Theorem lgsneg1 25460

Description: The Legendre symbol for nonnegative first parameter is unchanged by negation of the second. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lgsneg1	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 /L -𝑁) = (𝐴 /L 𝑁))

Proof of Theorem lgsneg1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neg0 10648	. . . 4 ⊢ -0 = 0
2		simpr 479	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = 0) → 𝑁 = 0)
3	2	negeqd 10595	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = 0) → -𝑁 = -0)
4	1, 3, 2	3eqtr4a 2887	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = 0) → -𝑁 = 𝑁)
5	4	oveq2d 6921	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = 0) → (𝐴 /L -𝑁) = (𝐴 /L 𝑁))
6		nn0z 11728	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℤ)
7		lgsneg 25459	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝐴 /L -𝑁) = (if(𝐴 < 0, -1, 1) · (𝐴 /L 𝑁)))
8	6, 7	syl3an1 1206	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝐴 /L -𝑁) = (if(𝐴 < 0, -1, 1) · (𝐴 /L 𝑁)))
9		nn0nlt0 11646	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → ¬ 𝐴 < 0)
10	9	3ad2ant1 1167	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → ¬ 𝐴 < 0)
11	10	iffalsed 4317	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → if(𝐴 < 0, -1, 1) = 1)
12	11	oveq1d 6920	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (if(𝐴 < 0, -1, 1) · (𝐴 /L 𝑁)) = (1 · (𝐴 /L 𝑁)))
13	6	3ad2ant1 1167	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℤ)
14		simp2 1171	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℤ)
15		lgscl 25449	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 𝑁) ∈ ℤ)
16	13, 14, 15	syl2anc 579	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝐴 /L 𝑁) ∈ ℤ)
17	16	zcnd 11811	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝐴 /L 𝑁) ∈ ℂ)
18	17	mulid2d 10375	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (1 · (𝐴 /L 𝑁)) = (𝐴 /L 𝑁))
19	8, 12, 18	3eqtrd 2865	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝐴 /L -𝑁) = (𝐴 /L 𝑁))
20	19	3expa 1151	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝐴 /L -𝑁) = (𝐴 /L 𝑁))
21	5, 20	pm2.61dane 3086	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 /L -𝑁) = (𝐴 /L 𝑁))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 386   ∧ w3a 1111   = wceq 1656   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2999  ifcif 4306   class class class wbr 4873  (class class class)co 6905  0cc0 10252  1c1 10253   · cmul 10257   < clt 10391  -cneg 10586  ℕ₀cn0 11618  ℤcz 11704   /_L clgs 25432

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329  ax-pre-sup 10330

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-2o 7827  df-oadd 7830  df-er 8009  df-map 8124  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-sup 8617  df-inf 8618  df-card 9078  df-cda 9305  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-div 11010  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-n0 11619  df-xnn0 11691  df-z 11705  df-uz 11969  df-q 12072  df-rp 12113  df-fz 12620  df-fzo 12761  df-fl 12888  df-mod 12964  df-seq 13096  df-exp 13155  df-hash 13411  df-cj 14216  df-re 14217  df-im 14218  df-sqrt 14352  df-abs 14353  df-dvds 15358  df-gcd 15590  df-prm 15758  df-phi 15842  df-pc 15913  df-lgs 25433

This theorem is referenced by: (None)