Theorem gbowgt5 47867

Description: Any weak odd Goldbach number is greater than 5. (Contributed by AV, 20-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
gbowgt5	⊢ (𝑍 ∈ GoldbachOddW → 5 < 𝑍)

Proof of Theorem gbowgt5

Dummy variables 𝑝 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isgbow 47857	. 2 ⊢ (𝑍 ∈ GoldbachOddW ↔ (𝑍 ∈ Odd ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑍 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
2		prmuz2 16613	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ (ℤ≥‘2))
3		eluz2 12744	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑝))
4	2, 3	sylib 218	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → (2 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑝))
5		prmuz2 16613	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ (ℤ≥‘2))
6		eluz2 12744	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑞))
7	5, 6	sylib 218	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 ∈ ℙ → (2 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑞))
8	4, 7	anim12i 613	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑝) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑞)))
9		prmuz2 16613	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 ∈ ℙ → 𝑟 ∈ (ℤ≥‘2))
10		eluz2 12744	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑟))
11	9, 10	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 ∈ ℙ → (2 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑟))
12		zre 12478	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑝 ∈ ℤ → 𝑝 ∈ ℝ)
13	12	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑝) → 𝑝 ∈ ℝ)
14		zre 12478	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑞 ∈ ℤ → 𝑞 ∈ ℝ)
15	14	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑞) → 𝑞 ∈ ℝ)
16	13, 15	anim12i 613	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑝) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑞)) → (𝑝 ∈ ℝ ∧ 𝑞 ∈ ℝ))
17		2re 12205	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ
18	17, 17	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ)
19	16, 18	jctil 519	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑝) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑞)) → ((2 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℝ ∧ 𝑞 ∈ ℝ)))
20		simp3 1138	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑝) → 2 ≤ 𝑝)
21		simp3 1138	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑞) → 2 ≤ 𝑞)
22	20, 21	anim12i 613	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑝) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑞)) → (2 ≤ 𝑝 ∧ 2 ≤ 𝑞))
23		le2add 11605	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℝ ∧ 𝑞 ∈ ℝ)) → ((2 ≤ 𝑝 ∧ 2 ≤ 𝑞) → (2 + 2) ≤ (𝑝 + 𝑞)))
24	19, 22, 23	sylc 65	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑝) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑞)) → (2 + 2) ≤ (𝑝 + 𝑞))
25		2p2e4 12261	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (2 + 2) = 4
26	25	breq1i 5100	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((2 + 2) ≤ (𝑝 + 𝑞) ↔ 4 ≤ (𝑝 + 𝑞))
27		zaddcl 12518	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) → (𝑝 + 𝑞) ∈ ℤ)
28	27	zred 12583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) → (𝑝 + 𝑞) ∈ ℝ)
29	28	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ 4 ≤ (𝑝 + 𝑞)) → (𝑝 + 𝑞) ∈ ℝ)
30		zre 12478	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑟 ∈ ℤ → 𝑟 ∈ ℝ)
31	30	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑟) → 𝑟 ∈ ℝ)
32	29, 31	anim12i 613	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ 4 ≤ (𝑝 + 𝑞)) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑟)) → ((𝑝 + 𝑞) ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ))
33		4re 12215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 4 ∈ ℝ
34	33, 17	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (4 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ)
35	32, 34	jctil 519	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ 4 ≤ (𝑝 + 𝑞)) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑟)) → ((4 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) ∧ ((𝑝 + 𝑞) ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ)))
36		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ 4 ≤ (𝑝 + 𝑞)) → 4 ≤ (𝑝 + 𝑞))
37		simp3 1138	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑟) → 2 ≤ 𝑟)
38	36, 37	anim12i 613	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ 4 ≤ (𝑝 + 𝑞)) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑟)) → (4 ≤ (𝑝 + 𝑞) ∧ 2 ≤ 𝑟))
39		le2add 11605	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((4 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) ∧ ((𝑝 + 𝑞) ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ)) → ((4 ≤ (𝑝 + 𝑞) ∧ 2 ≤ 𝑟) → (4 + 2) ≤ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
40	35, 38, 39	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ 4 ≤ (𝑝 + 𝑞)) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑟)) → (4 + 2) ≤ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
41		4p2e6 12279	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (4 + 2) = 6
42	41	breq1i 5100	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((4 + 2) ≤ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ 6 ≤ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
43		5lt6 12307	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 5 < 6
44		5re 12218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ 5 ∈ ℝ
45	44	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) → 5 ∈ ℝ)
46		6re 12221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ 6 ∈ ℝ
47	46	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) → 6 ∈ ℝ)
48	27	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) → (𝑝 + 𝑞) ∈ ℤ)
49		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) → 𝑟 ∈ ℤ)
50	48, 49	zaddcld 12587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) → ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ∈ ℤ)
51	50	zred 12583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) → ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ∈ ℝ)
52		ltletr 11211	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((5 ∈ ℝ ∧ 6 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ∈ ℝ) → ((5 < 6 ∧ 6 ≤ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → 5 < ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
53	45, 47, 51, 52	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) → ((5 < 6 ∧ 6 ≤ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → 5 < ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
54	43, 53	mpani 696	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) → (6 ≤ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → 5 < ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
55	42, 54	biimtrid 242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) → ((4 + 2) ≤ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → 5 < ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
56	55	expcom 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑟 ∈ ℤ → ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) → ((4 + 2) ≤ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → 5 < ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
57	56	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑟) → ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) → ((4 + 2) ≤ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → 5 < ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
58	57	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) → ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑟) → ((4 + 2) ≤ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → 5 < ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
59	58	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ 4 ≤ (𝑝 + 𝑞)) → ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑟) → ((4 + 2) ≤ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → 5 < ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
60	59	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ 4 ≤ (𝑝 + 𝑞)) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑟)) → ((4 + 2) ≤ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → 5 < ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
61	40, 60	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ 4 ≤ (𝑝 + 𝑞)) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑟)) → 5 < ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
62	61	exp31 419	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) → (4 ≤ (𝑝 + 𝑞) → ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑟) → 5 < ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
63	26, 62	biimtrid 242	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) → ((2 + 2) ≤ (𝑝 + 𝑞) → ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑟) → 5 < ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
64	63	expcom 413	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑞 ∈ ℤ → (𝑝 ∈ ℤ → ((2 + 2) ≤ (𝑝 + 𝑞) → ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑟) → 5 < ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))))
65	64	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑞) → (𝑝 ∈ ℤ → ((2 + 2) ≤ (𝑝 + 𝑞) → ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑟) → 5 < ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))))
66	65	com12 32	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 ∈ ℤ → ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑞) → ((2 + 2) ≤ (𝑝 + 𝑞) → ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑟) → 5 < ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))))
67	66	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑝) → ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑞) → ((2 + 2) ≤ (𝑝 + 𝑞) → ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑟) → 5 < ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))))
68	67	imp 406	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑝) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑞)) → ((2 + 2) ≤ (𝑝 + 𝑞) → ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑟) → 5 < ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
69	24, 68	mpd 15	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑝) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑞)) → ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑟) → 5 < ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
70	69	imp 406	. . . . . . . 8 ⊢ ((((2 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑝) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑞)) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑟)) → 5 < ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
71		breq2 5097	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → (5 < 𝑍 ↔ 5 < ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
72	70, 71	syl5ibrcom 247	. . . . . . 7 ⊢ ((((2 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑝) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑞)) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑟)) → (𝑍 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → 5 < 𝑍))
73	8, 11, 72	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → (𝑍 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → 5 < 𝑍))
74	73	rexlimdva 3133	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (∃𝑟 ∈ ℙ 𝑍 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → 5 < 𝑍))
75	74	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑍 ∈ Odd ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) → (∃𝑟 ∈ ℙ 𝑍 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → 5 < 𝑍))
76	75	rexlimdvva 3189	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ Odd → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑍 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → 5 < 𝑍))
77	76	imp 406	. 2 ⊢ ((𝑍 ∈ Odd ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑍 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → 5 < 𝑍)
78	1, 77	sylbi 217	1 ⊢ (𝑍 ∈ GoldbachOddW → 5 < 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3056   class class class wbr 5093  ‘cfv 6487  (class class class)co 7352  ℝcr 11011   + caddc 11015   < clt 11152   ≤ cle 11153  2c2 12186  4c4 12188  5c5 12189  6c6 12190  ℤcz 12474  ℤ_≥cuz 12738  ℙcprime 16588   Odd codd 47730   GoldbachOddW cgbow 47851

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11068  ax-resscn 11069  ax-1cn 11070  ax-icn 11071  ax-addcl 11072  ax-addrcl 11073  ax-mulcl 11074  ax-mulrcl 11075  ax-mulcom 11076  ax-addass 11077  ax-mulass 11078  ax-distr 11079  ax-i2m1 11080  ax-1ne0 11081  ax-1rid 11082  ax-rnegex 11083  ax-rrecex 11084  ax-cnre 11085  ax-pre-lttri 11086  ax-pre-lttrn 11087  ax-pre-ltadd 11088  ax-pre-mulgt0 11089  ax-pre-sup 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-2o 8392  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-sup 9332  df-pnf 11154  df-mnf 11155  df-xr 11156  df-ltxr 11157  df-le 11158  df-sub 11352  df-neg 11353  df-div 11781  df-nn 12132  df-2 12194  df-3 12195  df-4 12196  df-5 12197  df-6 12198  df-n0 12388  df-z 12475  df-uz 12739  df-rp 12897  df-seq 13915  df-exp 13975  df-cj 15012  df-re 15013  df-im 15014  df-sqrt 15148  df-abs 15149  df-dvds 16170  df-prm 16589  df-gbow 47854

This theorem is referenced by:  gbowge7  47868