Theorem mdetlap1 34440

Description: A Laplace expansion of the determinant of a matrix, using the adjunct (cofactor) matrix. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdetlap1.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mdetlap1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
mdetlap1.d	⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
mdetlap1.k	⊢ 𝐾 = (𝑁 maAdju 𝑅)
mdetlap1.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mdetlap1	⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) → (𝐷‘𝑀) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐼𝑀𝑗) · (𝑗(𝐾‘𝑀)𝐼)))))

Distinct variable groups:   · ,𝑗   𝐴,𝑗   𝐵,𝑗   𝑗,𝐼   𝑗,𝐾   𝑗,𝑀   𝑗,𝑁   𝑅,𝑗

Allowed substitution hint:   𝐷(𝑗)

Proof of Theorem mdetlap1

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1155	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) → 𝑀 ∈ 𝐵)
2		mdetlap1.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3		mdetlap1.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
4	2, 3	matmpo 34417	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑀 = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑖𝑀𝑗)))
5		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = 𝑁
6		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑖 = 𝐼) → 𝑖 = 𝐼)
7	6	eqcomd 2767	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑖 = 𝐼) → 𝐼 = 𝑖)
8	7	oveq1d 7427	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑖 = 𝐼) → (𝐼𝑀𝑗) = (𝑖𝑀𝑗))
9		eqidd 2762	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ ¬ 𝑖 = 𝐼) → (𝑖𝑀𝑗) = (𝑖𝑀𝑗))
10	8, 9	ifeqda 4519	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → if(𝑖 = 𝐼, (𝐼𝑀𝑗), (𝑖𝑀𝑗)) = (𝑖𝑀𝑗))
11	10	mptru 1577	. . . . . 6 ⊢ if(𝑖 = 𝐼, (𝐼𝑀𝑗), (𝑖𝑀𝑗)) = (𝑖𝑀𝑗)
12	5, 5, 11	mpoeq123i 7488	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐼𝑀𝑗), (𝑖𝑀𝑗))) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑖𝑀𝑗))
13	4, 12	eqtr4di 2814	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑀 = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐼𝑀𝑗), (𝑖𝑀𝑗))))
14	13	fveq2d 6881	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝑀) = (𝐷‘(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐼𝑀𝑗), (𝑖𝑀𝑗)))))
15	1, 14	syl 18	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) → (𝐷‘𝑀) = (𝐷‘(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐼𝑀𝑗), (𝑖𝑀𝑗)))))
16		mdetlap1.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (𝑁 maAdju 𝑅)
17		mdetlap1.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
18		mdetlap1.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
19		eqid 2761	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
20		simp1 1154	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ CRing)
21		simpl3 1212	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝐼 ∈ 𝑁)
22		simpr 490	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑗 ∈ 𝑁)
23	1, 3	eleqtrdi 2871	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
24	23	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
25	2, 19	matecl 22720	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ∧ 𝑀 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝐼𝑀𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
26	21, 22, 24, 25	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝐼𝑀𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
27		simp3 1156	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) → 𝐼 ∈ 𝑁)
28	2, 16, 3, 17, 18, 19, 1, 20, 26, 27	madugsum 22938	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐼𝑀𝑗) · (𝑗(𝐾‘𝑀)𝐼)))) = (𝐷‘(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐼𝑀𝑗), (𝑖𝑀𝑗)))))
29	15, 28	eqtr4d 2799	1 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) → (𝐷‘𝑀) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐼𝑀𝑗) · (𝑗(𝐾‘𝑀)𝐼)))))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2145  ifcif 4482   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412   ∈ cmpo 7414  Basecbs 17367  ._rcmulr 17409   Σ_g cgsu 17591  CRingccrg 20440   Mat cmat 22702   maDet cmdat 22879   maAdju cmadu 22927

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-addf 11260  ax-mulf 11261

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-xor 1542  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-ot 4593  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7682  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-supp 8162  df-tpos 8227  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-2o 8461  df-er 8701  df-map 8833  df-pm 8834  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9338  df-sup 9418  df-oi 9488  df-card 10001  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-4 12388  df-5 12389  df-6 12390  df-7 12391  df-8 12392  df-9 12393  df-n0 12588  df-xnn0 12661  df-z 12675  df-dec 12796  df-uz 12947  df-rp 13102  df-fz 13621  df-fzo 13769  df-seq 14125  df-exp 14185  df-hash 14455  df-word 14639  df-lsw 14688  df-concat 14696  df-s1 14723  df-substr 14769  df-pfx 14801  df-splice 14879  df-reverse 14888  df-s2 14979  df-struct 17305  df-sets 17322  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-ress 17389  df-plusg 17421  df-mulr 17422  df-starv 17423  df-sca 17424  df-vsca 17425  df-ip 17426  df-tset 17427  df-ple 17428  df-ds 17430  df-unif 17431  df-hom 17432  df-cco 17433  df-0g 17592  df-gsum 17593  df-prds 17598  df-pws 17600  df-mre 17736  df-mrc 17737  df-acs 17739  df-mgm 18796  df-sgrp 18888  df-mnd 18904  df-mhm 18958  df-submnd 18959  df-efmnd 19045  df-grp 19127  df-minusg 19128  df-mulg 19258  df-subg 19313  df-ghm 19408  df-gim 19453  df-cntz 19511  df-oppg 19540  df-symg 19564  df-pmtr 19636  df-psgn 19685  df-cmn 19976  df-abl 19977  df-mgp 20341  df-rng 20355  df-ur 20388  df-ring 20441  df-cring 20442  df-oppr 20547  df-dvdsr 20567  df-unit 20568  df-invr 20598  df-dvr 20611  df-rhm 20682  df-subrng 20778  df-subrg 20802  df-drng 20962  df-sra 21428  df-rgmod 21429  df-cnfld 21659  df-zring 21733  df-zrh 21789  df-dsmm 22018  df-frlm 22033  df-mat 22703  df-mdet 22880  df-madu 22929

This theorem is used by:  mdetlap  34446