Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  meaiuninc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem meaiuninc 45932
Description: Measures are continuous from below (bounded case): if 𝐸 is a sequence of nondecreasing measurable sets (with bounded measure) then the measure of the union is the limit of the measures. This is Proposition 112C (e) of [Fremlin1] p. 16. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
meaiuninc.m (𝜑𝑀 ∈ Meas)
meaiuninc.n (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
meaiuninc.z 𝑍 = (ℤ𝑁)
meaiuninc.e (𝜑𝐸:𝑍⟶dom 𝑀)
meaiuninc.i ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐸𝑛) ⊆ (𝐸‘(𝑛 + 1)))
meaiuninc.x (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥)
meaiuninc.s 𝑆 = (𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛)))
Assertion
Ref Expression
meaiuninc (𝜑𝑆 ⇝ (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐸,𝑥   𝑛,𝑀,𝑥   𝑛,𝑁,𝑥   𝑛,𝑍,𝑥   𝜑,𝑛,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem meaiuninc
Dummy variables 𝑖 𝑘 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 meaiuninc.s . . . 4 𝑆 = (𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛)))
2 2fveq3 6897 . . . . 5 (𝑛 = 𝑚 → (𝑀‘(𝐸𝑛)) = (𝑀‘(𝐸𝑚)))
32cbvmptv 5256 . . . 4 (𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛))) = (𝑚𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑚)))
41, 3eqtri 2753 . . 3 𝑆 = (𝑚𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑚)))
54a1i 11 . 2 (𝜑𝑆 = (𝑚𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑚))))
6 meaiuninc.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ Meas)
7 meaiuninc.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
8 meaiuninc.z . . 3 𝑍 = (ℤ𝑁)
9 meaiuninc.e . . 3 (𝜑𝐸:𝑍⟶dom 𝑀)
10 meaiuninc.i . . 3 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐸𝑛) ⊆ (𝐸‘(𝑛 + 1)))
11 meaiuninc.x . . 3 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 (𝑀‘(𝐸𝑛)) ≤ 𝑥)
124, 1eqtr3i 2755 . . 3 (𝑚𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑚))) = (𝑛𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑛)))
13 fveq2 6892 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑖 → (𝐸𝑘) = (𝐸𝑖))
1413cbviunv 5038 . . . . . 6 𝑘 ∈ (𝑁..^𝑚)(𝐸𝑘) = 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑚)(𝐸𝑖)
1514difeq2i 4111 . . . . 5 ((𝐸𝑚) ∖ 𝑘 ∈ (𝑁..^𝑚)(𝐸𝑘)) = ((𝐸𝑚) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑚)(𝐸𝑖))
1615mpteq2i 5248 . . . 4 (𝑚𝑍 ↦ ((𝐸𝑚) ∖ 𝑘 ∈ (𝑁..^𝑚)(𝐸𝑘))) = (𝑚𝑍 ↦ ((𝐸𝑚) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑚)(𝐸𝑖)))
17 fveq2 6892 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑛 → (𝐸𝑚) = (𝐸𝑛))
18 oveq2 7424 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑛 → (𝑁..^𝑚) = (𝑁..^𝑛))
1918iuneq1d 5018 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑛 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑚)(𝐸𝑖) = 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖))
2017, 19difeq12d 4115 . . . . 5 (𝑚 = 𝑛 → ((𝐸𝑚) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑚)(𝐸𝑖)) = ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)))
2120cbvmptv 5256 . . . 4 (𝑚𝑍 ↦ ((𝐸𝑚) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑚)(𝐸𝑖))) = (𝑛𝑍 ↦ ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)))
2216, 21eqtri 2753 . . 3 (𝑚𝑍 ↦ ((𝐸𝑚) ∖ 𝑘 ∈ (𝑁..^𝑚)(𝐸𝑘))) = (𝑛𝑍 ↦ ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)))
236, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 22meaiuninclem 45931 . 2 (𝜑 → (𝑚𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸𝑚))) ⇝ (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))
245, 23eqbrtrd 5165 1 (𝜑𝑆 ⇝ (𝑀 𝑛𝑍 (𝐸𝑛)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3051  wrex 3060  cdif 3936  wss 3939   ciun 4991   class class class wbr 5143  cmpt 5226  dom cdm 5672  wf 6539  cfv 6543  (class class class)co 7416  cr 11137  1c1 11139   + caddc 11141  cle 11279  cz 12588  cuz 12852  ..^cfzo 13659  cli 15460  Meascmea 45900
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-inf2 9664  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-disj 5109  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-oadd 8489  df-omul 8490  df-er 8723  df-map 8845  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-sup 9465  df-oi 9533  df-card 9962  df-acn 9965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13007  df-xadd 13125  df-ico 13362  df-icc 13363  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-seq 13999  df-exp 14059  df-hash 14322  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-clim 15464  df-sum 15665  df-salg 45760  df-sumge0 45814  df-mea 45901
This theorem is referenced by:  meaiuninc2  45933  meaiunincf  45934
  Copyright terms: Public domain W3C validator