Theorem sgoldbeven3prm 47777

Description: If the binary Goldbach conjecture is valid, then an even integer greater than 5 can be expressed as the sum of three primes: Since (𝑁 − 2) is even iff 𝑁 is even, there would be primes 𝑝 and 𝑞 with (𝑁 − 2) = (𝑝 + 𝑞), and therefore 𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 2). (Contributed by AV, 24-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
sgoldbeven3prm	⊢ (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → ((𝑁 ∈ Even ∧ 6 ≤ 𝑁) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))

Distinct variable group:   𝑛,𝑁,𝑝,𝑞,𝑟

Proof of Theorem sgoldbeven3prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sbgoldbb 47776	. 2 ⊢ (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → ∀𝑛 ∈ Even (2 < 𝑛 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑛 = (𝑝 + 𝑞)))
2		2p2e4 12292	. . . . 5 ⊢ (2 + 2) = 4
3		evenz 47624	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ Even → 𝑁 ∈ ℤ)
4	3	zred 12614	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ Even → 𝑁 ∈ ℝ)
5		4lt6 12339	. . . . . . . 8 ⊢ 4 < 6
6		4re 12246	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℝ
7		6re 12252	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℝ
8		ltletr 11242	. . . . . . . . 9 ⊢ ((4 ∈ ℝ ∧ 6 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((4 < 6 ∧ 6 ≤ 𝑁) → 4 < 𝑁))
9	6, 7, 8	mp3an12 1453	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((4 < 6 ∧ 6 ≤ 𝑁) → 4 < 𝑁))
10	5, 9	mpani 696	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (6 ≤ 𝑁 → 4 < 𝑁))
11	4, 10	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ Even → (6 ≤ 𝑁 → 4 < 𝑁))
12	11	imp 406	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ 6 ≤ 𝑁) → 4 < 𝑁)
13	2, 12	eqbrtrid 5137	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ 6 ≤ 𝑁) → (2 + 2) < 𝑁)
14		2re 12236	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
15	14	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ 6 ≤ 𝑁) → 2 ∈ ℝ)
16	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ 6 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
17	15, 15, 16	ltaddsub2d 11755	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ 6 ≤ 𝑁) → ((2 + 2) < 𝑁 ↔ 2 < (𝑁 − 2)))
18	13, 17	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ 6 ≤ 𝑁) → 2 < (𝑁 − 2))
19		2evenALTV 47686	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ Even
20		emee 47700	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ 2 ∈ Even ) → (𝑁 − 2) ∈ Even )
21	19, 20	mpan2 691	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ Even → (𝑁 − 2) ∈ Even )
22		breq2 5106	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = (𝑁 − 2) → (2 < 𝑛 ↔ 2 < (𝑁 − 2)))
23		eqeq1 2733	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = (𝑁 − 2) → (𝑛 = (𝑝 + 𝑞) ↔ (𝑁 − 2) = (𝑝 + 𝑞)))
24	23	2rexbidv 3200	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = (𝑁 − 2) → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑛 = (𝑝 + 𝑞) ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑁 − 2) = (𝑝 + 𝑞)))
25	22, 24	imbi12d 344	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = (𝑁 − 2) → ((2 < 𝑛 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑛 = (𝑝 + 𝑞)) ↔ (2 < (𝑁 − 2) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑁 − 2) = (𝑝 + 𝑞))))
26	25	rspcv 3581	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 − 2) ∈ Even → (∀𝑛 ∈ Even (2 < 𝑛 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑛 = (𝑝 + 𝑞)) → (2 < (𝑁 − 2) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑁 − 2) = (𝑝 + 𝑞))))
27		2prm 16638	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℙ
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ (𝑁 − 2) = (𝑝 + 𝑞)) → 2 ∈ ℙ)
29		oveq2 7377	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑟 = 2 → ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = ((𝑝 + 𝑞) + 2))
30	29	eqeq2d 2740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑟 = 2 → (𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ 𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 2)))
31	30	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ Even ∧ (𝑁 − 2) = (𝑝 + 𝑞)) ∧ 𝑟 = 2) → (𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ 𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 2)))
32	3	zcnd 12615	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ Even → 𝑁 ∈ ℂ)
33		2cnd 12240	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ Even → 2 ∈ ℂ)
34		npcan 11406	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 2) + 2) = 𝑁)
35	34	eqcomd 2735	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → 𝑁 = ((𝑁 − 2) + 2))
36	32, 33, 35	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ Even → 𝑁 = ((𝑁 − 2) + 2))
37	36	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ (𝑁 − 2) = (𝑝 + 𝑞)) → 𝑁 = ((𝑁 − 2) + 2))
38		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ (𝑁 − 2) = (𝑝 + 𝑞)) → (𝑁 − 2) = (𝑝 + 𝑞))
39	38	oveq1d 7384	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ (𝑁 − 2) = (𝑝 + 𝑞)) → ((𝑁 − 2) + 2) = ((𝑝 + 𝑞) + 2))
40	37, 39	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ (𝑁 − 2) = (𝑝 + 𝑞)) → 𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 2))
41	28, 31, 40	rspcedvd 3587	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ (𝑁 − 2) = (𝑝 + 𝑞)) → ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
42	41	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ Even → ((𝑁 − 2) = (𝑝 + 𝑞) → ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
43	42	reximdv 3148	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ Even → (∃𝑞 ∈ ℙ (𝑁 − 2) = (𝑝 + 𝑞) → ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
44	43	reximdv 3148	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ Even → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑁 − 2) = (𝑝 + 𝑞) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
45	44	imim2d 57	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ Even → ((2 < (𝑁 − 2) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑁 − 2) = (𝑝 + 𝑞)) → (2 < (𝑁 − 2) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
46	26, 45	syl9r 78	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ Even → ((𝑁 − 2) ∈ Even → (∀𝑛 ∈ Even (2 < 𝑛 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑛 = (𝑝 + 𝑞)) → (2 < (𝑁 − 2) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))))
47	21, 46	mpd 15	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ Even → (∀𝑛 ∈ Even (2 < 𝑛 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑛 = (𝑝 + 𝑞)) → (2 < (𝑁 − 2) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
48	47	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ 6 ≤ 𝑁) → (∀𝑛 ∈ Even (2 < 𝑛 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑛 = (𝑝 + 𝑞)) → (2 < (𝑁 − 2) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
49	18, 48	mpid 44	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ 6 ≤ 𝑁) → (∀𝑛 ∈ Even (2 < 𝑛 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑛 = (𝑝 + 𝑞)) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
50	1, 49	syl5com 31	1 ⊢ (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → ((𝑁 ∈ Even ∧ 6 ≤ 𝑁) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∃wrex 3053   class class class wbr 5102  (class class class)co 7369  ℂcc 11042  ℝcr 11043   + caddc 11047   < clt 11184   ≤ cle 11185   − cmin 11381  2c2 12217  4c4 12219  6c6 12221  ℙcprime 16617   Even ceven 47618   GoldbachEven cgbe 47739

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9369  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-rp 12928  df-fz 13445  df-seq 13943  df-exp 14003  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-dvds 16199  df-prm 16618  df-even 47620  df-odd 47621  df-gbe 47742

This theorem is referenced by:  sbgoldbm  47778