Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  meaiuninc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem meaiuninc 46007
Description: Measures are continuous from below (bounded case): if 𝐸 is a sequence of nondecreasing measurable sets (with bounded measure) then the measure of the union is the limit of the measures. This is Proposition 112C (e) of [Fremlin1] p. 16. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
meaiuninc.m (𝜑𝑀 ∈ Meas)
meaiuninc.n (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
meaiuninc.z 𝑍 = (ℤ𝑁)
meaiuninc.e (𝜑𝐸:𝑍⟶dom 𝑀)
meaiuninc.i ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐸𝑛) ⊆ (𝐸‘(𝑛 + 1)))
meaiuninc.x (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥)
meaiuninc.s 𝑆 = (𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛)))
Assertion
Ref Expression
meaiuninc (𝜑𝑆 ⇝ (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐸,𝑥   𝑛,𝑀,𝑥   𝑛,𝑁,𝑥   𝑛,𝑍,𝑥   𝜑,𝑛,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem meaiuninc
Dummy variables 𝑖 𝑘 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 meaiuninc.s . . . 4 𝑆 = (𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛)))
2 2fveq3 6901 . . . . 5 (𝑛 = 𝑚 → (𝑀‘(𝐸𝑛)) = (𝑀‘(𝐸𝑚)))
32cbvmptv 5262 . . . 4 (𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛))) = (𝑚𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑚)))
41, 3eqtri 2753 . . 3 𝑆 = (𝑚𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑚)))
54a1i 11 . 2 (𝜑𝑆 = (𝑚𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑚))))
6 meaiuninc.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ Meas)
7 meaiuninc.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
8 meaiuninc.z . . 3 𝑍 = (ℤ𝑁)
9 meaiuninc.e . . 3 (𝜑𝐸:𝑍⟶dom 𝑀)
10 meaiuninc.i . . 3 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐸𝑛) ⊆ (𝐸‘(𝑛 + 1)))
11 meaiuninc.x . . 3 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥)
124, 1eqtr3i 2755 . . 3 (𝑚𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑚))) = (𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛)))
13 fveq2 6896 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑖 → (𝐸𝑘) = (𝐸𝑖))
1413cbviunv 5044 . . . . . 6 𝑘 ∈ (𝑁..^𝑚)(𝐸𝑘) = 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑚)(𝐸𝑖)
1514difeq2i 4115 . . . . 5 ((𝐸𝑚) ∖ 𝑘 ∈ (𝑁..^𝑚)(𝐸𝑘)) = ((𝐸𝑚) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑚)(𝐸𝑖))
1615mpteq2i 5254 . . . 4 (𝑚𝑍 ↦ ((𝐸𝑚) ∖ 𝑘 ∈ (𝑁..^𝑚)(𝐸𝑘))) = (𝑚𝑍 ↦ ((𝐸𝑚) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑚)(𝐸𝑖)))
17 fveq2 6896 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑛 → (𝐸𝑚) = (𝐸𝑛))
18 oveq2 7427 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑛 → (𝑁..^𝑚) = (𝑁..^𝑛))
1918iuneq1d 5024 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑛 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑚)(𝐸𝑖) = 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖))
2017, 19difeq12d 4119 . . . . 5 (𝑚 = 𝑛 → ((𝐸𝑚) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑚)(𝐸𝑖)) = ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)))
2120cbvmptv 5262 . . . 4 (𝑚𝑍 ↦ ((𝐸𝑚) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑚)(𝐸𝑖))) = (𝑛𝑍 ↦ ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)))
2216, 21eqtri 2753 . . 3 (𝑚𝑍 ↦ ((𝐸𝑚) ∖ 𝑘 ∈ (𝑁..^𝑚)(𝐸𝑘))) = (𝑛𝑍 ↦ ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)))
236, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 22meaiuninclem 46006 . 2 (𝜑 → (𝑚𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑚))) ⇝ (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))
245, 23eqbrtrd 5171 1 (𝜑𝑆 ⇝ (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3050  wrex 3059  cdif 3941  wss 3944   ciun 4997   class class class wbr 5149  cmpt 5232  dom cdm 5678  wf 6545  cfv 6549  (class class class)co 7419  cr 11139  1c1 11141   + caddc 11143  cle 11281  cz 12591  cuz 12855  ..^cfzo 13662  cli 15464  Meascmea 45975
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-inf2 9666  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-oadd 8491  df-omul 8492  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9467  df-oi 9535  df-card 9964  df-acn 9967  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-rp 13010  df-xadd 13128  df-ico 13365  df-icc 13366  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-seq 14003  df-exp 14063  df-hash 14326  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219  df-clim 15468  df-sum 15669  df-salg 45835  df-sumge0 45889  df-mea 45976
This theorem is referenced by:  meaiuninc2  46008  meaiunincf  46009
  Copyright terms: Public domain W3C validator