Theorem mdetlap1 31882

Description: A Laplace expansion of the determinant of a matrix, using the adjunct (cofactor) matrix. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdetlap1.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mdetlap1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
mdetlap1.d	⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
mdetlap1.k	⊢ 𝐾 = (𝑁 maAdju 𝑅)
mdetlap1.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mdetlap1	⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) → (𝐷‘𝑀) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐼𝑀𝑗) · (𝑗(𝐾‘𝑀)𝐼)))))

Distinct variable groups:   · ,𝑗   𝐴,𝑗   𝐵,𝑗   𝑗,𝐼   𝑗,𝐾   𝑗,𝑀   𝑗,𝑁   𝑅,𝑗

Allowed substitution hint:   𝐷(𝑗)

Proof of Theorem mdetlap1

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1136	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) → 𝑀 ∈ 𝐵)
2		mdetlap1.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3		mdetlap1.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
4	2, 3	matmpo 31859	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑀 = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑖𝑀𝑗)))
5		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = 𝑁
6		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑖 = 𝐼) → 𝑖 = 𝐼)
7	6	eqcomd 2743	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑖 = 𝐼) → 𝐼 = 𝑖)
8	7	oveq1d 7330	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑖 = 𝐼) → (𝐼𝑀𝑗) = (𝑖𝑀𝑗))
9		eqidd 2738	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ ¬ 𝑖 = 𝐼) → (𝑖𝑀𝑗) = (𝑖𝑀𝑗))
10	8, 9	ifeqda 4507	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → if(𝑖 = 𝐼, (𝐼𝑀𝑗), (𝑖𝑀𝑗)) = (𝑖𝑀𝑗))
11	10	mptru 1547	. . . . . 6 ⊢ if(𝑖 = 𝐼, (𝐼𝑀𝑗), (𝑖𝑀𝑗)) = (𝑖𝑀𝑗)
12	5, 5, 11	mpoeq123i 7391	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐼𝑀𝑗), (𝑖𝑀𝑗))) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑖𝑀𝑗))
13	4, 12	eqtr4di 2795	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑀 = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐼𝑀𝑗), (𝑖𝑀𝑗))))
14	13	fveq2d 6815	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝑀) = (𝐷‘(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐼𝑀𝑗), (𝑖𝑀𝑗)))))
15	1, 14	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) → (𝐷‘𝑀) = (𝐷‘(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐼𝑀𝑗), (𝑖𝑀𝑗)))))
16		mdetlap1.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (𝑁 maAdju 𝑅)
17		mdetlap1.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
18		mdetlap1.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
19		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
20		simp1 1135	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ CRing)
21		simpl3 1192	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝐼 ∈ 𝑁)
22		simpr 485	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑗 ∈ 𝑁)
23	1, 3	eleqtrdi 2848	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
24	23	adantr 481	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
25	2, 19	matecl 21646	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ∧ 𝑀 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝐼𝑀𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
26	21, 22, 24, 25	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝐼𝑀𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
27		simp3 1137	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) → 𝐼 ∈ 𝑁)
28	2, 16, 3, 17, 18, 19, 1, 20, 26, 27	madugsum 21864	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐼𝑀𝑗) · (𝑗(𝐾‘𝑀)𝐼)))) = (𝐷‘(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐼𝑀𝑗), (𝑖𝑀𝑗)))))
29	15, 28	eqtr4d 2780	1 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) → (𝐷‘𝑀) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐼𝑀𝑗) · (𝑗(𝐾‘𝑀)𝐼)))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1540  ⊤wtru 1541   ∈ wcel 2105  ifcif 4471   ↦ cmpt 5170  ‘cfv 6465  (class class class)co 7315   ∈ cmpo 7317  Basecbs 16982  ._rcmulr 17033   Σ_g cgsu 17221  CRingccrg 19852   Mat cmat 21626   maDet cmdat 21805   maAdju cmadu 21853

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5238  ax-nul 5245  ax-pow 5303  ax-pr 5367  ax-un 7628  ax-cnex 11000  ax-resscn 11001  ax-1cn 11002  ax-icn 11003  ax-addcl 11004  ax-addrcl 11005  ax-mulcl 11006  ax-mulrcl 11007  ax-mulcom 11008  ax-addass 11009  ax-mulass 11010  ax-distr 11011  ax-i2m1 11012  ax-1ne0 11013  ax-1rid 11014  ax-rnegex 11015  ax-rrecex 11016  ax-cnre 11017  ax-pre-lttri 11018  ax-pre-lttrn 11019  ax-pre-ltadd 11020  ax-pre-mulgt0 11021  ax-addf 11023  ax-mulf 11024

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-xor 1509  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4268  df-if 4472  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-tp 4576  df-op 4578  df-ot 4580  df-uni 4851  df-int 4893  df-iun 4939  df-iin 4940  df-br 5088  df-opab 5150  df-mpt 5171  df-tr 5205  df-id 5507  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5562  df-se 5563  df-we 5564  df-xp 5613  df-rel 5614  df-cnv 5615  df-co 5616  df-dm 5617  df-rn 5618  df-res 5619  df-ima 5620  df-pred 6224  df-ord 6291  df-on 6292  df-lim 6293  df-suc 6294  df-iota 6417  df-fun 6467  df-fn 6468  df-f 6469  df-f1 6470  df-fo 6471  df-f1o 6472  df-fv 6473  df-isom 6474  df-riota 7272  df-ov 7318  df-oprab 7319  df-mpo 7320  df-of 7573  df-om 7758  df-1st 7876  df-2nd 7877  df-supp 8025  df-tpos 8089  df-frecs 8144  df-wrecs 8175  df-recs 8249  df-rdg 8288  df-1o 8344  df-2o 8345  df-er 8546  df-map 8665  df-pm 8666  df-ixp 8734  df-en 8782  df-dom 8783  df-sdom 8784  df-fin 8785  df-fsupp 9199  df-sup 9271  df-oi 9339  df-card 9768  df-pnf 11084  df-mnf 11085  df-xr 11086  df-ltxr 11087  df-le 11088  df-sub 11280  df-neg 11281  df-div 11706  df-nn 12047  df-2 12109  df-3 12110  df-4 12111  df-5 12112  df-6 12113  df-7 12114  df-8 12115  df-9 12116  df-n0 12307  df-xnn0 12379  df-z 12393  df-dec 12511  df-uz 12656  df-rp 12804  df-fz 13313  df-fzo 13456  df-seq 13795  df-exp 13856  df-hash 14118  df-word 14290  df-lsw 14338  df-concat 14346  df-s1 14373  df-substr 14426  df-pfx 14456  df-splice 14535  df-reverse 14544  df-s2 14633  df-struct 16918  df-sets 16935  df-slot 16953  df-ndx 16965  df-base 16983  df-ress 17012  df-plusg 17045  df-mulr 17046  df-starv 17047  df-sca 17048  df-vsca 17049  df-ip 17050  df-tset 17051  df-ple 17052  df-ds 17054  df-unif 17055  df-hom 17056  df-cco 17057  df-0g 17222  df-gsum 17223  df-prds 17228  df-pws 17230  df-mre 17365  df-mrc 17366  df-acs 17368  df-mgm 18396  df-sgrp 18445  df-mnd 18456  df-mhm 18500  df-submnd 18501  df-efmnd 18577  df-grp 18649  df-minusg 18650  df-mulg 18770  df-subg 18821  df-ghm 18901  df-gim 18944  df-cntz 18992  df-oppg 19019  df-symg 19044  df-pmtr 19119  df-psgn 19168  df-cmn 19456  df-abl 19457  df-mgp 19789  df-ur 19806  df-ring 19853  df-cring 19854  df-oppr 19930  df-dvdsr 19951  df-unit 19952  df-invr 19982  df-dvr 19993  df-rnghom 20027  df-drng 20065  df-subrg 20094  df-sra 20506  df-rgmod 20507  df-cnfld 20670  df-zring 20743  df-zrh 20777  df-dsmm 21011  df-frlm 21026  df-mat 21627  df-mdet 21806  df-madu 21855

This theorem is referenced by:  mdetlap  31888