Theorem lcmfass 16736

Description: Associative law for the lcm function. (Contributed by AV, 27-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
lcmfass	⊢ (((𝑌 ⊆ ℤ ∧ 𝑌 ∈ Fin) ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin)) → (lcm‘({(lcm‘𝑌)} ∪ 𝑍)) = (lcm‘(𝑌 ∪ {(lcm‘𝑍)})))

Proof of Theorem lcmfass

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcmfcl 16718	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ⊆ ℤ ∧ 𝑌 ∈ Fin) → (lcm‘𝑌) ∈ ℕ0)
2	1	nn0zd 12640	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ⊆ ℤ ∧ 𝑌 ∈ Fin) → (lcm‘𝑌) ∈ ℤ)
3		lcmfsn 16725	. . . . 5 ⊢ ((lcm‘𝑌) ∈ ℤ → (lcm‘{(lcm‘𝑌)}) = (abs‘(lcm‘𝑌)))
4	2, 3	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ⊆ ℤ ∧ 𝑌 ∈ Fin) → (lcm‘{(lcm‘𝑌)}) = (abs‘(lcm‘𝑌)))
5		nn0re 12537	. . . . . 6 ⊢ ((lcm‘𝑌) ∈ ℕ0 → (lcm‘𝑌) ∈ ℝ)
6		nn0ge0 12553	. . . . . 6 ⊢ ((lcm‘𝑌) ∈ ℕ0 → 0 ≤ (lcm‘𝑌))
7	5, 6	jca 521	. . . . 5 ⊢ ((lcm‘𝑌) ∈ ℕ0 → ((lcm‘𝑌) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (lcm‘𝑌)))
8		absid 15383	. . . . 5 ⊢ (((lcm‘𝑌) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (lcm‘𝑌)) → (abs‘(lcm‘𝑌)) = (lcm‘𝑌))
9	1, 7, 8	3syl 19	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ⊆ ℤ ∧ 𝑌 ∈ Fin) → (abs‘(lcm‘𝑌)) = (lcm‘𝑌))
10	4, 9	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ ((𝑌 ⊆ ℤ ∧ 𝑌 ∈ Fin) → (lcm‘{(lcm‘𝑌)}) = (lcm‘𝑌))
11		lcmfcl 16718	. . . . . 6 ⊢ ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → (lcm‘𝑍) ∈ ℕ0)
12	11	nn0zd 12640	. . . . 5 ⊢ ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → (lcm‘𝑍) ∈ ℤ)
13		lcmfsn 16725	. . . . 5 ⊢ ((lcm‘𝑍) ∈ ℤ → (lcm‘{(lcm‘𝑍)}) = (abs‘(lcm‘𝑍)))
14	12, 13	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → (lcm‘{(lcm‘𝑍)}) = (abs‘(lcm‘𝑍)))
15		nn0re 12537	. . . . . 6 ⊢ ((lcm‘𝑍) ∈ ℕ0 → (lcm‘𝑍) ∈ ℝ)
16		nn0ge0 12553	. . . . . 6 ⊢ ((lcm‘𝑍) ∈ ℕ0 → 0 ≤ (lcm‘𝑍))
17	15, 16	jca 521	. . . . 5 ⊢ ((lcm‘𝑍) ∈ ℕ0 → ((lcm‘𝑍) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (lcm‘𝑍)))
18		absid 15383	. . . . 5 ⊢ (((lcm‘𝑍) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (lcm‘𝑍)) → (abs‘(lcm‘𝑍)) = (lcm‘𝑍))
19	11, 17, 18	3syl 19	. . . 4 ⊢ ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → (abs‘(lcm‘𝑍)) = (lcm‘𝑍))
20	14, 19	eqtr2d 2796	. . 3 ⊢ ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → (lcm‘𝑍) = (lcm‘{(lcm‘𝑍)}))
21	10, 20	oveqan12d 7432	. 2 ⊢ (((𝑌 ⊆ ℤ ∧ 𝑌 ∈ Fin) ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin)) → ((lcm‘{(lcm‘𝑌)}) lcm (lcm‘𝑍)) = ((lcm‘𝑌) lcm (lcm‘{(lcm‘𝑍)})))
22	2	snssd 4747	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ⊆ ℤ ∧ 𝑌 ∈ Fin) → {(lcm‘𝑌)} ⊆ ℤ)
23		snfi 9050	. . . 4 ⊢ {(lcm‘𝑌)} ∈ Fin
24	22, 23	jctir 530	. . 3 ⊢ ((𝑌 ⊆ ℤ ∧ 𝑌 ∈ Fin) → ({(lcm‘𝑌)} ⊆ ℤ ∧ {(lcm‘𝑌)} ∈ Fin))
25		lcmfun 16735	. . 3 ⊢ ((({(lcm‘𝑌)} ⊆ ℤ ∧ {(lcm‘𝑌)} ∈ Fin) ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin)) → (lcm‘({(lcm‘𝑌)} ∪ 𝑍)) = ((lcm‘{(lcm‘𝑌)}) lcm (lcm‘𝑍)))
26	24, 25	sylan 592	. 2 ⊢ (((𝑌 ⊆ ℤ ∧ 𝑌 ∈ Fin) ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin)) → (lcm‘({(lcm‘𝑌)} ∪ 𝑍)) = ((lcm‘{(lcm‘𝑌)}) lcm (lcm‘𝑍)))
27	12	snssd 4747	. . . 4 ⊢ ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → {(lcm‘𝑍)} ⊆ ℤ)
28		snfi 9050	. . . 4 ⊢ {(lcm‘𝑍)} ∈ Fin
29	27, 28	jctir 530	. . 3 ⊢ ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → ({(lcm‘𝑍)} ⊆ ℤ ∧ {(lcm‘𝑍)} ∈ Fin))
30		lcmfun 16735	. . 3 ⊢ (((𝑌 ⊆ ℤ ∧ 𝑌 ∈ Fin) ∧ ({(lcm‘𝑍)} ⊆ ℤ ∧ {(lcm‘𝑍)} ∈ Fin)) → (lcm‘(𝑌 ∪ {(lcm‘𝑍)})) = ((lcm‘𝑌) lcm (lcm‘{(lcm‘𝑍)})))
31	29, 30	sylan2 605	. 2 ⊢ (((𝑌 ⊆ ℤ ∧ 𝑌 ∈ Fin) ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin)) → (lcm‘(𝑌 ∪ {(lcm‘𝑍)})) = ((lcm‘𝑌) lcm (lcm‘{(lcm‘𝑍)})))
32	21, 26, 31	3eqtr4d 2805	1 ⊢ (((𝑌 ⊆ ℤ ∧ 𝑌 ∈ Fin) ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin)) → (lcm‘({(lcm‘𝑌)} ∪ 𝑍)) = (lcm‘(𝑌 ∪ {(lcm‘𝑍)})))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∪ cun 3897   ⊆ wss 3899  {csn 4584   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  Fincfn 8952  ℝcr 11123  0cc0 11124   ≤ cle 11268  ℕ₀cn0 12528  ℤcz 12615  abscabs 15321   lcm clcm 16678  lcmclcmf 16679

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-inf2 9620  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-card 9944  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-rp 13043  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-fl 13853  df-mod 13931  df-seq 14066  df-exp 14126  df-hash 14395  df-cj 15186  df-re 15187  df-im 15188  df-sqrt 15322  df-abs 15323  df-clim 15575  df-prod 15993  df-dvds 16343  df-gcd 16585  df-lcm 16680  df-lcmf 16681

This theorem is used by: (None)