gbowgt5 - Mathbox for Alexander van der Vekens

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Theorem gbowgt5 48253

Description: Any weak odd Goldbach number is greater than 5. (Contributed by AV, 20-Jul-2020.)

**Assertion**
Ref	Expression
gbowgt5	⊢ (𝑍 ∈ GoldbachOddW → 5 < 𝑍)

Proof of Theorem gbowgt5 Dummy variables 𝑝 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isgbow 48243	. 2 ⊢ (𝑍 ∈ GoldbachOddW ↔ (𝑍 ∈ Odd ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑍 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
2		prmuz2 16659	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ (ℤ_≥‘2))
3		eluz2 12788	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ (ℤ_≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑝))
4	2, 3	sylib 218	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → (2 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑝))
5		prmuz2 16659	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ (ℤ_≥‘2))
6		eluz2 12788	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 ∈ (ℤ_≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑞))
7	5, 6	sylib 218	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 ∈ ℙ → (2 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑞))
8	4, 7	anim12i 614	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑝) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑞)))
9		prmuz2 16659	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 ∈ ℙ → 𝑟 ∈ (ℤ_≥‘2))
10		eluz2 12788	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 ∈ (ℤ_≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑟))
11	9, 10	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 ∈ ℙ → (2 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑟))
12		zre 12522	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑝 ∈ ℤ → 𝑝 ∈ ℝ)
13	12	3ad2ant2 1135	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑝) → 𝑝 ∈ ℝ)
14		zre 12522	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑞 ∈ ℤ → 𝑞 ∈ ℝ)
15	14	3ad2ant2 1135	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑞) → 𝑞 ∈ ℝ)
16	13, 15	anim12i 614	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑝) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑞)) → (𝑝 ∈ ℝ ∧ 𝑞 ∈ ℝ))
17		2re 12249	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ
18	17, 17	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ)
19	16, 18	jctil 519	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑝) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑞)) → ((2 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℝ ∧ 𝑞 ∈ ℝ)))
20		simp3 1139	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑝) → 2 ≤ 𝑝)
21		simp3 1139	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑞) → 2 ≤ 𝑞)
22	20, 21	anim12i 614	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑝) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑞)) → (2 ≤ 𝑝 ∧ 2 ≤ 𝑞))
23		le2add 11626	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℝ ∧ 𝑞 ∈ ℝ)) → ((2 ≤ 𝑝 ∧ 2 ≤ 𝑞) → (2 + 2) ≤ (𝑝 + 𝑞)))
24	19, 22, 23	sylc 65	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑝) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑞)) → (2 + 2) ≤ (𝑝 + 𝑞))
25		2p2e4 12305	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (2 + 2) = 4
26	25	breq1i 5093	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((2 + 2) ≤ (𝑝 + 𝑞) ↔ 4 ≤ (𝑝 + 𝑞))
27		zaddcl 12561	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) → (𝑝 + 𝑞) ∈ ℤ)
28	27	zred 12627	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) → (𝑝 + 𝑞) ∈ ℝ)
29	28	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ 4 ≤ (𝑝 + 𝑞)) → (𝑝 + 𝑞) ∈ ℝ)
30		zre 12522	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑟 ∈ ℤ → 𝑟 ∈ ℝ)
31	30	3ad2ant2 1135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑟) → 𝑟 ∈ ℝ)
32	29, 31	anim12i 614	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ 4 ≤ (𝑝 + 𝑞)) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑟)) → ((𝑝 + 𝑞) ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ))
33		4re 12259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 4 ∈ ℝ
34	33, 17	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (4 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ)
35	32, 34	jctil 519	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ 4 ≤ (𝑝 + 𝑞)) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑟)) → ((4 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) ∧ ((𝑝 + 𝑞) ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ)))
36		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ 4 ≤ (𝑝 + 𝑞)) → 4 ≤ (𝑝 + 𝑞))
37		simp3 1139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑟) → 2 ≤ 𝑟)
38	36, 37	anim12i 614	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ 4 ≤ (𝑝 + 𝑞)) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑟)) → (4 ≤ (𝑝 + 𝑞) ∧ 2 ≤ 𝑟))
39		le2add 11626	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((4 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) ∧ ((𝑝 + 𝑞) ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ)) → ((4 ≤ (𝑝 + 𝑞) ∧ 2 ≤ 𝑟) → (4 + 2) ≤ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
40	35, 38, 39	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ 4 ≤ (𝑝 + 𝑞)) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑟)) → (4 + 2) ≤ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
41		4p2e6 12323	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (4 + 2) = 6
42	41	breq1i 5093	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((4 + 2) ≤ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ 6 ≤ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
43		5lt6 12351	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 5 < 6
44		5re 12262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ 5 ∈ ℝ
45	44	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) → 5 ∈ ℝ)
46		6re 12265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ 6 ∈ ℝ
47	46	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) → 6 ∈ ℝ)
48	27	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) → (𝑝 + 𝑞) ∈ ℤ)
49		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) → 𝑟 ∈ ℤ)
50	48, 49	zaddcld 12631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) → ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ∈ ℤ)
51	50	zred 12627	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) → ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ∈ ℝ)
52		ltletr 11232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((5 ∈ ℝ ∧ 6 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ∈ ℝ) → ((5 < 6 ∧ 6 ≤ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → 5 < ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
53	45, 47, 51, 52	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) → ((5 < 6 ∧ 6 ≤ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → 5 < ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
54	43, 53	mpani 697	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) → (6 ≤ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → 5 < ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
55	42, 54	biimtrid 242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) → ((4 + 2) ≤ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → 5 < ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
56	55	expcom 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑟 ∈ ℤ → ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) → ((4 + 2) ≤ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → 5 < ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
57	56	3ad2ant2 1135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑟) → ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) → ((4 + 2) ≤ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → 5 < ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
58	57	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) → ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑟) → ((4 + 2) ≤ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → 5 < ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
59	58	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ 4 ≤ (𝑝 + 𝑞)) → ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑟) → ((4 + 2) ≤ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → 5 < ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
60	59	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ 4 ≤ (𝑝 + 𝑞)) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑟)) → ((4 + 2) ≤ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → 5 < ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
61	40, 60	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ 4 ≤ (𝑝 + 𝑞)) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑟)) → 5 < ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
62	61	exp31 419	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) → (4 ≤ (𝑝 + 𝑞) → ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑟) → 5 < ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
63	26, 62	biimtrid 242	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) → ((2 + 2) ≤ (𝑝 + 𝑞) → ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑟) → 5 < ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
64	63	expcom 413	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑞 ∈ ℤ → (𝑝 ∈ ℤ → ((2 + 2) ≤ (𝑝 + 𝑞) → ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑟) → 5 < ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))))
65	64	3ad2ant2 1135	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑞) → (𝑝 ∈ ℤ → ((2 + 2) ≤ (𝑝 + 𝑞) → ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑟) → 5 < ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))))
66	65	com12 32	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 ∈ ℤ → ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑞) → ((2 + 2) ≤ (𝑝 + 𝑞) → ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑟) → 5 < ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))))
67	66	3ad2ant2 1135	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑝) → ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑞) → ((2 + 2) ≤ (𝑝 + 𝑞) → ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑟) → 5 < ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))))
68	67	imp 406	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑝) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑞)) → ((2 + 2) ≤ (𝑝 + 𝑞) → ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑟) → 5 < ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
69	24, 68	mpd 15	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑝) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑞)) → ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑟) → 5 < ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
70	69	imp 406	. . . . . . . 8 ⊢ ((((2 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑝) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑞)) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑟)) → 5 < ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
71		breq2 5090	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → (5 < 𝑍 ↔ 5 < ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
72	70, 71	syl5ibrcom 247	. . . . . . 7 ⊢ ((((2 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑝) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑞)) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑟)) → (𝑍 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → 5 < 𝑍))
73	8, 11, 72	syl2an 597	. . . . . 6 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → (𝑍 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → 5 < 𝑍))
74	73	rexlimdva 3139	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (∃𝑟 ∈ ℙ 𝑍 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → 5 < 𝑍))
75	74	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑍 ∈ Odd ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) → (∃𝑟 ∈ ℙ 𝑍 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → 5 < 𝑍))
76	75	rexlimdvva 3195	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ Odd → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑍 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → 5 < 𝑍))
77	76	imp 406	. 2 ⊢ ((𝑍 ∈ Odd ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑍 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → 5 < 𝑍)
78	1, 77	sylbi 217	1 ⊢ (𝑍 ∈ GoldbachOddW → 5 < 𝑍)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 395 ∧ w3a 1087 = wceq 1542 ∈ wcel 2114 ∃wrex 3062 class class class wbr 5086 ‘cfv 6493 (class class class)co 7361 ℝcr 11031 + caddc 11035 < clt 11173 ≤ cle 11174 2c2 12230 4c4 12232 5c5 12233 6c6 12234 ℤcz 12518 ℤ_≥cuz 12782 ℙcprime 16634 Odd codd 48116 GoldbachOddW cgbow 48237

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1912 ax-6 1969 ax-7 2010 ax-8 2116 ax-9 2124 ax-10 2147 ax-11 2163 ax-12 2185 ax-ext 2709 ax-sep 5232 ax-nul 5242 ax-pow 5303 ax-pr 5371 ax-un 7683 ax-cnex 11088 ax-resscn 11089 ax-1cn 11090 ax-icn 11091 ax-addcl 11092 ax-addrcl 11093 ax-mulcl 11094 ax-mulrcl 11095 ax-mulcom 11096 ax-addass 11097 ax-mulass 11098 ax-distr 11099 ax-i2m1 11100 ax-1ne0 11101 ax-1rid 11102 ax-rnegex 11103 ax-rrecex 11104 ax-cnre 11105 ax-pre-lttri 11106 ax-pre-lttrn 11107 ax-pre-ltadd 11108 ax-pre-mulgt0 11109 ax-pre-sup 11110

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 849 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2069 df-mo 2540 df-eu 2570 df-clab 2716 df-cleq 2729 df-clel 2812 df-nfc 2886 df-ne 2934 df-nel 3038 df-ral 3053 df-rex 3063 df-rmo 3343 df-reu 3344 df-rab 3391 df-v 3432 df-sbc 3730 df-csb 3839 df-dif 3893 df-un 3895 df-in 3897 df-ss 3907 df-pss 3910 df-nul 4275 df-if 4468 df-pw 4544 df-sn 4569 df-pr 4571 df-op 4575 df-uni 4852 df-iun 4936 df-br 5087 df-opab 5149 df-mpt 5168 df-tr 5194 df-id 5520 df-eprel 5525 df-po 5533 df-so 5534 df-fr 5578 df-we 5580 df-xp 5631 df-rel 5632 df-cnv 5633 df-co 5634 df-dm 5635 df-rn 5636 df-res 5637 df-ima 5638 df-pred 6260 df-ord 6321 df-on 6322 df-lim 6323 df-suc 6324 df-iota 6449 df-fun 6495 df-fn 6496 df-f 6497 df-f1 6498 df-fo 6499 df-f1o 6500 df-fv 6501 df-riota 7318 df-ov 7364 df-oprab 7365 df-mpo 7366 df-om 7812 df-2nd 7937 df-frecs 8225 df-wrecs 8256 df-recs 8305 df-rdg 8343 df-1o 8399 df-2o 8400 df-er 8637 df-en 8888 df-dom 8889 df-sdom 8890 df-fin 8891 df-sup 9349 df-pnf 11175 df-mnf 11176 df-xr 11177 df-ltxr 11178 df-le 11179 df-sub 11373 df-neg 11374 df-div 11802 df-nn 12169 df-2 12238 df-3 12239 df-4 12240 df-5 12241 df-6 12242 df-n0 12432 df-z 12519 df-uz 12783 df-rp 12937 df-seq 13958 df-exp 14018 df-cj 15055 df-re 15056 df-im 15057 df-sqrt 15191 df-abs 15192 df-dvds 16216 df-prm 16635 df-gbow 48240

This theorem is referenced by: gbowge7 48254

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