Theorem matbas2i 21677

Description: A matrix is a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
matbas2.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
matbas2.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
matbas2i.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
matbas2i	⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑀 ∈ (𝐾 ↑m (𝑁 × 𝑁)))

Proof of Theorem matbas2i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑀 ∈ 𝐵)
2		matbas2i.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
3	1, 2	eleqtrdi 2847	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
4		matbas2.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
5	4, 2	matrcl 21665	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
6		matbas2.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
7	4, 6	matbas2 21676	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝐾 ↑m (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
8	5, 7	syl 17	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (𝐾 ↑m (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
9	3, 8	eleqtrrd 2840	1 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑀 ∈ (𝐾 ↑m (𝑁 × 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  Vcvv 3441   × cxp 5618  ‘cfv 6479  (class class class)co 7337   ↑_m cmap 8686  Fincfn 8804  Basecbs 17009   Mat cmat 21660

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-ot 4582  df-uni 4853  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-om 7781  df-1st 7899  df-2nd 7900  df-supp 8048  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-1o 8367  df-er 8569  df-map 8688  df-ixp 8757  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-fin 8808  df-fsupp 9227  df-sup 9299  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-nn 12075  df-2 12137  df-3 12138  df-4 12139  df-5 12140  df-6 12141  df-7 12142  df-8 12143  df-9 12144  df-n0 12335  df-z 12421  df-dec 12539  df-uz 12684  df-fz 13341  df-struct 16945  df-sets 16962  df-slot 16980  df-ndx 16992  df-base 17010  df-ress 17039  df-plusg 17072  df-mulr 17073  df-sca 17075  df-vsca 17076  df-ip 17077  df-tset 17078  df-ple 17079  df-ds 17081  df-hom 17083  df-cco 17084  df-0g 17249  df-prds 17255  df-pws 17257  df-sra 20540  df-rgmod 20541  df-dsmm 21045  df-frlm 21060  df-mat 21661

This theorem is referenced by:  eqmat  21679  matplusgcell  21688  matsubgcell  21689  matmulcell  21700  mattposcl  21708  mattpostpos  21709  mattposm  21714  matgsumcl  21715  dmatmul  21752  mdetleib2  21843  mdetf  21850  mdetdiaglem  21853  mdetrlin  21857  mdetrsca  21858  mdetralt  21863  mdetunilem7  21873  mdetunilem9  21875  mdetmul  21878  maducoeval2  21895  madutpos  21897  madugsum  21898  madurid  21899  decpmatval  22020  decpmatmul  22027  pmatcollpw3lem  22038  smatcl  32050  matmpo  32051  submat1n  32053  submateq  32057  madjusmdetlem3  32077