Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mdetlap1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdetlap1 33468
Description: A Laplace expansion of the determinant of a matrix, using the adjunct (cofactor) matrix. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetlap1.a ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
mdetlap1.b ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
mdetlap1.d ๐ท = (๐‘ maDet ๐‘…)
mdetlap1.k ๐พ = (๐‘ maAdju ๐‘…)
mdetlap1.t ยท = (.rโ€˜๐‘…)
Assertion
Ref Expression
mdetlap1 ((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ผ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘€) = (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐ผ๐‘€๐‘—) ยท (๐‘—(๐พโ€˜๐‘€)๐ผ)))))
Distinct variable groups:   ยท ,๐‘—   ๐ด,๐‘—   ๐ต,๐‘—   ๐‘—,๐ผ   ๐‘—,๐พ   ๐‘—,๐‘€   ๐‘—,๐‘   ๐‘…,๐‘—
Allowed substitution hint:   ๐ท(๐‘—)

Proof of Theorem mdetlap1
Dummy variable ๐‘– is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 1134 . . 3 ((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ผ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘€ โˆˆ ๐ต)
2 mdetlap1.a . . . . . 6 ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
3 mdetlap1.b . . . . . 6 ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
42, 3matmpo 33445 . . . . 5 (๐‘€ โˆˆ ๐ต โ†’ ๐‘€ = (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘–๐‘€๐‘—)))
5 eqid 2728 . . . . . 6 ๐‘ = ๐‘
6 simpr 483 . . . . . . . . . 10 ((โŠค โˆง ๐‘– = ๐ผ) โ†’ ๐‘– = ๐ผ)
76eqcomd 2734 . . . . . . . . 9 ((โŠค โˆง ๐‘– = ๐ผ) โ†’ ๐ผ = ๐‘–)
87oveq1d 7441 . . . . . . . 8 ((โŠค โˆง ๐‘– = ๐ผ) โ†’ (๐ผ๐‘€๐‘—) = (๐‘–๐‘€๐‘—))
9 eqidd 2729 . . . . . . . 8 ((โŠค โˆง ยฌ ๐‘– = ๐ผ) โ†’ (๐‘–๐‘€๐‘—) = (๐‘–๐‘€๐‘—))
108, 9ifeqda 4568 . . . . . . 7 (โŠค โ†’ if(๐‘– = ๐ผ, (๐ผ๐‘€๐‘—), (๐‘–๐‘€๐‘—)) = (๐‘–๐‘€๐‘—))
1110mptru 1540 . . . . . 6 if(๐‘– = ๐ผ, (๐ผ๐‘€๐‘—), (๐‘–๐‘€๐‘—)) = (๐‘–๐‘€๐‘—)
125, 5, 11mpoeq123i 7503 . . . . 5 (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐ผ, (๐ผ๐‘€๐‘—), (๐‘–๐‘€๐‘—))) = (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘–๐‘€๐‘—))
134, 12eqtr4di 2786 . . . 4 (๐‘€ โˆˆ ๐ต โ†’ ๐‘€ = (๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐ผ, (๐ผ๐‘€๐‘—), (๐‘–๐‘€๐‘—))))
1413fveq2d 6906 . . 3 (๐‘€ โˆˆ ๐ต โ†’ (๐ทโ€˜๐‘€) = (๐ทโ€˜(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐ผ, (๐ผ๐‘€๐‘—), (๐‘–๐‘€๐‘—)))))
151, 14syl 17 . 2 ((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ผ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘€) = (๐ทโ€˜(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐ผ, (๐ผ๐‘€๐‘—), (๐‘–๐‘€๐‘—)))))
16 mdetlap1.k . . 3 ๐พ = (๐‘ maAdju ๐‘…)
17 mdetlap1.d . . 3 ๐ท = (๐‘ maDet ๐‘…)
18 mdetlap1.t . . 3 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
19 eqid 2728 . . 3 (Baseโ€˜๐‘…) = (Baseโ€˜๐‘…)
20 simp1 1133 . . 3 ((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ผ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘… โˆˆ CRing)
21 simpl3 1190 . . . 4 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ผ โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐ผ โˆˆ ๐‘)
22 simpr 483 . . . 4 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ผ โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘— โˆˆ ๐‘)
231, 3eleqtrdi 2839 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ผ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘€ โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
2423adantr 479 . . . 4 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ผ โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘€ โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
252, 19matecl 22355 . . . 4 ((๐ผ โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘ โˆง ๐‘€ โˆˆ (Baseโ€˜๐ด)) โ†’ (๐ผ๐‘€๐‘—) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
2621, 22, 24, 25syl3anc 1368 . . 3 (((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ผ โˆˆ ๐‘) โˆง ๐‘— โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐ผ๐‘€๐‘—) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
27 simp3 1135 . . 3 ((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ผ โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐ผ โˆˆ ๐‘)
282, 16, 3, 17, 18, 19, 1, 20, 26, 27madugsum 22573 . 2 ((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ผ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐ผ๐‘€๐‘—) ยท (๐‘—(๐พโ€˜๐‘€)๐ผ)))) = (๐ทโ€˜(๐‘– โˆˆ ๐‘, ๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ if(๐‘– = ๐ผ, (๐ผ๐‘€๐‘—), (๐‘–๐‘€๐‘—)))))
2915, 28eqtr4d 2771 1 ((๐‘… โˆˆ CRing โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐ต โˆง ๐ผ โˆˆ ๐‘) โ†’ (๐ทโ€˜๐‘€) = (๐‘… ฮฃg (๐‘— โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐ผ๐‘€๐‘—) ยท (๐‘—(๐พโ€˜๐‘€)๐ผ)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   โˆง w3a 1084   = wceq 1533  โŠคwtru 1534   โˆˆ wcel 2098  ifcif 4532   โ†ฆ cmpt 5235  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426   โˆˆ cmpo 7428  Basecbs 17189  .rcmulr 17243   ฮฃg cgsu 17431  CRingccrg 20188   Mat cmat 22335   maDet cmdat 22514   maAdju cmadu 22562
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-addf 11227  ax-mulf 11228
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-xor 1505  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-ot 4641  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7692  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8174  df-tpos 8240  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-2o 8496  df-er 8733  df-map 8855  df-pm 8856  df-ixp 8925  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-fsupp 9396  df-sup 9475  df-oi 9543  df-card 9972  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-4 12317  df-5 12318  df-6 12319  df-7 12320  df-8 12321  df-9 12322  df-n0 12513  df-xnn0 12585  df-z 12599  df-dec 12718  df-uz 12863  df-rp 13017  df-fz 13527  df-fzo 13670  df-seq 14009  df-exp 14069  df-hash 14332  df-word 14507  df-lsw 14555  df-concat 14563  df-s1 14588  df-substr 14633  df-pfx 14663  df-splice 14742  df-reverse 14751  df-s2 14841  df-struct 17125  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-ress 17219  df-plusg 17255  df-mulr 17256  df-starv 17257  df-sca 17258  df-vsca 17259  df-ip 17260  df-tset 17261  df-ple 17262  df-ds 17264  df-unif 17265  df-hom 17266  df-cco 17267  df-0g 17432  df-gsum 17433  df-prds 17438  df-pws 17440  df-mre 17575  df-mrc 17576  df-acs 17578  df-mgm 18609  df-sgrp 18688  df-mnd 18704  df-mhm 18749  df-submnd 18750  df-efmnd 18835  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-mulg 19038  df-subg 19092  df-ghm 19182  df-gim 19227  df-cntz 19282  df-oppg 19311  df-symg 19336  df-pmtr 19411  df-psgn 19460  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20089  df-rng 20107  df-ur 20136  df-ring 20189  df-cring 20190  df-oppr 20287  df-dvdsr 20310  df-unit 20311  df-invr 20341  df-dvr 20354  df-rhm 20425  df-subrng 20497  df-subrg 20522  df-drng 20640  df-sra 21072  df-rgmod 21073  df-cnfld 21294  df-zring 21387  df-zrh 21443  df-dsmm 21680  df-frlm 21695  df-mat 22336  df-mdet 22515  df-madu 22564
This theorem is referenced by:  mdetlap  33474
  Copyright terms: Public domain W3C validator