Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sgoldbeven3prm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sgoldbeven3prm 45730
Description: If the binary Goldbach conjecture is valid, then an even integer greater than 5 can be expressed as the sum of three primes: Since (𝑁 − 2) is even iff 𝑁 is even, there would be primes 𝑝 and 𝑞 with (𝑁 − 2) = (𝑝 + 𝑞), and therefore 𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 2). (Contributed by AV, 24-Dec-2021.)
Assertion
Ref Expression
sgoldbeven3prm (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛𝑛 ∈ GoldbachEven ) → ((𝑁 ∈ Even ∧ 6 ≤ 𝑁) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
Distinct variable group:   𝑛,𝑁,𝑝,𝑞,𝑟

Proof of Theorem sgoldbeven3prm
StepHypRef Expression
1 sbgoldbb 45729 . 2 (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛𝑛 ∈ GoldbachEven ) → ∀𝑛 ∈ Even (2 < 𝑛 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑛 = (𝑝 + 𝑞)))
2 2p2e4 12222 . . . . 5 (2 + 2) = 4
3 evenz 45577 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ Even → 𝑁 ∈ ℤ)
43zred 12540 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ Even → 𝑁 ∈ ℝ)
5 4lt6 12269 . . . . . . . 8 4 < 6
6 4re 12171 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℝ
7 6re 12177 . . . . . . . . 9 6 ∈ ℝ
8 ltletr 11181 . . . . . . . . 9 ((4 ∈ ℝ ∧ 6 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((4 < 6 ∧ 6 ≤ 𝑁) → 4 < 𝑁))
96, 7, 8mp3an12 1452 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℝ → ((4 < 6 ∧ 6 ≤ 𝑁) → 4 < 𝑁))
105, 9mpani 695 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℝ → (6 ≤ 𝑁 → 4 < 𝑁))
114, 10syl 17 . . . . . 6 (𝑁 ∈ Even → (6 ≤ 𝑁 → 4 < 𝑁))
1211imp 408 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Even ∧ 6 ≤ 𝑁) → 4 < 𝑁)
132, 12eqbrtrid 5139 . . . 4 ((𝑁 ∈ Even ∧ 6 ≤ 𝑁) → (2 + 2) < 𝑁)
14 2re 12161 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
1514a1i 11 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Even ∧ 6 ≤ 𝑁) → 2 ∈ ℝ)
164adantr 482 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Even ∧ 6 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
1715, 15, 16ltaddsub2d 11690 . . . 4 ((𝑁 ∈ Even ∧ 6 ≤ 𝑁) → ((2 + 2) < 𝑁 ↔ 2 < (𝑁 − 2)))
1813, 17mpbid 231 . . 3 ((𝑁 ∈ Even ∧ 6 ≤ 𝑁) → 2 < (𝑁 − 2))
19 2evenALTV 45639 . . . . . 6 2 ∈ Even
20 emee 45653 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Even ∧ 2 ∈ Even ) → (𝑁 − 2) ∈ Even )
2119, 20mpan2 690 . . . . 5 (𝑁 ∈ Even → (𝑁 − 2) ∈ Even )
22 breq2 5108 . . . . . . . 8 (𝑛 = (𝑁 − 2) → (2 < 𝑛 ↔ 2 < (𝑁 − 2)))
23 eqeq1 2742 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (𝑁 − 2) → (𝑛 = (𝑝 + 𝑞) ↔ (𝑁 − 2) = (𝑝 + 𝑞)))
24232rexbidv 3212 . . . . . . . 8 (𝑛 = (𝑁 − 2) → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑛 = (𝑝 + 𝑞) ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑁 − 2) = (𝑝 + 𝑞)))
2522, 24imbi12d 345 . . . . . . 7 (𝑛 = (𝑁 − 2) → ((2 < 𝑛 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑛 = (𝑝 + 𝑞)) ↔ (2 < (𝑁 − 2) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑁 − 2) = (𝑝 + 𝑞))))
2625rspcv 3576 . . . . . 6 ((𝑁 − 2) ∈ Even → (∀𝑛 ∈ Even (2 < 𝑛 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑛 = (𝑝 + 𝑞)) → (2 < (𝑁 − 2) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑁 − 2) = (𝑝 + 𝑞))))
27 2prm 16503 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℙ
2827a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ Even ∧ (𝑁 − 2) = (𝑝 + 𝑞)) → 2 ∈ ℙ)
29 oveq2 7358 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑟 = 2 → ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = ((𝑝 + 𝑞) + 2))
3029eqeq2d 2749 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 = 2 → (𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ 𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 2)))
3130adantl 483 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ Even ∧ (𝑁 − 2) = (𝑝 + 𝑞)) ∧ 𝑟 = 2) → (𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ 𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 2)))
323zcnd 12541 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ Even → 𝑁 ∈ ℂ)
33 2cnd 12165 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ Even → 2 ∈ ℂ)
34 npcan 11344 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 2) + 2) = 𝑁)
3534eqcomd 2744 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → 𝑁 = ((𝑁 − 2) + 2))
3632, 33, 35syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ Even → 𝑁 = ((𝑁 − 2) + 2))
3736adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ Even ∧ (𝑁 − 2) = (𝑝 + 𝑞)) → 𝑁 = ((𝑁 − 2) + 2))
38 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ Even ∧ (𝑁 − 2) = (𝑝 + 𝑞)) → (𝑁 − 2) = (𝑝 + 𝑞))
3938oveq1d 7365 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ Even ∧ (𝑁 − 2) = (𝑝 + 𝑞)) → ((𝑁 − 2) + 2) = ((𝑝 + 𝑞) + 2))
4037, 39eqtrd 2778 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ Even ∧ (𝑁 − 2) = (𝑝 + 𝑞)) → 𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 2))
4128, 31, 40rspcedvd 3582 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Even ∧ (𝑁 − 2) = (𝑝 + 𝑞)) → ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
4241ex 414 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ Even → ((𝑁 − 2) = (𝑝 + 𝑞) → ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
4342reximdv 3166 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ Even → (∃𝑞 ∈ ℙ (𝑁 − 2) = (𝑝 + 𝑞) → ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
4443reximdv 3166 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ Even → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑁 − 2) = (𝑝 + 𝑞) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
4544imim2d 57 . . . . . 6 (𝑁 ∈ Even → ((2 < (𝑁 − 2) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑁 − 2) = (𝑝 + 𝑞)) → (2 < (𝑁 − 2) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
4626, 45syl9r 78 . . . . 5 (𝑁 ∈ Even → ((𝑁 − 2) ∈ Even → (∀𝑛 ∈ Even (2 < 𝑛 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑛 = (𝑝 + 𝑞)) → (2 < (𝑁 − 2) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))))
4721, 46mpd 15 . . . 4 (𝑁 ∈ Even → (∀𝑛 ∈ Even (2 < 𝑛 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑛 = (𝑝 + 𝑞)) → (2 < (𝑁 − 2) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
4847adantr 482 . . 3 ((𝑁 ∈ Even ∧ 6 ≤ 𝑁) → (∀𝑛 ∈ Even (2 < 𝑛 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑛 = (𝑝 + 𝑞)) → (2 < (𝑁 − 2) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
4918, 48mpid 44 . 2 ((𝑁 ∈ Even ∧ 6 ≤ 𝑁) → (∀𝑛 ∈ Even (2 < 𝑛 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑛 = (𝑝 + 𝑞)) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
501, 49syl5com 31 1 (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛𝑛 ∈ GoldbachEven ) → ((𝑁 ∈ Even ∧ 6 ≤ 𝑁) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3063  wrex 3072   class class class wbr 5104  (class class class)co 7350  cc 10983  cr 10984   + caddc 10988   < clt 11123  cle 11124  cmin 11319  2c2 12142  4c4 12144  6c6 12146  cprime 16482   Even ceven 45571   GoldbachEven cgbe 45692
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-cnex 11041  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061  ax-pre-mulgt0 11062  ax-pre-sup 11063
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6250  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-om 7794  df-1st 7912  df-2nd 7913  df-frecs 8180  df-wrecs 8211  df-recs 8285  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-2o 8381  df-er 8582  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-fin 8821  df-sup 9312  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-xr 11127  df-ltxr 11128  df-le 11129  df-sub 11321  df-neg 11322  df-div 11747  df-nn 12088  df-2 12150  df-3 12151  df-4 12152  df-5 12153  df-6 12154  df-n0 12348  df-z 12434  df-uz 12697  df-rp 12845  df-fz 13354  df-seq 13836  df-exp 13897  df-cj 14918  df-re 14919  df-im 14920  df-sqrt 15054  df-abs 15055  df-dvds 16072  df-prm 16483  df-even 45573  df-odd 45574  df-gbe 45695
This theorem is referenced by:  sbgoldbm  45731
  Copyright terms: Public domain W3C validator