, 12, 16	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
18	9, 17	ffvelcdmd 7030	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ)
19	15, 18	resubcld 11565	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ)
20		iccssre 13345	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
21	1, 2, 20	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
22		ax-resscn 11083	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
23	21, 22	sstrdi 3946	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ)
24	22	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
25		cncfmptc 24861	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
26	19, 23, 24, 25	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
27		cmvthOLD.g	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
28		cncff 24842	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) → 𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
29	27, 28	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
30	29	feqmptd 6902	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐺‘𝑧)))
31	30, 27	eqeltrrd 2837	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐺‘𝑧)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
32		remulcl 11111	. . . . 5 ⊢ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑧) ∈ ℝ) → (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) ∈ ℝ)
33	4, 6, 26, 31, 22, 32	cncfmpt2ss 24865	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
34	29, 14	ffvelcdmd 7030	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐵) ∈ ℝ)
35	29, 17	ffvelcdmd 7030	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐴) ∈ ℝ)
36	34, 35	resubcld 11565	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) ∈ ℝ)
37		cncfmptc 24861	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
38	36, 23, 24, 37	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
39	9	feqmptd 6902	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐹‘𝑧)))
40	39, 7	eqeltrrd 2837	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐹‘𝑧)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
41		remulcl 11111	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ ℝ) → (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧)) ∈ ℝ)
42	4, 6, 38, 40, 22, 41	cncfmpt2ss 24865	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
43		resubcl 11445	. . . 4 ⊢ (((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) ∈ ℝ ∧ (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧)) ∈ ℝ) → ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧))) ∈ ℝ)
44	4, 5, 33, 42, 22, 43	cncfmpt2ss 24865	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧)))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
45	19	recnd 11160	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) ∈ ℂ)
46	45	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) ∈ ℂ)
47	29	ffvelcdmda 7029	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺‘𝑧) ∈ ℝ)
48	47	recnd 11160	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺‘𝑧) ∈ ℂ)
49	46, 48	mulcld 11152	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) ∈ ℂ)
50	36	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) ∈ ℝ)
51	9	ffvelcdmda 7029	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℝ)
52	50, 51	remulcld 11162	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧)) ∈ ℝ)
53	52	recnd 11160	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧)) ∈ ℂ)
54	49, 53	subcld 11492	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧))) ∈ ℂ)
55	4	tgioo2 24747	. . . . . . 7 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t ℝ)
56		iccntr 24766	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
57	1, 2, 56	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
58	24, 21, 54, 55, 4, 57	dvmptntr 25931	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧))))) = (ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧))))))
59		reelprrecn 11118	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
60	59	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
61		ioossicc 13349	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
62	61	sseli 3929	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))
63	62, 49	sylan2 593	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) ∈ ℂ)
64		ovex 7391	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)) ∈ V
65	64	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)) ∈ V)
66	62, 48	sylan2 593	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐺‘𝑧) ∈ ℂ)
67		fvexd 6849	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐺)‘𝑧) ∈ V)
68	30	oveq2d 7374	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐺) = (ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐺‘𝑧))))
69		dvf 25864	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℝ D 𝐺):dom (ℝ D 𝐺)⟶ℂ
70		cmvthOLD.dg	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D 𝐺) = (𝐴(,)𝐵))
71	70	feq2d 6646	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D 𝐺):dom (ℝ D 𝐺)⟶ℂ ↔ (ℝ D 𝐺):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ))
72	69, 71	mpbii 233	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐺):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
73	72	feqmptd 6902	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐺) = (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))
74	24, 21, 48, 55, 4, 57	dvmptntr 25931	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐺‘𝑧))) = (ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐺‘𝑧))))
75	68, 73, 74	3eqtr3rd 2780	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐺‘𝑧))) = (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))
76	60, 66, 67, 75, 45	dvmptcmul 25924	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)))) = (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑧))))
77	62, 53	sylan2 593	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧)) ∈ ℂ)
78		ovex 7391	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑧)) ∈ V
79	78	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑧)) ∈ V)
80	51	recnd 11160	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
81	62, 80	sylan2 593	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
82		fvexd 6849	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑧) ∈ V)
83	39	oveq2d 7374	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐹) = (ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐹‘𝑧))))
84		dvf 25864	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ
85		cmvthOLD.df	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
86	85	feq2d 6646	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ ↔ (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ))
87	84, 86	mpbii 233	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
88	87	feqmptd 6902	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐹) = (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑧)))
89	24, 21, 80, 55, 4, 57	dvmptntr 25931	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐹‘𝑧))) = (ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘𝑧))))
90	83, 88, 89	3eqtr3rd 2780	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘𝑧))) = (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑧)))
91	36	recnd 11160	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) ∈ ℂ)
92	60, 81, 82, 90, 91	dvmptcmul 25924	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧)))) = (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑧))))
93	60, 63, 65, 76, 77, 79, 92	dvmptsub 25927	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧))))) = (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑧)))))
94	58, 93	eqtrd 2771	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧))))) = (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑧)))))
95	94	dmeqd 5854	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧))))) = dom (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑧)))))
96		ovex 7391	. . . . 5 ⊢ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑧))) ∈ V
97		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑧)))) = (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑧))))
98	96, 97	dmmpti 6636	. . . 4 ⊢ dom (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑧)))) = (𝐴(,)𝐵)
99	95, 98	eqtrdi 2787	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧))))) = (𝐴(,)𝐵))
100	15	recnd 11160	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ∈ ℂ)
101	35	recnd 11160	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐴) ∈ ℂ)
102	100, 101	mulcld 11152	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐵) · (𝐺‘𝐴)) ∈ ℂ)
103	18	recnd 11160	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ ℂ)
104	34	recnd 11160	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐵) ∈ ℂ)
105	103, 104	mulcld 11152	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵)) ∈ ℂ)
106	103, 101	mulcld 11152	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐴)) ∈ ℂ)
107	102, 105, 106	nnncan2d 11527	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘𝐵) · (𝐺‘𝐴)) − ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐴))) − (((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵)) − ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐴)))) = (((𝐹‘𝐵) · (𝐺‘𝐴)) − ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵))))
108	100, 104	mulcld 11152	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐵) · (𝐺‘𝐵)) ∈ ℂ)
109	108, 105, 102	nnncan1d 11526	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘𝐵) · (𝐺‘𝐵)) − ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵))) − (((𝐹‘𝐵) · (𝐺‘𝐵)) − ((𝐹‘𝐵) · (𝐺‘𝐴)))) = (((𝐹‘𝐵) · (𝐺‘𝐴)) − ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵))))
110	107, 109	eqtr4d 2774	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘𝐵) · (𝐺‘𝐴)) − ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐴))) − (((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵)) − ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐴)))) = ((((𝐹‘𝐵) · (𝐺‘𝐵)) − ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵))) − (((𝐹‘𝐵) · (𝐺‘𝐵)) − ((𝐹‘𝐵) · (𝐺‘𝐴)))))
111	100, 103, 101	subdird 11594	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝐴)) = (((𝐹‘𝐵) · (𝐺‘𝐴)) − ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐴))))
112	91, 103	mulcomd 11153	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝐴)) = ((𝐹‘𝐴) · ((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴))))
113	103, 104, 101	subdid 11593	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) · ((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴))) = (((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵)) − ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐴))))
114	112, 113	eqtrd 2771	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝐴)) = (((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵)) − ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐴))))
115	111, 114	oveq12d 7376	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝐴)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝐴))) = ((((𝐹‘𝐵) · (𝐺‘𝐴)) − ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐴))) − (((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵)) − ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐴)))))
116	100, 103, 104	subdird 11594	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝐵)) = (((𝐹‘𝐵) · (𝐺‘𝐵)) − ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵))))
117	91, 100	mulcomd 11153	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝐵)) = ((𝐹‘𝐵) · ((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴))))
118	100, 104, 101	subdid 11593	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐵) · ((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴))) = (((𝐹‘𝐵) · (𝐺‘𝐵)) − ((𝐹‘𝐵) · (𝐺‘𝐴))))
119	117, 118	eqtrd 2771	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝐵)) = (((𝐹‘𝐵) · (𝐺‘𝐵)) − ((𝐹‘𝐵) · (𝐺‘𝐴))))
120	116, 119	oveq12d 7376	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝐵)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝐵))) = ((((𝐹‘𝐵) · (𝐺‘𝐵)) − ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵))) − (((𝐹‘𝐵) · (𝐺‘𝐵)) − ((𝐹‘𝐵) · (𝐺‘𝐴)))))
121	110, 115, 120	3eqtr4d 2781	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝐴)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝐴))) = ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝐵)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝐵))))
122		fveq2 6834	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (𝐺‘𝑧) = (𝐺‘𝐴))
123	122	oveq2d 7374	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) = (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝐴)))
124		fveq2 6834	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝐴))
125	124	oveq2d 7374	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧)) = (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝐴)))
126	123, 125	oveq12d 7376	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧))) = ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝐴)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝐴))))
127		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧)))) = (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧))))
128		ovex 7391	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧))) ∈ V
129	126, 127, 128	fvmpt3i 6946	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵) → ((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧))))‘𝐴) = ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝐴)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝐴))))
130	17, 129	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧))))‘𝐴) = ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝐴)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝐴))))
131		fveq2 6834	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → (𝐺‘𝑧) = (𝐺‘𝐵))
132	131	oveq2d 7374	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) = (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝐵)))
133		fveq2 6834	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝐵))
134	133	oveq2d 7374	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧)) = (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝐵)))
135	132, 134	oveq12d 7376	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧))) = ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝐵)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝐵))))
136	135, 127, 128	fvmpt3i 6946	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵) → ((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧))))‘𝐵) = ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝐵)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝐵))))
137	14, 136	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧))))‘𝐵) = ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝐵)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝐵))))
138	121, 130, 137	3eqtr4d 2781	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧))))‘𝐴) = ((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧))))‘𝐵))
139	1, 2, 3, 44, 99, 138	rolle 25950	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)((ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧)))))‘𝑥) = 0)
140	94	fveq1d 6836	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧)))))‘𝑥) = ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑧))))‘𝑥))
141		fveq2 6834	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((ℝ D 𝐺)‘𝑧) = ((ℝ D 𝐺)‘𝑥))
142	141	oveq2d 7374	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)) = (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑥)))
143		fveq2 6834	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑧) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))
144	143	oveq2d 7374	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑧)) = (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
145	142, 144	oveq12d 7376	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑧))) = ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑥)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))))
146	145, 97, 96	fvmpt3i 6946	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑧))))‘𝑥) = ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑥)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))))
147	140, 146	sylan9eq 2791	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧)))))‘𝑥) = ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑥)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))))
148	147	eqeq1d 2738	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧)))))‘𝑥) = 0 ↔ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑥)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))) = 0))
149	45	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) ∈ ℂ)
150	72	ffvelcdmda 7029	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐺)‘𝑥) ∈ ℂ)
151	149, 150	mulcld 11152	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑥)) ∈ ℂ)
152	91	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) ∈ ℂ)
153	87	ffvelcdmda 7029	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℂ)
154	152, 153	mulcld 11152	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ∈ ℂ)
155	151, 154	subeq0ad 11502	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑥)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))) = 0 ↔ (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑥)) = (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))))
156	148, 155	bitrd 279	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧)))))‘𝑥) = 0 ↔ (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑥)) = (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))))
157	156	rexbidva 3158	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)((ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧)))))‘𝑥) = 0 ↔ ∃𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑥)) = (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))))
158	139, 157	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑥)) = (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 395 = wceq 1541 ∈ wcel 2113 ∃wrex 3060 Vcvv 3440 ⊆ wss 3901 {cpr 4582 class class class wbr 5098 ↦ cmpt 5179 dom cdm 5624 ran crn 5625 ⟶wf 6488 ‘cfv 6492 (class class class)co 7358 ℂcc 11024 ℝcr 11025 0cc0 11026 · cmul 11031 ℝ^*cxr 11165 < clt 11166 ≤ cle 11167 − cmin 11364 (,)cioo 13261 [,]cicc 13264 TopOpenctopn 17341 topGenctg 17357 ℂ_fldccnfld 21309 intcnt 22961 –cn→ccncf 24825 D cdv 25820

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1796 ax-4 1810 ax-5 1911 ax-6 1968 ax-7 2009 ax-8 2115 ax-9 2123 ax-10 2146 ax-11 2162 ax-12 2184 ax-ext 2708 ax-rep 5224 ax-sep 5241 ax-nul 5251 ax-pow 5310 ax-pr 5377 ax-un 7680 ax-cnex 11082 ax-resscn 11083 ax-1cn 11084 ax-icn 11085 ax-addcl 11086 ax-addrcl 11087 ax-mulcl 11088 ax-mulrcl 11089 ax-mulcom 11090 ax-addass 11091 ax-mulass 11092 ax-distr 11093 ax-i2m1 11094 ax-1ne0 11095 ax-1rid 11096 ax-rnegex 11097 ax-rrecex 11098 ax-cnre 11099 ax-pre-lttri 11100 ax-pre-lttrn 11101 ax-pre-ltadd 11102 ax-pre-mulgt0 11103 ax-pre-sup 11104 ax-addf 11105 ax-mulf 11106

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1781 df-nf 1785 df-sb 2068 df-mo 2539 df-eu 2569 df-clab 2715 df-cleq 2728 df-clel 2811 df-nfc 2885 df-ne 2933 df-nel 3037 df-ral 3052 df-rex 3061 df-rmo 3350 df-reu 3351 df-rab 3400 df-v 3442 df-sbc 3741 df-csb 3850 df-dif 3904 df-un 3906 df-in 3908 df-ss 3918 df-pss 3921 df-nul 4286 df-if 4480 df-pw 4556 df-sn 4581 df-pr 4583 df-tp 4585 df-op 4587 df-uni 4864 df-int 4903 df-iun 4948 df-iin 4949 df-br 5099 df-opab 5161 df-mpt 5180 df-tr 5206 df-id 5519 df-eprel 5524 df-po 5532 df-so 5533 df-fr 5577 df-se 5578 df-we 5579 df-xp 5630 df-rel 5631 df-cnv 5632 df-co 5633 df-dm 5634 df-rn 5635 df-res 5636 df-ima 5637 df-pred 6259 df-ord 6320 df-on 6321 df-lim 6322 df-suc 6323 df-iota 6448 df-fun 6494 df-fn 6495 df-f 6496 df-f1 6497 df-fo 6498 df-f1o 6499 df-fv 6500 df-isom 6501 df-riota 7315 df-ov 7361 df-oprab 7362 df-mpo 7363 df-of 7622 df-om 7809 df-1st 7933 df-2nd 7934 df-supp 8103 df-frecs 8223 df-wrecs 8254 df-recs 8303 df-rdg 8341 df-1o 8397 df-2o 8398 df-er 8635 df-map 8765 df-pm 8766 df-ixp 8836 df-en 8884 df-dom 8885 df-sdom 8886 df-fin 8887 df-fsupp 9265 df-fi 9314 df-sup 9345 df-inf 9346 df-oi 9415 df-card 9851 df-pnf 11168 df-mnf 11169 df-xr 11170 df-ltxr 11171 df-le 11172 df-sub 11366 df-neg 11367 df-div 11795 df-nn 12146 df-2 12208 df-3 12209 df-4 12210 df-5 12211 df-6 12212 df-7 12213 df-8 12214 df-9 12215 df-n0 12402 df-z 12489 df-dec 12608 df-uz 12752 df-q 12862 df-rp 12906 df-xneg 13026 df-xadd 13027 df-xmul 13028 df-ioo 13265 df-ico 13267 df-icc 13268 df-fz 13424 df-fzo 13571 df-seq 13925 df-exp 13985 df-hash 14254 df-cj 15022 df-re 15023 df-im 15024 df-sqrt 15158 df-abs 15159 df-struct 17074 df-sets 17091 df-slot 17109 df-ndx 17121 df-base 17137 df-ress 17158 df-plusg 17190 df-mulr 17191 df-starv 17192 df-sca 17193 df-vsca 17194 df-ip 17195 df-tset 17196 df-ple 17197 df-ds 17199 df-unif 17200 df-hom 17201 df-cco 17202 df-rest 17342 df-topn 17343 df-0g 17361 df-gsum 17362 df-topgen 17363 df-pt 17364 df-prds 17367 df-xrs 17423 df-qtop 17428 df-imas 17429 df-xps 17431 df-mre 17505 df-mrc 17506 df-acs 17508 df-mgm 18565 df-sgrp 18644 df-mnd 18660 df-submnd 18709 df-mulg 18998 df-cntz 19246 df-cmn 19711 df-psmet 21301 df-xmet 21302 df-met 21303 df-bl 21304 df-mopn 21305 df-fbas 21306 df-fg 21307 df-cnfld 21310 df-top 22838 df-topon 22855 df-topsp 22877 df-bases 22890 df-cld 22963 df-ntr 22964 df-cls 22965 df-nei 23042 df-lp 23080 df-perf 23081 df-cn 23171 df-cnp 23172 df-haus 23259 df-cmp 23331 df-tx 23506 df-hmeo 23699 df-fil 23790 df-fm 23882 df-flim 23883 df-flf 23884 df-xms 24264 df-ms 24265 df-tms 24266 df-cncf 24827 df-limc 25823 df-dv 25824

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