Theorem coe1fvalcl 22126

Description: A coefficient of a univariate polynomial over a class/ring is an element of this class/ring. (Contributed by AV, 9-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
coe1fval.a	⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)
coe1f.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
coe1f.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
coe1f.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
coe1fvalcl	⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑁) ∈ 𝐾)

Proof of Theorem coe1fvalcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coe1fval.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)
2		coe1f.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
3		coe1f.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
4		coe1f.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
5	1, 2, 3, 4	coe1f 22125	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐴:ℕ0⟶𝐾)
6	5	ffvelcdmda 7017	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑁) ∈ 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6481  ℕ₀cn0 12381  Basecbs 17120  Poly₁cpl1 22090  coe₁cco1 22091

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8091  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fsupp 9246  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-dec 12589  df-uz 12733  df-fz 13408  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-tset 17180  df-ple 17181  df-psr 21847  df-opsr 21851  df-psr1 22093  df-ply1 22095  df-coe1 22096

This theorem is referenced by:  mptcoe1fsupp  22129  cply1mul  22212  cply1coe0bi  22218  evls1fpws  22285  cpm2mf  22668  m2cpminvid2lem  22670  m2cpminvid2  22671  m2cpmfo  22672  decpmatcl  22683  decpmatmul  22688  pmatcollpw3lem  22699  pmatcollpwscmatlem1  22705  pmatcollpwscmatlem2  22706  pm2mpf1  22715  mptcoe1matfsupp  22718  mp2pm2mplem2  22723  mp2pm2mplem4  22725  pm2mpghm  22732  cpmidgsumm2pm  22785  cpmidpmatlem2  22787  cpmidpmatlem3  22788  chcoeffeqlem  22801  deg1mul  26048  ressply1evls1  33526  deg1le0eq0  33534  ply1unit  33536  evl1deg1  33537  evl1deg2  33538  evl1deg3  33539  ply1dg1rt  33541  m1pmeq  33545  evls1fldgencl  33681  irngnzply1lem  33701  minplyirredlem  33721  2sqr3minply  33791  ply1mulgsumlem2  48425  ply1mulgsum  48428