Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  meaiuninc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem meaiuninc 44654
Description: Measures are continuous from below (bounded case): if 𝐸 is a sequence of nondecreasing measurable sets (with bounded measure) then the measure of the union is the limit of the measures. This is Proposition 112C (e) of [Fremlin1] p. 16. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
meaiuninc.m (𝜑𝑀 ∈ Meas)
meaiuninc.n (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
meaiuninc.z 𝑍 = (ℤ𝑁)
meaiuninc.e (𝜑𝐸:𝑍⟶dom 𝑀)
meaiuninc.i ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐸𝑛) ⊆ (𝐸‘(𝑛 + 1)))
meaiuninc.x (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥)
meaiuninc.s 𝑆 = (𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛)))
Assertion
Ref Expression
meaiuninc (𝜑𝑆 ⇝ (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐸,𝑥   𝑛,𝑀,𝑥   𝑛,𝑁,𝑥   𝑛,𝑍,𝑥   𝜑,𝑛,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem meaiuninc
Dummy variables 𝑖 𝑘 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 meaiuninc.s . . . 4 𝑆 = (𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛)))
2 2fveq3 6844 . . . . 5 (𝑛 = 𝑚 → (𝑀‘(𝐸𝑛)) = (𝑀‘(𝐸𝑚)))
32cbvmptv 5216 . . . 4 (𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛))) = (𝑚𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑚)))
41, 3eqtri 2764 . . 3 𝑆 = (𝑚𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑚)))
54a1i 11 . 2 (𝜑𝑆 = (𝑚𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑚))))
6 meaiuninc.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ Meas)
7 meaiuninc.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
8 meaiuninc.z . . 3 𝑍 = (ℤ𝑁)
9 meaiuninc.e . . 3 (𝜑𝐸:𝑍⟶dom 𝑀)
10 meaiuninc.i . . 3 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐸𝑛) ⊆ (𝐸‘(𝑛 + 1)))
11 meaiuninc.x . . 3 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥)
124, 1eqtr3i 2766 . . 3 (𝑚𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑚))) = (𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛)))
13 fveq2 6839 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑖 → (𝐸𝑘) = (𝐸𝑖))
1413cbviunv 4998 . . . . . 6 𝑘 ∈ (𝑁..^𝑚)(𝐸𝑘) = 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑚)(𝐸𝑖)
1514difeq2i 4077 . . . . 5 ((𝐸𝑚) ∖ 𝑘 ∈ (𝑁..^𝑚)(𝐸𝑘)) = ((𝐸𝑚) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑚)(𝐸𝑖))
1615mpteq2i 5208 . . . 4 (𝑚𝑍 ↦ ((𝐸𝑚) ∖ 𝑘 ∈ (𝑁..^𝑚)(𝐸𝑘))) = (𝑚𝑍 ↦ ((𝐸𝑚) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑚)(𝐸𝑖)))
17 fveq2 6839 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑛 → (𝐸𝑚) = (𝐸𝑛))
18 oveq2 7361 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑛 → (𝑁..^𝑚) = (𝑁..^𝑛))
1918iuneq1d 4979 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑛 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑚)(𝐸𝑖) = 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖))
2017, 19difeq12d 4081 . . . . 5 (𝑚 = 𝑛 → ((𝐸𝑚) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑚)(𝐸𝑖)) = ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)))
2120cbvmptv 5216 . . . 4 (𝑚𝑍 ↦ ((𝐸𝑚) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑚)(𝐸𝑖))) = (𝑛𝑍 ↦ ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)))
2216, 21eqtri 2764 . . 3 (𝑚𝑍 ↦ ((𝐸𝑚) ∖ 𝑘 ∈ (𝑁..^𝑚)(𝐸𝑘))) = (𝑛𝑍 ↦ ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)))
236, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 22meaiuninclem 44653 . 2 (𝜑 → (𝑚𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑚))) ⇝ (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))
245, 23eqbrtrd 5125 1 (𝜑𝑆 ⇝ (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3062  wrex 3071  cdif 3905  wss 3908   ciun 4952   class class class wbr 5103  cmpt 5186  dom cdm 5631  wf 6489  cfv 6493  (class class class)co 7353  cr 11046  1c1 11048   + caddc 11050  cle 11186  cz 12495  cuz 12759  ..^cfzo 13559  cli 15358  Meascmea 44622
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668  ax-inf2 9573  ax-cnex 11103  ax-resscn 11104  ax-1cn 11105  ax-icn 11106  ax-addcl 11107  ax-addrcl 11108  ax-mulcl 11109  ax-mulrcl 11110  ax-mulcom 11111  ax-addass 11112  ax-mulass 11113  ax-distr 11114  ax-i2m1 11115  ax-1ne0 11116  ax-1rid 11117  ax-rnegex 11118  ax-rrecex 11119  ax-cnre 11120  ax-pre-lttri 11121  ax-pre-lttrn 11122  ax-pre-ltadd 11123  ax-pre-mulgt0 11124  ax-pre-sup 11125
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-disj 5069  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-se 5587  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7309  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7799  df-1st 7917  df-2nd 7918  df-frecs 8208  df-wrecs 8239  df-recs 8313  df-rdg 8352  df-1o 8408  df-oadd 8412  df-omul 8413  df-er 8644  df-map 8763  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-sup 9374  df-oi 9442  df-card 9871  df-acn 9874  df-pnf 11187  df-mnf 11188  df-xr 11189  df-ltxr 11190  df-le 11191  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11809  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-n0 12410  df-z 12496  df-uz 12760  df-rp 12908  df-xadd 13026  df-ico 13262  df-icc 13263  df-fz 13417  df-fzo 13560  df-seq 13899  df-exp 13960  df-hash 14223  df-cj 14976  df-re 14977  df-im 14978  df-sqrt 15112  df-abs 15113  df-clim 15362  df-sum 15563  df-salg 44482  df-sumge0 44536  df-mea 44623
This theorem is referenced by:  meaiuninc2  44655  meaiunincf  44656
  Copyright terms: Public domain W3C validator