Theorem meaiuninc 44019

Description: Measures are continuous from below (bounded case): if 𝐸 is a sequence of nondecreasing measurable sets (with bounded measure) then the measure of the union is the limit of the measures. This is Proposition 112C (e) of [Fremlin1] p. 16. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
meaiuninc.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Meas)
meaiuninc.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
meaiuninc.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑁)
meaiuninc.e	⊢ (𝜑 → 𝐸:𝑍⟶dom 𝑀)
meaiuninc.i	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐸‘𝑛) ⊆ (𝐸‘(𝑛 + 1)))
meaiuninc.x	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 (𝑀‘(𝐸‘𝑛)) ≤ 𝑥)
meaiuninc.s	⊢ 𝑆 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸‘𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
meaiuninc	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⇝ (𝑀‘∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)))

Distinct variable groups:   𝑛,𝐸,𝑥   𝑛,𝑀,𝑥   𝑛,𝑁,𝑥   𝑛,𝑍,𝑥   𝜑,𝑛,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem meaiuninc

Dummy variables 𝑖 𝑘 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		meaiuninc.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸‘𝑛)))
2		2fveq3 6779	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑀‘(𝐸‘𝑛)) = (𝑀‘(𝐸‘𝑚)))
3	2	cbvmptv 5187	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸‘𝑛))) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸‘𝑚)))
4	1, 3	eqtri 2766	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸‘𝑚)))
5	4	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸‘𝑚))))
6		meaiuninc.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Meas)
7		meaiuninc.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
8		meaiuninc.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑁)
9		meaiuninc.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸:𝑍⟶dom 𝑀)
10		meaiuninc.i	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐸‘𝑛) ⊆ (𝐸‘(𝑛 + 1)))
11		meaiuninc.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 (𝑀‘(𝐸‘𝑛)) ≤ 𝑥)
12	4, 1	eqtr3i 2768	. . 3 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸‘𝑚))) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸‘𝑛)))
13		fveq2 6774	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝐸‘𝑘) = (𝐸‘𝑖))
14	13	cbviunv 4970	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑘 ∈ (𝑁..^𝑚)(𝐸‘𝑘) = ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑚)(𝐸‘𝑖)
15	14	difeq2i 4054	. . . . 5 ⊢ ((𝐸‘𝑚) ∖ ∪ 𝑘 ∈ (𝑁..^𝑚)(𝐸‘𝑘)) = ((𝐸‘𝑚) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑚)(𝐸‘𝑖))
16	15	mpteq2i 5179	. . . 4 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐸‘𝑚) ∖ ∪ 𝑘 ∈ (𝑁..^𝑚)(𝐸‘𝑘))) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐸‘𝑚) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑚)(𝐸‘𝑖)))
17		fveq2 6774	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝐸‘𝑚) = (𝐸‘𝑛))
18		oveq2 7283	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑁..^𝑚) = (𝑁..^𝑛))
19	18	iuneq1d 4951	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑚)(𝐸‘𝑖) = ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸‘𝑖))
20	17, 19	difeq12d 4058	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝐸‘𝑚) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑚)(𝐸‘𝑖)) = ((𝐸‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸‘𝑖)))
21	20	cbvmptv 5187	. . . 4 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐸‘𝑚) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑚)(𝐸‘𝑖))) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐸‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸‘𝑖)))
22	16, 21	eqtri 2766	. . 3 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐸‘𝑚) ∖ ∪ 𝑘 ∈ (𝑁..^𝑚)(𝐸‘𝑘))) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐸‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸‘𝑖)))
23	6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 22	meaiuninclem 44018	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸‘𝑚))) ⇝ (𝑀‘∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)))
24	5, 23	eqbrtrd 5096	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⇝ (𝑀‘∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ∃wrex 3065   ∖ cdif 3884   ⊆ wss 3887  ∪ ciun 4924   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5157  dom cdm 5589  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℝcr 10870  1c1 10872   + caddc 10874   ≤ cle 11010  ℤcz 12319  ℤ_≥cuz 12582  ..^cfzo 13382   ⇝ cli 15193  Meascmea 43987

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-disj 5040  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-oadd 8301  df-omul 8302  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-oi 9269  df-card 9697  df-acn 9700  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-xadd 12849  df-ico 13085  df-icc 13086  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-clim 15197  df-sum 15398  df-salg 43850  df-sumge0 43901  df-mea 43988

This theorem is referenced by:  meaiuninc2  44020  meaiunincf  44021