Theorem coe1fvalcl 20987

Description: A coefficient of a univariate polynomial over a class/ring is an element of this class/ring. (Contributed by AV, 9-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
coe1fval.a	⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)
coe1f.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
coe1f.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
coe1f.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
coe1fvalcl	⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑁) ∈ 𝐾)

Proof of Theorem coe1fvalcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coe1fval.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)
2		coe1f.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
3		coe1f.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
4		coe1f.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
5	1, 2, 3, 4	coe1f 20986	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐴:ℕ0⟶𝐾)
6	5	ffvelrnda 6861	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑁) ∈ 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6339  ℕ₀cn0 11976  Basecbs 16586  Poly₁cpl1 20952  coe₁cco1 20953

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-of 7425  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-supp 7857  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-1o 8131  df-er 8320  df-map 8439  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-fin 8559  df-fsupp 8907  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-nn 11717  df-2 11779  df-3 11780  df-4 11781  df-5 11782  df-6 11783  df-7 11784  df-8 11785  df-9 11786  df-n0 11977  df-z 12063  df-dec 12180  df-uz 12325  df-fz 12982  df-struct 16588  df-ndx 16589  df-slot 16590  df-base 16592  df-sets 16593  df-ress 16594  df-plusg 16681  df-mulr 16682  df-sca 16684  df-vsca 16685  df-tset 16687  df-ple 16688  df-psr 20722  df-opsr 20726  df-psr1 20955  df-ply1 20957  df-coe1 20958

This theorem is referenced by:  mptcoe1fsupp  20990  cply1mul  21069  cply1coe0bi  21075  cpm2mf  21503  m2cpminvid2lem  21505  m2cpminvid2  21506  m2cpmfo  21507  decpmatcl  21518  decpmatmul  21523  pmatcollpw3lem  21534  pmatcollpwscmatlem1  21540  pmatcollpwscmatlem2  21541  pm2mpf1  21550  mptcoe1matfsupp  21553  mp2pm2mplem2  21558  mp2pm2mplem4  21560  pm2mpghm  21567  cpmidgsumm2pm  21620  cpmidpmatlem2  21622  cpmidpmatlem3  21623  chcoeffeqlem  21636  ply1mulgsumlem2  45282  ply1mulgsum  45285