![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > lgsneg1 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: The Legendre symbol for nonnegative first parameter is unchanged by negation of the second. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.) |
Ref | Expression |
---|---|
lgsneg1 | โข ((๐ด โ โ0 โง ๐ โ โค) โ (๐ด /L -๐) = (๐ด /L ๐)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | neg0 11505 | . . . 4 โข -0 = 0 | |
2 | simpr 485 | . . . . 5 โข (((๐ด โ โ0 โง ๐ โ โค) โง ๐ = 0) โ ๐ = 0) | |
3 | 2 | negeqd 11453 | . . . 4 โข (((๐ด โ โ0 โง ๐ โ โค) โง ๐ = 0) โ -๐ = -0) |
4 | 1, 3, 2 | 3eqtr4a 2798 | . . 3 โข (((๐ด โ โ0 โง ๐ โ โค) โง ๐ = 0) โ -๐ = ๐) |
5 | 4 | oveq2d 7424 | . 2 โข (((๐ด โ โ0 โง ๐ โ โค) โง ๐ = 0) โ (๐ด /L -๐) = (๐ด /L ๐)) |
6 | nn0z 12582 | . . . . 5 โข (๐ด โ โ0 โ ๐ด โ โค) | |
7 | lgsneg 26821 | . . . . 5 โข ((๐ด โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ 0) โ (๐ด /L -๐) = (if(๐ด < 0, -1, 1) ยท (๐ด /L ๐))) | |
8 | 6, 7 | syl3an1 1163 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ0 โง ๐ โ โค โง ๐ โ 0) โ (๐ด /L -๐) = (if(๐ด < 0, -1, 1) ยท (๐ด /L ๐))) |
9 | nn0nlt0 12497 | . . . . . . 7 โข (๐ด โ โ0 โ ยฌ ๐ด < 0) | |
10 | 9 | 3ad2ant1 1133 | . . . . . 6 โข ((๐ด โ โ0 โง ๐ โ โค โง ๐ โ 0) โ ยฌ ๐ด < 0) |
11 | 10 | iffalsed 4539 | . . . . 5 โข ((๐ด โ โ0 โง ๐ โ โค โง ๐ โ 0) โ if(๐ด < 0, -1, 1) = 1) |
12 | 11 | oveq1d 7423 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ0 โง ๐ โ โค โง ๐ โ 0) โ (if(๐ด < 0, -1, 1) ยท (๐ด /L ๐)) = (1 ยท (๐ด /L ๐))) |
13 | 6 | 3ad2ant1 1133 | . . . . . . 7 โข ((๐ด โ โ0 โง ๐ โ โค โง ๐ โ 0) โ ๐ด โ โค) |
14 | simp2 1137 | . . . . . . 7 โข ((๐ด โ โ0 โง ๐ โ โค โง ๐ โ 0) โ ๐ โ โค) | |
15 | lgscl 26811 | . . . . . . 7 โข ((๐ด โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐ด /L ๐) โ โค) | |
16 | 13, 14, 15 | syl2anc 584 | . . . . . 6 โข ((๐ด โ โ0 โง ๐ โ โค โง ๐ โ 0) โ (๐ด /L ๐) โ โค) |
17 | 16 | zcnd 12666 | . . . . 5 โข ((๐ด โ โ0 โง ๐ โ โค โง ๐ โ 0) โ (๐ด /L ๐) โ โ) |
18 | 17 | mullidd 11231 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ0 โง ๐ โ โค โง ๐ โ 0) โ (1 ยท (๐ด /L ๐)) = (๐ด /L ๐)) |
19 | 8, 12, 18 | 3eqtrd 2776 | . . 3 โข ((๐ด โ โ0 โง ๐ โ โค โง ๐ โ 0) โ (๐ด /L -๐) = (๐ด /L ๐)) |
20 | 19 | 3expa 1118 | . 2 โข (((๐ด โ โ0 โง ๐ โ โค) โง ๐ โ 0) โ (๐ด /L -๐) = (๐ด /L ๐)) |
21 | 5, 20 | pm2.61dane 3029 | 1 โข ((๐ด โ โ0 โง ๐ โ โค) โ (๐ด /L -๐) = (๐ด /L ๐)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ยฌ wn 3 โ wi 4 โง wa 396 โง w3a 1087 = wceq 1541 โ wcel 2106 โ wne 2940 ifcif 4528 class class class wbr 5148 (class class class)co 7408 0cc0 11109 1c1 11110 ยท cmul 11114 < clt 11247 -cneg 11444 โ0cn0 12471 โคcz 12557 /L clgs 26794 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2703 ax-rep 5285 ax-sep 5299 ax-nul 5306 ax-pow 5363 ax-pr 5427 ax-un 7724 ax-cnex 11165 ax-resscn 11166 ax-1cn 11167 ax-icn 11168 ax-addcl 11169 ax-addrcl 11170 ax-mulcl 11171 ax-mulrcl 11172 ax-mulcom 11173 ax-addass 11174 ax-mulass 11175 ax-distr 11176 ax-i2m1 11177 ax-1ne0 11178 ax-1rid 11179 ax-rnegex 11180 ax-rrecex 11181 ax-cnre 11182 ax-pre-lttri 11183 ax-pre-lttrn 11184 ax-pre-ltadd 11185 ax-pre-mulgt0 11186 ax-pre-sup 11187 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 846 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2068 df-mo 2534 df-eu 2563 df-clab 2710 df-cleq 2724 df-clel 2810 df-nfc 2885 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-rmo 3376 df-reu 3377 df-rab 3433 df-v 3476 df-sbc 3778 df-csb 3894 df-dif 3951 df-un 3953 df-in 3955 df-ss 3965 df-pss 3967 df-nul 4323 df-if 4529 df-pw 4604 df-sn 4629 df-pr 4631 df-op 4635 df-uni 4909 df-int 4951 df-iun 4999 df-br 5149 df-opab 5211 df-mpt 5232 df-tr 5266 df-id 5574 df-eprel 5580 df-po 5588 df-so 5589 df-fr 5631 df-we 5633 df-xp 5682 df-rel 5683 df-cnv 5684 df-co 5685 df-dm 5686 df-rn 5687 df-res 5688 df-ima 5689 df-pred 6300 df-ord 6367 df-on 6368 df-lim 6369 df-suc 6370 df-iota 6495 df-fun 6545 df-fn 6546 df-f 6547 df-f1 6548 df-fo 6549 df-f1o 6550 df-fv 6551 df-riota 7364 df-ov 7411 df-oprab 7412 df-mpo 7413 df-om 7855 df-1st 7974 df-2nd 7975 df-frecs 8265 df-wrecs 8296 df-recs 8370 df-rdg 8409 df-1o 8465 df-2o 8466 df-oadd 8469 df-er 8702 df-en 8939 df-dom 8940 df-sdom 8941 df-fin 8942 df-sup 9436 df-inf 9437 df-dju 9895 df-card 9933 df-pnf 11249 df-mnf 11250 df-xr 11251 df-ltxr 11252 df-le 11253 df-sub 11445 df-neg 11446 df-div 11871 df-nn 12212 df-2 12274 df-3 12275 df-n0 12472 df-xnn0 12544 df-z 12558 df-uz 12822 df-q 12932 df-rp 12974 df-fz 13484 df-fzo 13627 df-fl 13756 df-mod 13834 df-seq 13966 df-exp 14027 df-hash 14290 df-cj 15045 df-re 15046 df-im 15047 df-sqrt 15181 df-abs 15182 df-dvds 16197 df-gcd 16435 df-prm 16608 df-phi 16698 df-pc 16769 df-lgs 26795 |
This theorem is referenced by: (None) |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |