Theorem lcmf0 16567

Description: The least common multiple of the empty set is 1. (Contributed by AV, 22-Aug-2020.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
lcmf0	⊢ (lcm‘∅) = 1

Proof of Theorem lcmf0

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ss 4395	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ ℤ
2		0fin 9167	. . 3 ⊢ ∅ ∈ Fin
3		noel 4329	. . . 4 ⊢ ¬ 0 ∈ ∅
4	3	nelir 3049	. . 3 ⊢ 0 ∉ ∅
5		lcmfn0val 16556	. . 3 ⊢ ((∅ ⊆ ℤ ∧ ∅ ∈ Fin ∧ 0 ∉ ∅) → (lcm‘∅) = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚 ∈ ∅ 𝑚 ∥ 𝑛}, ℝ, < ))
6	1, 2, 4, 5	mp3an 1461	. 2 ⊢ (lcm‘∅) = inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚 ∈ ∅ 𝑚 ∥ 𝑛}, ℝ, < )
7		ral0 4511	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑚 ∈ ∅ 𝑚 ∥ 𝑛
8	7	rgenw 3065	. . . . 5 ⊢ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ ∅ 𝑚 ∥ 𝑛
9		rabid2 3464	. . . . 5 ⊢ (ℕ = {𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚 ∈ ∅ 𝑚 ∥ 𝑛} ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑚 ∈ ∅ 𝑚 ∥ 𝑛)
10	8, 9	mpbir 230	. . . 4 ⊢ ℕ = {𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚 ∈ ∅ 𝑚 ∥ 𝑛}
11	10	eqcomi 2741	. . 3 ⊢ {𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚 ∈ ∅ 𝑚 ∥ 𝑛} = ℕ
12	11	infeq1i 9469	. 2 ⊢ inf({𝑛 ∈ ℕ ∣ ∀𝑚 ∈ ∅ 𝑚 ∥ 𝑛}, ℝ, < ) = inf(ℕ, ℝ, < )
13		nninf 12909	. 2 ⊢ inf(ℕ, ℝ, < ) = 1
14	6, 12, 13	3eqtri 2764	1 ⊢ (lcm‘∅) = 1

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ∉ wnel 3046  ∀wral 3061  {crab 3432   ⊆ wss 3947  ∅c0 4321   class class class wbr 5147  ‘cfv 6540  Fincfn 8935  infcinf 9432  ℝcr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   < clt 11244  ℕcn 12208  ℤcz 12554   ∥ cdvds 16193  lcmclcmf 16522

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-prod 15846  df-dvds 16194  df-lcmf 16524

This theorem is referenced by:  lcmfunsnlem  16574  lcmfun  16578  lcm1un  40866