Theorem lgsneg1 26470

Description: The Legendre symbol for nonnegative first parameter is unchanged by negation of the second. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lgsneg1	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 /L -𝑁) = (𝐴 /L 𝑁))

Proof of Theorem lgsneg1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neg0 11267	. . . 4 ⊢ -0 = 0
2		simpr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = 0) → 𝑁 = 0)
3	2	negeqd 11215	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = 0) → -𝑁 = -0)
4	1, 3, 2	3eqtr4a 2804	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = 0) → -𝑁 = 𝑁)
5	4	oveq2d 7291	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = 0) → (𝐴 /L -𝑁) = (𝐴 /L 𝑁))
6		nn0z 12343	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℤ)
7		lgsneg 26469	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝐴 /L -𝑁) = (if(𝐴 < 0, -1, 1) · (𝐴 /L 𝑁)))
8	6, 7	syl3an1 1162	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝐴 /L -𝑁) = (if(𝐴 < 0, -1, 1) · (𝐴 /L 𝑁)))
9		nn0nlt0 12259	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → ¬ 𝐴 < 0)
10	9	3ad2ant1 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → ¬ 𝐴 < 0)
11	10	iffalsed 4470	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → if(𝐴 < 0, -1, 1) = 1)
12	11	oveq1d 7290	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (if(𝐴 < 0, -1, 1) · (𝐴 /L 𝑁)) = (1 · (𝐴 /L 𝑁)))
13	6	3ad2ant1 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℤ)
14		simp2 1136	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℤ)
15		lgscl 26459	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 𝑁) ∈ ℤ)
16	13, 14, 15	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝐴 /L 𝑁) ∈ ℤ)
17	16	zcnd 12427	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝐴 /L 𝑁) ∈ ℂ)
18	17	mulid2d 10993	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (1 · (𝐴 /L 𝑁)) = (𝐴 /L 𝑁))
19	8, 12, 18	3eqtrd 2782	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝐴 /L -𝑁) = (𝐴 /L 𝑁))
20	19	3expa 1117	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝐴 /L -𝑁) = (𝐴 /L 𝑁))
21	5, 20	pm2.61dane 3032	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 /L -𝑁) = (𝐴 /L 𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ifcif 4459   class class class wbr 5074  (class class class)co 7275  0cc0 10871  1c1 10872   · cmul 10876   < clt 11009  -cneg 11206  ℕ₀cn0 12233  ℤcz 12319   /_L clgs 26442

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-oadd 8301  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-dju 9659  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-xnn0 12306  df-z 12320  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-mod 13590  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-dvds 15964  df-gcd 16202  df-prm 16377  df-phi 16467  df-pc 16538  df-lgs 26443

This theorem is referenced by: (None)