Theorem perpeq 29354

Description: Uniqueness of the perpendicular to a line 𝐴 within a plane 𝐻 at a point 𝑋. Theorem 11.20 of [Schwabhauser] p. 99. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Jul-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
perpeq.1	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
perpeq.2	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
perpeq.3	⊢ 𝐸 = (hlG‘𝐺)
perpeq.4	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
perpeq.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
perpeq.6	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ran 𝐸)
perpeq.7	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
perpeq.8	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐻)
perpeq.9	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐻)
perpeq.10	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐻)
perpeq.11	⊢ (𝜑 → (𝑋𝐿𝑌)(⟂G‘𝐺)𝐴)
perpeq.12	⊢ (𝜑 → (𝑋𝐿𝑍)(⟂G‘𝐺)𝐴)

Assertion

Ref	Expression
perpeq	⊢ (𝜑 → (𝑋𝐿𝑌) = (𝑋𝐿𝑍))

Proof of Theorem perpeq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		perpeq.1	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		perpeq.2	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
3		perpeq.3	. . 3 ⊢ 𝐸 = (hlG‘𝐺)
4		perpeq.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5	4	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑍) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		perpeq.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
7	6	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑍) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
8		perpeq.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ran 𝐸)
9	8	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑍) → 𝐻 ∈ ran 𝐸)
10		perpeq.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
11	10	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑍) → 𝑋 ∈ 𝐴)
12		perpeq.8	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐻)
13	12	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑍) → 𝐴 ⊆ 𝐻)
14		perpeq.9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐻)
15	14	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑍) → 𝑌 ∈ 𝐻)
16		perpeq.10	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐻)
17	16	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑍) → 𝑍 ∈ 𝐻)
18		perpeq.11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐿𝑌)(⟂G‘𝐺)𝐴)
19	18	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑍) → (𝑋𝐿𝑌)(⟂G‘𝐺)𝐴)
20		perpeq.12	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐿𝑍)(⟂G‘𝐺)𝐴)
21	20	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑍) → (𝑋𝐿𝑍)(⟂G‘𝐺)𝐴)
22		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑍) → 𝑌((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑍)
23	1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 22	perpeqlem 29353	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑍) → (𝑋𝐿𝑌) = (𝑋𝐿𝑍))
24	4	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑍) → 𝐺 ∈ TarskiG)
25	6	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑍) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
26	8	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑍) → 𝐻 ∈ ran 𝐸)
27	10	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑍) → 𝑋 ∈ 𝐴)
28	12	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑍) → 𝐴 ⊆ 𝐻)
29	14	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑍) → 𝑌 ∈ 𝐻)
30		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (pInvG‘𝐺) = (pInvG‘𝐺)
31		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ ((pInvG‘𝐺)‘𝑋) = ((pInvG‘𝐺)‘𝑋)
32	12, 10	sseldd 3909	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐻)
33	32	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑍) → 𝑋 ∈ 𝐻)
34	16	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑍) → 𝑍 ∈ 𝐻)
35	1, 3, 30, 31, 24, 26, 33, 34	mirplncl 29279	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑍) → (((pInvG‘𝐺)‘𝑋)‘𝑍) ∈ 𝐻)
36	18	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑍) → (𝑋𝐿𝑌)(⟂G‘𝐺)𝐴)
37		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (Itv‘𝐺) = (Itv‘𝐺)
38	1, 2, 37, 4, 6, 10	tglnpt 29018	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
39	1, 37, 2, 3, 4, 8, 16	plngrnssp 29263	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
40	2, 4, 20	perpln1 29191	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐿𝑍) ∈ ran 𝐿)
41	1, 37, 2, 4, 38, 39, 40	tglnne 29102	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑍)
42		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
43	1, 37, 2, 4, 38, 39, 41	tglinerflx1 29107	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑋𝐿𝑍))
44	1, 37, 2, 4, 38, 39, 41	tglinerflx2 29108	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑍))
45	1, 42, 37, 2, 30, 4, 31, 40, 43, 44	mirln 29154	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((pInvG‘𝐺)‘𝑋)‘𝑍) ∈ (𝑋𝐿𝑍))
46	1, 2, 37, 4, 40, 45	tglnpt 29018	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((pInvG‘𝐺)‘𝑋)‘𝑍) ∈ 𝑃)
47	41	necomd 3010	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ≠ 𝑋)
48	1, 42, 37, 2, 30, 4, 38, 31, 39, 47	mirne 29145	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((pInvG‘𝐺)‘𝑋)‘𝑍) ≠ 𝑋)
49	1, 37, 2, 4, 38, 39, 41, 46, 48, 45	tglineelsb2 29106	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐿𝑍) = (𝑋𝐿(((pInvG‘𝐺)‘𝑋)‘𝑍)))
50	49, 20	breq1dd 5120	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐿(((pInvG‘𝐺)‘𝑋)‘𝑍))(⟂G‘𝐺)𝐴)
51	50	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑍) → (𝑋𝐿(((pInvG‘𝐺)‘𝑋)‘𝑍))(⟂G‘𝐺)𝐴)
52	1, 37, 2, 3, 4, 8, 14	plngrnssp 29263	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
53	1, 42, 37, 2, 4, 6, 10, 52, 18	footne 29204	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑌 ∈ 𝐴)
54	52, 53	eldifd 4050	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴))
55	54	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑍) → 𝑌 ∈ (𝑃 ∖ 𝐴))
56	14, 53	eldifd 4050	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐻 ∖ 𝐴))
57	1, 2, 3, 4, 8, 6, 56, 12	plng3p 29281	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝐴𝐸𝑌))
58	16, 57	eleqtrd 2862	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝐴𝐸𝑌))
59	1, 42, 37, 2, 4, 6, 10, 39, 20	footne 29204	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ 𝐴)
60	58, 59	eldifd 4050	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ ((𝐴𝐸𝑌) ∖ 𝐴))
61	60	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑍) → 𝑍 ∈ ((𝐴𝐸𝑌) ∖ 𝐴))
62		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑍) → ¬ 𝑌((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑍)
63	1, 2, 30, 3, 31, 24, 25, 27, 55, 61, 62	nhpmirhp 29282	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑍) → 𝑌((hpG‘𝐺)‘𝐴)(((pInvG‘𝐺)‘𝑋)‘𝑍))
64	1, 2, 3, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 35, 36, 51, 63	perpeqlem 29353	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑍) → (𝑋𝐿𝑌) = (𝑋𝐿(((pInvG‘𝐺)‘𝑋)‘𝑍)))
65	49	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑍) → (𝑋𝐿𝑍) = (𝑋𝐿(((pInvG‘𝐺)‘𝑋)‘𝑍)))
66	64, 65	eqtr4d 2798	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑌((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑍) → (𝑋𝐿𝑌) = (𝑋𝐿𝑍))
67	23, 66	pm2.61dan 825	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐿𝑌) = (𝑋𝐿𝑍))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3895   ∖ cdif 4045   class class class wbr 5102  ran crn 5651  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  Basecbs 17393  distcds 17443  TarskiGcstrkg 28895  Itvcitv 28901  LineGclng 28902  pInvGcmir 29130  ⟂Gcperpg 29176  hpGchpg 29241  hlGcplng 29257

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-oadd 8484  df-er 8721  df-map 8853  df-pm 8854  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-dju 9986  df-card 10024  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-n0 12611  df-xnn0 12684  df-z 12698  df-uz 12970  df-fz 13644  df-fzo 13793  df-hash 14479  df-word 14663  df-concat 14720  df-s1 14747  df-s2 15004  df-s3 15005  df-trkgc 28916  df-trkgb 28917  df-trkgcb 28918  df-trkgld 28920  df-trkg 28921  df-cgrg 28980  df-ismt 29002  df-leg 29052  df-hlg 29070  df-mir 29131  df-rag 29175  df-perpg 29177  df-hpg 29242  df-plng 29258  df-mid 29285  df-lmi 29286  df-cgra 29321

This theorem is used by:  perpprlng  29434