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Theorem cmvthOLD 25923
Description: Obsolete version of cmvth 25922 as of 16-Apr-2025. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2016.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cmvthOLD.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
cmvthOLD.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
cmvthOLD.lt (πœ‘ β†’ 𝐴 < 𝐡)
cmvthOLD.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ))
cmvthOLD.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ))
cmvthOLD.df (πœ‘ β†’ dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐡))
cmvthOLD.dg (πœ‘ β†’ dom (ℝ D 𝐺) = (𝐴(,)𝐡))
Assertion
Ref Expression
cmvthOLD (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)(((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) Β· ((ℝ D 𝐺)β€˜π‘₯)) = (((πΊβ€˜π΅) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)) Β· ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝐺   πœ‘,π‘₯

Proof of Theorem cmvthOLD
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cmvthOLD.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
2 cmvthOLD.b . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
3 cmvthOLD.lt . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 < 𝐡)
4 eqid 2728 . . . 4 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
54subcn 24781 . . . 4 βˆ’ ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) Γ—t (TopOpenβ€˜β„‚fld)) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld))
64mulcn 24782 . . . . 5 Β· ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) Γ—t (TopOpenβ€˜β„‚fld)) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld))
7 cmvthOLD.f . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ))
8 cncff 24812 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ) β†’ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„)
97, 8syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„)
101rexrd 11294 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
112rexrd 11294 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
121, 2, 3ltled 11392 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
13 ubicc2 13474 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ 𝐡 ∈ (𝐴[,]𝐡))
1410, 11, 12, 13syl3anc 1369 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (𝐴[,]𝐡))
159, 14ffvelcdmd 7095 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΅) ∈ ℝ)
16 lbicc2 13473 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐡))
1710, 11, 12, 16syl3anc 1369 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐡))
189, 17ffvelcdmd 7095 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ ℝ)
1915, 18resubcld 11672 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) ∈ ℝ)
20 iccssre 13438 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
211, 2, 20syl2anc 583 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
22 ax-resscn 11195 . . . . . . 7 ℝ βŠ† β„‚
2321, 22sstrdi 3992 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† β„‚)
2422a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ℝ βŠ† β„‚)
25 cncfmptc 24831 . . . . . 6 ((((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) ∈ ℝ ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† β„‚ ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ ((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ))
2619, 23, 24, 25syl3anc 1369 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ ((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄))) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ))
27 cmvthOLD.g . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ))
28 cncff 24812 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ) β†’ 𝐺:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„)
2927, 28syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐺:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„)
3029feqmptd 6967 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (πΊβ€˜π‘§)))
3130, 27eqeltrrd 2830 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (πΊβ€˜π‘§)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ))
32 remulcl 11223 . . . . 5 ((((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘§) ∈ ℝ) β†’ (((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) Β· (πΊβ€˜π‘§)) ∈ ℝ)
334, 6, 26, 31, 22, 32cncfmpt2ss 24835 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) Β· (πΊβ€˜π‘§))) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ))
3429, 14ffvelcdmd 7095 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π΅) ∈ ℝ)
3529, 17ffvelcdmd 7095 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π΄) ∈ ℝ)
3634, 35resubcld 11672 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((πΊβ€˜π΅) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)) ∈ ℝ)
37 cncfmptc 24831 . . . . . 6 ((((πΊβ€˜π΅) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)) ∈ ℝ ∧ (𝐴[,]𝐡) βŠ† β„‚ ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ ((πΊβ€˜π΅) βˆ’ (πΊβ€˜π΄))) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ))
3836, 23, 24, 37syl3anc 1369 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ ((πΊβ€˜π΅) βˆ’ (πΊβ€˜π΄))) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ))
399feqmptd 6967 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (πΉβ€˜π‘§)))
4039, 7eqeltrrd 2830 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (πΉβ€˜π‘§)) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ))
41 remulcl 11223 . . . . 5 ((((πΊβ€˜π΅) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ) β†’ (((πΊβ€˜π΅) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)) Β· (πΉβ€˜π‘§)) ∈ ℝ)
424, 6, 38, 40, 22, 41cncfmpt2ss 24835 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (((πΊβ€˜π΅) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)) Β· (πΉβ€˜π‘§))) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ))
43 resubcl 11554 . . . 4 (((((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) Β· (πΊβ€˜π‘§)) ∈ ℝ ∧ (((πΊβ€˜π΅) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)) Β· (πΉβ€˜π‘§)) ∈ ℝ) β†’ ((((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) Β· (πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (((πΊβ€˜π΅) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)) Β· (πΉβ€˜π‘§))) ∈ ℝ)
444, 5, 33, 42, 22, 43cncfmpt2ss 24835 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ ((((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) Β· (πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (((πΊβ€˜π΅) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)) Β· (πΉβ€˜π‘§)))) ∈ ((𝐴[,]𝐡)–cn→ℝ))
4519recnd 11272 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) ∈ β„‚)
4645adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ ((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) ∈ β„‚)
4729ffvelcdmda 7094 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ ℝ)
4847recnd 11272 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
4946, 48mulcld 11264 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) Β· (πΊβ€˜π‘§)) ∈ β„‚)
5036adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ ((πΊβ€˜π΅) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)) ∈ ℝ)
519ffvelcdmda 7094 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ ℝ)
5250, 51remulcld 11274 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (((πΊβ€˜π΅) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)) Β· (πΉβ€˜π‘§)) ∈ ℝ)
5352recnd 11272 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (((πΊβ€˜π΅) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)) Β· (πΉβ€˜π‘§)) ∈ β„‚)
5449, 53subcld 11601 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ ((((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) Β· (πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (((πΊβ€˜π΅) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)) Β· (πΉβ€˜π‘§))) ∈ β„‚)
554tgioo2 24718 . . . . . . 7 (topGenβ€˜ran (,)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
56 iccntr 24736 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴[,]𝐡)) = (𝐴(,)𝐡))
571, 2, 56syl2anc 583 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((intβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜(𝐴[,]𝐡)) = (𝐴(,)𝐡))
5824, 21, 54, 55, 4, 57dvmptntr 25902 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ ((((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) Β· (πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (((πΊβ€˜π΅) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)) Β· (πΉβ€˜π‘§))))) = (ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ ((((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) Β· (πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (((πΊβ€˜π΅) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)) Β· (πΉβ€˜π‘§))))))
59 reelprrecn 11230 . . . . . . . 8 ℝ ∈ {ℝ, β„‚}
6059a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ {ℝ, β„‚})
61 ioossicc 13442 . . . . . . . . 9 (𝐴(,)𝐡) βŠ† (𝐴[,]𝐡)
6261sseli 3976 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡))
6362, 49sylan2 592 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) Β· (πΊβ€˜π‘§)) ∈ β„‚)
64 ovex 7453 . . . . . . . 8 (((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) Β· ((ℝ D 𝐺)β€˜π‘§)) ∈ V
6564a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) Β· ((ℝ D 𝐺)β€˜π‘§)) ∈ V)
6662, 48sylan2 592 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
67 fvexd 6912 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((ℝ D 𝐺)β€˜π‘§) ∈ V)
6830oveq2d 7436 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐺) = (ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (πΊβ€˜π‘§))))
69 dvf 25835 . . . . . . . . . . 11 (ℝ D 𝐺):dom (ℝ D 𝐺)βŸΆβ„‚
70 cmvthOLD.dg . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ dom (ℝ D 𝐺) = (𝐴(,)𝐡))
7170feq2d 6708 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((ℝ D 𝐺):dom (ℝ D 𝐺)βŸΆβ„‚ ↔ (ℝ D 𝐺):(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„‚))
7269, 71mpbii 232 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐺):(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„‚)
7372feqmptd 6967 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐺) = (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ ((ℝ D 𝐺)β€˜π‘§)))
7424, 21, 48, 55, 4, 57dvmptntr 25902 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (πΊβ€˜π‘§))) = (ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (πΊβ€˜π‘§))))
7568, 73, 743eqtr3rd 2777 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (πΊβ€˜π‘§))) = (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ ((ℝ D 𝐺)β€˜π‘§)))
7660, 66, 67, 75, 45dvmptcmul 25895 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) Β· (πΊβ€˜π‘§)))) = (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) Β· ((ℝ D 𝐺)β€˜π‘§))))
7762, 53sylan2 592 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (((πΊβ€˜π΅) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)) Β· (πΉβ€˜π‘§)) ∈ β„‚)
78 ovex 7453 . . . . . . . 8 (((πΊβ€˜π΅) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)) Β· ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘§)) ∈ V
7978a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (((πΊβ€˜π΅) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)) Β· ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘§)) ∈ V)
8051recnd 11272 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
8162, 80sylan2 592 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
82 fvexd 6912 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘§) ∈ V)
8339oveq2d 7436 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐹) = (ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (πΉβ€˜π‘§))))
84 dvf 25835 . . . . . . . . . . 11 (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)βŸΆβ„‚
85 cmvthOLD.df . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐡))
8685feq2d 6708 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)βŸΆβ„‚ ↔ (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„‚))
8784, 86mpbii 232 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐡)βŸΆβ„‚)
8887feqmptd 6967 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (ℝ D 𝐹) = (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘§)))
8924, 21, 80, 55, 4, 57dvmptntr 25902 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ (πΉβ€˜π‘§))) = (ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (πΉβ€˜π‘§))))
9083, 88, 893eqtr3rd 2777 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (πΉβ€˜π‘§))) = (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘§)))
9136recnd 11272 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((πΊβ€˜π΅) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)) ∈ β„‚)
9260, 81, 82, 90, 91dvmptcmul 25895 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (((πΊβ€˜π΅) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)) Β· (πΉβ€˜π‘§)))) = (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ (((πΊβ€˜π΅) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)) Β· ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘§))))
9360, 63, 65, 76, 77, 79, 92dvmptsub 25898 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ ((((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) Β· (πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (((πΊβ€˜π΅) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)) Β· (πΉβ€˜π‘§))))) = (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ ((((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) Β· ((ℝ D 𝐺)β€˜π‘§)) βˆ’ (((πΊβ€˜π΅) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)) Β· ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘§)))))
9458, 93eqtrd 2768 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ ((((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) Β· (πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (((πΊβ€˜π΅) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)) Β· (πΉβ€˜π‘§))))) = (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ ((((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) Β· ((ℝ D 𝐺)β€˜π‘§)) βˆ’ (((πΊβ€˜π΅) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)) Β· ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘§)))))
9594dmeqd 5908 . . . 4 (πœ‘ β†’ dom (ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ ((((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) Β· (πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (((πΊβ€˜π΅) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)) Β· (πΉβ€˜π‘§))))) = dom (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ ((((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) Β· ((ℝ D 𝐺)β€˜π‘§)) βˆ’ (((πΊβ€˜π΅) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)) Β· ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘§)))))
96 ovex 7453 . . . . 5 ((((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) Β· ((ℝ D 𝐺)β€˜π‘§)) βˆ’ (((πΊβ€˜π΅) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)) Β· ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘§))) ∈ V
97 eqid 2728 . . . . 5 (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ ((((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) Β· ((ℝ D 𝐺)β€˜π‘§)) βˆ’ (((πΊβ€˜π΅) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)) Β· ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘§)))) = (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ ((((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) Β· ((ℝ D 𝐺)β€˜π‘§)) βˆ’ (((πΊβ€˜π΅) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)) Β· ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘§))))
9896, 97dmmpti 6699 . . . 4 dom (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ ((((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) Β· ((ℝ D 𝐺)β€˜π‘§)) βˆ’ (((πΊβ€˜π΅) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)) Β· ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘§)))) = (𝐴(,)𝐡)
9995, 98eqtrdi 2784 . . 3 (πœ‘ β†’ dom (ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ ((((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) Β· (πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (((πΊβ€˜π΅) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)) Β· (πΉβ€˜π‘§))))) = (𝐴(,)𝐡))
10015recnd 11272 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΅) ∈ β„‚)
10135recnd 11272 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π΄) ∈ β„‚)
102100, 101mulcld 11264 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π΅) Β· (πΊβ€˜π΄)) ∈ β„‚)
10318recnd 11272 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π΄) ∈ β„‚)
10434recnd 11272 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π΅) ∈ β„‚)
105103, 104mulcld 11264 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π΄) Β· (πΊβ€˜π΅)) ∈ β„‚)
106103, 101mulcld 11264 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π΄) Β· (πΊβ€˜π΄)) ∈ β„‚)
107102, 105, 106nnncan2d 11636 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((((πΉβ€˜π΅) Β· (πΊβ€˜π΄)) βˆ’ ((πΉβ€˜π΄) Β· (πΊβ€˜π΄))) βˆ’ (((πΉβ€˜π΄) Β· (πΊβ€˜π΅)) βˆ’ ((πΉβ€˜π΄) Β· (πΊβ€˜π΄)))) = (((πΉβ€˜π΅) Β· (πΊβ€˜π΄)) βˆ’ ((πΉβ€˜π΄) Β· (πΊβ€˜π΅))))
108100, 104mulcld 11264 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π΅) Β· (πΊβ€˜π΅)) ∈ β„‚)
109108, 105, 102nnncan1d 11635 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((((πΉβ€˜π΅) Β· (πΊβ€˜π΅)) βˆ’ ((πΉβ€˜π΄) Β· (πΊβ€˜π΅))) βˆ’ (((πΉβ€˜π΅) Β· (πΊβ€˜π΅)) βˆ’ ((πΉβ€˜π΅) Β· (πΊβ€˜π΄)))) = (((πΉβ€˜π΅) Β· (πΊβ€˜π΄)) βˆ’ ((πΉβ€˜π΄) Β· (πΊβ€˜π΅))))
110107, 109eqtr4d 2771 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((((πΉβ€˜π΅) Β· (πΊβ€˜π΄)) βˆ’ ((πΉβ€˜π΄) Β· (πΊβ€˜π΄))) βˆ’ (((πΉβ€˜π΄) Β· (πΊβ€˜π΅)) βˆ’ ((πΉβ€˜π΄) Β· (πΊβ€˜π΄)))) = ((((πΉβ€˜π΅) Β· (πΊβ€˜π΅)) βˆ’ ((πΉβ€˜π΄) Β· (πΊβ€˜π΅))) βˆ’ (((πΉβ€˜π΅) Β· (πΊβ€˜π΅)) βˆ’ ((πΉβ€˜π΅) Β· (πΊβ€˜π΄)))))
111100, 103, 101subdird 11701 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) Β· (πΊβ€˜π΄)) = (((πΉβ€˜π΅) Β· (πΊβ€˜π΄)) βˆ’ ((πΉβ€˜π΄) Β· (πΊβ€˜π΄))))
11291, 103mulcomd 11265 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (((πΊβ€˜π΅) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)) Β· (πΉβ€˜π΄)) = ((πΉβ€˜π΄) Β· ((πΊβ€˜π΅) βˆ’ (πΊβ€˜π΄))))
113103, 104, 101subdid 11700 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π΄) Β· ((πΊβ€˜π΅) βˆ’ (πΊβ€˜π΄))) = (((πΉβ€˜π΄) Β· (πΊβ€˜π΅)) βˆ’ ((πΉβ€˜π΄) Β· (πΊβ€˜π΄))))
114112, 113eqtrd 2768 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((πΊβ€˜π΅) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)) Β· (πΉβ€˜π΄)) = (((πΉβ€˜π΄) Β· (πΊβ€˜π΅)) βˆ’ ((πΉβ€˜π΄) Β· (πΊβ€˜π΄))))
115111, 114oveq12d 7438 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) Β· (πΊβ€˜π΄)) βˆ’ (((πΊβ€˜π΅) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)) Β· (πΉβ€˜π΄))) = ((((πΉβ€˜π΅) Β· (πΊβ€˜π΄)) βˆ’ ((πΉβ€˜π΄) Β· (πΊβ€˜π΄))) βˆ’ (((πΉβ€˜π΄) Β· (πΊβ€˜π΅)) βˆ’ ((πΉβ€˜π΄) Β· (πΊβ€˜π΄)))))
116100, 103, 104subdird 11701 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) Β· (πΊβ€˜π΅)) = (((πΉβ€˜π΅) Β· (πΊβ€˜π΅)) βˆ’ ((πΉβ€˜π΄) Β· (πΊβ€˜π΅))))
11791, 100mulcomd 11265 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (((πΊβ€˜π΅) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)) Β· (πΉβ€˜π΅)) = ((πΉβ€˜π΅) Β· ((πΊβ€˜π΅) βˆ’ (πΊβ€˜π΄))))
118100, 104, 101subdid 11700 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π΅) Β· ((πΊβ€˜π΅) βˆ’ (πΊβ€˜π΄))) = (((πΉβ€˜π΅) Β· (πΊβ€˜π΅)) βˆ’ ((πΉβ€˜π΅) Β· (πΊβ€˜π΄))))
119117, 118eqtrd 2768 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((πΊβ€˜π΅) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)) Β· (πΉβ€˜π΅)) = (((πΉβ€˜π΅) Β· (πΊβ€˜π΅)) βˆ’ ((πΉβ€˜π΅) Β· (πΊβ€˜π΄))))
120116, 119oveq12d 7438 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) Β· (πΊβ€˜π΅)) βˆ’ (((πΊβ€˜π΅) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)) Β· (πΉβ€˜π΅))) = ((((πΉβ€˜π΅) Β· (πΊβ€˜π΅)) βˆ’ ((πΉβ€˜π΄) Β· (πΊβ€˜π΅))) βˆ’ (((πΉβ€˜π΅) Β· (πΊβ€˜π΅)) βˆ’ ((πΉβ€˜π΅) Β· (πΊβ€˜π΄)))))
121110, 115, 1203eqtr4d 2778 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) Β· (πΊβ€˜π΄)) βˆ’ (((πΊβ€˜π΅) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)) Β· (πΉβ€˜π΄))) = ((((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) Β· (πΊβ€˜π΅)) βˆ’ (((πΊβ€˜π΅) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)) Β· (πΉβ€˜π΅))))
122 fveq2 6897 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝐴 β†’ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜π΄))
123122oveq2d 7436 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝐴 β†’ (((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) Β· (πΊβ€˜π‘§)) = (((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) Β· (πΊβ€˜π΄)))
124 fveq2 6897 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝐴 β†’ (πΉβ€˜π‘§) = (πΉβ€˜π΄))
125124oveq2d 7436 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝐴 β†’ (((πΊβ€˜π΅) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)) Β· (πΉβ€˜π‘§)) = (((πΊβ€˜π΅) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)) Β· (πΉβ€˜π΄)))
126123, 125oveq12d 7438 . . . . . 6 (𝑧 = 𝐴 β†’ ((((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) Β· (πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (((πΊβ€˜π΅) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)) Β· (πΉβ€˜π‘§))) = ((((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) Β· (πΊβ€˜π΄)) βˆ’ (((πΊβ€˜π΅) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)) Β· (πΉβ€˜π΄))))
127 eqid 2728 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ ((((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) Β· (πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (((πΊβ€˜π΅) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)) Β· (πΉβ€˜π‘§)))) = (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ ((((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) Β· (πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (((πΊβ€˜π΅) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)) Β· (πΉβ€˜π‘§))))
128 ovex 7453 . . . . . 6 ((((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) Β· (πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (((πΊβ€˜π΅) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)) Β· (πΉβ€˜π‘§))) ∈ V
129126, 127, 128fvmpt3i 7010 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐡) β†’ ((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ ((((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) Β· (πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (((πΊβ€˜π΅) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)) Β· (πΉβ€˜π‘§))))β€˜π΄) = ((((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) Β· (πΊβ€˜π΄)) βˆ’ (((πΊβ€˜π΅) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)) Β· (πΉβ€˜π΄))))
13017, 129syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ ((((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) Β· (πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (((πΊβ€˜π΅) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)) Β· (πΉβ€˜π‘§))))β€˜π΄) = ((((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) Β· (πΊβ€˜π΄)) βˆ’ (((πΊβ€˜π΅) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)) Β· (πΉβ€˜π΄))))
131 fveq2 6897 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝐡 β†’ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜π΅))
132131oveq2d 7436 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝐡 β†’ (((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) Β· (πΊβ€˜π‘§)) = (((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) Β· (πΊβ€˜π΅)))
133 fveq2 6897 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝐡 β†’ (πΉβ€˜π‘§) = (πΉβ€˜π΅))
134133oveq2d 7436 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝐡 β†’ (((πΊβ€˜π΅) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)) Β· (πΉβ€˜π‘§)) = (((πΊβ€˜π΅) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)) Β· (πΉβ€˜π΅)))
135132, 134oveq12d 7438 . . . . . 6 (𝑧 = 𝐡 β†’ ((((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) Β· (πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (((πΊβ€˜π΅) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)) Β· (πΉβ€˜π‘§))) = ((((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) Β· (πΊβ€˜π΅)) βˆ’ (((πΊβ€˜π΅) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)) Β· (πΉβ€˜π΅))))
136135, 127, 128fvmpt3i 7010 . . . . 5 (𝐡 ∈ (𝐴[,]𝐡) β†’ ((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ ((((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) Β· (πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (((πΊβ€˜π΅) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)) Β· (πΉβ€˜π‘§))))β€˜π΅) = ((((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) Β· (πΊβ€˜π΅)) βˆ’ (((πΊβ€˜π΅) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)) Β· (πΉβ€˜π΅))))
13714, 136syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ ((((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) Β· (πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (((πΊβ€˜π΅) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)) Β· (πΉβ€˜π‘§))))β€˜π΅) = ((((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) Β· (πΊβ€˜π΅)) βˆ’ (((πΊβ€˜π΅) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)) Β· (πΉβ€˜π΅))))
138121, 130, 1373eqtr4d 2778 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ ((((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) Β· (πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (((πΊβ€˜π΅) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)) Β· (πΉβ€˜π‘§))))β€˜π΄) = ((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ ((((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) Β· (πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (((πΊβ€˜π΅) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)) Β· (πΉβ€˜π‘§))))β€˜π΅))
1391, 2, 3, 44, 99, 138rolle 25921 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)((ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ ((((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) Β· (πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (((πΊβ€˜π΅) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)) Β· (πΉβ€˜π‘§)))))β€˜π‘₯) = 0)
14094fveq1d 6899 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ ((((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) Β· (πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (((πΊβ€˜π΅) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)) Β· (πΉβ€˜π‘§)))))β€˜π‘₯) = ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ ((((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) Β· ((ℝ D 𝐺)β€˜π‘§)) βˆ’ (((πΊβ€˜π΅) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)) Β· ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘§))))β€˜π‘₯))
141 fveq2 6897 . . . . . . . . 9 (𝑧 = π‘₯ β†’ ((ℝ D 𝐺)β€˜π‘§) = ((ℝ D 𝐺)β€˜π‘₯))
142141oveq2d 7436 . . . . . . . 8 (𝑧 = π‘₯ β†’ (((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) Β· ((ℝ D 𝐺)β€˜π‘§)) = (((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) Β· ((ℝ D 𝐺)β€˜π‘₯)))
143 fveq2 6897 . . . . . . . . 9 (𝑧 = π‘₯ β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘§) = ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯))
144143oveq2d 7436 . . . . . . . 8 (𝑧 = π‘₯ β†’ (((πΊβ€˜π΅) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)) Β· ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘§)) = (((πΊβ€˜π΅) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)) Β· ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)))
145142, 144oveq12d 7438 . . . . . . 7 (𝑧 = π‘₯ β†’ ((((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) Β· ((ℝ D 𝐺)β€˜π‘§)) βˆ’ (((πΊβ€˜π΅) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)) Β· ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘§))) = ((((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) Β· ((ℝ D 𝐺)β€˜π‘₯)) βˆ’ (((πΊβ€˜π΅) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)) Β· ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯))))
146145, 97, 96fvmpt3i 7010 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡) β†’ ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↦ ((((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) Β· ((ℝ D 𝐺)β€˜π‘§)) βˆ’ (((πΊβ€˜π΅) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)) Β· ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘§))))β€˜π‘₯) = ((((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) Β· ((ℝ D 𝐺)β€˜π‘₯)) βˆ’ (((πΊβ€˜π΅) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)) Β· ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯))))
147140, 146sylan9eq 2788 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ ((((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) Β· (πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (((πΊβ€˜π΅) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)) Β· (πΉβ€˜π‘§)))))β€˜π‘₯) = ((((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) Β· ((ℝ D 𝐺)β€˜π‘₯)) βˆ’ (((πΊβ€˜π΅) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)) Β· ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯))))
148147eqeq1d 2730 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (((ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ ((((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) Β· (πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (((πΊβ€˜π΅) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)) Β· (πΉβ€˜π‘§)))))β€˜π‘₯) = 0 ↔ ((((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) Β· ((ℝ D 𝐺)β€˜π‘₯)) βˆ’ (((πΊβ€˜π΅) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)) Β· ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯))) = 0))
14945adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) ∈ β„‚)
15072ffvelcdmda 7094 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((ℝ D 𝐺)β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
151149, 150mulcld 11264 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) Β· ((ℝ D 𝐺)β€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
15291adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((πΊβ€˜π΅) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)) ∈ β„‚)
15387ffvelcdmda 7094 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
154152, 153mulcld 11264 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (((πΊβ€˜π΅) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)) Β· ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
155151, 154subeq0ad 11611 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (((((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) Β· ((ℝ D 𝐺)β€˜π‘₯)) βˆ’ (((πΊβ€˜π΅) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)) Β· ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯))) = 0 ↔ (((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) Β· ((ℝ D 𝐺)β€˜π‘₯)) = (((πΊβ€˜π΅) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)) Β· ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯))))
156148, 155bitrd 279 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)) β†’ (((ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ ((((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) Β· (πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (((πΊβ€˜π΅) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)) Β· (πΉβ€˜π‘§)))))β€˜π‘₯) = 0 ↔ (((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) Β· ((ℝ D 𝐺)β€˜π‘₯)) = (((πΊβ€˜π΅) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)) Β· ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯))))
157156rexbidva 3173 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)((ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ ((((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) Β· (πΊβ€˜π‘§)) βˆ’ (((πΊβ€˜π΅) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)) Β· (πΉβ€˜π‘§)))))β€˜π‘₯) = 0 ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)(((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) Β· ((ℝ D 𝐺)β€˜π‘₯)) = (((πΊβ€˜π΅) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)) Β· ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯))))
158139, 157mpbid 231 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ (𝐴(,)𝐡)(((πΉβ€˜π΅) βˆ’ (πΉβ€˜π΄)) Β· ((ℝ D 𝐺)β€˜π‘₯)) = (((πΊβ€˜π΅) βˆ’ (πΊβ€˜π΄)) Β· ((ℝ D 𝐹)β€˜π‘₯)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆƒwrex 3067  Vcvv 3471   βŠ† wss 3947  {cpr 4631   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  dom cdm 5678  ran crn 5679  βŸΆwf 6544  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  β„‚cc 11136  β„cr 11137  0cc0 11138   Β· cmul 11143  β„*cxr 11277   < clt 11278   ≀ cle 11279   βˆ’ cmin 11474  (,)cioo 13356  [,]cicc 13359  TopOpenctopn 17402  topGenctg 17418  β„‚fldccnfld 21278  intcnt 22920  β€“cnβ†’ccncf 24795   D cdv 25791
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216  ax-addf 11217  ax-mulf 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8166  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-2o 8487  df-er 8724  df-map 8846  df-pm 8847  df-ixp 8916  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967  df-fsupp 9386  df-fi 9434  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13124  df-xadd 13125  df-xmul 13126  df-ioo 13360  df-ico 13362  df-icc 13363  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-seq 13999  df-exp 14059  df-hash 14322  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-starv 17247  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-unif 17255  df-hom 17256  df-cco 17257  df-rest 17403  df-topn 17404  df-0g 17422  df-gsum 17423  df-topgen 17424  df-pt 17425  df-prds 17428  df-xrs 17483  df-qtop 17488  df-imas 17489  df-xps 17491  df-mre 17565  df-mrc 17566  df-acs 17568  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18740  df-mulg 19023  df-cntz 19267  df-cmn 19736  df-psmet 21270  df-xmet 21271  df-met 21272  df-bl 21273  df-mopn 21274  df-fbas 21275  df-fg 21276  df-cnfld 21279  df-top 22795  df-topon 22812  df-topsp 22834  df-bases 22848  df-cld 22922  df-ntr 22923  df-cls 22924  df-nei 23001  df-lp 23039  df-perf 23040  df-cn 23130  df-cnp 23131  df-haus 23218  df-cmp 23290  df-tx 23465  df-hmeo 23658  df-fil 23749  df-fm 23841  df-flim 23842  df-flf 23843  df-xms 24225  df-ms 24226  df-tms 24227  df-cncf 24797  df-limc 25794  df-dv 25795
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