Theorem sgoldbeven3prm 48282

Description: If the binary Goldbach conjecture is valid, then an even integer greater than 5 can be expressed as the sum of three primes: Since (𝑁 − 2) is even iff 𝑁 is even, there would be primes 𝑝 and 𝑞 with (𝑁 − 2) = (𝑝 + 𝑞), and therefore 𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 2). (Contributed by AV, 24-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
sgoldbeven3prm	⊢ (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → ((𝑁 ∈ Even ∧ 6 ≤ 𝑁) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))

Distinct variable group:   𝑛,𝑁,𝑝,𝑞,𝑟

Proof of Theorem sgoldbeven3prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sbgoldbb 48281	. 2 ⊢ (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → ∀𝑛 ∈ Even (2 < 𝑛 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑛 = (𝑝 + 𝑞)))
2		2p2e4 12303	. . . . 5 ⊢ (2 + 2) = 4
3		evenz 48129	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ Even → 𝑁 ∈ ℤ)
4	3	zred 12625	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ Even → 𝑁 ∈ ℝ)
5		4lt6 12350	. . . . . . . 8 ⊢ 4 < 6
6		4re 12257	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℝ
7		6re 12263	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℝ
8		ltletr 11230	. . . . . . . . 9 ⊢ ((4 ∈ ℝ ∧ 6 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((4 < 6 ∧ 6 ≤ 𝑁) → 4 < 𝑁))
9	6, 7, 8	mp3an12 1459	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((4 < 6 ∧ 6 ≤ 𝑁) → 4 < 𝑁))
10	5, 9	mpani 702	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (6 ≤ 𝑁 → 4 < 𝑁))
11	4, 10	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ Even → (6 ≤ 𝑁 → 4 < 𝑁))
12	11	imp 407	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ 6 ≤ 𝑁) → 4 < 𝑁)
13	2, 12	eqbrtrid 5108	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ 6 ≤ 𝑁) → (2 + 2) < 𝑁)
14		2re 12247	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
15	14	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ 6 ≤ 𝑁) → 2 ∈ ℝ)
16	4	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ 6 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
17	15, 15, 16	ltaddsub2d 11743	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ 6 ≤ 𝑁) → ((2 + 2) < 𝑁 ↔ 2 < (𝑁 − 2)))
18	13, 17	mpbid 233	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ 6 ≤ 𝑁) → 2 < (𝑁 − 2))
19		2evenALTV 48191	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ Even
20		emee 48205	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ 2 ∈ Even ) → (𝑁 − 2) ∈ Even )
21	19, 20	mpan2 697	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ Even → (𝑁 − 2) ∈ Even )
22		breq2 5077	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = (𝑁 − 2) → (2 < 𝑛 ↔ 2 < (𝑁 − 2)))
23		eqeq1 2743	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = (𝑁 − 2) → (𝑛 = (𝑝 + 𝑞) ↔ (𝑁 − 2) = (𝑝 + 𝑞)))
24	23	2rexbidv 3204	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = (𝑁 − 2) → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑛 = (𝑝 + 𝑞) ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑁 − 2) = (𝑝 + 𝑞)))
25	22, 24	imbi12d 345	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = (𝑁 − 2) → ((2 < 𝑛 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑛 = (𝑝 + 𝑞)) ↔ (2 < (𝑁 − 2) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑁 − 2) = (𝑝 + 𝑞))))
26	25	rspcv 3556	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 − 2) ∈ Even → (∀𝑛 ∈ Even (2 < 𝑛 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑛 = (𝑝 + 𝑞)) → (2 < (𝑁 − 2) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑁 − 2) = (𝑝 + 𝑞))))
27		2prm 16653	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℙ
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ (𝑁 − 2) = (𝑝 + 𝑞)) → 2 ∈ ℙ)
29		oveq2 7365	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑟 = 2 → ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = ((𝑝 + 𝑞) + 2))
30	29	eqeq2d 2750	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑟 = 2 → (𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ 𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 2)))
31	30	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ Even ∧ (𝑁 − 2) = (𝑝 + 𝑞)) ∧ 𝑟 = 2) → (𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ 𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 2)))
32	3	zcnd 12626	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ Even → 𝑁 ∈ ℂ)
33		2cnd 12251	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ Even → 2 ∈ ℂ)
34		npcan 11394	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 2) + 2) = 𝑁)
35	34	eqcomd 2745	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → 𝑁 = ((𝑁 − 2) + 2))
36	32, 33, 35	syl2anc 590	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ Even → 𝑁 = ((𝑁 − 2) + 2))
37	36	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ (𝑁 − 2) = (𝑝 + 𝑞)) → 𝑁 = ((𝑁 − 2) + 2))
38		simpr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ (𝑁 − 2) = (𝑝 + 𝑞)) → (𝑁 − 2) = (𝑝 + 𝑞))
39	38	oveq1d 7372	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ (𝑁 − 2) = (𝑝 + 𝑞)) → ((𝑁 − 2) + 2) = ((𝑝 + 𝑞) + 2))
40	37, 39	eqtrd 2774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ (𝑁 − 2) = (𝑝 + 𝑞)) → 𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 2))
41	28, 31, 40	rspcedvd 3562	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ (𝑁 − 2) = (𝑝 + 𝑞)) → ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
42	41	ex 413	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ Even → ((𝑁 − 2) = (𝑝 + 𝑞) → ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
43	42	reximdv 3154	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ Even → (∃𝑞 ∈ ℙ (𝑁 − 2) = (𝑝 + 𝑞) → ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
44	43	reximdv 3154	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ Even → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑁 − 2) = (𝑝 + 𝑞) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
45	44	imim2d 57	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ Even → ((2 < (𝑁 − 2) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑁 − 2) = (𝑝 + 𝑞)) → (2 < (𝑁 − 2) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
46	26, 45	syl9r 78	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ Even → ((𝑁 − 2) ∈ Even → (∀𝑛 ∈ Even (2 < 𝑛 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑛 = (𝑝 + 𝑞)) → (2 < (𝑁 − 2) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))))
47	21, 46	mpd 15	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ Even → (∀𝑛 ∈ Even (2 < 𝑛 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑛 = (𝑝 + 𝑞)) → (2 < (𝑁 − 2) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
48	47	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ 6 ≤ 𝑁) → (∀𝑛 ∈ Even (2 < 𝑛 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑛 = (𝑝 + 𝑞)) → (2 < (𝑁 − 2) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
49	18, 48	mpid 44	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ 6 ≤ 𝑁) → (∀𝑛 ∈ Even (2 < 𝑛 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑛 = (𝑝 + 𝑞)) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
50	1, 49	syl5com 31	1 ⊢ (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → ((𝑁 ∈ Even ∧ 6 ≤ 𝑁) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∀wral 3053  ∃wrex 3063   class class class wbr 5073  (class class class)co 7357  ℂcc 11028  ℝcr 11029   + caddc 11033   < clt 11171   ≤ cle 11172   − cmin 11369  2c2 12228  4c4 12230  6c6 12232  ℙcprime 16632   Even ceven 48123   GoldbachEven cgbe 48244

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-iun 4924  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-tr 5181  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7314  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7808  df-1st 7932  df-2nd 7933  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-2o 8397  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-sup 9346  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-div 11800  df-nn 12167  df-2 12236  df-3 12237  df-4 12238  df-5 12239  df-6 12240  df-n0 12430  df-z 12517  df-uz 12781  df-rp 12935  df-fz 13454  df-seq 13956  df-exp 14016  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-dvds 16214  df-prm 16633  df-even 48125  df-odd 48126  df-gbe 48247

This theorem is referenced by:  sbgoldbm  48283