MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsneg1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgsneg1 27206
Description: The Legendre symbol for nonnegative first parameter is unchanged by negation of the second. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
lgsneg1 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด /L -๐‘) = (๐ด /L ๐‘))

Proof of Theorem lgsneg1
StepHypRef Expression
1 neg0 11507 . . . 4 -0 = 0
2 simpr 484 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ ๐‘ = 0)
32negeqd 11455 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ -๐‘ = -0)
41, 3, 23eqtr4a 2792 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ -๐‘ = ๐‘)
54oveq2d 7420 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ (๐ด /L -๐‘) = (๐ด /L ๐‘))
6 nn0z 12584 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
7 lgsneg 27205 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0) โ†’ (๐ด /L -๐‘) = (if(๐ด < 0, -1, 1) ยท (๐ด /L ๐‘)))
86, 7syl3an1 1160 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0) โ†’ (๐ด /L -๐‘) = (if(๐ด < 0, -1, 1) ยท (๐ด /L ๐‘)))
9 nn0nlt0 12499 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„•0 โ†’ ยฌ ๐ด < 0)
1093ad2ant1 1130 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0) โ†’ ยฌ ๐ด < 0)
1110iffalsed 4534 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0) โ†’ if(๐ด < 0, -1, 1) = 1)
1211oveq1d 7419 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0) โ†’ (if(๐ด < 0, -1, 1) ยท (๐ด /L ๐‘)) = (1 ยท (๐ด /L ๐‘)))
1363ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
14 simp2 1134 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
15 lgscl 27195 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด /L ๐‘) โˆˆ โ„ค)
1613, 14, 15syl2anc 583 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0) โ†’ (๐ด /L ๐‘) โˆˆ โ„ค)
1716zcnd 12668 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0) โ†’ (๐ด /L ๐‘) โˆˆ โ„‚)
1817mullidd 11233 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0) โ†’ (1 ยท (๐ด /L ๐‘)) = (๐ด /L ๐‘))
198, 12, 183eqtrd 2770 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0) โ†’ (๐ด /L -๐‘) = (๐ด /L ๐‘))
20193expa 1115 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ โ‰  0) โ†’ (๐ด /L -๐‘) = (๐ด /L ๐‘))
215, 20pm2.61dane 3023 1 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด /L -๐‘) = (๐ด /L ๐‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2934  ifcif 4523   class class class wbr 5141  (class class class)co 7404  0cc0 11109  1c1 11110   ยท cmul 11114   < clt 11249  -cneg 11446  โ„•0cn0 12473  โ„คcz 12559   /L clgs 27178
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-2o 8465  df-oadd 8468  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-dju 9895  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-n0 12474  df-xnn0 12546  df-z 12560  df-uz 12824  df-q 12934  df-rp 12978  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-fl 13760  df-mod 13838  df-seq 13970  df-exp 14031  df-hash 14294  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-dvds 16203  df-gcd 16441  df-prm 16614  df-phi 16706  df-pc 16777  df-lgs 27179
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator