gbowgt5 - Mathbox for Alexander van der Vekens

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Theorem gbowgt5 47636

Description: Any weak odd Goldbach number is greater than 5. (Contributed by AV, 20-Jul-2020.)

**Assertion**
Ref	Expression
gbowgt5	⊢ (𝑍 ∈ GoldbachOddW → 5 < 𝑍)

Proof of Theorem gbowgt5 Dummy variables 𝑝 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isgbow 47626	. 2 ⊢ (𝑍 ∈ GoldbachOddW ↔ (𝑍 ∈ Odd ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑍 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
2		prmuz2 16743	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ (ℤ_≥‘2))
3		eluz2 12909	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ (ℤ_≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑝))
4	2, 3	sylib 218	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → (2 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑝))
5		prmuz2 16743	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ (ℤ_≥‘2))
6		eluz2 12909	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑞 ∈ (ℤ_≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑞))
7	5, 6	sylib 218	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑞 ∈ ℙ → (2 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑞))
8	4, 7	anim12i 612	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑝) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑞)))
9		prmuz2 16743	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 ∈ ℙ → 𝑟 ∈ (ℤ_≥‘2))
10		eluz2 12909	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 ∈ (ℤ_≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑟))
11	9, 10	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 ∈ ℙ → (2 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑟))
12		zre 12643	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑝 ∈ ℤ → 𝑝 ∈ ℝ)
13	12	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑝) → 𝑝 ∈ ℝ)
14		zre 12643	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑞 ∈ ℤ → 𝑞 ∈ ℝ)
15	14	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑞) → 𝑞 ∈ ℝ)
16	13, 15	anim12i 612	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑝) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑞)) → (𝑝 ∈ ℝ ∧ 𝑞 ∈ ℝ))
17		2re 12367	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ
18	17, 17	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ)
19	16, 18	jctil 519	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑝) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑞)) → ((2 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℝ ∧ 𝑞 ∈ ℝ)))
20		simp3 1138	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑝) → 2 ≤ 𝑝)
21		simp3 1138	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑞) → 2 ≤ 𝑞)
22	20, 21	anim12i 612	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑝) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑞)) → (2 ≤ 𝑝 ∧ 2 ≤ 𝑞))
23		le2add 11772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) ∧ (𝑝 ∈ ℝ ∧ 𝑞 ∈ ℝ)) → ((2 ≤ 𝑝 ∧ 2 ≤ 𝑞) → (2 + 2) ≤ (𝑝 + 𝑞)))
24	19, 22, 23	sylc 65	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑝) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑞)) → (2 + 2) ≤ (𝑝 + 𝑞))
25		2p2e4 12428	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (2 + 2) = 4
26	25	breq1i 5173	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((2 + 2) ≤ (𝑝 + 𝑞) ↔ 4 ≤ (𝑝 + 𝑞))
27		zaddcl 12683	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) → (𝑝 + 𝑞) ∈ ℤ)
28	27	zred 12747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) → (𝑝 + 𝑞) ∈ ℝ)
29	28	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ 4 ≤ (𝑝 + 𝑞)) → (𝑝 + 𝑞) ∈ ℝ)
30		zre 12643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑟 ∈ ℤ → 𝑟 ∈ ℝ)
31	30	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑟) → 𝑟 ∈ ℝ)
32	29, 31	anim12i 612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ 4 ≤ (𝑝 + 𝑞)) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑟)) → ((𝑝 + 𝑞) ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ))
33		4re 12377	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 4 ∈ ℝ
34	33, 17	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (4 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ)
35	32, 34	jctil 519	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ 4 ≤ (𝑝 + 𝑞)) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑟)) → ((4 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) ∧ ((𝑝 + 𝑞) ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ)))
36		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ 4 ≤ (𝑝 + 𝑞)) → 4 ≤ (𝑝 + 𝑞))
37		simp3 1138	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑟) → 2 ≤ 𝑟)
38	36, 37	anim12i 612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ 4 ≤ (𝑝 + 𝑞)) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑟)) → (4 ≤ (𝑝 + 𝑞) ∧ 2 ≤ 𝑟))
39		le2add 11772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((4 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) ∧ ((𝑝 + 𝑞) ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ)) → ((4 ≤ (𝑝 + 𝑞) ∧ 2 ≤ 𝑟) → (4 + 2) ≤ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
40	35, 38, 39	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ 4 ≤ (𝑝 + 𝑞)) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑟)) → (4 + 2) ≤ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
41		4p2e6 12446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (4 + 2) = 6
42	41	breq1i 5173	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((4 + 2) ≤ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ 6 ≤ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
43		5lt6 12474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 5 < 6
44		5re 12380	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ 5 ∈ ℝ
45	44	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) → 5 ∈ ℝ)
46		6re 12383	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ 6 ∈ ℝ
47	46	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) → 6 ∈ ℝ)
48	27	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) → (𝑝 + 𝑞) ∈ ℤ)
49		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) → 𝑟 ∈ ℤ)
50	48, 49	zaddcld 12751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) → ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ∈ ℤ)
51	50	zred 12747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) → ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ∈ ℝ)
52		ltletr 11382	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((5 ∈ ℝ ∧ 6 ∈ ℝ ∧ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ∈ ℝ) → ((5 < 6 ∧ 6 ≤ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → 5 < ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
53	45, 47, 51, 52	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) → ((5 < 6 ∧ 6 ≤ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → 5 < ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
54	43, 53	mpani 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) → (6 ≤ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → 5 < ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
55	42, 54	biimtrid 242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ 𝑟 ∈ ℤ) → ((4 + 2) ≤ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → 5 < ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
56	55	expcom 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑟 ∈ ℤ → ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) → ((4 + 2) ≤ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → 5 < ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
57	56	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑟) → ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) → ((4 + 2) ≤ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → 5 < ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
58	57	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) → ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑟) → ((4 + 2) ≤ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → 5 < ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
59	58	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ 4 ≤ (𝑝 + 𝑞)) → ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑟) → ((4 + 2) ≤ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → 5 < ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
60	59	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ 4 ≤ (𝑝 + 𝑞)) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑟)) → ((4 + 2) ≤ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → 5 < ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
61	40, 60	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) ∧ 4 ≤ (𝑝 + 𝑞)) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑟)) → 5 < ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
62	61	exp31 419	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) → (4 ≤ (𝑝 + 𝑞) → ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑟) → 5 < ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
63	26, 62	biimtrid 242	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) → ((2 + 2) ≤ (𝑝 + 𝑞) → ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑟) → 5 < ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
64	63	expcom 413	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑞 ∈ ℤ → (𝑝 ∈ ℤ → ((2 + 2) ≤ (𝑝 + 𝑞) → ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑟) → 5 < ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))))
65	64	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑞) → (𝑝 ∈ ℤ → ((2 + 2) ≤ (𝑝 + 𝑞) → ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑟) → 5 < ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))))
66	65	com12 32	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 ∈ ℤ → ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑞) → ((2 + 2) ≤ (𝑝 + 𝑞) → ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑟) → 5 < ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))))
67	66	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑝) → ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑞) → ((2 + 2) ≤ (𝑝 + 𝑞) → ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑟) → 5 < ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))))
68	67	imp 406	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((2 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑝) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑞)) → ((2 + 2) ≤ (𝑝 + 𝑞) → ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑟) → 5 < ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
69	24, 68	mpd 15	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑝) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑞)) → ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑟) → 5 < ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
70	69	imp 406	. . . . . . . 8 ⊢ ((((2 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑝) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑞)) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑟)) → 5 < ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
71		breq2 5170	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑍 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → (5 < 𝑍 ↔ 5 < ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
72	70, 71	syl5ibrcom 247	. . . . . . 7 ⊢ ((((2 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑝) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑞)) ∧ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑟 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑟)) → (𝑍 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → 5 < 𝑍))
73	8, 11, 72	syl2an 595	. . . . . 6 ⊢ (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → (𝑍 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → 5 < 𝑍))
74	73	rexlimdva 3161	. . . . 5 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (∃𝑟 ∈ ℙ 𝑍 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → 5 < 𝑍))
75	74	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑍 ∈ Odd ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ)) → (∃𝑟 ∈ ℙ 𝑍 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → 5 < 𝑍))
76	75	rexlimdvva 3219	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ Odd → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑍 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → 5 < 𝑍))
77	76	imp 406	. 2 ⊢ ((𝑍 ∈ Odd ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑍 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → 5 < 𝑍)
78	1, 77	sylbi 217	1 ⊢ (𝑍 ∈ GoldbachOddW → 5 < 𝑍)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 395 ∧ w3a 1087 = wceq 1537 ∈ wcel 2108 ∃wrex 3076 class class class wbr 5166 ‘cfv 6573 (class class class)co 7448 ℝcr 11183 + caddc 11187 < clt 11324 ≤ cle 11325 2c2 12348 4c4 12350 5c5 12351 6c6 12352 ℤcz 12639 ℤ_≥cuz 12903 ℙcprime 16718 Odd codd 47499 GoldbachOddW cgbow 47620

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1793 ax-4 1807 ax-5 1909 ax-6 1967 ax-7 2007 ax-8 2110 ax-9 2118 ax-10 2141 ax-11 2158 ax-12 2178 ax-ext 2711 ax-sep 5317 ax-nul 5324 ax-pow 5383 ax-pr 5447 ax-un 7770 ax-cnex 11240 ax-resscn 11241 ax-1cn 11242 ax-icn 11243 ax-addcl 11244 ax-addrcl 11245 ax-mulcl 11246 ax-mulrcl 11247 ax-mulcom 11248 ax-addass 11249 ax-mulass 11250 ax-distr 11251 ax-i2m1 11252 ax-1ne0 11253 ax-1rid 11254 ax-rnegex 11255 ax-rrecex 11256 ax-cnre 11257 ax-pre-lttri 11258 ax-pre-lttrn 11259 ax-pre-ltadd 11260 ax-pre-mulgt0 11261 ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 847 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1540 df-fal 1550 df-ex 1778 df-nf 1782 df-sb 2065 df-mo 2543 df-eu 2572 df-clab 2718 df-cleq 2732 df-clel 2819 df-nfc 2895 df-ne 2947 df-nel 3053 df-ral 3068 df-rex 3077 df-rmo 3388 df-reu 3389 df-rab 3444 df-v 3490 df-sbc 3805 df-csb 3922 df-dif 3979 df-un 3981 df-in 3983 df-ss 3993 df-pss 3996 df-nul 4353 df-if 4549 df-pw 4624 df-sn 4649 df-pr 4651 df-op 4655 df-uni 4932 df-iun 5017 df-br 5167 df-opab 5229 df-mpt 5250 df-tr 5284 df-id 5593 df-eprel 5599 df-po 5607 df-so 5608 df-fr 5652 df-we 5654 df-xp 5706 df-rel 5707 df-cnv 5708 df-co 5709 df-dm 5710 df-rn 5711 df-res 5712 df-ima 5713 df-pred 6332 df-ord 6398 df-on 6399 df-lim 6400 df-suc 6401 df-iota 6525 df-fun 6575 df-fn 6576 df-f 6577 df-f1 6578 df-fo 6579 df-f1o 6580 df-fv 6581 df-riota 7404 df-ov 7451 df-oprab 7452 df-mpo 7453 df-om 7904 df-2nd 8031 df-frecs 8322 df-wrecs 8353 df-recs 8427 df-rdg 8466 df-1o 8522 df-2o 8523 df-er 8763 df-en 9004 df-dom 9005 df-sdom 9006 df-fin 9007 df-sup 9511 df-pnf 11326 df-mnf 11327 df-xr 11328 df-ltxr 11329 df-le 11330 df-sub 11522 df-neg 11523 df-div 11948 df-nn 12294 df-2 12356 df-3 12357 df-4 12358 df-5 12359 df-6 12360 df-n0 12554 df-z 12640 df-uz 12904 df-rp 13058 df-seq 14053 df-exp 14113 df-cj 15148 df-re 15149 df-im 15150 df-sqrt 15284 df-abs 15285 df-dvds 16303 df-prm 16719 df-gbow 47623

This theorem is referenced by: gbowge7 47637

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