MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsneg1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgsneg1 27381
Description: The Legendre symbol for nonnegative first parameter is unchanged by negation of the second. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
lgsneg1 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 /L -𝑁) = (𝐴 /L 𝑁))

Proof of Theorem lgsneg1
StepHypRef Expression
1 neg0 11553 . . . 4 -0 = 0
2 simpr 484 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = 0) → 𝑁 = 0)
32negeqd 11500 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = 0) → -𝑁 = -0)
41, 3, 23eqtr4a 2801 . . 3 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = 0) → -𝑁 = 𝑁)
54oveq2d 7447 . 2 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = 0) → (𝐴 /L -𝑁) = (𝐴 /L 𝑁))
6 nn0z 12636 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ)
7 lgsneg 27380 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝐴 /L -𝑁) = (if(𝐴 < 0, -1, 1) · (𝐴 /L 𝑁)))
86, 7syl3an1 1162 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝐴 /L -𝑁) = (if(𝐴 < 0, -1, 1) · (𝐴 /L 𝑁)))
9 nn0nlt0 12550 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℕ0 → ¬ 𝐴 < 0)
1093ad2ant1 1132 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → ¬ 𝐴 < 0)
1110iffalsed 4542 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → if(𝐴 < 0, -1, 1) = 1)
1211oveq1d 7446 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (if(𝐴 < 0, -1, 1) · (𝐴 /L 𝑁)) = (1 · (𝐴 /L 𝑁)))
1363ad2ant1 1132 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℤ)
14 simp2 1136 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℤ)
15 lgscl 27370 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 𝑁) ∈ ℤ)
1613, 14, 15syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝐴 /L 𝑁) ∈ ℤ)
1716zcnd 12721 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝐴 /L 𝑁) ∈ ℂ)
1817mullidd 11277 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (1 · (𝐴 /L 𝑁)) = (𝐴 /L 𝑁))
198, 12, 183eqtrd 2779 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝐴 /L -𝑁) = (𝐴 /L 𝑁))
20193expa 1117 . 2 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝐴 /L -𝑁) = (𝐴 /L 𝑁))
215, 20pm2.61dane 3027 1 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 /L -𝑁) = (𝐴 /L 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  ifcif 4531   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  0cc0 11153  1c1 11154   · cmul 11158   < clt 11293  -cneg 11491  0cn0 12524  cz 12611   /L clgs 27353
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-dvds 16288  df-gcd 16529  df-prm 16706  df-phi 16800  df-pc 16871  df-lgs 27354
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator