Theorem sgoldbeven3prm 48147

Description: If the binary Goldbach conjecture is valid, then an even integer greater than 5 can be expressed as the sum of three primes: Since (𝑁 − 2) is even iff 𝑁 is even, there would be primes 𝑝 and 𝑞 with (𝑁 − 2) = (𝑝 + 𝑞), and therefore 𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 2). (Contributed by AV, 24-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
sgoldbeven3prm	⊢ (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → ((𝑁 ∈ Even ∧ 6 ≤ 𝑁) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))

Distinct variable group:   𝑛,𝑁,𝑝,𝑞,𝑟

Proof of Theorem sgoldbeven3prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sbgoldbb 48146	. 2 ⊢ (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → ∀𝑛 ∈ Even (2 < 𝑛 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑛 = (𝑝 + 𝑞)))
2		2p2e4 12287	. . . . 5 ⊢ (2 + 2) = 4
3		evenz 47994	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ Even → 𝑁 ∈ ℤ)
4	3	zred 12608	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ Even → 𝑁 ∈ ℝ)
5		4lt6 12334	. . . . . . . 8 ⊢ 4 < 6
6		4re 12241	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℝ
7		6re 12247	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℝ
8		ltletr 11237	. . . . . . . . 9 ⊢ ((4 ∈ ℝ ∧ 6 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((4 < 6 ∧ 6 ≤ 𝑁) → 4 < 𝑁))
9	6, 7, 8	mp3an12 1454	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ((4 < 6 ∧ 6 ≤ 𝑁) → 4 < 𝑁))
10	5, 9	mpani 697	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (6 ≤ 𝑁 → 4 < 𝑁))
11	4, 10	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ Even → (6 ≤ 𝑁 → 4 < 𝑁))
12	11	imp 406	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ 6 ≤ 𝑁) → 4 < 𝑁)
13	2, 12	eqbrtrid 5135	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ 6 ≤ 𝑁) → (2 + 2) < 𝑁)
14		2re 12231	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
15	14	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ 6 ≤ 𝑁) → 2 ∈ ℝ)
16	4	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ 6 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
17	15, 15, 16	ltaddsub2d 11750	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ 6 ≤ 𝑁) → ((2 + 2) < 𝑁 ↔ 2 < (𝑁 − 2)))
18	13, 17	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ 6 ≤ 𝑁) → 2 < (𝑁 − 2))
19		2evenALTV 48056	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ Even
20		emee 48070	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ 2 ∈ Even ) → (𝑁 − 2) ∈ Even )
21	19, 20	mpan2 692	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ Even → (𝑁 − 2) ∈ Even )
22		breq2 5104	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = (𝑁 − 2) → (2 < 𝑛 ↔ 2 < (𝑁 − 2)))
23		eqeq1 2741	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = (𝑁 − 2) → (𝑛 = (𝑝 + 𝑞) ↔ (𝑁 − 2) = (𝑝 + 𝑞)))
24	23	2rexbidv 3203	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = (𝑁 − 2) → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑛 = (𝑝 + 𝑞) ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑁 − 2) = (𝑝 + 𝑞)))
25	22, 24	imbi12d 344	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = (𝑁 − 2) → ((2 < 𝑛 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑛 = (𝑝 + 𝑞)) ↔ (2 < (𝑁 − 2) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑁 − 2) = (𝑝 + 𝑞))))
26	25	rspcv 3574	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 − 2) ∈ Even → (∀𝑛 ∈ Even (2 < 𝑛 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑛 = (𝑝 + 𝑞)) → (2 < (𝑁 − 2) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑁 − 2) = (𝑝 + 𝑞))))
27		2prm 16631	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℙ
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ (𝑁 − 2) = (𝑝 + 𝑞)) → 2 ∈ ℙ)
29		oveq2 7376	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑟 = 2 → ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = ((𝑝 + 𝑞) + 2))
30	29	eqeq2d 2748	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑟 = 2 → (𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ 𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 2)))
31	30	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ Even ∧ (𝑁 − 2) = (𝑝 + 𝑞)) ∧ 𝑟 = 2) → (𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) ↔ 𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 2)))
32	3	zcnd 12609	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ Even → 𝑁 ∈ ℂ)
33		2cnd 12235	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ Even → 2 ∈ ℂ)
34		npcan 11401	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 2) + 2) = 𝑁)
35	34	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → 𝑁 = ((𝑁 − 2) + 2))
36	32, 33, 35	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ Even → 𝑁 = ((𝑁 − 2) + 2))
37	36	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ (𝑁 − 2) = (𝑝 + 𝑞)) → 𝑁 = ((𝑁 − 2) + 2))
38		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ (𝑁 − 2) = (𝑝 + 𝑞)) → (𝑁 − 2) = (𝑝 + 𝑞))
39	38	oveq1d 7383	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ (𝑁 − 2) = (𝑝 + 𝑞)) → ((𝑁 − 2) + 2) = ((𝑝 + 𝑞) + 2))
40	37, 39	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ (𝑁 − 2) = (𝑝 + 𝑞)) → 𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 2))
41	28, 31, 40	rspcedvd 3580	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ (𝑁 − 2) = (𝑝 + 𝑞)) → ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
42	41	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ Even → ((𝑁 − 2) = (𝑝 + 𝑞) → ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
43	42	reximdv 3153	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ Even → (∃𝑞 ∈ ℙ (𝑁 − 2) = (𝑝 + 𝑞) → ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
44	43	reximdv 3153	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ Even → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑁 − 2) = (𝑝 + 𝑞) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
45	44	imim2d 57	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ Even → ((2 < (𝑁 − 2) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑁 − 2) = (𝑝 + 𝑞)) → (2 < (𝑁 − 2) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
46	26, 45	syl9r 78	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ Even → ((𝑁 − 2) ∈ Even → (∀𝑛 ∈ Even (2 < 𝑛 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑛 = (𝑝 + 𝑞)) → (2 < (𝑁 − 2) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))))
47	21, 46	mpd 15	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ Even → (∀𝑛 ∈ Even (2 < 𝑛 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑛 = (𝑝 + 𝑞)) → (2 < (𝑁 − 2) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
48	47	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ 6 ≤ 𝑁) → (∀𝑛 ∈ Even (2 < 𝑛 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑛 = (𝑝 + 𝑞)) → (2 < (𝑁 − 2) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
49	18, 48	mpid 44	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ 6 ≤ 𝑁) → (∀𝑛 ∈ Even (2 < 𝑛 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑛 = (𝑝 + 𝑞)) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
50	1, 49	syl5com 31	1 ⊢ (∀𝑛 ∈ Even (4 < 𝑛 → 𝑛 ∈ GoldbachEven ) → ((𝑁 ∈ Even ∧ 6 ≤ 𝑁) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3062   class class class wbr 5100  (class class class)co 7368  ℂcc 11036  ℝcr 11037   + caddc 11041   < clt 11178   ≤ cle 11179   − cmin 11376  2c2 12212  4c4 12214  6c6 12216  ℙcprime 16610   Even ceven 47988   GoldbachEven cgbe 48109

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9357  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-rp 12918  df-fz 13436  df-seq 13937  df-exp 13997  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-dvds 16192  df-prm 16611  df-even 47990  df-odd 47991  df-gbe 48112

This theorem is referenced by:  sbgoldbm  48148