Theorem meaiuninc 46441

Description: Measures are continuous from below (bounded case): if 𝐸 is a sequence of nondecreasing measurable sets (with bounded measure) then the measure of the union is the limit of the measures. This is Proposition 112C (e) of [Fremlin1] p. 16. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
meaiuninc.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Meas)
meaiuninc.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
meaiuninc.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑁)
meaiuninc.e	⊢ (𝜑 → 𝐸:𝑍⟶dom 𝑀)
meaiuninc.i	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐸‘𝑛) ⊆ (𝐸‘(𝑛 + 1)))
meaiuninc.x	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 (𝑀‘(𝐸‘𝑛)) ≤ 𝑥)
meaiuninc.s	⊢ 𝑆 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸‘𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
meaiuninc	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⇝ (𝑀‘∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)))

Distinct variable groups:   𝑛,𝐸,𝑥   𝑛,𝑀,𝑥   𝑛,𝑁,𝑥   𝑛,𝑍,𝑥   𝜑,𝑛,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem meaiuninc

Dummy variables 𝑖 𝑘 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		meaiuninc.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸‘𝑛)))
2		2fveq3 6892	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑀‘(𝐸‘𝑛)) = (𝑀‘(𝐸‘𝑚)))
3	2	cbvmptv 5237	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸‘𝑛))) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸‘𝑚)))
4	1, 3	eqtri 2757	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸‘𝑚)))
5	4	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸‘𝑚))))
6		meaiuninc.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ Meas)
7		meaiuninc.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
8		meaiuninc.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑁)
9		meaiuninc.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸:𝑍⟶dom 𝑀)
10		meaiuninc.i	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝐸‘𝑛) ⊆ (𝐸‘(𝑛 + 1)))
11		meaiuninc.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑛 ∈ 𝑍 (𝑀‘(𝐸‘𝑛)) ≤ 𝑥)
12	4, 1	eqtr3i 2759	. . 3 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸‘𝑚))) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸‘𝑛)))
13		fveq2 6887	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (𝐸‘𝑘) = (𝐸‘𝑖))
14	13	cbviunv 5022	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑘 ∈ (𝑁..^𝑚)(𝐸‘𝑘) = ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑚)(𝐸‘𝑖)
15	14	difeq2i 4105	. . . . 5 ⊢ ((𝐸‘𝑚) ∖ ∪ 𝑘 ∈ (𝑁..^𝑚)(𝐸‘𝑘)) = ((𝐸‘𝑚) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑚)(𝐸‘𝑖))
16	15	mpteq2i 5229	. . . 4 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐸‘𝑚) ∖ ∪ 𝑘 ∈ (𝑁..^𝑚)(𝐸‘𝑘))) = (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐸‘𝑚) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑚)(𝐸‘𝑖)))
17		fveq2 6887	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝐸‘𝑚) = (𝐸‘𝑛))
18		oveq2 7422	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑁..^𝑚) = (𝑁..^𝑛))
19	18	iuneq1d 5001	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑚)(𝐸‘𝑖) = ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸‘𝑖))
20	17, 19	difeq12d 4109	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((𝐸‘𝑚) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑚)(𝐸‘𝑖)) = ((𝐸‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸‘𝑖)))
21	20	cbvmptv 5237	. . . 4 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐸‘𝑚) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑚)(𝐸‘𝑖))) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐸‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸‘𝑖)))
22	16, 21	eqtri 2757	. . 3 ⊢ (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐸‘𝑚) ∖ ∪ 𝑘 ∈ (𝑁..^𝑚)(𝐸‘𝑘))) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ ((𝐸‘𝑛) ∖ ∪ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸‘𝑖)))
23	6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 22	meaiuninclem 46440	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑚 ∈ 𝑍 ↦ (𝑀‘(𝐸‘𝑚))) ⇝ (𝑀‘∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)))
24	5, 23	eqbrtrd 5147	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⇝ (𝑀‘∪ 𝑛 ∈ 𝑍 (𝐸‘𝑛)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∀wral 3050  ∃wrex 3059   ∖ cdif 3930   ⊆ wss 3933  ∪ ciun 4973   class class class wbr 5125   ↦ cmpt 5207  dom cdm 5667  ⟶wf 6538  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  ℝcr 11137  1c1 11139   + caddc 11141   ≤ cle 11279  ℤcz 12597  ℤ_≥cuz 12861  ..^cfzo 13677   ⇝ cli 15503  Meascmea 46409

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5261  ax-sep 5278  ax-nul 5288  ax-pow 5347  ax-pr 5414  ax-un 7738  ax-inf2 9664  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3773  df-csb 3882  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3950  df-pss 3953  df-nul 4316  df-if 4508  df-pw 4584  df-sn 4609  df-pr 4611  df-op 4615  df-uni 4890  df-int 4929  df-iun 4975  df-disj 5093  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5208  df-tr 5242  df-id 5560  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6303  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7871  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-frecs 8289  df-wrecs 8320  df-recs 8394  df-rdg 8433  df-1o 8489  df-2o 8490  df-oadd 8493  df-omul 8494  df-er 8728  df-map 8851  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-sup 9465  df-oi 9533  df-card 9962  df-acn 9965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11904  df-nn 12250  df-2 12312  df-3 12313  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12862  df-rp 13018  df-xadd 13138  df-ico 13376  df-icc 13377  df-fz 13531  df-fzo 13678  df-seq 14026  df-exp 14086  df-hash 14353  df-cj 15121  df-re 15122  df-im 15123  df-sqrt 15257  df-abs 15258  df-clim 15507  df-sum 15706  df-salg 46269  df-sumge0 46323  df-mea 46410

This theorem is referenced by:  meaiuninc2  46442  meaiunincf  46443