MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgamgulmlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgamgulmlem4 26772
Description: Lemma for lgamgulm 26775. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lgamgulm.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„•)
lgamgulm.u ๐‘ˆ = {๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆฃ ((absโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘… โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (1 / ๐‘…) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ฅ + ๐‘˜)))}
lgamgulm.g ๐บ = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ โ†ฆ ((๐‘ง ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ง / ๐‘š) + 1)))))
lgamgulm.t ๐‘‡ = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ if((2 ยท ๐‘…) โ‰ค ๐‘š, (๐‘… ยท ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘šโ†‘2))), ((๐‘… ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) + ((logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘š)) + ฯ€))))
Assertion
Ref Expression
lgamgulmlem4 (๐œ‘ โ†’ seq1( + , ๐‘‡) โˆˆ dom โ‡ )
Distinct variable groups:   ๐‘˜,๐‘š,๐‘ฅ,๐‘ง,๐‘…   ๐‘ˆ,๐‘š,๐‘ง   ๐œ‘,๐‘š,๐‘ฅ,๐‘ง
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘˜)   ๐‘‡(๐‘ฅ,๐‘ง,๐‘˜,๐‘š)   ๐‘ˆ(๐‘ฅ,๐‘˜)   ๐บ(๐‘ฅ,๐‘ง,๐‘˜,๐‘š)

Proof of Theorem lgamgulmlem4
Dummy variable ๐‘› is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2nn 12289 . . . . . . 7 2 โˆˆ โ„•
21a1i 11 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„•)
3 lgamgulm.r . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„•)
42, 3nnmulcld 12269 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐‘…) โˆˆ โ„•)
54nnzd 12589 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐‘…) โˆˆ โ„ค)
6 eluzle 12839 . . . . . . 7 (๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(2 ยท ๐‘…)) โ†’ (2 ยท ๐‘…) โ‰ค ๐‘›)
76adantl 480 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(2 ยท ๐‘…))) โ†’ (2 ยท ๐‘…) โ‰ค ๐‘›)
87iftrued 4535 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(2 ยท ๐‘…))) โ†’ if((2 ยท ๐‘…) โ‰ค ๐‘›, (๐‘… ยท ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘›โ†‘2))), ((๐‘… ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) + ((logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘›)) + ฯ€))) = (๐‘… ยท ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘›โ†‘2))))
9 eluznn 12906 . . . . . . 7 (((2 ยท ๐‘…) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(2 ยท ๐‘…))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
104, 9sylan 578 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(2 ยท ๐‘…))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
11 breq2 5151 . . . . . . . 8 (๐‘š = ๐‘› โ†’ ((2 ยท ๐‘…) โ‰ค ๐‘š โ†” (2 ยท ๐‘…) โ‰ค ๐‘›))
12 oveq1 7418 . . . . . . . . . 10 (๐‘š = ๐‘› โ†’ (๐‘šโ†‘2) = (๐‘›โ†‘2))
1312oveq2d 7427 . . . . . . . . 9 (๐‘š = ๐‘› โ†’ ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘šโ†‘2)) = ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘›โ†‘2)))
1413oveq2d 7427 . . . . . . . 8 (๐‘š = ๐‘› โ†’ (๐‘… ยท ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘šโ†‘2))) = (๐‘… ยท ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘›โ†‘2))))
15 oveq1 7418 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘š = ๐‘› โ†’ (๐‘š + 1) = (๐‘› + 1))
16 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘š = ๐‘› โ†’ ๐‘š = ๐‘›)
1715, 16oveq12d 7429 . . . . . . . . . . 11 (๐‘š = ๐‘› โ†’ ((๐‘š + 1) / ๐‘š) = ((๐‘› + 1) / ๐‘›))
1817fveq2d 6894 . . . . . . . . . 10 (๐‘š = ๐‘› โ†’ (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š)) = (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›)))
1918oveq2d 7427 . . . . . . . . 9 (๐‘š = ๐‘› โ†’ (๐‘… ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) = (๐‘… ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))))
20 oveq2 7419 . . . . . . . . . . 11 (๐‘š = ๐‘› โ†’ ((๐‘… + 1) ยท ๐‘š) = ((๐‘… + 1) ยท ๐‘›))
2120fveq2d 6894 . . . . . . . . . 10 (๐‘š = ๐‘› โ†’ (logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘š)) = (logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘›)))
2221oveq1d 7426 . . . . . . . . 9 (๐‘š = ๐‘› โ†’ ((logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘š)) + ฯ€) = ((logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘›)) + ฯ€))
2319, 22oveq12d 7429 . . . . . . . 8 (๐‘š = ๐‘› โ†’ ((๐‘… ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) + ((logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘š)) + ฯ€)) = ((๐‘… ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) + ((logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘›)) + ฯ€)))
2411, 14, 23ifbieq12d 4555 . . . . . . 7 (๐‘š = ๐‘› โ†’ if((2 ยท ๐‘…) โ‰ค ๐‘š, (๐‘… ยท ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘šโ†‘2))), ((๐‘… ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) + ((logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘š)) + ฯ€))) = if((2 ยท ๐‘…) โ‰ค ๐‘›, (๐‘… ยท ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘›โ†‘2))), ((๐‘… ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) + ((logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘›)) + ฯ€))))
25 lgamgulm.t . . . . . . 7 ๐‘‡ = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ if((2 ยท ๐‘…) โ‰ค ๐‘š, (๐‘… ยท ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘šโ†‘2))), ((๐‘… ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) + ((logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘š)) + ฯ€))))
26 ovex 7444 . . . . . . . 8 (๐‘… ยท ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘›โ†‘2))) โˆˆ V
27 ovex 7444 . . . . . . . 8 ((๐‘… ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) + ((logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘›)) + ฯ€)) โˆˆ V
2826, 27ifex 4577 . . . . . . 7 if((2 ยท ๐‘…) โ‰ค ๐‘›, (๐‘… ยท ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘›โ†‘2))), ((๐‘… ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) + ((logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘›)) + ฯ€))) โˆˆ V
2924, 25, 28fvmpt 6997 . . . . . 6 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘›) = if((2 ยท ๐‘…) โ‰ค ๐‘›, (๐‘… ยท ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘›โ†‘2))), ((๐‘… ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) + ((logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘›)) + ฯ€))))
3010, 29syl 17 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(2 ยท ๐‘…))) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘›) = if((2 ยท ๐‘…) โ‰ค ๐‘›, (๐‘… ยท ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘›โ†‘2))), ((๐‘… ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) + ((logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘›)) + ฯ€))))
31 eqid 2730 . . . . . . 7 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘… ยท ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘šโ†‘2)))) = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘… ยท ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘šโ†‘2))))
3214, 31, 26fvmpt 6997 . . . . . 6 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘… ยท ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘šโ†‘2))))โ€˜๐‘›) = (๐‘… ยท ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘›โ†‘2))))
3310, 32syl 17 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(2 ยท ๐‘…))) โ†’ ((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘… ยท ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘šโ†‘2))))โ€˜๐‘›) = (๐‘… ยท ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘›โ†‘2))))
348, 30, 333eqtr4d 2780 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(2 ยท ๐‘…))) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘›) = ((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘… ยท ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘šโ†‘2))))โ€˜๐‘›))
355, 34seqfeq 13997 . . 3 (๐œ‘ โ†’ seq(2 ยท ๐‘…)( + , ๐‘‡) = seq(2 ยท ๐‘…)( + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘… ยท ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘šโ†‘2))))))
36 nnuz 12869 . . . . . 6 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
37 1zzd 12597 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
383nncnd 12232 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„‚)
39 2cnd 12294 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
40 1cnd 11213 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
4138, 40addcld 11237 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… + 1) โˆˆ โ„‚)
4239, 41mulcld 11238 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท (๐‘… + 1)) โˆˆ โ„‚)
4338, 42mulcld 11238 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… ยท (2 ยท (๐‘… + 1))) โˆˆ โ„‚)
44 1lt2 12387 . . . . . . . . . 10 1 < 2
45 2re 12290 . . . . . . . . . . 11 2 โˆˆ โ„
46 rere 15073 . . . . . . . . . . 11 (2 โˆˆ โ„ โ†’ (โ„œโ€˜2) = 2)
4745, 46ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (โ„œโ€˜2) = 2
4844, 47breqtrri 5174 . . . . . . . . 9 1 < (โ„œโ€˜2)
4948a1i 11 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 1 < (โ„œโ€˜2))
50 oveq1 7418 . . . . . . . . . 10 (๐‘š = ๐‘› โ†’ (๐‘šโ†‘๐‘-2) = (๐‘›โ†‘๐‘-2))
51 eqid 2730 . . . . . . . . . 10 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘šโ†‘๐‘-2)) = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘šโ†‘๐‘-2))
52 ovex 7444 . . . . . . . . . 10 (๐‘›โ†‘๐‘-2) โˆˆ V
5350, 51, 52fvmpt 6997 . . . . . . . . 9 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘šโ†‘๐‘-2))โ€˜๐‘›) = (๐‘›โ†‘๐‘-2))
5453adantl 480 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘šโ†‘๐‘-2))โ€˜๐‘›) = (๐‘›โ†‘๐‘-2))
5539, 49, 54zetacvg 26755 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ seq1( + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘šโ†‘๐‘-2))) โˆˆ dom โ‡ )
56 climdm 15502 . . . . . . 7 (seq1( + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘šโ†‘๐‘-2))) โˆˆ dom โ‡ โ†” seq1( + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘šโ†‘๐‘-2))) โ‡ ( โ‡ โ€˜seq1( + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘šโ†‘๐‘-2)))))
5755, 56sylib 217 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ seq1( + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘šโ†‘๐‘-2))) โ‡ ( โ‡ โ€˜seq1( + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘šโ†‘๐‘-2)))))
58 simpr 483 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
5958nncnd 12232 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„‚)
60 2cnd 12294 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
6160negcld 11562 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ -2 โˆˆ โ„‚)
6259, 61cxpcld 26452 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘›โ†‘๐‘-2) โˆˆ โ„‚)
6354, 62eqeltrd 2831 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘šโ†‘๐‘-2))โ€˜๐‘›) โˆˆ โ„‚)
6438adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„‚)
65 1cnd 11213 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
6664, 65addcld 11237 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘… + 1) โˆˆ โ„‚)
6760, 66mulcld 11238 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (2 ยท (๐‘… + 1)) โˆˆ โ„‚)
6864, 67mulcld 11238 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘… ยท (2 ยท (๐‘… + 1))) โˆˆ โ„‚)
6959sqcld 14113 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘›โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
7058nnne0d 12266 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘› โ‰  0)
71 2z 12598 . . . . . . . . . . 11 2 โˆˆ โ„ค
7271a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ 2 โˆˆ โ„ค)
7359, 70, 72expne0d 14121 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘›โ†‘2) โ‰  0)
7468, 69, 73divrecd 11997 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘… ยท (2 ยท (๐‘… + 1))) / (๐‘›โ†‘2)) = ((๐‘… ยท (2 ยท (๐‘… + 1))) ยท (1 / (๐‘›โ†‘2))))
7564, 67, 69, 73divassd 12029 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘… ยท (2 ยท (๐‘… + 1))) / (๐‘›โ†‘2)) = (๐‘… ยท ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘›โ†‘2))))
7659, 70, 60cxpnegd 26459 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘›โ†‘๐‘-2) = (1 / (๐‘›โ†‘๐‘2)))
7759, 70, 72cxpexpzd 26455 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘›โ†‘๐‘2) = (๐‘›โ†‘2))
7877oveq2d 7427 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (1 / (๐‘›โ†‘๐‘2)) = (1 / (๐‘›โ†‘2)))
7976, 78eqtr2d 2771 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (1 / (๐‘›โ†‘2)) = (๐‘›โ†‘๐‘-2))
8079oveq2d 7427 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘… ยท (2 ยท (๐‘… + 1))) ยท (1 / (๐‘›โ†‘2))) = ((๐‘… ยท (2 ยท (๐‘… + 1))) ยท (๐‘›โ†‘๐‘-2)))
8174, 75, 803eqtr3d 2778 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘… ยท ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘›โ†‘2))) = ((๐‘… ยท (2 ยท (๐‘… + 1))) ยท (๐‘›โ†‘๐‘-2)))
8232adantl 480 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘… ยท ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘šโ†‘2))))โ€˜๐‘›) = (๐‘… ยท ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘›โ†‘2))))
8354oveq2d 7427 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘… ยท (2 ยท (๐‘… + 1))) ยท ((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘šโ†‘๐‘-2))โ€˜๐‘›)) = ((๐‘… ยท (2 ยท (๐‘… + 1))) ยท (๐‘›โ†‘๐‘-2)))
8481, 82, 833eqtr4d 2780 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘… ยท ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘šโ†‘2))))โ€˜๐‘›) = ((๐‘… ยท (2 ยท (๐‘… + 1))) ยท ((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘šโ†‘๐‘-2))โ€˜๐‘›)))
8536, 37, 43, 57, 63, 84isermulc2 15608 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ seq1( + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘… ยท ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘šโ†‘2))))) โ‡ ((๐‘… ยท (2 ยท (๐‘… + 1))) ยท ( โ‡ โ€˜seq1( + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘šโ†‘๐‘-2))))))
86 climrel 15440 . . . . . 6 Rel โ‡
8786releldmi 5946 . . . . 5 (seq1( + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘… ยท ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘šโ†‘2))))) โ‡ ((๐‘… ยท (2 ยท (๐‘… + 1))) ยท ( โ‡ โ€˜seq1( + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘šโ†‘๐‘-2))))) โ†’ seq1( + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘… ยท ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘šโ†‘2))))) โˆˆ dom โ‡ )
8885, 87syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ seq1( + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘… ยท ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘šโ†‘2))))) โˆˆ dom โ‡ )
8967, 69, 73divcld 11994 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘›โ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
9064, 89mulcld 11238 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘… ยท ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘›โ†‘2))) โˆˆ โ„‚)
9182, 90eqeltrd 2831 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘… ยท ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘šโ†‘2))))โ€˜๐‘›) โˆˆ โ„‚)
9236, 4, 91iserex 15607 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (seq1( + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘… ยท ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘šโ†‘2))))) โˆˆ dom โ‡ โ†” seq(2 ยท ๐‘…)( + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘… ยท ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘šโ†‘2))))) โˆˆ dom โ‡ ))
9388, 92mpbid 231 . . 3 (๐œ‘ โ†’ seq(2 ยท ๐‘…)( + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘… ยท ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘šโ†‘2))))) โˆˆ dom โ‡ )
9435, 93eqeltrd 2831 . 2 (๐œ‘ โ†’ seq(2 ยท ๐‘…)( + , ๐‘‡) โˆˆ dom โ‡ )
9529adantl 480 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘›) = if((2 ยท ๐‘…) โ‰ค ๐‘›, (๐‘… ยท ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘›โ†‘2))), ((๐‘… ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) + ((logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘›)) + ฯ€))))
963adantr 479 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„•)
9796nnred 12231 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„)
9845a1i 11 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ 2 โˆˆ โ„)
99 1red 11219 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
10097, 99readdcld 11247 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘… + 1) โˆˆ โ„)
10198, 100remulcld 11248 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (2 ยท (๐‘… + 1)) โˆˆ โ„)
10258nnsqcld 14211 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘›โ†‘2) โˆˆ โ„•)
103101, 102nndivred 12270 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘›โ†‘2)) โˆˆ โ„)
10497, 103remulcld 11248 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘… ยท ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘›โ†‘2))) โˆˆ โ„)
10558peano2nnd 12233 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘› + 1) โˆˆ โ„•)
106105nnrpd 13018 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘› + 1) โˆˆ โ„+)
10758nnrpd 13018 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„+)
108106, 107rpdivcld 13037 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘› + 1) / ๐‘›) โˆˆ โ„+)
109108relogcld 26367 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›)) โˆˆ โ„)
11097, 109remulcld 11248 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘… ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) โˆˆ โ„)
11196peano2nnd 12233 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘… + 1) โˆˆ โ„•)
112111nnrpd 13018 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘… + 1) โˆˆ โ„+)
113112, 107rpmulcld 13036 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘… + 1) ยท ๐‘›) โˆˆ โ„+)
114113relogcld 26367 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘›)) โˆˆ โ„)
115 pire 26204 . . . . . . . . 9 ฯ€ โˆˆ โ„
116115a1i 11 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ฯ€ โˆˆ โ„)
117114, 116readdcld 11247 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ((logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘›)) + ฯ€) โˆˆ โ„)
118110, 117readdcld 11247 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘… ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) + ((logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘›)) + ฯ€)) โˆˆ โ„)
119104, 118ifcld 4573 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ if((2 ยท ๐‘…) โ‰ค ๐‘›, (๐‘… ยท ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘›โ†‘2))), ((๐‘… ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) + ((logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘›)) + ฯ€))) โˆˆ โ„)
12095, 119eqeltrd 2831 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘›) โˆˆ โ„)
121120recnd 11246 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘›) โˆˆ โ„‚)
12236, 4, 121iserex 15607 . 2 (๐œ‘ โ†’ (seq1( + , ๐‘‡) โˆˆ dom โ‡ โ†” seq(2 ยท ๐‘…)( + , ๐‘‡) โˆˆ dom โ‡ ))
12394, 122mpbird 256 1 (๐œ‘ โ†’ seq1( + , ๐‘‡) โˆˆ dom โ‡ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104  โˆ€wral 3059  {crab 3430  ifcif 4527   class class class wbr 5147   โ†ฆ cmpt 5230  dom cdm 5675  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   < clt 11252   โ‰ค cle 11253   โˆ’ cmin 11448  -cneg 11449   / cdiv 11875  โ„•cn 12216  2c2 12271  โ„•0cn0 12476  โ„คcz 12562  โ„คโ‰ฅcuz 12826  seqcseq 13970  โ†‘cexp 14031  โ„œcre 15048  abscabs 15185   โ‡ cli 15432  ฯ€cpi 16014  logclog 26299  โ†‘๐‘ccxp 26300
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-ioc 13333  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-fac 14238  df-bc 14267  df-hash 14295  df-shft 15018  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-limsup 15419  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-ef 16015  df-sin 16017  df-cos 16018  df-pi 16020  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-topgen 17393  df-pt 17394  df-prds 17397  df-xrs 17452  df-qtop 17457  df-imas 17458  df-xps 17460  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-mulg 18987  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-fbas 21141  df-fg 21142  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cld 22743  df-ntr 22744  df-cls 22745  df-nei 22822  df-lp 22860  df-perf 22861  df-cn 22951  df-cnp 22952  df-haus 23039  df-tx 23286  df-hmeo 23479  df-fil 23570  df-fm 23662  df-flim 23663  df-flf 23664  df-xms 24046  df-ms 24047  df-tms 24048  df-cncf 24618  df-limc 25615  df-dv 25616  df-log 26301  df-cxp 26302
This theorem is referenced by:  lgamgulmlem6  26774
  Copyright terms: Public domain W3C validator