Theorem itgreval 25965

Description: Decompose the integral of a real function into positive and negative parts. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
iblrelem.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
itgreval.2	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1)

Assertion

Ref	Expression
itgreval	⊢ (𝜑 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 = (∫𝐴if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) d𝑥 − ∫𝐴if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) d𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem itgreval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iblrelem.1	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
2		itgreval.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1)
3	1, 2	itgrevallem1 25963	. 2 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 = ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵), 𝐵, 0))) − (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵), -𝐵, 0)))))
4		0re 11214	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		ifcl 4533	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) ∈ ℝ)
6	1, 4, 5	sylancl 597	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) ∈ ℝ)
7	1	iblrelem 25959	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵), 𝐵, 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵), -𝐵, 0))) ∈ ℝ)))
8	2, 7	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵), 𝐵, 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵), -𝐵, 0))) ∈ ℝ))
9	8	simp1d 1160	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn)
10	1, 9	mbfpos 25819	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) ∈ MblFn)
11		ifan 4541	. . . . . . . . 9 ⊢ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵), 𝐵, 0) = if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0), 0)
12	11	mpteq2i 5207	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵), 𝐵, 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0), 0))
13	12	fveq2i 6884	. . . . . . 7 ⊢ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵), 𝐵, 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0), 0)))
14	8	simp2d 1161	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵), 𝐵, 0))) ∈ ℝ)
15	13, 14	eqeltrrid 2868	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0), 0))) ∈ ℝ)
16		max1 13215	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 0 ≤ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0))
17	4, 1, 16	sylancr 598	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ≤ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0))
18	6, 17	iblpos 25961	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0), 0))) ∈ ℝ)))
19	10, 15, 18	mpbir2and 725	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) ∈ 𝐿1)
20	6, 19, 17	itgposval 25964	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) d𝑥 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0), 0))))
21	20, 13	eqtr4di 2816	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) d𝑥 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵), 𝐵, 0))))
22	1	renegcld 11645	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -𝐵 ∈ ℝ)
23		ifcl 4533	. . . . . 6 ⊢ ((-𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) ∈ ℝ)
24	22, 4, 23	sylancl 597	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) ∈ ℝ)
25	1, 9	mbfneg 25818	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝐵) ∈ MblFn)
26	22, 25	mbfpos 25819	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) ∈ MblFn)
27		ifan 4541	. . . . . . . . 9 ⊢ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵), -𝐵, 0) = if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0), 0)
28	27	mpteq2i 5207	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵), -𝐵, 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0), 0))
29	28	fveq2i 6884	. . . . . . 7 ⊢ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵), -𝐵, 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0), 0)))
30	8	simp3d 1162	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵), -𝐵, 0))) ∈ ℝ)
31	29, 30	eqeltrrid 2868	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0), 0))) ∈ ℝ)
32		max1 13215	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℝ) → 0 ≤ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0))
33	4, 22, 32	sylancr 598	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ≤ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0))
34	24, 33	iblpos 25961	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0), 0))) ∈ ℝ)))
35	26, 31, 34	mpbir2and 725	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) ∈ 𝐿1)
36	24, 35, 33	itgposval 25964	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) d𝑥 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0), 0))))
37	36, 29	eqtr4di 2816	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) d𝑥 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵), -𝐵, 0))))
38	21, 37	oveq12d 7428	. 2 ⊢ (𝜑 → (∫𝐴if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) d𝑥 − ∫𝐴if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) d𝑥) = ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵), 𝐵, 0))) − (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵), -𝐵, 0)))))
39	3, 38	eqtr4d 2801	1 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 = (∫𝐴if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) d𝑥 − ∫𝐴if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) d𝑥))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ifcif 4487   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℝcr 11103  0cc0 11104   ≤ cle 11248   − cmin 11445  -cneg 11446  MblFncmbf 25782  ∫₂citg2 25784  𝐿¹cibl 25785  ∫citg 25786

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9606  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181  ax-pre-sup 11182  ax-addf 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-disj 5077  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-ofr 7675  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-inf 9399  df-oi 9468  df-dju 9892  df-card 9930  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11876  df-nn 12238  df-2 12307  df-3 12308  df-4 12309  df-n0 12509  df-z 12596  df-uz 12867  df-q 12977  df-rp 13021  df-xadd 13142  df-ioo 13380  df-ico 13382  df-icc 13383  df-fz 13540  df-fzo 13688  df-fl 13830  df-mod 13908  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14372  df-cj 15155  df-re 15156  df-im 15157  df-sqrt 15291  df-abs 15292  df-clim 15544  df-sum 15743  df-xmet 21524  df-met 21525  df-ovol 25632  df-vol 25633  df-mbf 25787  df-itg1 25788  df-itg2 25789  df-ibl 25790  df-itg 25791  df-0p 25838

This theorem is used by:  itgneg  25972  itgitg1  25977  itgaddlem2  25992  itgmulc2lem2  26001  itgaddnclem2  38358  itgmulc2nclem2  38366