Theorem lcmf0 16574

Description: The least common multiple of the empty set is 1. (Contributed by AV, 22-Aug-2020.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
lcmf0	⊢ (lcm‘∅) = 1

Proof of Theorem lcmf0

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ss 4389	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ ℤ
2		0fin 9168	. . 3 ⊢ ∅ ∈ Fin
3		noel 4323	. . . 4 ⊢ ¬ 0 ∈ ∅
4	3	nelir 3041	. . 3 ⊢ 0 ∉ ∅
5		lcmfn0val 16563	. . 3 ⊢ ((∅ ⊆ ℤ ∧ ∅ ∈ Fin ∧ 0 ∉ ∅) → (lcm‘∅) = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚 ∈ ∅ 𝑚 ∥ 𝑛}, ℝ, < ))
6	1, 2, 4, 5	mp3an 1457	. 2 ⊢ (lcm‘∅) = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚 ∈ ∅ 𝑚 ∥ 𝑛}, ℝ, < )
7		ral0 4505	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑚 ∈ ∅ 𝑚 ∥ 𝑛
8	7	rgenw 3057	. . . . 5 ⊢ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ ∅ 𝑚 ∥ 𝑛
9		rabid2 3456	. . . . 5 ⊢ (ℕ = {𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚 ∈ ∅ 𝑚 ∥ 𝑛} ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ ∅ 𝑚 ∥ 𝑛)
10	8, 9	mpbir 230	. . . 4 ⊢ ℕ = {𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚 ∈ ∅ 𝑚 ∥ 𝑛}
11	10	eqcomi 2733	. . 3 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚 ∈ ∅ 𝑚 ∥ 𝑛} = ℕ
12	11	infeq1i 9470	. 2 ⊢ inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚 ∈ ∅ 𝑚 ∥ 𝑛}, ℝ, < ) = inf(ℕ, ℝ, < )
13		nninf 12912	. 2 ⊢ inf(ℕ, ℝ, < ) = 1
14	6, 12, 13	3eqtri 2756	1 ⊢ (lcm‘∅) = 1

Syntax hints:   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∉ wnel 3038  ∀wral 3053  {crab 3424   ⊆ wss 3941  ∅c0 4315   class class class wbr 5139  ‘cfv 6534  Fincfn 8936  infcinf 9433  ℝcr 11106  0cc0 11107  1c1 11108   < clt 11247  ℕcn 12211  ℤcz 12557   ∥ cdvds 16200  lcmclcmf 16529

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-inf2 9633  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-rp 12976  df-fz 13486  df-fzo 13629  df-seq 13968  df-exp 14029  df-hash 14292  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-clim 15434  df-prod 15852  df-dvds 16201  df-lcmf 16531

This theorem is referenced by:  lcmfunsnlem  16581  lcmfun  16585  lcm1un  41384