Theorem lcmf0 16154

Description: The least common multiple of the empty set is 1. (Contributed by AV, 22-Aug-2020.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
lcmf0	⊢ (lcm‘∅) = 1

Proof of Theorem lcmf0

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ss 4297	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ ℤ
2		0fin 8827	. . 3 ⊢ ∅ ∈ Fin
3		noel 4231	. . . 4 ⊢ ¬ 0 ∈ ∅
4	3	nelir 3039	. . 3 ⊢ 0 ∉ ∅
5		lcmfn0val 16143	. . 3 ⊢ ((∅ ⊆ ℤ ∧ ∅ ∈ Fin ∧ 0 ∉ ∅) → (lcm‘∅) = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚 ∈ ∅ 𝑚 ∥ 𝑛}, ℝ, < ))
6	1, 2, 4, 5	mp3an 1463	. 2 ⊢ (lcm‘∅) = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚 ∈ ∅ 𝑚 ∥ 𝑛}, ℝ, < )
7		ral0 4410	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑚 ∈ ∅ 𝑚 ∥ 𝑛
8	7	rgenw 3063	. . . . 5 ⊢ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ ∅ 𝑚 ∥ 𝑛
9		rabid2 3283	. . . . 5 ⊢ (ℕ = {𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚 ∈ ∅ 𝑚 ∥ 𝑛} ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ ∅ 𝑚 ∥ 𝑛)
10	8, 9	mpbir 234	. . . 4 ⊢ ℕ = {𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚 ∈ ∅ 𝑚 ∥ 𝑛}
11	10	eqcomi 2745	. . 3 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚 ∈ ∅ 𝑚 ∥ 𝑛} = ℕ
12	11	infeq1i 9072	. 2 ⊢ inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚 ∈ ∅ 𝑚 ∥ 𝑛}, ℝ, < ) = inf(ℕ, ℝ, < )
13		nninf 12490	. 2 ⊢ inf(ℕ, ℝ, < ) = 1
14	6, 12, 13	3eqtri 2763	1 ⊢ (lcm‘∅) = 1

Syntax hints:   = wceq 1543   ∈ wcel 2112   ∉ wnel 3036  ∀wral 3051  {crab 3055   ⊆ wss 3853  ∅c0 4223   class class class wbr 5039  ‘cfv 6358  Fincfn 8604  infcinf 9035  ℝcr 10693  0cc0 10694  1c1 10695   < clt 10832  ℕcn 11795  ℤcz 12141   ∥ cdvds 15778  lcmclcmf 16109

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-inf2 9234  ax-cnex 10750  ax-resscn 10751  ax-1cn 10752  ax-icn 10753  ax-addcl 10754  ax-addrcl 10755  ax-mulcl 10756  ax-mulrcl 10757  ax-mulcom 10758  ax-addass 10759  ax-mulass 10760  ax-distr 10761  ax-i2m1 10762  ax-1ne0 10763  ax-1rid 10764  ax-rnegex 10765  ax-rrecex 10766  ax-cnre 10767  ax-pre-lttri 10768  ax-pre-lttrn 10769  ax-pre-ltadd 10770  ax-pre-mulgt0 10771  ax-pre-sup 10772

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-tp 4532  df-op 4534  df-uni 4806  df-int 4846  df-iun 4892  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5440  df-eprel 5445  df-po 5453  df-so 5454  df-fr 5494  df-se 5495  df-we 5496  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6140  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-isom 6367  df-riota 7148  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-om 7623  df-1st 7739  df-2nd 7740  df-wrecs 8025  df-recs 8086  df-rdg 8124  df-1o 8180  df-er 8369  df-en 8605  df-dom 8606  df-sdom 8607  df-fin 8608  df-sup 9036  df-inf 9037  df-oi 9104  df-card 9520  df-pnf 10834  df-mnf 10835  df-xr 10836  df-ltxr 10837  df-le 10838  df-sub 11029  df-neg 11030  df-div 11455  df-nn 11796  df-2 11858  df-3 11859  df-n0 12056  df-z 12142  df-uz 12404  df-rp 12552  df-fz 13061  df-fzo 13204  df-seq 13540  df-exp 13601  df-hash 13862  df-cj 14627  df-re 14628  df-im 14629  df-sqrt 14763  df-abs 14764  df-clim 15014  df-prod 15431  df-dvds 15779  df-lcmf 16111

This theorem is referenced by:  lcmfunsnlem  16161  lcmfun  16165  lcm1un  39704