Theorem itgreval 25764

Description: Decompose the integral of a real function into positive and negative parts. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
iblrelem.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
itgreval.2	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1)

Assertion

Ref	Expression
itgreval	⊢ (𝜑 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 = (∫𝐴if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) d𝑥 − ∫𝐴if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) d𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem itgreval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iblrelem.1	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
2		itgreval.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1)
3	1, 2	itgrevallem1 25762	. 2 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 = ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵), 𝐵, 0))) − (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵), -𝐵, 0)))))
4		0re 11146	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		ifcl 4513	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) ∈ ℝ)
6	1, 4, 5	sylancl 587	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) ∈ ℝ)
7	1	iblrelem 25758	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵), 𝐵, 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵), -𝐵, 0))) ∈ ℝ)))
8	2, 7	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵), 𝐵, 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵), -𝐵, 0))) ∈ ℝ))
9	8	simp1d 1143	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ MblFn)
10	1, 9	mbfpos 25618	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) ∈ MblFn)
11		ifan 4521	. . . . . . . . 9 ⊢ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵), 𝐵, 0) = if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0), 0)
12	11	mpteq2i 5182	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵), 𝐵, 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0), 0))
13	12	fveq2i 6844	. . . . . . 7 ⊢ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵), 𝐵, 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0), 0)))
14	8	simp2d 1144	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵), 𝐵, 0))) ∈ ℝ)
15	13, 14	eqeltrrid 2842	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0), 0))) ∈ ℝ)
16		max1 13137	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 0 ≤ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0))
17	4, 1, 16	sylancr 588	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ≤ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0))
18	6, 17	iblpos 25760	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0), 0))) ∈ ℝ)))
19	10, 15, 18	mpbir2and 714	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) ∈ 𝐿1)
20	6, 19, 17	itgposval 25763	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) d𝑥 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0), 0))))
21	20, 13	eqtr4di 2790	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) d𝑥 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵), 𝐵, 0))))
22	1	renegcld 11577	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → -𝐵 ∈ ℝ)
23		ifcl 4513	. . . . . 6 ⊢ ((-𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) ∈ ℝ)
24	22, 4, 23	sylancl 587	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) ∈ ℝ)
25	1, 9	mbfneg 25617	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝐵) ∈ MblFn)
26	22, 25	mbfpos 25618	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) ∈ MblFn)
27		ifan 4521	. . . . . . . . 9 ⊢ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵), -𝐵, 0) = if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0), 0)
28	27	mpteq2i 5182	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵), -𝐵, 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0), 0))
29	28	fveq2i 6844	. . . . . . 7 ⊢ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵), -𝐵, 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0), 0)))
30	8	simp3d 1145	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵), -𝐵, 0))) ∈ ℝ)
31	29, 30	eqeltrrid 2842	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0), 0))) ∈ ℝ)
32		max1 13137	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℝ) → 0 ≤ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0))
33	4, 22, 32	sylancr 588	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 0 ≤ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0))
34	24, 33	iblpos 25760	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0), 0))) ∈ ℝ)))
35	26, 31, 34	mpbir2and 714	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) ∈ 𝐿1)
36	24, 35, 33	itgposval 25763	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) d𝑥 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0), 0))))
37	36, 29	eqtr4di 2790	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) d𝑥 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵), -𝐵, 0))))
38	21, 37	oveq12d 7385	. 2 ⊢ (𝜑 → (∫𝐴if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) d𝑥 − ∫𝐴if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) d𝑥) = ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵), 𝐵, 0))) − (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵), -𝐵, 0)))))
39	3, 38	eqtr4d 2775	1 ⊢ (𝜑 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 = (∫𝐴if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) d𝑥 − ∫𝐴if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) d𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ifcif 4467   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167  ‘cfv 6499  (class class class)co 7367  ℝcr 11037  0cc0 11038   ≤ cle 11180   − cmin 11377  -cneg 11378  MblFncmbf 25581  ∫₂citg2 25583  𝐿¹cibl 25584  ∫citg 25585

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-disj 5054  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6266  df-ord 6327  df-on 6328  df-lim 6329  df-suc 6330  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-ofr 7632  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-er 8643  df-map 8775  df-pm 8776  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-sup 9355  df-inf 9356  df-oi 9425  df-dju 9825  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-q 12899  df-rp 12943  df-xadd 13064  df-ioo 13302  df-ico 13304  df-icc 13305  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-fl 13751  df-mod 13829  df-seq 13964  df-exp 14024  df-hash 14293  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-clim 15450  df-sum 15649  df-xmet 21345  df-met 21346  df-ovol 25431  df-vol 25432  df-mbf 25586  df-itg1 25587  df-itg2 25588  df-ibl 25589  df-itg 25590  df-0p 25637

This theorem is referenced by:  itgneg  25771  itgitg1  25776  itgaddlem2  25791  itgmulc2lem2  25800  itgaddnclem2  38000  itgmulc2nclem2  38008