![]() |
Mathbox for Thierry Arnoux |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > mdetlap1 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: A Laplace expansion of the determinant of a matrix, using the adjunct (cofactor) matrix. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Aug-2020.) |
Ref | Expression |
---|---|
mdetlap1.a | โข ๐ด = (๐ Mat ๐ ) |
mdetlap1.b | โข ๐ต = (Baseโ๐ด) |
mdetlap1.d | โข ๐ท = (๐ maDet ๐ ) |
mdetlap1.k | โข ๐พ = (๐ maAdju ๐ ) |
mdetlap1.t | โข ยท = (.rโ๐ ) |
Ref | Expression |
---|---|
mdetlap1 | โข ((๐ โ CRing โง ๐ โ ๐ต โง ๐ผ โ ๐) โ (๐ทโ๐) = (๐ ฮฃg (๐ โ ๐ โฆ ((๐ผ๐๐) ยท (๐(๐พโ๐)๐ผ))))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | simp2 1134 | . . 3 โข ((๐ โ CRing โง ๐ โ ๐ต โง ๐ผ โ ๐) โ ๐ โ ๐ต) | |
2 | mdetlap1.a | . . . . . 6 โข ๐ด = (๐ Mat ๐ ) | |
3 | mdetlap1.b | . . . . . 6 โข ๐ต = (Baseโ๐ด) | |
4 | 2, 3 | matmpo 33445 | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ต โ ๐ = (๐ โ ๐, ๐ โ ๐ โฆ (๐๐๐))) |
5 | eqid 2728 | . . . . . 6 โข ๐ = ๐ | |
6 | simpr 483 | . . . . . . . . . 10 โข ((โค โง ๐ = ๐ผ) โ ๐ = ๐ผ) | |
7 | 6 | eqcomd 2734 | . . . . . . . . 9 โข ((โค โง ๐ = ๐ผ) โ ๐ผ = ๐) |
8 | 7 | oveq1d 7441 | . . . . . . . 8 โข ((โค โง ๐ = ๐ผ) โ (๐ผ๐๐) = (๐๐๐)) |
9 | eqidd 2729 | . . . . . . . 8 โข ((โค โง ยฌ ๐ = ๐ผ) โ (๐๐๐) = (๐๐๐)) | |
10 | 8, 9 | ifeqda 4568 | . . . . . . 7 โข (โค โ if(๐ = ๐ผ, (๐ผ๐๐), (๐๐๐)) = (๐๐๐)) |
11 | 10 | mptru 1540 | . . . . . 6 โข if(๐ = ๐ผ, (๐ผ๐๐), (๐๐๐)) = (๐๐๐) |
12 | 5, 5, 11 | mpoeq123i 7503 | . . . . 5 โข (๐ โ ๐, ๐ โ ๐ โฆ if(๐ = ๐ผ, (๐ผ๐๐), (๐๐๐))) = (๐ โ ๐, ๐ โ ๐ โฆ (๐๐๐)) |
13 | 4, 12 | eqtr4di 2786 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ต โ ๐ = (๐ โ ๐, ๐ โ ๐ โฆ if(๐ = ๐ผ, (๐ผ๐๐), (๐๐๐)))) |
14 | 13 | fveq2d 6906 | . . 3 โข (๐ โ ๐ต โ (๐ทโ๐) = (๐ทโ(๐ โ ๐, ๐ โ ๐ โฆ if(๐ = ๐ผ, (๐ผ๐๐), (๐๐๐))))) |
15 | 1, 14 | syl 17 | . 2 โข ((๐ โ CRing โง ๐ โ ๐ต โง ๐ผ โ ๐) โ (๐ทโ๐) = (๐ทโ(๐ โ ๐, ๐ โ ๐ โฆ if(๐ = ๐ผ, (๐ผ๐๐), (๐๐๐))))) |
16 | mdetlap1.k | . . 3 โข ๐พ = (๐ maAdju ๐ ) | |
17 | mdetlap1.d | . . 3 โข ๐ท = (๐ maDet ๐ ) | |
18 | mdetlap1.t | . . 3 โข ยท = (.rโ๐ ) | |
19 | eqid 2728 | . . 3 โข (Baseโ๐ ) = (Baseโ๐ ) | |
20 | simp1 1133 | . . 3 โข ((๐ โ CRing โง ๐ โ ๐ต โง ๐ผ โ ๐) โ ๐ โ CRing) | |
21 | simpl3 1190 | . . . 4 โข (((๐ โ CRing โง ๐ โ ๐ต โง ๐ผ โ ๐) โง ๐ โ ๐) โ ๐ผ โ ๐) | |
22 | simpr 483 | . . . 4 โข (((๐ โ CRing โง ๐ โ ๐ต โง ๐ผ โ ๐) โง ๐ โ ๐) โ ๐ โ ๐) | |
23 | 1, 3 | eleqtrdi 2839 | . . . . 5 โข ((๐ โ CRing โง ๐ โ ๐ต โง ๐ผ โ ๐) โ ๐ โ (Baseโ๐ด)) |
24 | 23 | adantr 479 | . . . 4 โข (((๐ โ CRing โง ๐ โ ๐ต โง ๐ผ โ ๐) โง ๐ โ ๐) โ ๐ โ (Baseโ๐ด)) |
25 | 2, 19 | matecl 22355 | . . . 4 โข ((๐ผ โ ๐ โง ๐ โ ๐ โง ๐ โ (Baseโ๐ด)) โ (๐ผ๐๐) โ (Baseโ๐ )) |
26 | 21, 22, 24, 25 | syl3anc 1368 | . . 3 โข (((๐ โ CRing โง ๐ โ ๐ต โง ๐ผ โ ๐) โง ๐ โ ๐) โ (๐ผ๐๐) โ (Baseโ๐ )) |
27 | simp3 1135 | . . 3 โข ((๐ โ CRing โง ๐ โ ๐ต โง ๐ผ โ ๐) โ ๐ผ โ ๐) | |
28 | 2, 16, 3, 17, 18, 19, 1, 20, 26, 27 | madugsum 22573 | . 2 โข ((๐ โ CRing โง ๐ โ ๐ต โง ๐ผ โ ๐) โ (๐ ฮฃg (๐ โ ๐ โฆ ((๐ผ๐๐) ยท (๐(๐พโ๐)๐ผ)))) = (๐ทโ(๐ โ ๐, ๐ โ ๐ โฆ if(๐ = ๐ผ, (๐ผ๐๐), (๐๐๐))))) |
29 | 15, 28 | eqtr4d 2771 | 1 โข ((๐ โ CRing โง ๐ โ ๐ต โง ๐ผ โ ๐) โ (๐ทโ๐) = (๐ ฮฃg (๐ โ ๐ โฆ ((๐ผ๐๐) ยท (๐(๐พโ๐)๐ผ))))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ยฌ wn 3 โ wi 4 โง wa 394 โง w3a 1084 = wceq 1533 โคwtru 1534 โ wcel 2098 ifcif 4532 โฆ cmpt 5235 โcfv 6553 (class class class)co 7426 โ cmpo 7428 Basecbs 17189 .rcmulr 17243 ฮฃg cgsu 17431 CRingccrg 20188 Mat cmat 22335 maDet cmdat 22514 maAdju cmadu 22562 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2166 ax-ext 2699 ax-rep 5289 ax-sep 5303 ax-nul 5310 ax-pow 5369 ax-pr 5433 ax-un 7748 ax-cnex 11204 ax-resscn 11205 ax-1cn 11206 ax-icn 11207 ax-addcl 11208 ax-addrcl 11209 ax-mulcl 11210 ax-mulrcl 11211 ax-mulcom 11212 ax-addass 11213 ax-mulass 11214 ax-distr 11215 ax-i2m1 11216 ax-1ne0 11217 ax-1rid 11218 ax-rnegex 11219 ax-rrecex 11220 ax-cnre 11221 ax-pre-lttri 11222 ax-pre-lttrn 11223 ax-pre-ltadd 11224 ax-pre-mulgt0 11225 ax-addf 11227 ax-mulf 11228 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 846 df-3or 1085 df-3an 1086 df-xor 1505 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2529 df-eu 2558 df-clab 2706 df-cleq 2720 df-clel 2806 df-nfc 2881 df-ne 2938 df-nel 3044 df-ral 3059 df-rex 3068 df-rmo 3374 df-reu 3375 df-rab 3431 df-v 3475 df-sbc 3779 df-csb 3895 df-dif 3952 df-un 3954 df-in 3956 df-ss 3966 df-pss 3968 df-nul 4327 df-if 4533 df-pw 4608 df-sn 4633 df-pr 4635 df-tp 4637 df-op 4639 df-ot 4641 df-uni 4913 df-int 4954 df-iun 5002 df-iin 5003 df-br 5153 df-opab 5215 df-mpt 5236 df-tr 5270 df-id 5580 df-eprel 5586 df-po 5594 df-so 5595 df-fr 5637 df-se 5638 df-we 5639 df-xp 5688 df-rel 5689 df-cnv 5690 df-co 5691 df-dm 5692 df-rn 5693 df-res 5694 df-ima 5695 df-pred 6310 df-ord 6377 df-on 6378 df-lim 6379 df-suc 6380 df-iota 6505 df-fun 6555 df-fn 6556 df-f 6557 df-f1 6558 df-fo 6559 df-f1o 6560 df-fv 6561 df-isom 6562 df-riota 7382 df-ov 7429 df-oprab 7430 df-mpo 7431 df-of 7692 df-om 7879 df-1st 8001 df-2nd 8002 df-supp 8174 df-tpos 8240 df-frecs 8295 df-wrecs 8326 df-recs 8400 df-rdg 8439 df-1o 8495 df-2o 8496 df-er 8733 df-map 8855 df-pm 8856 df-ixp 8925 df-en 8973 df-dom 8974 df-sdom 8975 df-fin 8976 df-fsupp 9396 df-sup 9475 df-oi 9543 df-card 9972 df-pnf 11290 df-mnf 11291 df-xr 11292 df-ltxr 11293 df-le 11294 df-sub 11486 df-neg 11487 df-div 11912 df-nn 12253 df-2 12315 df-3 12316 df-4 12317 df-5 12318 df-6 12319 df-7 12320 df-8 12321 df-9 12322 df-n0 12513 df-xnn0 12585 df-z 12599 df-dec 12718 df-uz 12863 df-rp 13017 df-fz 13527 df-fzo 13670 df-seq 14009 df-exp 14069 df-hash 14332 df-word 14507 df-lsw 14555 df-concat 14563 df-s1 14588 df-substr 14633 df-pfx 14663 df-splice 14742 df-reverse 14751 df-s2 14841 df-struct 17125 df-sets 17142 df-slot 17160 df-ndx 17172 df-base 17190 df-ress 17219 df-plusg 17255 df-mulr 17256 df-starv 17257 df-sca 17258 df-vsca 17259 df-ip 17260 df-tset 17261 df-ple 17262 df-ds 17264 df-unif 17265 df-hom 17266 df-cco 17267 df-0g 17432 df-gsum 17433 df-prds 17438 df-pws 17440 df-mre 17575 df-mrc 17576 df-acs 17578 df-mgm 18609 df-sgrp 18688 df-mnd 18704 df-mhm 18749 df-submnd 18750 df-efmnd 18835 df-grp 18907 df-minusg 18908 df-mulg 19038 df-subg 19092 df-ghm 19182 df-gim 19227 df-cntz 19282 df-oppg 19311 df-symg 19336 df-pmtr 19411 df-psgn 19460 df-cmn 19751 df-abl 19752 df-mgp 20089 df-rng 20107 df-ur 20136 df-ring 20189 df-cring 20190 df-oppr 20287 df-dvdsr 20310 df-unit 20311 df-invr 20341 df-dvr 20354 df-rhm 20425 df-subrng 20497 df-subrg 20522 df-drng 20640 df-sra 21072 df-rgmod 21073 df-cnfld 21294 df-zring 21387 df-zrh 21443 df-dsmm 21680 df-frlm 21695 df-mat 22336 df-mdet 22515 df-madu 22564 |
This theorem is referenced by: mdetlap 33474 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |