Theorem coe1fvalcl 21364

Description: A coefficient of a univariate polynomial over a class/ring is an element of this class/ring. (Contributed by AV, 9-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
coe1fval.a	⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)
coe1f.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
coe1f.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
coe1f.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
coe1fvalcl	⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑁) ∈ 𝐾)

Proof of Theorem coe1fvalcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coe1fval.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)
2		coe1f.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
3		coe1f.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
4		coe1f.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
5	1, 2, 3, 4	coe1f 21363	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → 𝐴:ℕ0⟶𝐾)
6	5	ffvelrnda 6955	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑁) ∈ 𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6430  ℕ₀cn0 12216  Basecbs 16893  Poly₁cpl1 21329  coe₁cco1 21330

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-rep 5213  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-of 7524  df-om 7701  df-1st 7817  df-2nd 7818  df-supp 7962  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-1o 8281  df-er 8472  df-map 8591  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-fin 8711  df-fsupp 9090  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-nn 11957  df-2 12019  df-3 12020  df-4 12021  df-5 12022  df-6 12023  df-7 12024  df-8 12025  df-9 12026  df-n0 12217  df-z 12303  df-dec 12420  df-uz 12565  df-fz 13222  df-struct 16829  df-sets 16846  df-slot 16864  df-ndx 16876  df-base 16894  df-ress 16923  df-plusg 16956  df-mulr 16957  df-sca 16959  df-vsca 16960  df-tset 16962  df-ple 16963  df-psr 21093  df-opsr 21097  df-psr1 21332  df-ply1 21334  df-coe1 21335

This theorem is referenced by:  mptcoe1fsupp  21367  cply1mul  21446  cply1coe0bi  21452  cpm2mf  21882  m2cpminvid2lem  21884  m2cpminvid2  21885  m2cpmfo  21886  decpmatcl  21897  decpmatmul  21902  pmatcollpw3lem  21913  pmatcollpwscmatlem1  21919  pmatcollpwscmatlem2  21920  pm2mpf1  21929  mptcoe1matfsupp  21932  mp2pm2mplem2  21937  mp2pm2mplem4  21939  pm2mpghm  21946  cpmidgsumm2pm  21999  cpmidpmatlem2  22001  cpmidpmatlem3  22002  chcoeffeqlem  22015  ply1mulgsumlem2  45680  ply1mulgsum  45683