Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsneg1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgsneg1 25815
 Description: The Legendre symbol for nonnegative first parameter is unchanged by negation of the second. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
lgsneg1 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 /L -𝑁) = (𝐴 /L 𝑁))

Proof of Theorem lgsneg1
StepHypRef Expression
1 neg0 10921 . . . 4 -0 = 0
2 simpr 485 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = 0) → 𝑁 = 0)
32negeqd 10869 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = 0) → -𝑁 = -0)
41, 3, 23eqtr4a 2887 . . 3 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = 0) → -𝑁 = 𝑁)
54oveq2d 7164 . 2 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = 0) → (𝐴 /L -𝑁) = (𝐴 /L 𝑁))
6 nn0z 11994 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ)
7 lgsneg 25814 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝐴 /L -𝑁) = (if(𝐴 < 0, -1, 1) · (𝐴 /L 𝑁)))
86, 7syl3an1 1157 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝐴 /L -𝑁) = (if(𝐴 < 0, -1, 1) · (𝐴 /L 𝑁)))
9 nn0nlt0 11912 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℕ0 → ¬ 𝐴 < 0)
1093ad2ant1 1127 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → ¬ 𝐴 < 0)
1110iffalsed 4481 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → if(𝐴 < 0, -1, 1) = 1)
1211oveq1d 7163 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (if(𝐴 < 0, -1, 1) · (𝐴 /L 𝑁)) = (1 · (𝐴 /L 𝑁)))
1363ad2ant1 1127 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℤ)
14 simp2 1131 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℤ)
15 lgscl 25804 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 𝑁) ∈ ℤ)
1613, 14, 15syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝐴 /L 𝑁) ∈ ℤ)
1716zcnd 12077 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝐴 /L 𝑁) ∈ ℂ)
1817mulid2d 10648 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (1 · (𝐴 /L 𝑁)) = (𝐴 /L 𝑁))
198, 12, 183eqtrd 2865 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝐴 /L -𝑁) = (𝐴 /L 𝑁))
20193expa 1112 . 2 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝐴 /L -𝑁) = (𝐴 /L 𝑁))
215, 20pm2.61dane 3109 1 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 /L -𝑁) = (𝐴 /L 𝑁))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1081   = wceq 1530   ∈ wcel 2107   ≠ wne 3021  ifcif 4470   class class class wbr 5063  (class class class)co 7148  0cc0 10526  1c1 10527   · cmul 10531   < clt 10664  -cneg 10860  ℕ0cn0 11886  ℤcz 11970   /L clgs 25787 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-2o 8094  df-oadd 8097  df-er 8279  df-map 8398  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-sup 8895  df-inf 8896  df-dju 9319  df-card 9357  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11628  df-2 11689  df-3 11690  df-n0 11887  df-xnn0 11957  df-z 11971  df-uz 12233  df-q 12338  df-rp 12380  df-fz 12883  df-fzo 13024  df-fl 13152  df-mod 13228  df-seq 13360  df-exp 13420  df-hash 13681  df-cj 14448  df-re 14449  df-im 14450  df-sqrt 14584  df-abs 14585  df-dvds 15598  df-gcd 15834  df-prm 16006  df-phi 16093  df-pc 16164  df-lgs 25788 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator