Theorem perpeq 29405

Description: Uniqueness of the perpendicular to a line 𝐴 within a plane 𝐻 at a point 𝑋. Theorem 11.20 of [Schwabhauser] p. 99. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Jul-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
perpeq.1	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
perpeq.2	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
perpeq.3	⊢ 𝐸 = (hlG‘𝐺)
perpeq.4	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
perpeq.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
perpeq.6	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ran 𝐸)
perpeq.7	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
perpeq.8	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐻)
perpeq.9	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐻)
perpeq.10	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐻)
perpeq.11	⊢ (𝜑 → (𝑋𝐿𝑌)(⟂G‘𝐺)𝐴)
perpeq.12	⊢ (𝜑 → (𝑋𝐿𝑍)(⟂G‘𝐺)𝐴)

Assertion

Ref	Expression
perpeq	⊢ (𝜑 → (𝑋𝐿𝑌) = (𝑋𝐿𝑍))

Proof of Theorem perpeq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		perpeq.1	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		perpeq.2	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
3		perpeq.3	. . 3 ⊢ 𝐸 = (hlG‘𝐺)
4		perpeq.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5	4	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑍) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		perpeq.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
7	6	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑍) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
8		perpeq.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ran 𝐸)
9	8	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑍) → 𝐻 ∈ ran 𝐸)
10		perpeq.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
11	10	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑍) → 𝑋 ∈ 𝐴)
12		perpeq.8	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐻)
13	12	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑍) → 𝐴 ⊆ 𝐻)
14		perpeq.9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐻)
15	14	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑍) → 𝑌 ∈ 𝐻)
16		perpeq.10	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐻)
17	16	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑍) → 𝑍 ∈ 𝐻)
18		perpeq.11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐿𝑌)(⟂G‘𝐺)𝐴)
19	18	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑍) → (𝑋𝐿𝑌)(⟂G‘𝐺)𝐴)
20		perpeq.12	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐿𝑍)(⟂G‘𝐺)𝐴)
21	20	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑍) → (𝑋𝐿𝑍)(⟂G‘𝐺)𝐴)
22		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑍) → 𝑌((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑍)
23	1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 22	perpeqlem 29404	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑍) → (𝑋𝐿𝑌) = (𝑋𝐿𝑍))
24	4	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑍) → 𝐺 ∈ TarskiG)
25	6	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑍) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
26	8	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑍) → 𝐻 ∈ ran 𝐸)
27	10	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑍) → 𝑋 ∈ 𝐴)
28	12	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑍) → 𝐴 ⊆ 𝐻)
29	14	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑍) → 𝑌 ∈ 𝐻)
30		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (pInvG‘𝐺) = (pInvG‘𝐺)
31		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ ((pInvG‘𝐺)‘𝑋) = ((pInvG‘𝐺)‘𝑋)
32	12, 10	sseldd 3914	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐻)
33	32	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑍) → 𝑋 ∈ 𝐻)
34	16	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑍) → 𝑍 ∈ 𝐻)
35	1, 3, 30, 31, 24, 26, 33, 34	mirplncl 29330	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑍) → (((pInvG‘𝐺)‘𝑋)‘𝑍) ∈ 𝐻)
36	18	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑍) → (𝑋𝐿𝑌)(⟂G‘𝐺)𝐴)
37		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (Itv‘𝐺) = (Itv‘𝐺)
38	1, 2, 37, 4, 6, 10	tglnpt 29069	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
39	1, 37, 2, 3, 4, 8, 16	plngrnssp 29314	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
40	2, 4, 20	perpln1 29242	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐿𝑍) ∈ ran 𝐿)
41	1, 37, 2, 4, 38, 39, 40	tglnne 29153	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑍)
42		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
43	1, 37, 2, 4, 38, 39, 41	tglinerflx1 29158	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑋𝐿𝑍))
44	1, 37, 2, 4, 38, 39, 41	tglinerflx2 29159	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑍))
45	1, 42, 37, 2, 30, 4, 31, 40, 43, 44	mirln 29205	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((pInvG‘𝐺)‘𝑋)‘𝑍) ∈ (𝑋𝐿𝑍))
46	1, 2, 37, 4, 40, 45	tglnpt 29069	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((pInvG‘𝐺)‘𝑋)‘𝑍) ∈ 𝑃)
47	41	necomd 3014	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ≠ 𝑋)
48	1, 42, 37, 2, 30, 4, 38, 31, 39, 47	mirne 29196	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((pInvG‘𝐺)‘𝑋)‘𝑍) ≠ 𝑋)
49	1, 37, 2, 4, 38, 39, 41, 46, 48, 45	tglineelsb2 29157	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐿𝑍) = (𝑋𝐿(((pInvG‘𝐺)‘𝑋)‘𝑍)))
50	49, 20	breq1dd 5126	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐿(((pInvG‘𝐺)‘𝑋)‘𝑍))(⟂G‘𝐺)𝐴)
51	50	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑍) → (𝑋𝐿(((pInvG‘𝐺)‘𝑋)‘𝑍))(⟂G‘𝐺)𝐴)
52	1, 37, 2, 3, 4, 8, 14	plngrnssp 29314	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
53	1, 42, 37, 2, 4, 6, 10, 52, 18	footne 29255	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑌 ∈ 𝐴)
54	52, 53	eldifd 4053	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴))
55	54	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑍) → 𝑌 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴))
56	14, 53	eldifd 4053	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐻 ∖ 𝐴))
57	1, 2, 3, 4, 8, 6, 56, 12	plng3p 29332	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝐴𝐸𝑌))
58	16, 57	eleqtrd 2866	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝐴𝐸𝑌))
59	1, 42, 37, 2, 4, 6, 10, 39, 20	footne 29255	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ 𝐴)
60	58, 59	eldifd 4053	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ ((𝐴𝐸𝑌) ∖ 𝐴))
61	60	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑍) → 𝑍 ∈ ((𝐴𝐸𝑌) ∖ 𝐴))
62		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑍) → ¬ 𝑌((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑍)
63	1, 2, 30, 3, 31, 24, 25, 27, 55, 61, 62	nhpmirhp 29333	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑍) → 𝑌((hpG‘𝐺)‘𝐴)(((pInvG‘𝐺)‘𝑋)‘𝑍))
64	1, 2, 3, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 35, 36, 51, 63	perpeqlem 29404	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑍) → (𝑋𝐿𝑌) = (𝑋𝐿(((pInvG‘𝐺)‘𝑋)‘𝑍)))
65	49	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑍) → (𝑋𝐿𝑍) = (𝑋𝐿(((pInvG‘𝐺)‘𝑋)‘𝑍)))
66	64, 65	eqtr4d 2801	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑍) → (𝑋𝐿𝑌) = (𝑋𝐿𝑍))
67	23, 66	pm2.61dan 825	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐿𝑌) = (𝑋𝐿𝑍))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900   ∖ cdif 4048   class class class wbr 5108  ran crn 5659  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  Basecbs 17431  distcds 17481  TarskiGcstrkg 28946  Itvcitv 28952  LineGclng 28953  pInvGcmir 29181  ⟂Gcperpg 29227  hpGchpg 29292  hlGcplng 29308

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-oadd 8518  df-er 8755  df-map 8887  df-pm 8888  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-dju 10019  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-n0 12647  df-xnn0 12720  df-z 12734  df-uz 13006  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-hash 14516  df-word 14700  df-concat 14757  df-s1 14784  df-s2 15041  df-s3 15042  df-trkgc 28967  df-trkgb 28968  df-trkgcb 28969  df-trkgld 28971  df-trkg 28972  df-cgrg 29031  df-ismt 29053  df-leg 29103  df-hlg 29121  df-mir 29182  df-rag 29226  df-perpg 29228  df-hpg 29293  df-plng 29309  df-mid 29336  df-lmi 29337  df-cgra 29372

This theorem is used by:  perpprlng  29485