MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lcmf0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcmf0 16604
Description: The least common multiple of the empty set is 1. (Contributed by AV, 22-Aug-2020.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
lcmf0 (lcm‘∅) = 1

Proof of Theorem lcmf0
Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ss 4397 . . 3 ∅ ⊆ ℤ
2 0fin 9195 . . 3 ∅ ∈ Fin
3 noel 4331 . . . 4 ¬ 0 ∈ ∅
43nelir 3046 . . 3 0 ∉ ∅
5 lcmfn0val 16593 . . 3 ((∅ ⊆ ℤ ∧ ∅ ∈ Fin ∧ 0 ∉ ∅) → (lcm‘∅) = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚 ∈ ∅ 𝑚𝑛}, ℝ, < ))
61, 2, 4, 5mp3an 1458 . 2 (lcm‘∅) = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚 ∈ ∅ 𝑚𝑛}, ℝ, < )
7 ral0 4513 . . . . . 6 𝑚 ∈ ∅ 𝑚𝑛
87rgenw 3062 . . . . 5 𝑛 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ ∅ 𝑚𝑛
9 rabid2 3461 . . . . 5 (ℕ = {𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚 ∈ ∅ 𝑚𝑛} ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ ∅ 𝑚𝑛)
108, 9mpbir 230 . . . 4 ℕ = {𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚 ∈ ∅ 𝑚𝑛}
1110eqcomi 2737 . . 3 {𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚 ∈ ∅ 𝑚𝑛} = ℕ
1211infeq1i 9501 . 2 inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚 ∈ ∅ 𝑚𝑛}, ℝ, < ) = inf(ℕ, ℝ, < )
13 nninf 12943 . 2 inf(ℕ, ℝ, < ) = 1
146, 12, 133eqtri 2760 1 (lcm‘∅) = 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1534  wcel 2099  wnel 3043  wral 3058  {crab 3429  wss 3947  c0 4323   class class class wbr 5148  cfv 6548  Fincfn 8963  infcinf 9464  cr 11137  0cc0 11138  1c1 11139   < clt 11278  cn 12242  cz 12588  cdvds 16230  lcmclcmf 16559
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-inf2 9664  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-er 8724  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13007  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-seq 13999  df-exp 14059  df-hash 14322  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-clim 15464  df-prod 15882  df-dvds 16231  df-lcmf 16561
This theorem is referenced by:  lcmfunsnlem  16611  lcmfun  16615  lcm1un  41484
  Copyright terms: Public domain W3C validator