![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > lgsneg1 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: The Legendre symbol for nonnegative first parameter is unchanged by negation of the second. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.) |
Ref | Expression |
---|---|
lgsneg1 | โข ((๐ด โ โ0 โง ๐ โ โค) โ (๐ด /L -๐) = (๐ด /L ๐)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | neg0 11507 | . . . 4 โข -0 = 0 | |
2 | simpr 484 | . . . . 5 โข (((๐ด โ โ0 โง ๐ โ โค) โง ๐ = 0) โ ๐ = 0) | |
3 | 2 | negeqd 11455 | . . . 4 โข (((๐ด โ โ0 โง ๐ โ โค) โง ๐ = 0) โ -๐ = -0) |
4 | 1, 3, 2 | 3eqtr4a 2792 | . . 3 โข (((๐ด โ โ0 โง ๐ โ โค) โง ๐ = 0) โ -๐ = ๐) |
5 | 4 | oveq2d 7420 | . 2 โข (((๐ด โ โ0 โง ๐ โ โค) โง ๐ = 0) โ (๐ด /L -๐) = (๐ด /L ๐)) |
6 | nn0z 12584 | . . . . 5 โข (๐ด โ โ0 โ ๐ด โ โค) | |
7 | lgsneg 27205 | . . . . 5 โข ((๐ด โ โค โง ๐ โ โค โง ๐ โ 0) โ (๐ด /L -๐) = (if(๐ด < 0, -1, 1) ยท (๐ด /L ๐))) | |
8 | 6, 7 | syl3an1 1160 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ0 โง ๐ โ โค โง ๐ โ 0) โ (๐ด /L -๐) = (if(๐ด < 0, -1, 1) ยท (๐ด /L ๐))) |
9 | nn0nlt0 12499 | . . . . . . 7 โข (๐ด โ โ0 โ ยฌ ๐ด < 0) | |
10 | 9 | 3ad2ant1 1130 | . . . . . 6 โข ((๐ด โ โ0 โง ๐ โ โค โง ๐ โ 0) โ ยฌ ๐ด < 0) |
11 | 10 | iffalsed 4534 | . . . . 5 โข ((๐ด โ โ0 โง ๐ โ โค โง ๐ โ 0) โ if(๐ด < 0, -1, 1) = 1) |
12 | 11 | oveq1d 7419 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ0 โง ๐ โ โค โง ๐ โ 0) โ (if(๐ด < 0, -1, 1) ยท (๐ด /L ๐)) = (1 ยท (๐ด /L ๐))) |
13 | 6 | 3ad2ant1 1130 | . . . . . . 7 โข ((๐ด โ โ0 โง ๐ โ โค โง ๐ โ 0) โ ๐ด โ โค) |
14 | simp2 1134 | . . . . . . 7 โข ((๐ด โ โ0 โง ๐ โ โค โง ๐ โ 0) โ ๐ โ โค) | |
15 | lgscl 27195 | . . . . . . 7 โข ((๐ด โ โค โง ๐ โ โค) โ (๐ด /L ๐) โ โค) | |
16 | 13, 14, 15 | syl2anc 583 | . . . . . 6 โข ((๐ด โ โ0 โง ๐ โ โค โง ๐ โ 0) โ (๐ด /L ๐) โ โค) |
17 | 16 | zcnd 12668 | . . . . 5 โข ((๐ด โ โ0 โง ๐ โ โค โง ๐ โ 0) โ (๐ด /L ๐) โ โ) |
18 | 17 | mullidd 11233 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ0 โง ๐ โ โค โง ๐ โ 0) โ (1 ยท (๐ด /L ๐)) = (๐ด /L ๐)) |
19 | 8, 12, 18 | 3eqtrd 2770 | . . 3 โข ((๐ด โ โ0 โง ๐ โ โค โง ๐ โ 0) โ (๐ด /L -๐) = (๐ด /L ๐)) |
20 | 19 | 3expa 1115 | . 2 โข (((๐ด โ โ0 โง ๐ โ โค) โง ๐ โ 0) โ (๐ด /L -๐) = (๐ด /L ๐)) |
21 | 5, 20 | pm2.61dane 3023 | 1 โข ((๐ด โ โ0 โง ๐ โ โค) โ (๐ด /L -๐) = (๐ด /L ๐)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ยฌ wn 3 โ wi 4 โง wa 395 โง w3a 1084 = wceq 1533 โ wcel 2098 โ wne 2934 ifcif 4523 class class class wbr 5141 (class class class)co 7404 0cc0 11109 1c1 11110 ยท cmul 11114 < clt 11249 -cneg 11446 โ0cn0 12473 โคcz 12559 /L clgs 27178 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2697 ax-rep 5278 ax-sep 5292 ax-nul 5299 ax-pow 5356 ax-pr 5420 ax-un 7721 ax-cnex 11165 ax-resscn 11166 ax-1cn 11167 ax-icn 11168 ax-addcl 11169 ax-addrcl 11170 ax-mulcl 11171 ax-mulrcl 11172 ax-mulcom 11173 ax-addass 11174 ax-mulass 11175 ax-distr 11176 ax-i2m1 11177 ax-1ne0 11178 ax-1rid 11179 ax-rnegex 11180 ax-rrecex 11181 ax-cnre 11182 ax-pre-lttri 11183 ax-pre-lttrn 11184 ax-pre-ltadd 11185 ax-pre-mulgt0 11186 ax-pre-sup 11187 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2704 df-cleq 2718 df-clel 2804 df-nfc 2879 df-ne 2935 df-nel 3041 df-ral 3056 df-rex 3065 df-rmo 3370 df-reu 3371 df-rab 3427 df-v 3470 df-sbc 3773 df-csb 3889 df-dif 3946 df-un 3948 df-in 3950 df-ss 3960 df-pss 3962 df-nul 4318 df-if 4524 df-pw 4599 df-sn 4624 df-pr 4626 df-op 4630 df-uni 4903 df-int 4944 df-iun 4992 df-br 5142 df-opab 5204 df-mpt 5225 df-tr 5259 df-id 5567 df-eprel 5573 df-po 5581 df-so 5582 df-fr 5624 df-we 5626 df-xp 5675 df-rel 5676 df-cnv 5677 df-co 5678 df-dm 5679 df-rn 5680 df-res 5681 df-ima 5682 df-pred 6293 df-ord 6360 df-on 6361 df-lim 6362 df-suc 6363 df-iota 6488 df-fun 6538 df-fn 6539 df-f 6540 df-f1 6541 df-fo 6542 df-f1o 6543 df-fv 6544 df-riota 7360 df-ov 7407 df-oprab 7408 df-mpo 7409 df-om 7852 df-1st 7971 df-2nd 7972 df-frecs 8264 df-wrecs 8295 df-recs 8369 df-rdg 8408 df-1o 8464 df-2o 8465 df-oadd 8468 df-er 8702 df-en 8939 df-dom 8940 df-sdom 8941 df-fin 8942 df-sup 9436 df-inf 9437 df-dju 9895 df-card 9933 df-pnf 11251 df-mnf 11252 df-xr 11253 df-ltxr 11254 df-le 11255 df-sub 11447 df-neg 11448 df-div 11873 df-nn 12214 df-2 12276 df-3 12277 df-n0 12474 df-xnn0 12546 df-z 12560 df-uz 12824 df-q 12934 df-rp 12978 df-fz 13488 df-fzo 13631 df-fl 13760 df-mod 13838 df-seq 13970 df-exp 14031 df-hash 14294 df-cj 15050 df-re 15051 df-im 15052 df-sqrt 15186 df-abs 15187 df-dvds 16203 df-gcd 16441 df-prm 16614 df-phi 16706 df-pc 16777 df-lgs 27179 |
This theorem is referenced by: (None) |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |