Theorem itgreval 25935

Description: Decompose the integral of a real function into positive and negative parts. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
iblrelem.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
itgreval.2	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1)

Assertion

Ref	Expression
itgreval	⊢ (𝜑 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 = (∫𝐴if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) d𝑥 − ∫𝐴if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) d𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem itgreval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iblrelem.1	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
2		itgreval.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1)
3	1, 2	itgrevallem1 25933	. 2 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 = ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵), 𝐵, 0))) − (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵), -𝐵, 0)))))
4		0re 11209	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		ifcl 4532	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) ∈ ℝ)
6	1, 4, 5	sylancl 597	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) ∈ ℝ)
7	1	iblrelem 25929	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵), 𝐵, 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵), -𝐵, 0))) ∈ ℝ)))
8	2, 7	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵), 𝐵, 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵), -𝐵, 0))) ∈ ℝ))
9	8	simp1d 1158	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn)
10	1, 9	mbfpos 25789	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) ∈ MblFn)
11		ifan 4540	. . . . . . . . 9 ⊢ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵), 𝐵, 0) = if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0), 0)
12	11	mpteq2i 5206	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵), 𝐵, 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0), 0))
13	12	fveq2i 6884	. . . . . . 7 ⊢ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵), 𝐵, 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0), 0)))
14	8	simp2d 1159	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵), 𝐵, 0))) ∈ ℝ)
15	13, 14	eqeltrrid 2866	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0), 0))) ∈ ℝ)
16		max1 13210	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 0 ≤ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0))
17	4, 1, 16	sylancr 598	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ≤ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0))
18	6, 17	iblpos 25931	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0), 0))) ∈ ℝ)))
19	10, 15, 18	mpbir2and 725	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) ∈ 𝐿1)
20	6, 19, 17	itgposval 25934	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) d𝑥 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0), 0))))
21	20, 13	eqtr4di 2814	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) d𝑥 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵), 𝐵, 0))))
22	1	renegcld 11640	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -𝐵 ∈ ℝ)
23		ifcl 4532	. . . . . 6 ⊢ ((-𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) ∈ ℝ)
24	22, 4, 23	sylancl 597	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) ∈ ℝ)
25	1, 9	mbfneg 25788	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝐵) ∈ MblFn)
26	22, 25	mbfpos 25789	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) ∈ MblFn)
27		ifan 4540	. . . . . . . . 9 ⊢ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵), -𝐵, 0) = if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0), 0)
28	27	mpteq2i 5206	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵), -𝐵, 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0), 0))
29	28	fveq2i 6884	. . . . . . 7 ⊢ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵), -𝐵, 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0), 0)))
30	8	simp3d 1160	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵), -𝐵, 0))) ∈ ℝ)
31	29, 30	eqeltrrid 2866	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0), 0))) ∈ ℝ)
32		max1 13210	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℝ) → 0 ≤ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0))
33	4, 22, 32	sylancr 598	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ≤ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0))
34	24, 33	iblpos 25931	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0), 0))) ∈ ℝ)))
35	26, 31, 34	mpbir2and 725	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) ∈ 𝐿1)
36	24, 35, 33	itgposval 25934	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) d𝑥 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0), 0))))
37	36, 29	eqtr4di 2814	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) d𝑥 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵), -𝐵, 0))))
38	21, 37	oveq12d 7428	. 2 ⊢ (𝜑 → (∫𝐴if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) d𝑥 − ∫𝐴if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) d𝑥) = ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵), 𝐵, 0))) − (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵), -𝐵, 0)))))
39	3, 38	eqtr4d 2799	1 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 = (∫𝐴if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) d𝑥 − ∫𝐴if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) d𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1568   ∈ wcel 2141  ifcif 4486   class class class wbr 5108   ↦ cmpt 5191  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℝcr 11098  0cc0 11099   ≤ cle 11243   − cmin 11440  -cneg 11441  MblFncmbf 25752  ∫₂citg2 25754  𝐿¹cibl 25755  ∫citg 25756

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9609  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177  ax-addf 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-disj 5076  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-ofr 7675  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-2o 8453  df-er 8693  df-map 8825  df-pm 8826  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-sup 9401  df-inf 9402  df-oi 9471  df-dju 9886  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-q 12972  df-rp 13016  df-xadd 13137  df-ioo 13375  df-ico 13377  df-icc 13378  df-fz 13535  df-fzo 13682  df-fl 13824  df-mod 13902  df-seq 14037  df-exp 14097  df-hash 14366  df-cj 15149  df-re 15150  df-im 15151  df-sqrt 15285  df-abs 15286  df-clim 15538  df-sum 15737  df-xmet 21494  df-met 21495  df-ovol 25602  df-vol 25603  df-mbf 25757  df-itg1 25758  df-itg2 25759  df-ibl 25760  df-itg 25761  df-0p 25808

This theorem is referenced by:  itgneg  25942  itgitg1  25947  itgaddlem2  25962  itgmulc2lem2  25971  itgaddnclem2  38274  itgmulc2nclem2  38282