MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  logdivlt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem logdivlt 25212
Description: The log𝑥 / 𝑥 function is strictly decreasing on the reals greater than e. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
logdivlt (((𝐴 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐵)) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ((log‘𝐵) / 𝐵) < ((log‘𝐴) / 𝐴)))

Proof of Theorem logdivlt
StepHypRef Expression
1 logdivlti 25211 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((log‘𝐵) / 𝐵) < ((log‘𝐴) / 𝐴))
21ex 416 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) → (𝐴 < 𝐵 → ((log‘𝐵) / 𝐵) < ((log‘𝐴) / 𝐴)))
323expa 1115 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ e ≤ 𝐴) → (𝐴 < 𝐵 → ((log‘𝐵) / 𝐵) < ((log‘𝐴) / 𝐴)))
43an32s 651 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → ((log‘𝐵) / 𝐵) < ((log‘𝐴) / 𝐴)))
54adantrr 716 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐵)) → (𝐴 < 𝐵 → ((log‘𝐵) / 𝐵) < ((log‘𝐴) / 𝐴)))
6 fveq2 6645 . . . . . . . 8 (𝐴 = 𝐵 → (log‘𝐴) = (log‘𝐵))
7 id 22 . . . . . . . 8 (𝐴 = 𝐵𝐴 = 𝐵)
86, 7oveq12d 7153 . . . . . . 7 (𝐴 = 𝐵 → ((log‘𝐴) / 𝐴) = ((log‘𝐵) / 𝐵))
98eqcomd 2804 . . . . . 6 (𝐴 = 𝐵 → ((log‘𝐵) / 𝐵) = ((log‘𝐴) / 𝐴))
109a1i 11 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐵)) → (𝐴 = 𝐵 → ((log‘𝐵) / 𝐵) = ((log‘𝐴) / 𝐴)))
11 logdivlti 25211 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐵) ∧ 𝐵 < 𝐴) → ((log‘𝐴) / 𝐴) < ((log‘𝐵) / 𝐵))
1211ex 416 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐵) → (𝐵 < 𝐴 → ((log‘𝐴) / 𝐴) < ((log‘𝐵) / 𝐵)))
13123expa 1115 . . . . . . . 8 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) ∧ e ≤ 𝐵) → (𝐵 < 𝐴 → ((log‘𝐴) / 𝐴) < ((log‘𝐵) / 𝐵)))
1413an32s 651 . . . . . . 7 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐴 → ((log‘𝐴) / 𝐴) < ((log‘𝐵) / 𝐵)))
1514adantrr 716 . . . . . 6 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐵) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴)) → (𝐵 < 𝐴 → ((log‘𝐴) / 𝐴) < ((log‘𝐵) / 𝐵)))
1615ancoms 462 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐵)) → (𝐵 < 𝐴 → ((log‘𝐴) / 𝐴) < ((log‘𝐵) / 𝐵)))
1710, 16orim12d 962 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐵)) → ((𝐴 = 𝐵𝐵 < 𝐴) → (((log‘𝐵) / 𝐵) = ((log‘𝐴) / 𝐴) ∨ ((log‘𝐴) / 𝐴) < ((log‘𝐵) / 𝐵))))
1817con3d 155 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐵)) → (¬ (((log‘𝐵) / 𝐵) = ((log‘𝐴) / 𝐴) ∨ ((log‘𝐴) / 𝐴) < ((log‘𝐵) / 𝐵)) → ¬ (𝐴 = 𝐵𝐵 < 𝐴)))
19 simpl 486 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
20 epos 15552 . . . . . . . 8 0 < e
21 0re 10632 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ
22 ere 15434 . . . . . . . . 9 e ∈ ℝ
23 ltletr 10721 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ ∧ e ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 < e ∧ e ≤ 𝐵) → 0 < 𝐵))
2421, 22, 23mp3an12 1448 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℝ → ((0 < e ∧ e ≤ 𝐵) → 0 < 𝐵))
2520, 24mpani 695 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℝ → (e ≤ 𝐵 → 0 < 𝐵))
2625imp 410 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐵) → 0 < 𝐵)
2719, 26elrpd 12416 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ+)
28 relogcl 25167 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ+ → (log‘𝐵) ∈ ℝ)
29 rerpdivcl 12407 . . . . . 6 (((log‘𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((log‘𝐵) / 𝐵) ∈ ℝ)
3028, 29mpancom 687 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ+ → ((log‘𝐵) / 𝐵) ∈ ℝ)
3127, 30syl 17 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐵) → ((log‘𝐵) / 𝐵) ∈ ℝ)
32 simpl 486 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
33 ltletr 10721 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ ∧ e ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((0 < e ∧ e ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
3421, 22, 33mp3an12 1448 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < e ∧ e ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
3520, 34mpani 695 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (e ≤ 𝐴 → 0 < 𝐴))
3635imp 410 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴)
3732, 36elrpd 12416 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ+)
38 relogcl 25167 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ+ → (log‘𝐴) ∈ ℝ)
39 rerpdivcl 12407 . . . . . 6 (((log‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → ((log‘𝐴) / 𝐴) ∈ ℝ)
4038, 39mpancom 687 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ+ → ((log‘𝐴) / 𝐴) ∈ ℝ)
4137, 40syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) → ((log‘𝐴) / 𝐴) ∈ ℝ)
42 axlttri 10701 . . . 4 ((((log‘𝐵) / 𝐵) ∈ ℝ ∧ ((log‘𝐴) / 𝐴) ∈ ℝ) → (((log‘𝐵) / 𝐵) < ((log‘𝐴) / 𝐴) ↔ ¬ (((log‘𝐵) / 𝐵) = ((log‘𝐴) / 𝐴) ∨ ((log‘𝐴) / 𝐴) < ((log‘𝐵) / 𝐵))))
4331, 41, 42syl2anr 599 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐵)) → (((log‘𝐵) / 𝐵) < ((log‘𝐴) / 𝐴) ↔ ¬ (((log‘𝐵) / 𝐵) = ((log‘𝐴) / 𝐴) ∨ ((log‘𝐴) / 𝐴) < ((log‘𝐵) / 𝐵))))
44 axlttri 10701 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ (𝐴 = 𝐵𝐵 < 𝐴)))
4544ad2ant2r 746 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐵)) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ (𝐴 = 𝐵𝐵 < 𝐴)))
4618, 43, 453imtr4d 297 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐵)) → (((log‘𝐵) / 𝐵) < ((log‘𝐴) / 𝐴) → 𝐴 < 𝐵))
475, 46impbid 215 1 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝐵)) → (𝐴 < 𝐵 ↔ ((log‘𝐵) / 𝐵) < ((log‘𝐴) / 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  wo 844  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2111   class class class wbr 5030  cfv 6324  (class class class)co 7135  cr 10525  0cc0 10526   < clt 10664  cle 10665   / cdiv 11286  +crp 12377  eceu 15408  logclog 25146
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-inf2 9088  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7389  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-supp 7814  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-pm 8392  df-ixp 8445  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fsupp 8818  df-fi 8859  df-sup 8890  df-inf 8891  df-oi 8958  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ioc 12731  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-mod 13233  df-seq 13365  df-exp 13426  df-fac 13630  df-bc 13659  df-hash 13687  df-shft 14418  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-limsup 14820  df-clim 14837  df-rlim 14838  df-sum 15035  df-ef 15413  df-e 15414  df-sin 15415  df-cos 15416  df-pi 15418  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-hom 16581  df-cco 16582  df-rest 16688  df-topn 16689  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-topgen 16709  df-pt 16710  df-prds 16713  df-xrs 16767  df-qtop 16772  df-imas 16773  df-xps 16775  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-submnd 17949  df-mulg 18217  df-cntz 18439  df-cmn 18900  df-psmet 20083  df-xmet 20084  df-met 20085  df-bl 20086  df-mopn 20087  df-fbas 20088  df-fg 20089  df-cnfld 20092  df-top 21499  df-topon 21516  df-topsp 21538  df-bases 21551  df-cld 21624  df-ntr 21625  df-cls 21626  df-nei 21703  df-lp 21741  df-perf 21742  df-cn 21832  df-cnp 21833  df-haus 21920  df-tx 22167  df-hmeo 22360  df-fil 22451  df-fm 22543  df-flim 22544  df-flf 22545  df-xms 22927  df-ms 22928  df-tms 22929  df-cncf 23483  df-limc 24469  df-dv 24470  df-log 25148
This theorem is referenced by:  logdivle  25213  bposlem7  25874  chebbnd1lem2  26054  chebbnd1lem3  26055  pntpbnd1a  26169
  Copyright terms: Public domain W3C validator