Theorem mdetlap1 33336

Description: A Laplace expansion of the determinant of a matrix, using the adjunct (cofactor) matrix. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdetlap1.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mdetlap1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
mdetlap1.d	⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
mdetlap1.k	⊢ 𝐾 = (𝑁 maAdju 𝑅)
mdetlap1.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mdetlap1	⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) → (𝐷‘𝑀) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐼𝑀𝑗) · (𝑗(𝐾‘𝑀)𝐼)))))

Distinct variable groups:   · ,𝑗   𝐴,𝑗   𝐵,𝑗   𝑗,𝐼   𝑗,𝐾   𝑗,𝑀   𝑗,𝑁   𝑅,𝑗

Allowed substitution hint:   𝐷(𝑗)

Proof of Theorem mdetlap1

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1134	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) → 𝑀 ∈ 𝐵)
2		mdetlap1.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3		mdetlap1.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
4	2, 3	matmpo 33313	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑀 = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑖𝑀𝑗)))
5		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = 𝑁
6		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑖 = 𝐼) → 𝑖 = 𝐼)
7	6	eqcomd 2732	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑖 = 𝐼) → 𝐼 = 𝑖)
8	7	oveq1d 7420	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑖 = 𝐼) → (𝐼𝑀𝑗) = (𝑖𝑀𝑗))
9		eqidd 2727	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ ¬ 𝑖 = 𝐼) → (𝑖𝑀𝑗) = (𝑖𝑀𝑗))
10	8, 9	ifeqda 4559	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → if(𝑖 = 𝐼, (𝐼𝑀𝑗), (𝑖𝑀𝑗)) = (𝑖𝑀𝑗))
11	10	mptru 1540	. . . . . 6 ⊢ if(𝑖 = 𝐼, (𝐼𝑀𝑗), (𝑖𝑀𝑗)) = (𝑖𝑀𝑗)
12	5, 5, 11	mpoeq123i 7481	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐼𝑀𝑗), (𝑖𝑀𝑗))) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑖𝑀𝑗))
13	4, 12	eqtr4di 2784	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑀 = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐼𝑀𝑗), (𝑖𝑀𝑗))))
14	13	fveq2d 6889	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝑀) = (𝐷‘(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐼𝑀𝑗), (𝑖𝑀𝑗)))))
15	1, 14	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) → (𝐷‘𝑀) = (𝐷‘(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐼𝑀𝑗), (𝑖𝑀𝑗)))))
16		mdetlap1.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (𝑁 maAdju 𝑅)
17		mdetlap1.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
18		mdetlap1.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
19		eqid 2726	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
20		simp1 1133	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) → 𝑅 ∈ CRing)
21		simpl3 1190	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝐼 ∈ 𝑁)
22		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑗 ∈ 𝑁)
23	1, 3	eleqtrdi 2837	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
24	23	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
25	2, 19	matecl 22282	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ∧ 𝑀 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝐼𝑀𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
26	21, 22, 24, 25	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝐼𝑀𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
27		simp3 1135	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) → 𝐼 ∈ 𝑁)
28	2, 16, 3, 17, 18, 19, 1, 20, 26, 27	madugsum 22500	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐼𝑀𝑗) · (𝑗(𝐾‘𝑀)𝐼)))) = (𝐷‘(𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑖 = 𝐼, (𝐼𝑀𝑗), (𝑖𝑀𝑗)))))
29	15, 28	eqtr4d 2769	1 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐼 ∈ 𝑁) → (𝐷‘𝑀) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐼𝑀𝑗) · (𝑗(𝐾‘𝑀)𝐼)))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533  ⊤wtru 1534   ∈ wcel 2098  ifcif 4523   ↦ cmpt 5224  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405   ∈ cmpo 7407  Basecbs 17153  ._rcmulr 17207   Σ_g cgsu 17395  CRingccrg 20139   Mat cmat 22262   maDet cmdat 22441   maAdju cmadu 22489

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-addf 11191  ax-mulf 11192

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-xor 1505  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-ot 4632  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-tpos 8212  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-word 14471  df-lsw 14519  df-concat 14527  df-s1 14552  df-substr 14597  df-pfx 14627  df-splice 14706  df-reverse 14715  df-s2 14805  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-prds 17402  df-pws 17404  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18713  df-submnd 18714  df-efmnd 18794  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-mulg 18996  df-subg 19050  df-ghm 19139  df-gim 19184  df-cntz 19233  df-oppg 19262  df-symg 19287  df-pmtr 19362  df-psgn 19411  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-cring 20141  df-oppr 20236  df-dvdsr 20259  df-unit 20260  df-invr 20290  df-dvr 20303  df-rhm 20374  df-subrng 20446  df-subrg 20471  df-drng 20589  df-sra 21021  df-rgmod 21022  df-cnfld 21241  df-zring 21334  df-zrh 21390  df-dsmm 21627  df-frlm 21642  df-mat 22263  df-mdet 22442  df-madu 22491

This theorem is referenced by:  mdetlap  33342