Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  meaiuninc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem meaiuninc 42911
Description: Measures are continuous from below (bounded case): if 𝐸 is a sequence of nondecreasing measurable sets (with bounded measure) then the measure of the union is the limit of the measures. This is Proposition 112C (e) of [Fremlin1] p. 16. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
meaiuninc.m (𝜑𝑀 ∈ Meas)
meaiuninc.n (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
meaiuninc.z 𝑍 = (ℤ𝑁)
meaiuninc.e (𝜑𝐸:𝑍⟶dom 𝑀)
meaiuninc.i ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐸𝑛) ⊆ (𝐸‘(𝑛 + 1)))
meaiuninc.x (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥)
meaiuninc.s 𝑆 = (𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛)))
Assertion
Ref Expression
meaiuninc (𝜑𝑆 ⇝ (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐸,𝑥   𝑛,𝑀,𝑥   𝑛,𝑁,𝑥   𝑛,𝑍,𝑥   𝜑,𝑛,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem meaiuninc
Dummy variables 𝑖 𝑘 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 meaiuninc.s . . . 4 𝑆 = (𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛)))
2 2fveq3 6651 . . . . 5 (𝑛 = 𝑚 → (𝑀‘(𝐸𝑛)) = (𝑀‘(𝐸𝑚)))
32cbvmptv 5145 . . . 4 (𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛))) = (𝑚𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑚)))
41, 3eqtri 2843 . . 3 𝑆 = (𝑚𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑚)))
54a1i 11 . 2 (𝜑𝑆 = (𝑚𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑚))))
6 meaiuninc.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ Meas)
7 meaiuninc.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
8 meaiuninc.z . . 3 𝑍 = (ℤ𝑁)
9 meaiuninc.e . . 3 (𝜑𝐸:𝑍⟶dom 𝑀)
10 meaiuninc.i . . 3 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐸𝑛) ⊆ (𝐸‘(𝑛 + 1)))
11 meaiuninc.x . . 3 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥)
124, 1eqtr3i 2845 . . 3 (𝑚𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑚))) = (𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛)))
13 fveq2 6646 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑖 → (𝐸𝑘) = (𝐸𝑖))
1413cbviunv 4941 . . . . . 6 𝑘 ∈ (𝑁..^𝑚)(𝐸𝑘) = 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑚)(𝐸𝑖)
1514difeq2i 4075 . . . . 5 ((𝐸𝑚) ∖ 𝑘 ∈ (𝑁..^𝑚)(𝐸𝑘)) = ((𝐸𝑚) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑚)(𝐸𝑖))
1615mpteq2i 5134 . . . 4 (𝑚𝑍 ↦ ((𝐸𝑚) ∖ 𝑘 ∈ (𝑁..^𝑚)(𝐸𝑘))) = (𝑚𝑍 ↦ ((𝐸𝑚) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑚)(𝐸𝑖)))
17 fveq2 6646 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑛 → (𝐸𝑚) = (𝐸𝑛))
18 oveq2 7141 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑛 → (𝑁..^𝑚) = (𝑁..^𝑛))
1918iuneq1d 4922 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑛 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑚)(𝐸𝑖) = 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖))
2017, 19difeq12d 4079 . . . . 5 (𝑚 = 𝑛 → ((𝐸𝑚) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑚)(𝐸𝑖)) = ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)))
2120cbvmptv 5145 . . . 4 (𝑚𝑍 ↦ ((𝐸𝑚) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑚)(𝐸𝑖))) = (𝑛𝑍 ↦ ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)))
2216, 21eqtri 2843 . . 3 (𝑚𝑍 ↦ ((𝐸𝑚) ∖ 𝑘 ∈ (𝑁..^𝑚)(𝐸𝑘))) = (𝑛𝑍 ↦ ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)))
236, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 22meaiuninclem 42910 . 2 (𝜑 → (𝑚𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑚))) ⇝ (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))
245, 23eqbrtrd 5064 1 (𝜑𝑆 ⇝ (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398   = wceq 1537  wcel 2114  wral 3125  wrex 3126  cdif 3910  wss 3913   ciun 4895   class class class wbr 5042  cmpt 5122  dom cdm 5531  wf 6327  cfv 6331  (class class class)co 7133  cr 10514  1c1 10516   + caddc 10518  cle 10654  cz 11960  cuz 12222  ..^cfzo 13017  cli 14821  Meascmea 42879
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439  ax-inf2 9082  ax-cnex 10571  ax-resscn 10572  ax-1cn 10573  ax-icn 10574  ax-addcl 10575  ax-addrcl 10576  ax-mulcl 10577  ax-mulrcl 10578  ax-mulcom 10579  ax-addass 10580  ax-mulass 10581  ax-distr 10582  ax-i2m1 10583  ax-1ne0 10584  ax-1rid 10585  ax-rnegex 10586  ax-rrecex 10587  ax-cnre 10588  ax-pre-lttri 10589  ax-pre-lttrn 10590  ax-pre-ltadd 10591  ax-pre-mulgt0 10592  ax-pre-sup 10593
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-tp 4548  df-op 4550  df-uni 4815  df-int 4853  df-iun 4897  df-disj 5008  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5436  df-eprel 5441  df-po 5450  df-so 5451  df-fr 5490  df-se 5491  df-we 5492  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-pred 6124  df-ord 6170  df-on 6171  df-lim 6172  df-suc 6173  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-isom 6340  df-riota 7091  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-mpo 7138  df-om 7559  df-1st 7667  df-2nd 7668  df-wrecs 7925  df-recs 7986  df-rdg 8024  df-1o 8080  df-oadd 8084  df-omul 8085  df-er 8267  df-map 8386  df-en 8488  df-dom 8489  df-sdom 8490  df-fin 8491  df-sup 8884  df-oi 8952  df-card 9346  df-acn 9349  df-pnf 10655  df-mnf 10656  df-xr 10657  df-ltxr 10658  df-le 10659  df-sub 10850  df-neg 10851  df-div 11276  df-nn 11617  df-2 11679  df-3 11680  df-n0 11877  df-z 11961  df-uz 12223  df-rp 12369  df-xadd 12487  df-ico 12723  df-icc 12724  df-fz 12877  df-fzo 13018  df-seq 13354  df-exp 13415  df-hash 13676  df-cj 14438  df-re 14439  df-im 14440  df-sqrt 14574  df-abs 14575  df-clim 14825  df-sum 15023  df-salg 42742  df-sumge0 42793  df-mea 42880
This theorem is referenced by:  meaiuninc2  42912  meaiunincf  42913
  Copyright terms: Public domain W3C validator