Theorem coe1fvalcl 22153

Description: A coefficient of a univariate polynomial over a class/ring is an element of this class/ring. (Contributed by AV, 9-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
coe1fval.a	⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)
coe1f.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
coe1f.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
coe1f.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
coe1fvalcl	⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑁) ∈ 𝐾)

Proof of Theorem coe1fvalcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coe1fval.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)
2		coe1f.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
3		coe1f.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
4		coe1f.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
5	1, 2, 3, 4	coe1f 22152	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐴:ℕ0⟶𝐾)
6	5	ffvelcdmda 7029	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑁) ∈ 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6492  ℕ₀cn0 12401  Basecbs 17136  Poly₁cpl1 22117  coe₁cco1 22118

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-fz 13424  df-struct 17074  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-sca 17193  df-vsca 17194  df-tset 17196  df-ple 17197  df-psr 21865  df-opsr 21869  df-psr1 22120  df-ply1 22122  df-coe1 22123

This theorem is referenced by:  mptcoe1fsupp  22156  cply1mul  22240  cply1coe0bi  22246  evls1fpws  22313  cpm2mf  22696  m2cpminvid2lem  22698  m2cpminvid2  22699  m2cpmfo  22700  decpmatcl  22711  decpmatmul  22716  pmatcollpw3lem  22727  pmatcollpwscmatlem1  22733  pmatcollpwscmatlem2  22734  pm2mpf1  22743  mptcoe1matfsupp  22746  mp2pm2mplem2  22751  mp2pm2mplem4  22753  pm2mpghm  22760  cpmidgsumm2pm  22813  cpmidpmatlem2  22815  cpmidpmatlem3  22816  chcoeffeqlem  22829  deg1mul  26076  ressply1evls1  33646  deg1le0eq0  33654  ply1unit  33656  evl1deg1  33657  evl1deg2  33658  evl1deg3  33659  ply1dg1rt  33661  m1pmeq  33666  ply1coedeg  33670  vietalem  33735  evls1fldgencl  33827  irngnzply1lem  33847  minplyirredlem  33867  2sqr3minply  33937  ply1mulgsumlem2  48633  ply1mulgsum  48636