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Theorem cmvthOLD 25903

Description: Obsolete version of cmvth 25902 as of 16-Apr-2025. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2016.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
cmvthOLD.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
cmvthOLD.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
cmvthOLD.lt	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
cmvthOLD.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
cmvthOLD.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
cmvthOLD.df	⊢ (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
cmvthOLD.dg	⊢ (𝜑 → dom (ℝ D 𝐺) = (𝐴(,)𝐵))

**Assertion**
Ref	Expression
cmvthOLD	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑥)) = (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))

Distinct variable groups: 𝑥,𝐴 𝑥,𝐵 𝑥,𝐹 𝑥,𝐺 𝜑,𝑥

Proof of Theorem cmvthOLD Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cmvthOLD.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		cmvthOLD.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		cmvthOLD.lt	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
4		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘ℂ_fld) = (TopOpen‘ℂ_fld)
5	4	subcn 24762	. . . 4 ⊢ − ∈ (((TopOpen‘ℂ_fld) ×_t (TopOpen‘ℂ_fld)) Cn (TopOpen‘ℂ_fld))
6	4	mulcn 24763	. . . . 5 ⊢ · ∈ (((TopOpen‘ℂ_fld) ×_t (TopOpen‘ℂ_fld)) Cn (TopOpen‘ℂ_fld))
7		cmvthOLD.f	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
8		cncff 24793	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
9	7, 8	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
10	1	rexrd 11231	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ^*)
11	2	rexrd 11231	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ^*)
12	1, 2, 3	ltled 11329	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
13		ubicc2 13433	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
14	10, 11, 12, 13	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
15	9, 14	ffvelcdmd 7060	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ∈ ℝ)
16		lbicc2 13432	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
17	10, 11, 12, 16	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
18	9, 17	ffvelcdmd 7060	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ)
19	15, 18	resubcld 11613	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ)
20		iccssre 13397	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
21	1, 2, 20	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
22		ax-resscn 11132	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
23	21, 22	sstrdi 3962	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ)
24	22	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
25		cncfmptc 24812	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
26	19, 23, 24, 25	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
27		cmvthOLD.g	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
28		cncff 24793	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) → 𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
29	27, 28	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
30	29	feqmptd 6932	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐺‘𝑧)))
31	30, 27	eqeltrrd 2830	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐺‘𝑧)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
32		remulcl 11160	. . . . 5 ⊢ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑧) ∈ ℝ) → (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) ∈ ℝ)
33	4, 6, 26, 31, 22, 32	cncfmpt2ss 24816	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
34	29, 14	ffvelcdmd 7060	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐵) ∈ ℝ)
35	29, 17	ffvelcdmd 7060	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐴) ∈ ℝ)
36	34, 35	resubcld 11613	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) ∈ ℝ)
37		cncfmptc 24812	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
38	36, 23, 24, 37	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
39	9	feqmptd 6932	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐹‘𝑧)))
40	39, 7	eqeltrrd 2830	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐹‘𝑧)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
41		remulcl 11160	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ ℝ) → (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧)) ∈ ℝ)
42	4, 6, 38, 40, 22, 41	cncfmpt2ss 24816	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
43		resubcl 11493	. . . 4 ⊢ (((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) ∈ ℝ ∧ (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧)) ∈ ℝ) → ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧))) ∈ ℝ)
44	4, 5, 33, 42, 22, 43	cncfmpt2ss 24816	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧)))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
45	19	recnd 11209	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) ∈ ℂ)
46	45	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) ∈ ℂ)
47	29	ffvelcdmda 7059	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺‘𝑧) ∈ ℝ)
48	47	recnd 11209	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺‘𝑧) ∈ ℂ)
49	46, 48	mulcld 11201	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) ∈ ℂ)
50	36	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) ∈ ℝ)
51	9	ffvelcdmda 7059	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℝ)
52	50, 51	remulcld 11211	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧)) ∈ ℝ)
53	52	recnd 11209	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧)) ∈ ℂ)
54	49, 53	subcld 11540	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧))) ∈ ℂ)
55	4	tgioo2 24698	. . . . . . 7 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t ℝ)
56		iccntr 24717	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
57	1, 2, 56	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
58	24, 21, 54, 55, 4, 57	dvmptntr 25882	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧))))) = (ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧))))))
59		reelprrecn 11167	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
60	59	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
61		ioossicc 13401	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
62	61	sseli 3945	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))
63	62, 49	sylan2 593	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) ∈ ℂ)
64		ovex 7423	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)) ∈ V
65	64	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)) ∈ V)
66	62, 48	sylan2 593	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐺‘𝑧) ∈ ℂ)
67		fvexd 6876	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐺)‘𝑧) ∈ V)
68	30	oveq2d 7406	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐺) = (ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐺‘𝑧))))
69		dvf 25815	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℝ D 𝐺):dom (ℝ D 𝐺)⟶ℂ
70		cmvthOLD.dg	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D 𝐺) = (𝐴(,)𝐵))
71	70	feq2d 6675	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D 𝐺):dom (ℝ D 𝐺)⟶ℂ ↔ (ℝ D 𝐺):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ))
72	69, 71	mpbii 233	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐺):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
73	72	feqmptd 6932	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐺) = (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))
74	24, 21, 48, 55, 4, 57	dvmptntr 25882	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐺‘𝑧))) = (ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐺‘𝑧))))
75	68, 73, 74	3eqtr3rd 2774	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐺‘𝑧))) = (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)))
76	60, 66, 67, 75, 45	dvmptcmul 25875	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)))) = (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑧))))
77	62, 53	sylan2 593	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧)) ∈ ℂ)
78		ovex 7423	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑧)) ∈ V
79	78	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑧)) ∈ V)
80	51	recnd 11209	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
81	62, 80	sylan2 593	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
82		fvexd 6876	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑧) ∈ V)
83	39	oveq2d 7406	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐹) = (ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐹‘𝑧))))
84		dvf 25815	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ
85		cmvthOLD.df	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
86	85	feq2d 6675	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℂ ↔ (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ))
87	84, 86	mpbii 233	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
88	87	feqmptd 6932	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℝ D 𝐹) = (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑧)))
89	24, 21, 80, 55, 4, 57	dvmptntr 25882	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝐹‘𝑧))) = (ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘𝑧))))
90	83, 88, 89	3eqtr3rd 2774	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝐹‘𝑧))) = (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((ℝ D 𝐹)‘𝑧)))
91	36	recnd 11209	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) ∈ ℂ)
92	60, 81, 82, 90, 91	dvmptcmul 25875	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧)))) = (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑧))))
93	60, 63, 65, 76, 77, 79, 92	dvmptsub 25878	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧))))) = (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑧)))))
94	58, 93	eqtrd 2765	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧))))) = (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑧)))))
95	94	dmeqd 5872	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧))))) = dom (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑧)))))
96		ovex 7423	. . . . 5 ⊢ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑧))) ∈ V
97		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑧)))) = (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑧))))
98	96, 97	dmmpti 6665	. . . 4 ⊢ dom (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑧)))) = (𝐴(,)𝐵)
99	95, 98	eqtrdi 2781	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧))))) = (𝐴(,)𝐵))
100	15	recnd 11209	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐵) ∈ ℂ)
101	35	recnd 11209	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐴) ∈ ℂ)
102	100, 101	mulcld 11201	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐵) · (𝐺‘𝐴)) ∈ ℂ)
103	18	recnd 11209	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ ℂ)
104	34	recnd 11209	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐵) ∈ ℂ)
105	103, 104	mulcld 11201	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵)) ∈ ℂ)
106	103, 101	mulcld 11201	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐴)) ∈ ℂ)
107	102, 105, 106	nnncan2d 11575	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘𝐵) · (𝐺‘𝐴)) − ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐴))) − (((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵)) − ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐴)))) = (((𝐹‘𝐵) · (𝐺‘𝐴)) − ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵))))
108	100, 104	mulcld 11201	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐵) · (𝐺‘𝐵)) ∈ ℂ)
109	108, 105, 102	nnncan1d 11574	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘𝐵) · (𝐺‘𝐵)) − ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵))) − (((𝐹‘𝐵) · (𝐺‘𝐵)) − ((𝐹‘𝐵) · (𝐺‘𝐴)))) = (((𝐹‘𝐵) · (𝐺‘𝐴)) − ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵))))
110	107, 109	eqtr4d 2768	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘𝐵) · (𝐺‘𝐴)) − ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐴))) − (((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵)) − ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐴)))) = ((((𝐹‘𝐵) · (𝐺‘𝐵)) − ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵))) − (((𝐹‘𝐵) · (𝐺‘𝐵)) − ((𝐹‘𝐵) · (𝐺‘𝐴)))))
111	100, 103, 101	subdird 11642	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝐴)) = (((𝐹‘𝐵) · (𝐺‘𝐴)) − ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐴))))
112	91, 103	mulcomd 11202	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝐴)) = ((𝐹‘𝐴) · ((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴))))
113	103, 104, 101	subdid 11641	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) · ((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴))) = (((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵)) − ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐴))))
114	112, 113	eqtrd 2765	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝐴)) = (((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵)) − ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐴))))
115	111, 114	oveq12d 7408	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝐴)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝐴))) = ((((𝐹‘𝐵) · (𝐺‘𝐴)) − ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐴))) − (((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵)) − ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐴)))))
116	100, 103, 104	subdird 11642	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝐵)) = (((𝐹‘𝐵) · (𝐺‘𝐵)) − ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵))))
117	91, 100	mulcomd 11202	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝐵)) = ((𝐹‘𝐵) · ((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴))))
118	100, 104, 101	subdid 11641	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐵) · ((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴))) = (((𝐹‘𝐵) · (𝐺‘𝐵)) − ((𝐹‘𝐵) · (𝐺‘𝐴))))
119	117, 118	eqtrd 2765	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝐵)) = (((𝐹‘𝐵) · (𝐺‘𝐵)) − ((𝐹‘𝐵) · (𝐺‘𝐴))))
120	116, 119	oveq12d 7408	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝐵)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝐵))) = ((((𝐹‘𝐵) · (𝐺‘𝐵)) − ((𝐹‘𝐴) · (𝐺‘𝐵))) − (((𝐹‘𝐵) · (𝐺‘𝐵)) − ((𝐹‘𝐵) · (𝐺‘𝐴)))))
121	110, 115, 120	3eqtr4d 2775	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝐴)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝐴))) = ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝐵)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝐵))))
122		fveq2 6861	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (𝐺‘𝑧) = (𝐺‘𝐴))
123	122	oveq2d 7406	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) = (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝐴)))
124		fveq2 6861	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝐴))
125	124	oveq2d 7406	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧)) = (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝐴)))
126	123, 125	oveq12d 7408	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧))) = ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝐴)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝐴))))
127		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧)))) = (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧))))
128		ovex 7423	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧))) ∈ V
129	126, 127, 128	fvmpt3i 6976	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵) → ((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧))))‘𝐴) = ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝐴)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝐴))))
130	17, 129	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧))))‘𝐴) = ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝐴)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝐴))))
131		fveq2 6861	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → (𝐺‘𝑧) = (𝐺‘𝐵))
132	131	oveq2d 7406	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) = (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝐵)))
133		fveq2 6861	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → (𝐹‘𝑧) = (𝐹‘𝐵))
134	133	oveq2d 7406	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧)) = (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝐵)))
135	132, 134	oveq12d 7408	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧))) = ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝐵)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝐵))))
136	135, 127, 128	fvmpt3i 6976	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵) → ((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧))))‘𝐵) = ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝐵)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝐵))))
137	14, 136	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧))))‘𝐵) = ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝐵)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝐵))))
138	121, 130, 137	3eqtr4d 2775	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧))))‘𝐴) = ((𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧))))‘𝐵))
139	1, 2, 3, 44, 99, 138	rolle 25901	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)((ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧)))))‘𝑥) = 0)
140	94	fveq1d 6863	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧)))))‘𝑥) = ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑧))))‘𝑥))
141		fveq2 6861	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((ℝ D 𝐺)‘𝑧) = ((ℝ D 𝐺)‘𝑥))
142	141	oveq2d 7406	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)) = (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑥)))
143		fveq2 6861	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑧) = ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))
144	143	oveq2d 7406	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑧)) = (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
145	142, 144	oveq12d 7408	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑧))) = ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑥)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))))
146	145, 97, 96	fvmpt3i 6976	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) → ((𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑧))))‘𝑥) = ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑥)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))))
147	140, 146	sylan9eq 2785	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧)))))‘𝑥) = ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑥)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))))
148	147	eqeq1d 2732	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧)))))‘𝑥) = 0 ↔ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑥)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))) = 0))
149	45	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) ∈ ℂ)
150	72	ffvelcdmda 7059	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐺)‘𝑥) ∈ ℂ)
151	149, 150	mulcld 11201	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑥)) ∈ ℂ)
152	91	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) ∈ ℂ)
153	87	ffvelcdmda 7059	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℂ)
154	152, 153	mulcld 11201	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ∈ ℂ)
155	151, 154	subeq0ad 11550	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑥)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))) = 0 ↔ (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑥)) = (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))))
156	148, 155	bitrd 279	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧)))))‘𝑥) = 0 ↔ (((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑥)) = (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))))
157	156	rexbidva 3156	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)((ℝ D (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · (𝐺‘𝑧)) − (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · (𝐹‘𝑧)))))‘𝑥) = 0 ↔ ∃𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑥)) = (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑥))))
158	139, 157	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(((𝐹‘𝐵) − (𝐹‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐺)‘𝑥)) = (((𝐺‘𝐵) − (𝐺‘𝐴)) · ((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 395 = wceq 1540 ∈ wcel 2109 ∃wrex 3054 Vcvv 3450 ⊆ wss 3917 {cpr 4594 class class class wbr 5110 ↦ cmpt 5191 dom cdm 5641 ran crn 5642 ⟶wf 6510 ‘cfv 6514 (class class class)co 7390 ℂcc 11073 ℝcr 11074 0cc0 11075 · cmul 11080 ℝ^*cxr 11214 < clt 11215 ≤ cle 11216 − cmin 11412 (,)cioo 13313 [,]cicc 13316 TopOpenctopn 17391 topGenctg 17407 ℂ_fldccnfld 21271 intcnt 22911 –cn→ccncf 24776 D cdv 25771

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1910 ax-6 1967 ax-7 2008 ax-8 2111 ax-9 2119 ax-10 2142 ax-11 2158 ax-12 2178 ax-ext 2702 ax-rep 5237 ax-sep 5254 ax-nul 5264 ax-pow 5323 ax-pr 5390 ax-un 7714 ax-cnex 11131 ax-resscn 11132 ax-1cn 11133 ax-icn 11134 ax-addcl 11135 ax-addrcl 11136 ax-mulcl 11137 ax-mulrcl 11138 ax-mulcom 11139 ax-addass 11140 ax-mulass 11141 ax-distr 11142 ax-i2m1 11143 ax-1ne0 11144 ax-1rid 11145 ax-rnegex 11146 ax-rrecex 11147 ax-cnre 11148 ax-pre-lttri 11149 ax-pre-lttrn 11150 ax-pre-ltadd 11151 ax-pre-mulgt0 11152 ax-pre-sup 11153 ax-addf 11154 ax-mulf 11155

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2066 df-mo 2534 df-eu 2563 df-clab 2709 df-cleq 2722 df-clel 2804 df-nfc 2879 df-ne 2927 df-nel 3031 df-ral 3046 df-rex 3055 df-rmo 3356 df-reu 3357 df-rab 3409 df-v 3452 df-sbc 3757 df-csb 3866 df-dif 3920 df-un 3922 df-in 3924 df-ss 3934 df-pss 3937 df-nul 4300 df-if 4492 df-pw 4568 df-sn 4593 df-pr 4595 df-tp 4597 df-op 4599 df-uni 4875 df-int 4914 df-iun 4960 df-iin 4961 df-br 5111 df-opab 5173 df-mpt 5192 df-tr 5218 df-id 5536 df-eprel 5541 df-po 5549 df-so 5550 df-fr 5594 df-se 5595 df-we 5596 df-xp 5647 df-rel 5648 df-cnv 5649 df-co 5650 df-dm 5651 df-rn 5652 df-res 5653 df-ima 5654 df-pred 6277 df-ord 6338 df-on 6339 df-lim 6340 df-suc 6341 df-iota 6467 df-fun 6516 df-fn 6517 df-f 6518 df-f1 6519 df-fo 6520 df-f1o 6521 df-fv 6522 df-isom 6523 df-riota 7347 df-ov 7393 df-oprab 7394 df-mpo 7395 df-of 7656 df-om 7846 df-1st 7971 df-2nd 7972 df-supp 8143 df-frecs 8263 df-wrecs 8294 df-recs 8343 df-rdg 8381 df-1o 8437 df-2o 8438 df-er 8674 df-map 8804 df-pm 8805 df-ixp 8874 df-en 8922 df-dom 8923 df-sdom 8924 df-fin 8925 df-fsupp 9320 df-fi 9369 df-sup 9400 df-inf 9401 df-oi 9470 df-card 9899 df-pnf 11217 df-mnf 11218 df-xr 11219 df-ltxr 11220 df-le 11221 df-sub 11414 df-neg 11415 df-div 11843 df-nn 12194 df-2 12256 df-3 12257 df-4 12258 df-5 12259 df-6 12260 df-7 12261 df-8 12262 df-9 12263 df-n0 12450 df-z 12537 df-dec 12657 df-uz 12801 df-q 12915 df-rp 12959 df-xneg 13079 df-xadd 13080 df-xmul 13081 df-ioo 13317 df-ico 13319 df-icc 13320 df-fz 13476 df-fzo 13623 df-seq 13974 df-exp 14034 df-hash 14303 df-cj 15072 df-re 15073 df-im 15074 df-sqrt 15208 df-abs 15209 df-struct 17124 df-sets 17141 df-slot 17159 df-ndx 17171 df-base 17187 df-ress 17208 df-plusg 17240 df-mulr 17241 df-starv 17242 df-sca 17243 df-vsca 17244 df-ip 17245 df-tset 17246 df-ple 17247 df-ds 17249 df-unif 17250 df-hom 17251 df-cco 17252 df-rest 17392 df-topn 17393 df-0g 17411 df-gsum 17412 df-topgen 17413 df-pt 17414 df-prds 17417 df-xrs 17472 df-qtop 17477 df-imas 17478 df-xps 17480 df-mre 17554 df-mrc 17555 df-acs 17557 df-mgm 18574 df-sgrp 18653 df-mnd 18669 df-submnd 18718 df-mulg 19007 df-cntz 19256 df-cmn 19719 df-psmet 21263 df-xmet 21264 df-met 21265 df-bl 21266 df-mopn 21267 df-fbas 21268 df-fg 21269 df-cnfld 21272 df-top 22788 df-topon 22805 df-topsp 22827 df-bases 22840 df-cld 22913 df-ntr 22914 df-cls 22915 df-nei 22992 df-lp 23030 df-perf 23031 df-cn 23121 df-cnp 23122 df-haus 23209 df-cmp 23281 df-tx 23456 df-hmeo 23649 df-fil 23740 df-fm 23832 df-flim 23833 df-flf 23834 df-xms 24215 df-ms 24216 df-tms 24217 df-cncf 24778 df-limc 25774 df-dv 25775

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