Theorem lcmfass 16592

Description: Associative law for the lcm function. (Contributed by AV, 27-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
lcmfass	⊢ (((𝑌 ⊆ ℤ ∧ 𝑌 ∈ Fin) ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin)) → (lcm‘({(lcm‘𝑌)} ∪ 𝑍)) = (lcm‘(𝑌 ∪ {(lcm‘𝑍)})))

Proof of Theorem lcmfass

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcmfcl 16574	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ⊆ ℤ ∧ 𝑌 ∈ Fin) → (lcm‘𝑌) ∈ ℕ0)
2	1	nn0zd 12531	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ⊆ ℤ ∧ 𝑌 ∈ Fin) → (lcm‘𝑌) ∈ ℤ)
3		lcmfsn 16581	. . . . 5 ⊢ ((lcm‘𝑌) ∈ ℤ → (lcm‘{(lcm‘𝑌)}) = (abs‘(lcm‘𝑌)))
4	2, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ⊆ ℤ ∧ 𝑌 ∈ Fin) → (lcm‘{(lcm‘𝑌)}) = (abs‘(lcm‘𝑌)))
5		nn0re 12427	. . . . . 6 ⊢ ((lcm‘𝑌) ∈ ℕ0 → (lcm‘𝑌) ∈ ℝ)
6		nn0ge0 12443	. . . . . 6 ⊢ ((lcm‘𝑌) ∈ ℕ0 → 0 ≤ (lcm‘𝑌))
7	5, 6	jca 511	. . . . 5 ⊢ ((lcm‘𝑌) ∈ ℕ0 → ((lcm‘𝑌) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (lcm‘𝑌)))
8		absid 15238	. . . . 5 ⊢ (((lcm‘𝑌) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (lcm‘𝑌)) → (abs‘(lcm‘𝑌)) = (lcm‘𝑌))
9	1, 7, 8	3syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ⊆ ℤ ∧ 𝑌 ∈ Fin) → (abs‘(lcm‘𝑌)) = (lcm‘𝑌))
10	4, 9	eqtrd 2764	. . 3 ⊢ ((𝑌 ⊆ ℤ ∧ 𝑌 ∈ Fin) → (lcm‘{(lcm‘𝑌)}) = (lcm‘𝑌))
11		lcmfcl 16574	. . . . . 6 ⊢ ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → (lcm‘𝑍) ∈ ℕ0)
12	11	nn0zd 12531	. . . . 5 ⊢ ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → (lcm‘𝑍) ∈ ℤ)
13		lcmfsn 16581	. . . . 5 ⊢ ((lcm‘𝑍) ∈ ℤ → (lcm‘{(lcm‘𝑍)}) = (abs‘(lcm‘𝑍)))
14	12, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → (lcm‘{(lcm‘𝑍)}) = (abs‘(lcm‘𝑍)))
15		nn0re 12427	. . . . . 6 ⊢ ((lcm‘𝑍) ∈ ℕ0 → (lcm‘𝑍) ∈ ℝ)
16		nn0ge0 12443	. . . . . 6 ⊢ ((lcm‘𝑍) ∈ ℕ0 → 0 ≤ (lcm‘𝑍))
17	15, 16	jca 511	. . . . 5 ⊢ ((lcm‘𝑍) ∈ ℕ0 → ((lcm‘𝑍) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (lcm‘𝑍)))
18		absid 15238	. . . . 5 ⊢ (((lcm‘𝑍) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (lcm‘𝑍)) → (abs‘(lcm‘𝑍)) = (lcm‘𝑍))
19	11, 17, 18	3syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → (abs‘(lcm‘𝑍)) = (lcm‘𝑍))
20	14, 19	eqtr2d 2765	. . 3 ⊢ ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → (lcm‘𝑍) = (lcm‘{(lcm‘𝑍)}))
21	10, 20	oveqan12d 7388	. 2 ⊢ (((𝑌 ⊆ ℤ ∧ 𝑌 ∈ Fin) ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin)) → ((lcm‘{(lcm‘𝑌)}) lcm (lcm‘𝑍)) = ((lcm‘𝑌) lcm (lcm‘{(lcm‘𝑍)})))
22	2	snssd 4769	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ⊆ ℤ ∧ 𝑌 ∈ Fin) → {(lcm‘𝑌)} ⊆ ℤ)
23		snfi 8991	. . . 4 ⊢ {(lcm‘𝑌)} ∈ Fin
24	22, 23	jctir 520	. . 3 ⊢ ((𝑌 ⊆ ℤ ∧ 𝑌 ∈ Fin) → ({(lcm‘𝑌)} ⊆ ℤ ∧ {(lcm‘𝑌)} ∈ Fin))
25		lcmfun 16591	. . 3 ⊢ ((({(lcm‘𝑌)} ⊆ ℤ ∧ {(lcm‘𝑌)} ∈ Fin) ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin)) → (lcm‘({(lcm‘𝑌)} ∪ 𝑍)) = ((lcm‘{(lcm‘𝑌)}) lcm (lcm‘𝑍)))
26	24, 25	sylan 580	. 2 ⊢ (((𝑌 ⊆ ℤ ∧ 𝑌 ∈ Fin) ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin)) → (lcm‘({(lcm‘𝑌)} ∪ 𝑍)) = ((lcm‘{(lcm‘𝑌)}) lcm (lcm‘𝑍)))
27	12	snssd 4769	. . . 4 ⊢ ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → {(lcm‘𝑍)} ⊆ ℤ)
28		snfi 8991	. . . 4 ⊢ {(lcm‘𝑍)} ∈ Fin
29	27, 28	jctir 520	. . 3 ⊢ ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → ({(lcm‘𝑍)} ⊆ ℤ ∧ {(lcm‘𝑍)} ∈ Fin))
30		lcmfun 16591	. . 3 ⊢ (((𝑌 ⊆ ℤ ∧ 𝑌 ∈ Fin) ∧ ({(lcm‘𝑍)} ⊆ ℤ ∧ {(lcm‘𝑍)} ∈ Fin)) → (lcm‘(𝑌 ∪ {(lcm‘𝑍)})) = ((lcm‘𝑌) lcm (lcm‘{(lcm‘𝑍)})))
31	29, 30	sylan2 593	. 2 ⊢ (((𝑌 ⊆ ℤ ∧ 𝑌 ∈ Fin) ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin)) → (lcm‘(𝑌 ∪ {(lcm‘𝑍)})) = ((lcm‘𝑌) lcm (lcm‘{(lcm‘𝑍)})))
32	21, 26, 31	3eqtr4d 2774	1 ⊢ (((𝑌 ⊆ ℤ ∧ 𝑌 ∈ Fin) ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin)) → (lcm‘({(lcm‘𝑌)} ∪ 𝑍)) = (lcm‘(𝑌 ∪ {(lcm‘𝑍)})))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∪ cun 3909   ⊆ wss 3911  {csn 4585   class class class wbr 5102  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  Fincfn 8895  ℝcr 11043  0cc0 11044   ≤ cle 11185  ℕ₀cn0 12418  ℤcz 12505  abscabs 15176   lcm clcm 16534  lcmclcmf 16535

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-inf2 9570  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9369  df-inf 9370  df-oi 9439  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-rp 12928  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-fl 13730  df-mod 13808  df-seq 13943  df-exp 14003  df-hash 14272  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-clim 15430  df-prod 15846  df-dvds 16199  df-gcd 16441  df-lcm 16536  df-lcmf 16537

This theorem is referenced by: (None)