Theorem mdetlap1 33816

Description: A Laplace expansion of the determinant of a matrix, using the adjunct (cofactor) matrix. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdetlap1.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mdetlap1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
mdetlap1.d	⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
mdetlap1.k	⊢ 𝐾 = (𝑁 maAdju 𝑅)
mdetlap1.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mdetlap1	⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) → (𝐷‘𝑀) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐼𝑀𝑗) · (𝑗(𝐾‘𝑀)𝐼)))))

Distinct variable groups:   · ,𝑗   𝐴,𝑗   𝐵,𝑗   𝑗,𝐼   𝑗,𝐾   𝑗,𝑀   𝑗,𝑁   𝑅,𝑗

Allowed substitution hint:   𝐷(𝑗)

Proof of Theorem mdetlap1

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1137	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) → 𝑀 ∈ 𝐵)
2		mdetlap1.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3		mdetlap1.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
4	2, 3	matmpo 33793	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑀 = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑖𝑀𝑗)))
5		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = 𝑁
6		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑖 = 𝐼) → 𝑖 = 𝐼)
7	6	eqcomd 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑖 = 𝐼) → 𝐼 = 𝑖)
8	7	oveq1d 7402	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑖 = 𝐼) → (𝐼𝑀𝑗) = (𝑖𝑀𝑗))
9		eqidd 2730	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ ¬ 𝑖 = 𝐼) → (𝑖𝑀𝑗) = (𝑖𝑀𝑗))
10	8, 9	ifeqda 4525	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → if(𝑖 = 𝐼, (𝐼𝑀𝑗), (𝑖𝑀𝑗)) = (𝑖𝑀𝑗))
11	10	mptru 1547	. . . . . 6 ⊢ if(𝑖 = 𝐼, (𝐼𝑀𝑗), (𝑖𝑀𝑗)) = (𝑖𝑀𝑗)
12	5, 5, 11	mpoeq123i 7465	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐼𝑀𝑗), (𝑖𝑀𝑗))) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑖𝑀𝑗))
13	4, 12	eqtr4di 2782	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑀 = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐼𝑀𝑗), (𝑖𝑀𝑗))))
14	13	fveq2d 6862	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝑀) = (𝐷‘(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐼𝑀𝑗), (𝑖𝑀𝑗)))))
15	1, 14	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) → (𝐷‘𝑀) = (𝐷‘(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐼𝑀𝑗), (𝑖𝑀𝑗)))))
16		mdetlap1.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (𝑁 maAdju 𝑅)
17		mdetlap1.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
18		mdetlap1.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
19		eqid 2729	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
20		simp1 1136	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ CRing)
21		simpl3 1194	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝐼 ∈ 𝑁)
22		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑗 ∈ 𝑁)
23	1, 3	eleqtrdi 2838	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
24	23	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
25	2, 19	matecl 22312	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ∧ 𝑀 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝐼𝑀𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
26	21, 22, 24, 25	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝐼𝑀𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
27		simp3 1138	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) → 𝐼 ∈ 𝑁)
28	2, 16, 3, 17, 18, 19, 1, 20, 26, 27	madugsum 22530	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐼𝑀𝑗) · (𝑗(𝐾‘𝑀)𝐼)))) = (𝐷‘(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐼𝑀𝑗), (𝑖𝑀𝑗)))))
29	15, 28	eqtr4d 2767	1 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) → (𝐷‘𝑀) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐼𝑀𝑗) · (𝑗(𝐾‘𝑀)𝐼)))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540  ⊤wtru 1541   ∈ wcel 2109  ifcif 4488   ↦ cmpt 5188  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387   ∈ cmpo 7389  Basecbs 17179  ._rcmulr 17221   Σ_g cgsu 17403  CRingccrg 20143   Mat cmat 22294   maDet cmdat 22471   maAdju cmadu 22519

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-addf 11147  ax-mulf 11148

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-xor 1512  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-ot 4598  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-of 7653  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8140  df-tpos 8205  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-er 8671  df-map 8801  df-pm 8802  df-ixp 8871  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-fsupp 9313  df-sup 9393  df-oi 9463  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-xnn0 12516  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-rp 12952  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-seq 13967  df-exp 14027  df-hash 14296  df-word 14479  df-lsw 14528  df-concat 14536  df-s1 14561  df-substr 14606  df-pfx 14636  df-splice 14715  df-reverse 14724  df-s2 14814  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-prds 17410  df-pws 17412  df-mre 17547  df-mrc 17548  df-acs 17550  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-mhm 18710  df-submnd 18711  df-efmnd 18796  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-mulg 19000  df-subg 19055  df-ghm 19145  df-gim 19191  df-cntz 19249  df-oppg 19278  df-symg 19300  df-pmtr 19372  df-psgn 19421  df-cmn 19712  df-abl 19713  df-mgp 20050  df-rng 20062  df-ur 20091  df-ring 20144  df-cring 20145  df-oppr 20246  df-dvdsr 20266  df-unit 20267  df-invr 20297  df-dvr 20310  df-rhm 20381  df-subrng 20455  df-subrg 20479  df-drng 20640  df-sra 21080  df-rgmod 21081  df-cnfld 21265  df-zring 21357  df-zrh 21413  df-dsmm 21641  df-frlm 21656  df-mat 22295  df-mdet 22472  df-madu 22521

This theorem is referenced by:  mdetlap  33822