MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsneg1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgsneg1 26686
Description: The Legendre symbol for nonnegative first parameter is unchanged by negation of the second. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
lgsneg1 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด /L -๐‘) = (๐ด /L ๐‘))

Proof of Theorem lgsneg1
StepHypRef Expression
1 neg0 11454 . . . 4 -0 = 0
2 simpr 486 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ ๐‘ = 0)
32negeqd 11402 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ -๐‘ = -0)
41, 3, 23eqtr4a 2803 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ -๐‘ = ๐‘)
54oveq2d 7378 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ (๐ด /L -๐‘) = (๐ด /L ๐‘))
6 nn0z 12531 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
7 lgsneg 26685 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0) โ†’ (๐ด /L -๐‘) = (if(๐ด < 0, -1, 1) ยท (๐ด /L ๐‘)))
86, 7syl3an1 1164 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0) โ†’ (๐ด /L -๐‘) = (if(๐ด < 0, -1, 1) ยท (๐ด /L ๐‘)))
9 nn0nlt0 12446 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„•0 โ†’ ยฌ ๐ด < 0)
1093ad2ant1 1134 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0) โ†’ ยฌ ๐ด < 0)
1110iffalsed 4502 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0) โ†’ if(๐ด < 0, -1, 1) = 1)
1211oveq1d 7377 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0) โ†’ (if(๐ด < 0, -1, 1) ยท (๐ด /L ๐‘)) = (1 ยท (๐ด /L ๐‘)))
1363ad2ant1 1134 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
14 simp2 1138 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
15 lgscl 26675 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด /L ๐‘) โˆˆ โ„ค)
1613, 14, 15syl2anc 585 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0) โ†’ (๐ด /L ๐‘) โˆˆ โ„ค)
1716zcnd 12615 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0) โ†’ (๐ด /L ๐‘) โˆˆ โ„‚)
1817mulid2d 11180 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0) โ†’ (1 ยท (๐ด /L ๐‘)) = (๐ด /L ๐‘))
198, 12, 183eqtrd 2781 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0) โ†’ (๐ด /L -๐‘) = (๐ด /L ๐‘))
20193expa 1119 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ โ‰  0) โ†’ (๐ด /L -๐‘) = (๐ด /L ๐‘))
215, 20pm2.61dane 3033 1 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด /L -๐‘) = (๐ด /L ๐‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2944  ifcif 4491   class class class wbr 5110  (class class class)co 7362  0cc0 11058  1c1 11059   ยท cmul 11063   < clt 11196  -cneg 11393  โ„•0cn0 12420  โ„คcz 12506   /L clgs 26658
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-dju 9844  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-dvds 16144  df-gcd 16382  df-prm 16555  df-phi 16645  df-pc 16716  df-lgs 26659
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator