Theorem mdetlap1 33772

Description: A Laplace expansion of the determinant of a matrix, using the adjunct (cofactor) matrix. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdetlap1.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mdetlap1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
mdetlap1.d	⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
mdetlap1.k	⊢ 𝐾 = (𝑁 maAdju 𝑅)
mdetlap1.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mdetlap1	⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) → (𝐷‘𝑀) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐼𝑀𝑗) · (𝑗(𝐾‘𝑀)𝐼)))))

Distinct variable groups:   · ,𝑗   𝐴,𝑗   𝐵,𝑗   𝑗,𝐼   𝑗,𝐾   𝑗,𝑀   𝑗,𝑁   𝑅,𝑗

Allowed substitution hint:   𝐷(𝑗)

Proof of Theorem mdetlap1

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1137	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) → 𝑀 ∈ 𝐵)
2		mdetlap1.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3		mdetlap1.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
4	2, 3	matmpo 33749	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑀 = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑖𝑀𝑗)))
5		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = 𝑁
6		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑖 = 𝐼) → 𝑖 = 𝐼)
7	6	eqcomd 2746	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑖 = 𝐼) → 𝐼 = 𝑖)
8	7	oveq1d 7463	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑖 = 𝐼) → (𝐼𝑀𝑗) = (𝑖𝑀𝑗))
9		eqidd 2741	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ ¬ 𝑖 = 𝐼) → (𝑖𝑀𝑗) = (𝑖𝑀𝑗))
10	8, 9	ifeqda 4584	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → if(𝑖 = 𝐼, (𝐼𝑀𝑗), (𝑖𝑀𝑗)) = (𝑖𝑀𝑗))
11	10	mptru 1544	. . . . . 6 ⊢ if(𝑖 = 𝐼, (𝐼𝑀𝑗), (𝑖𝑀𝑗)) = (𝑖𝑀𝑗)
12	5, 5, 11	mpoeq123i 7526	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐼𝑀𝑗), (𝑖𝑀𝑗))) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑖𝑀𝑗))
13	4, 12	eqtr4di 2798	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑀 = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐼𝑀𝑗), (𝑖𝑀𝑗))))
14	13	fveq2d 6924	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝑀) = (𝐷‘(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐼𝑀𝑗), (𝑖𝑀𝑗)))))
15	1, 14	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) → (𝐷‘𝑀) = (𝐷‘(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐼𝑀𝑗), (𝑖𝑀𝑗)))))
16		mdetlap1.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (𝑁 maAdju 𝑅)
17		mdetlap1.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
18		mdetlap1.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
19		eqid 2740	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
20		simp1 1136	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ CRing)
21		simpl3 1193	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝐼 ∈ 𝑁)
22		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑗 ∈ 𝑁)
23	1, 3	eleqtrdi 2854	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
24	23	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
25	2, 19	matecl 22452	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ∧ 𝑀 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝐼𝑀𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
26	21, 22, 24, 25	syl3anc 1371	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝐼𝑀𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
27		simp3 1138	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) → 𝐼 ∈ 𝑁)
28	2, 16, 3, 17, 18, 19, 1, 20, 26, 27	madugsum 22670	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐼𝑀𝑗) · (𝑗(𝐾‘𝑀)𝐼)))) = (𝐷‘(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐼𝑀𝑗), (𝑖𝑀𝑗)))))
29	15, 28	eqtr4d 2783	1 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) → (𝐷‘𝑀) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐼𝑀𝑗) · (𝑗(𝐾‘𝑀)𝐼)))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537  ⊤wtru 1538   ∈ wcel 2108  ifcif 4548   ↦ cmpt 5249  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   ∈ cmpo 7450  Basecbs 17258  ._rcmulr 17312   Σ_g cgsu 17500  CRingccrg 20261   Mat cmat 22432   maDet cmdat 22611   maAdju cmadu 22659

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-addf 11263  ax-mulf 11264

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-xor 1509  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-ot 4657  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-tpos 8267  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-sup 9511  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-xnn0 12626  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-rp 13058  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-seq 14053  df-exp 14113  df-hash 14380  df-word 14563  df-lsw 14611  df-concat 14619  df-s1 14644  df-substr 14689  df-pfx 14719  df-splice 14798  df-reverse 14807  df-s2 14897  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-hom 17335  df-cco 17336  df-0g 17501  df-gsum 17502  df-prds 17507  df-pws 17509  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-mhm 18818  df-submnd 18819  df-efmnd 18904  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-mulg 19108  df-subg 19163  df-ghm 19253  df-gim 19299  df-cntz 19357  df-oppg 19386  df-symg 19411  df-pmtr 19484  df-psgn 19533  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-ring 20262  df-cring 20263  df-oppr 20360  df-dvdsr 20383  df-unit 20384  df-invr 20414  df-dvr 20427  df-rhm 20498  df-subrng 20572  df-subrg 20597  df-drng 20753  df-sra 21195  df-rgmod 21196  df-cnfld 21388  df-zring 21481  df-zrh 21537  df-dsmm 21775  df-frlm 21790  df-mat 22433  df-mdet 22612  df-madu 22661

This theorem is referenced by:  mdetlap  33778