MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsneg1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgsneg1 27275
Description: The Legendre symbol for nonnegative first parameter is unchanged by negation of the second. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
lgsneg1 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด /L -๐‘) = (๐ด /L ๐‘))

Proof of Theorem lgsneg1
StepHypRef Expression
1 neg0 11544 . . . 4 -0 = 0
2 simpr 483 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ ๐‘ = 0)
32negeqd 11492 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ -๐‘ = -0)
41, 3, 23eqtr4a 2794 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ -๐‘ = ๐‘)
54oveq2d 7442 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ (๐ด /L -๐‘) = (๐ด /L ๐‘))
6 nn0z 12621 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
7 lgsneg 27274 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0) โ†’ (๐ด /L -๐‘) = (if(๐ด < 0, -1, 1) ยท (๐ด /L ๐‘)))
86, 7syl3an1 1160 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0) โ†’ (๐ด /L -๐‘) = (if(๐ด < 0, -1, 1) ยท (๐ด /L ๐‘)))
9 nn0nlt0 12536 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„•0 โ†’ ยฌ ๐ด < 0)
1093ad2ant1 1130 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0) โ†’ ยฌ ๐ด < 0)
1110iffalsed 4543 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0) โ†’ if(๐ด < 0, -1, 1) = 1)
1211oveq1d 7441 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0) โ†’ (if(๐ด < 0, -1, 1) ยท (๐ด /L ๐‘)) = (1 ยท (๐ด /L ๐‘)))
1363ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
14 simp2 1134 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
15 lgscl 27264 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด /L ๐‘) โˆˆ โ„ค)
1613, 14, 15syl2anc 582 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0) โ†’ (๐ด /L ๐‘) โˆˆ โ„ค)
1716zcnd 12705 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0) โ†’ (๐ด /L ๐‘) โˆˆ โ„‚)
1817mullidd 11270 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0) โ†’ (1 ยท (๐ด /L ๐‘)) = (๐ด /L ๐‘))
198, 12, 183eqtrd 2772 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0) โ†’ (๐ด /L -๐‘) = (๐ด /L ๐‘))
20193expa 1115 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ โ‰  0) โ†’ (๐ด /L -๐‘) = (๐ด /L ๐‘))
215, 20pm2.61dane 3026 1 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด /L -๐‘) = (๐ด /L ๐‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2937  ifcif 4532   class class class wbr 5152  (class class class)co 7426  0cc0 11146  1c1 11147   ยท cmul 11151   < clt 11286  -cneg 11483  โ„•0cn0 12510  โ„คcz 12596   /L clgs 27247
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-2o 8494  df-oadd 8497  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-sup 9473  df-inf 9474  df-dju 9932  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12511  df-xnn0 12583  df-z 12597  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-fl 13797  df-mod 13875  df-seq 14007  df-exp 14067  df-hash 14330  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-dvds 16239  df-gcd 16477  df-prm 16650  df-phi 16742  df-pc 16813  df-lgs 27248
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator