Theorem lcmfass 16583

Description: Associative law for the lcm function. (Contributed by AV, 27-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
lcmfass	⊢ (((𝑌 ⊆ ℤ ∧ 𝑌 ∈ Fin) ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin)) → (lcm‘({(lcm‘𝑌)} ∪ 𝑍)) = (lcm‘(𝑌 ∪ {(lcm‘𝑍)})))

Proof of Theorem lcmfass

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcmfcl 16565	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ⊆ ℤ ∧ 𝑌 ∈ Fin) → (lcm‘𝑌) ∈ ℕ0)
2	1	nn0zd 12584	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ⊆ ℤ ∧ 𝑌 ∈ Fin) → (lcm‘𝑌) ∈ ℤ)
3		lcmfsn 16572	. . . . 5 ⊢ ((lcm‘𝑌) ∈ ℤ → (lcm‘{(lcm‘𝑌)}) = (abs‘(lcm‘𝑌)))
4	2, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ⊆ ℤ ∧ 𝑌 ∈ Fin) → (lcm‘{(lcm‘𝑌)}) = (abs‘(lcm‘𝑌)))
5		nn0re 12481	. . . . . 6 ⊢ ((lcm‘𝑌) ∈ ℕ0 → (lcm‘𝑌) ∈ ℝ)
6		nn0ge0 12497	. . . . . 6 ⊢ ((lcm‘𝑌) ∈ ℕ0 → 0 ≤ (lcm‘𝑌))
7	5, 6	jca 513	. . . . 5 ⊢ ((lcm‘𝑌) ∈ ℕ0 → ((lcm‘𝑌) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (lcm‘𝑌)))
8		absid 15243	. . . . 5 ⊢ (((lcm‘𝑌) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (lcm‘𝑌)) → (abs‘(lcm‘𝑌)) = (lcm‘𝑌))
9	1, 7, 8	3syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ⊆ ℤ ∧ 𝑌 ∈ Fin) → (abs‘(lcm‘𝑌)) = (lcm‘𝑌))
10	4, 9	eqtrd 2773	. . 3 ⊢ ((𝑌 ⊆ ℤ ∧ 𝑌 ∈ Fin) → (lcm‘{(lcm‘𝑌)}) = (lcm‘𝑌))
11		lcmfcl 16565	. . . . . 6 ⊢ ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → (lcm‘𝑍) ∈ ℕ0)
12	11	nn0zd 12584	. . . . 5 ⊢ ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → (lcm‘𝑍) ∈ ℤ)
13		lcmfsn 16572	. . . . 5 ⊢ ((lcm‘𝑍) ∈ ℤ → (lcm‘{(lcm‘𝑍)}) = (abs‘(lcm‘𝑍)))
14	12, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → (lcm‘{(lcm‘𝑍)}) = (abs‘(lcm‘𝑍)))
15		nn0re 12481	. . . . . 6 ⊢ ((lcm‘𝑍) ∈ ℕ0 → (lcm‘𝑍) ∈ ℝ)
16		nn0ge0 12497	. . . . . 6 ⊢ ((lcm‘𝑍) ∈ ℕ0 → 0 ≤ (lcm‘𝑍))
17	15, 16	jca 513	. . . . 5 ⊢ ((lcm‘𝑍) ∈ ℕ0 → ((lcm‘𝑍) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (lcm‘𝑍)))
18		absid 15243	. . . . 5 ⊢ (((lcm‘𝑍) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (lcm‘𝑍)) → (abs‘(lcm‘𝑍)) = (lcm‘𝑍))
19	11, 17, 18	3syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → (abs‘(lcm‘𝑍)) = (lcm‘𝑍))
20	14, 19	eqtr2d 2774	. . 3 ⊢ ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → (lcm‘𝑍) = (lcm‘{(lcm‘𝑍)}))
21	10, 20	oveqan12d 7428	. 2 ⊢ (((𝑌 ⊆ ℤ ∧ 𝑌 ∈ Fin) ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin)) → ((lcm‘{(lcm‘𝑌)}) lcm (lcm‘𝑍)) = ((lcm‘𝑌) lcm (lcm‘{(lcm‘𝑍)})))
22	2	snssd 4813	. . . 4 ⊢ ((𝑌 ⊆ ℤ ∧ 𝑌 ∈ Fin) → {(lcm‘𝑌)} ⊆ ℤ)
23		snfi 9044	. . . 4 ⊢ {(lcm‘𝑌)} ∈ Fin
24	22, 23	jctir 522	. . 3 ⊢ ((𝑌 ⊆ ℤ ∧ 𝑌 ∈ Fin) → ({(lcm‘𝑌)} ⊆ ℤ ∧ {(lcm‘𝑌)} ∈ Fin))
25		lcmfun 16582	. . 3 ⊢ ((({(lcm‘𝑌)} ⊆ ℤ ∧ {(lcm‘𝑌)} ∈ Fin) ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin)) → (lcm‘({(lcm‘𝑌)} ∪ 𝑍)) = ((lcm‘{(lcm‘𝑌)}) lcm (lcm‘𝑍)))
26	24, 25	sylan 581	. 2 ⊢ (((𝑌 ⊆ ℤ ∧ 𝑌 ∈ Fin) ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin)) → (lcm‘({(lcm‘𝑌)} ∪ 𝑍)) = ((lcm‘{(lcm‘𝑌)}) lcm (lcm‘𝑍)))
27	12	snssd 4813	. . . 4 ⊢ ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → {(lcm‘𝑍)} ⊆ ℤ)
28		snfi 9044	. . . 4 ⊢ {(lcm‘𝑍)} ∈ Fin
29	27, 28	jctir 522	. . 3 ⊢ ((𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin) → ({(lcm‘𝑍)} ⊆ ℤ ∧ {(lcm‘𝑍)} ∈ Fin))
30		lcmfun 16582	. . 3 ⊢ (((𝑌 ⊆ ℤ ∧ 𝑌 ∈ Fin) ∧ ({(lcm‘𝑍)} ⊆ ℤ ∧ {(lcm‘𝑍)} ∈ Fin)) → (lcm‘(𝑌 ∪ {(lcm‘𝑍)})) = ((lcm‘𝑌) lcm (lcm‘{(lcm‘𝑍)})))
31	29, 30	sylan2 594	. 2 ⊢ (((𝑌 ⊆ ℤ ∧ 𝑌 ∈ Fin) ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin)) → (lcm‘(𝑌 ∪ {(lcm‘𝑍)})) = ((lcm‘𝑌) lcm (lcm‘{(lcm‘𝑍)})))
32	21, 26, 31	3eqtr4d 2783	1 ⊢ (((𝑌 ⊆ ℤ ∧ 𝑌 ∈ Fin) ∧ (𝑍 ⊆ ℤ ∧ 𝑍 ∈ Fin)) → (lcm‘({(lcm‘𝑌)} ∪ 𝑍)) = (lcm‘(𝑌 ∪ {(lcm‘𝑍)})))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ∪ cun 3947   ⊆ wss 3949  {csn 4629   class class class wbr 5149  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  Fincfn 8939  ℝcr 11109  0cc0 11110   ≤ cle 11249  ℕ₀cn0 12472  ℤcz 12558  abscabs 15181   lcm clcm 16525  lcmclcmf 16526

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-prod 15850  df-dvds 16198  df-gcd 16436  df-lcm 16527  df-lcmf 16528

This theorem is referenced by: (None)