Theorem matbas2i 22397

Description: A matrix is a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
matbas2.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matbas2.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
matbas2i.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
matbas2i	⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑀 ∈ (𝐾 ↑m (𝑁 × 𝑁)))

Proof of Theorem matbas2i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑀 ∈ 𝐵)
2		matbas2i.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
3	1, 2	eleqtrdi 2847	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
4		matbas2.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
5	4, 2	matrcl 22387	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
6		matbas2.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
7	4, 6	matbas2 22396	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝐾 ↑m (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
8	5, 7	syl 17	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (𝐾 ↑m (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
9	3, 8	eleqtrrd 2840	1 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑀 ∈ (𝐾 ↑m (𝑁 × 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430   × cxp 5622  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360   ↑_m cmap 8766  Fincfn 8886  Basecbs 17170   Mat cmat 22382

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-ot 4577  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8104  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-er 8636  df-map 8768  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9268  df-sup 9348  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-fz 13453  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-hom 17235  df-cco 17236  df-0g 17395  df-prds 17401  df-pws 17403  df-sra 21160  df-rgmod 21161  df-dsmm 21722  df-frlm 21737  df-mat 22383

This theorem is referenced by:  eqmat  22399  matplusgcell  22408  matsubgcell  22409  matmulcell  22420  mattposcl  22428  mattpostpos  22429  mattposm  22434  matgsumcl  22435  dmatmul  22472  mdetleib2  22563  mdetf  22570  mdetdiaglem  22573  mdetrlin  22577  mdetrsca  22578  mdetralt  22583  mdetunilem7  22593  mdetunilem9  22595  mdetmul  22598  maducoeval2  22615  madutpos  22617  madugsum  22618  madurid  22619  decpmatval  22740  decpmatmul  22747  pmatcollpw3lem  22758  smatcl  33962  matmpo  33963  submat1n  33965  submateq  33969  madjusmdetlem3  33989