Theorem coe1fvalcl 22104

Description: A coefficient of a univariate polynomial over a class/ring is an element of this class/ring. (Contributed by AV, 9-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
coe1fval.a	⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)
coe1f.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
coe1f.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
coe1f.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
coe1fvalcl	⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑁) ∈ 𝐾)

Proof of Theorem coe1fvalcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coe1fval.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)
2		coe1f.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
3		coe1f.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
4		coe1f.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
5	1, 2, 3, 4	coe1f 22103	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐴:ℕ0⟶𝐾)
6	5	ffvelcdmda 7059	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑁) ∈ 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6514  ℕ₀cn0 12449  Basecbs 17186  Poly₁cpl1 22068  coe₁cco1 22069

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9320  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-fz 13476  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-tset 17246  df-ple 17247  df-psr 21825  df-opsr 21829  df-psr1 22071  df-ply1 22073  df-coe1 22074

This theorem is referenced by:  mptcoe1fsupp  22107  cply1mul  22190  cply1coe0bi  22196  evls1fpws  22263  cpm2mf  22646  m2cpminvid2lem  22648  m2cpminvid2  22649  m2cpmfo  22650  decpmatcl  22661  decpmatmul  22666  pmatcollpw3lem  22677  pmatcollpwscmatlem1  22683  pmatcollpwscmatlem2  22684  pm2mpf1  22693  mptcoe1matfsupp  22696  mp2pm2mplem2  22701  mp2pm2mplem4  22703  pm2mpghm  22710  cpmidgsumm2pm  22763  cpmidpmatlem2  22765  cpmidpmatlem3  22766  chcoeffeqlem  22779  deg1mul  26027  ressply1evls1  33541  deg1le0eq0  33549  ply1unit  33551  evl1deg1  33552  evl1deg2  33553  evl1deg3  33554  ply1dg1rt  33555  m1pmeq  33559  evls1fldgencl  33672  irngnzply1lem  33692  minplyirredlem  33707  2sqr3minply  33777  ply1mulgsumlem2  48380  ply1mulgsum  48383