Theorem perpeq 29341

Description: Uniqueness of the perpendicular to a line 𝐴 within a plane 𝐻 at a point 𝑋. Theorem 11.20 of [Schwabhauser] p. 99. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Jul-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
perpeq.1	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
perpeq.2	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
perpeq.3	⊢ 𝐸 = (hlG‘𝐺)
perpeq.4	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
perpeq.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
perpeq.6	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ran 𝐸)
perpeq.7	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
perpeq.8	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐻)
perpeq.9	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐻)
perpeq.10	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐻)
perpeq.11	⊢ (𝜑 → (𝑋𝐿𝑌)(⟂G‘𝐺)𝐴)
perpeq.12	⊢ (𝜑 → (𝑋𝐿𝑍)(⟂G‘𝐺)𝐴)

Assertion

Ref	Expression
perpeq	⊢ (𝜑 → (𝑋𝐿𝑌) = (𝑋𝐿𝑍))

Proof of Theorem perpeq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		perpeq.1	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		perpeq.2	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
3		perpeq.3	. . 3 ⊢ 𝐸 = (hlG‘𝐺)
4		perpeq.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5	4	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑍) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		perpeq.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
7	6	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑍) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
8		perpeq.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ran 𝐸)
9	8	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑍) → 𝐻 ∈ ran 𝐸)
10		perpeq.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
11	10	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑍) → 𝑋 ∈ 𝐴)
12		perpeq.8	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐻)
13	12	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑍) → 𝐴 ⊆ 𝐻)
14		perpeq.9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐻)
15	14	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑍) → 𝑌 ∈ 𝐻)
16		perpeq.10	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐻)
17	16	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑍) → 𝑍 ∈ 𝐻)
18		perpeq.11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐿𝑌)(⟂G‘𝐺)𝐴)
19	18	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑍) → (𝑋𝐿𝑌)(⟂G‘𝐺)𝐴)
20		perpeq.12	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐿𝑍)(⟂G‘𝐺)𝐴)
21	20	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑍) → (𝑋𝐿𝑍)(⟂G‘𝐺)𝐴)
22		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑍) → 𝑌((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑍)
23	1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 22	perpeqlem 29340	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑍) → (𝑋𝐿𝑌) = (𝑋𝐿𝑍))
24	4	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑍) → 𝐺 ∈ TarskiG)
25	6	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑍) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
26	8	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑍) → 𝐻 ∈ ran 𝐸)
27	10	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑍) → 𝑋 ∈ 𝐴)
28	12	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑍) → 𝐴 ⊆ 𝐻)
29	14	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑍) → 𝑌 ∈ 𝐻)
30		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (pInvG‘𝐺) = (pInvG‘𝐺)
31		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ ((pInvG‘𝐺)‘𝑋) = ((pInvG‘𝐺)‘𝑋)
32	12, 10	sseldd 3932	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐻)
33	32	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑍) → 𝑋 ∈ 𝐻)
34	16	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑍) → 𝑍 ∈ 𝐻)
35	1, 3, 30, 31, 24, 26, 33, 34	mirplncl 29266	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑍) → (((pInvG‘𝐺)‘𝑋)‘𝑍) ∈ 𝐻)
36	18	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑍) → (𝑋𝐿𝑌)(⟂G‘𝐺)𝐴)
37		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (Itv‘𝐺) = (Itv‘𝐺)
38	1, 2, 37, 4, 6, 10	tglnpt 29005	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
39	1, 37, 2, 3, 4, 8, 16	plngrnssp 29250	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
40	2, 4, 20	perpln1 29178	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐿𝑍) ∈ ran 𝐿)
41	1, 37, 2, 4, 38, 39, 40	tglnne 29089	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑍)
42		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
43	1, 37, 2, 4, 38, 39, 41	tglinerflx1 29094	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑋𝐿𝑍))
44	1, 37, 2, 4, 38, 39, 41	tglinerflx2 29095	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑍))
45	1, 42, 37, 2, 30, 4, 31, 40, 43, 44	mirln 29141	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((pInvG‘𝐺)‘𝑋)‘𝑍) ∈ (𝑋𝐿𝑍))
46	1, 2, 37, 4, 40, 45	tglnpt 29005	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((pInvG‘𝐺)‘𝑋)‘𝑍) ∈ 𝑃)
47	41	necomd 3011	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ≠ 𝑋)
48	1, 42, 37, 2, 30, 4, 38, 31, 39, 47	mirne 29132	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((pInvG‘𝐺)‘𝑋)‘𝑍) ≠ 𝑋)
49	1, 37, 2, 4, 38, 39, 41, 46, 48, 45	tglineelsb2 29093	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐿𝑍) = (𝑋𝐿(((pInvG‘𝐺)‘𝑋)‘𝑍)))
50	49, 20	breq1dd 5121	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐿(((pInvG‘𝐺)‘𝑋)‘𝑍))(⟂G‘𝐺)𝐴)
51	50	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑍) → (𝑋𝐿(((pInvG‘𝐺)‘𝑋)‘𝑍))(⟂G‘𝐺)𝐴)
52	1, 37, 2, 3, 4, 8, 14	plngrnssp 29250	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
53	1, 42, 37, 2, 4, 6, 10, 52, 18	footne 29191	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑌 ∈ 𝐴)
54	52, 53	eldifd 3910	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴))
55	54	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑍) → 𝑌 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴))
56	14, 53	eldifd 3910	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐻 ∖ 𝐴))
57	1, 2, 3, 4, 8, 6, 56, 12	plng3p 29268	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝐴𝐸𝑌))
58	16, 57	eleqtrd 2863	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝐴𝐸𝑌))
59	1, 42, 37, 2, 4, 6, 10, 39, 20	footne 29191	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ 𝐴)
60	58, 59	eldifd 3910	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ ((𝐴𝐸𝑌) ∖ 𝐴))
61	60	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑍) → 𝑍 ∈ ((𝐴𝐸𝑌) ∖ 𝐴))
62		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑍) → ¬ 𝑌((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑍)
63	1, 2, 30, 3, 31, 24, 25, 27, 55, 61, 62	nhpmirhp 29269	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑍) → 𝑌((hpG‘𝐺)‘𝐴)(((pInvG‘𝐺)‘𝑋)‘𝑍))
64	1, 2, 3, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 35, 36, 51, 63	perpeqlem 29340	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑍) → (𝑋𝐿𝑌) = (𝑋𝐿(((pInvG‘𝐺)‘𝑋)‘𝑍)))
65	49	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑍) → (𝑋𝐿𝑍) = (𝑋𝐿(((pInvG‘𝐺)‘𝑋)‘𝑍)))
66	64, 65	eqtr4d 2799	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑍) → (𝑋𝐿𝑌) = (𝑋𝐿𝑍))
67	23, 66	pm2.61dan 825	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐿𝑌) = (𝑋𝐿𝑍))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∖ cdif 3896   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103  ran crn 5652  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  Basecbs 17380  distcds 17430  TarskiGcstrkg 28882  Itvcitv 28888  LineGclng 28889  pInvGcmir 29117  ⟂Gcperpg 29163  hpGchpg 29228  hlGcplng 29244

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-oadd 8473  df-er 8710  df-map 8842  df-pm 8843  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-dju 9975  df-card 10013  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-n0 12600  df-xnn0 12673  df-z 12687  df-uz 12959  df-fz 13633  df-fzo 13782  df-hash 14468  df-word 14652  df-concat 14709  df-s1 14736  df-s2 14992  df-s3 14993  df-trkgc 28903  df-trkgb 28904  df-trkgcb 28905  df-trkgld 28907  df-trkg 28908  df-cgrg 28967  df-ismt 28989  df-leg 29039  df-hlg 29057  df-mir 29118  df-rag 29162  df-perpg 29164  df-hpg 29229  df-plng 29245  df-mid 29272  df-lmi 29273  df-cgra 29308

This theorem is used by:  perpprlng  29421