Theorem sgoldbeven3prm 47777

Description: If the binary Goldbach conjecture is valid, then an even integer greater than 5 can be expressed as the sum of three primes: Since (𝑁 − 2) is even iff 𝑁 is even, there would be primes 𝑝 and 𝑞 with (𝑁 − 2) = (𝑝 + 𝑞), and therefore 𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 2). (Contributed by AV, 24-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
sgoldbeven3prm	⊢ (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → ((𝑁 ∈ Even ∧ 6 ≤ 𝑁) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))

Distinct variable group:   𝑛,𝑁,𝑝,𝑞,𝑟

Proof of Theorem sgoldbeven3prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sbgoldbb 47776	. 2 ⊢ (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → ∀𝑛 ∈ Even (2 < 𝑛 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑛 = (𝑝 + 𝑞)))
2		2p2e4 12258	. . . . 5 ⊢ (2 + 2) = 4
3		evenz 47624	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ Even → 𝑁 ∈ ℤ)
4	3	zred 12580	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ Even → 𝑁 ∈ ℝ)
5		4lt6 12305	. . . . . . . 8 ⊢ 4 < 6
6		4re 12212	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℝ
7		6re 12218	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℝ
8		ltletr 11208	. . . . . . . . 9 ⊢ ((4 ∈ ℝ ∧ 6 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((4 < 6 ∧ 6 ≤ 𝑁) → 4 < 𝑁))
9	6, 7, 8	mp3an12 1453	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((4 < 6 ∧ 6 ≤ 𝑁) → 4 < 𝑁))
10	5, 9	mpani 696	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (6 ≤ 𝑁 → 4 < 𝑁))
11	4, 10	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ Even → (6 ≤ 𝑁 → 4 < 𝑁))
12	11	imp 406	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ 6 ≤ 𝑁) → 4 < 𝑁)
13	2, 12	eqbrtrid 5127	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ 6 ≤ 𝑁) → (2 + 2) < 𝑁)
14		2re 12202	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
15	14	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ 6 ≤ 𝑁) → 2 ∈ ℝ)
16	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ 6 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
17	15, 15, 16	ltaddsub2d 11721	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ 6 ≤ 𝑁) → ((2 + 2) < 𝑁 ↔ 2 < (𝑁 − 2)))
18	13, 17	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ 6 ≤ 𝑁) → 2 < (𝑁 − 2))
19		2evenALTV 47686	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ Even
20		emee 47700	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ 2 ∈ Even ) → (𝑁 − 2) ∈ Even )
21	19, 20	mpan2 691	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ Even → (𝑁 − 2) ∈ Even )
22		breq2 5096	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = (𝑁 − 2) → (2 < 𝑛 ↔ 2 < (𝑁 − 2)))
23		eqeq1 2733	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = (𝑁 − 2) → (𝑛 = (𝑝 + 𝑞) ↔ (𝑁 − 2) = (𝑝 + 𝑞)))
24	23	2rexbidv 3194	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = (𝑁 − 2) → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑛 = (𝑝 + 𝑞) ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑁 − 2) = (𝑝 + 𝑞)))
25	22, 24	imbi12d 344	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = (𝑁 − 2) → ((2 < 𝑛 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑛 = (𝑝 + 𝑞)) ↔ (2 < (𝑁 − 2) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑁 − 2) = (𝑝 + 𝑞))))
26	25	rspcv 3573	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 − 2) ∈ Even → (∀𝑛 ∈ Even (2 < 𝑛 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑛 = (𝑝 + 𝑞)) → (2 < (𝑁 − 2) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑁 − 2) = (𝑝 + 𝑞))))
27		2prm 16603	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℙ
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ (𝑁 − 2) = (𝑝 + 𝑞)) → 2 ∈ ℙ)
29		oveq2 7357	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑟 = 2 → ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = ((𝑝 + 𝑞) + 2))
30	29	eqeq2d 2740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑟 = 2 → (𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ 𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 2)))
31	30	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ Even ∧ (𝑁 − 2) = (𝑝 + 𝑞)) ∧ 𝑟 = 2) → (𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ 𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 2)))
32	3	zcnd 12581	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ Even → 𝑁 ∈ ℂ)
33		2cnd 12206	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ Even → 2 ∈ ℂ)
34		npcan 11372	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 2) + 2) = 𝑁)
35	34	eqcomd 2735	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → 𝑁 = ((𝑁 − 2) + 2))
36	32, 33, 35	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ Even → 𝑁 = ((𝑁 − 2) + 2))
37	36	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ (𝑁 − 2) = (𝑝 + 𝑞)) → 𝑁 = ((𝑁 − 2) + 2))
38		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ (𝑁 − 2) = (𝑝 + 𝑞)) → (𝑁 − 2) = (𝑝 + 𝑞))
39	38	oveq1d 7364	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ (𝑁 − 2) = (𝑝 + 𝑞)) → ((𝑁 − 2) + 2) = ((𝑝 + 𝑞) + 2))
40	37, 39	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ (𝑁 − 2) = (𝑝 + 𝑞)) → 𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 2))
41	28, 31, 40	rspcedvd 3579	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ (𝑁 − 2) = (𝑝 + 𝑞)) → ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
42	41	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ Even → ((𝑁 − 2) = (𝑝 + 𝑞) → ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
43	42	reximdv 3144	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ Even → (∃𝑞 ∈ ℙ (𝑁 − 2) = (𝑝 + 𝑞) → ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
44	43	reximdv 3144	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ Even → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑁 − 2) = (𝑝 + 𝑞) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
45	44	imim2d 57	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ Even → ((2 < (𝑁 − 2) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑁 − 2) = (𝑝 + 𝑞)) → (2 < (𝑁 − 2) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
46	26, 45	syl9r 78	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ Even → ((𝑁 − 2) ∈ Even → (∀𝑛 ∈ Even (2 < 𝑛 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑛 = (𝑝 + 𝑞)) → (2 < (𝑁 − 2) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))))
47	21, 46	mpd 15	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ Even → (∀𝑛 ∈ Even (2 < 𝑛 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑛 = (𝑝 + 𝑞)) → (2 < (𝑁 − 2) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
48	47	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ 6 ≤ 𝑁) → (∀𝑛 ∈ Even (2 < 𝑛 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑛 = (𝑝 + 𝑞)) → (2 < (𝑁 − 2) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
49	18, 48	mpid 44	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ 6 ≤ 𝑁) → (∀𝑛 ∈ Even (2 < 𝑛 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑛 = (𝑝 + 𝑞)) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
50	1, 49	syl5com 31	1 ⊢ (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → ((𝑁 ∈ Even ∧ 6 ≤ 𝑁) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∃wrex 3053   class class class wbr 5092  (class class class)co 7349  ℂcc 11007  ℝcr 11008   + caddc 11012   < clt 11149   ≤ cle 11150   − cmin 11347  2c2 12183  4c4 12185  6c6 12187  ℙcprime 16582   Even ceven 47618   GoldbachEven cgbe 47739

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-2o 8389  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-sup 9332  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-rp 12894  df-fz 13411  df-seq 13909  df-exp 13969  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-dvds 16164  df-prm 16583  df-even 47620  df-odd 47621  df-gbe 47742

This theorem is referenced by:  sbgoldbm  47778