Theorem matbas2i 22415

Description: A matrix is a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
matbas2.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matbas2.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
matbas2i.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
matbas2i	⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑀 ∈ (𝐾 ↑m (𝑁 × 𝑁)))

Proof of Theorem matbas2i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑀 ∈ 𝐵)
2		matbas2i.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
3	1, 2	eleqtrdi 2836	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
4		matbas2.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
5	4, 2	matrcl 22403	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
6		matbas2.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
7	4, 6	matbas2 22414	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝐾 ↑m (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
8	5, 7	syl 17	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (𝐾 ↑m (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
9	3, 8	eleqtrrd 2829	1 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑀 ∈ (𝐾 ↑m (𝑁 × 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  Vcvv 3462   × cxp 5680  ‘cfv 6554  (class class class)co 7424   ↑_m cmap 8855  Fincfn 8974  Basecbs 17213   Mat cmat 22398

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-tp 4638  df-op 4640  df-ot 4642  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-supp 8175  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-er 8734  df-map 8857  df-ixp 8927  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-fsupp 9406  df-sup 9485  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12611  df-dec 12730  df-uz 12875  df-fz 13539  df-struct 17149  df-sets 17166  df-slot 17184  df-ndx 17196  df-base 17214  df-ress 17243  df-plusg 17279  df-mulr 17280  df-sca 17282  df-vsca 17283  df-ip 17284  df-tset 17285  df-ple 17286  df-ds 17288  df-hom 17290  df-cco 17291  df-0g 17456  df-prds 17462  df-pws 17464  df-sra 21151  df-rgmod 21152  df-dsmm 21730  df-frlm 21745  df-mat 22399

This theorem is referenced by:  eqmat  22417  matplusgcell  22426  matsubgcell  22427  matmulcell  22438  mattposcl  22446  mattpostpos  22447  mattposm  22452  matgsumcl  22453  dmatmul  22490  mdetleib2  22581  mdetf  22588  mdetdiaglem  22591  mdetrlin  22595  mdetrsca  22596  mdetralt  22601  mdetunilem7  22611  mdetunilem9  22613  mdetmul  22616  maducoeval2  22633  madutpos  22635  madugsum  22636  madurid  22637  decpmatval  22758  decpmatmul  22765  pmatcollpw3lem  22776  smatcl  33617  matmpo  33618  submat1n  33620  submateq  33624  madjusmdetlem3  33644