MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgamgulmlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgamgulmlem4 25601
Description: Lemma for lgamgulm 25604. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lgamgulm.r (𝜑𝑅 ∈ ℕ)
lgamgulm.u 𝑈 = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))}
lgamgulm.g 𝐺 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))))
lgamgulm.t 𝑇 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ if((2 · 𝑅) ≤ 𝑚, (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑚↑2))), ((𝑅 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) + ((log‘((𝑅 + 1) · 𝑚)) + π))))
Assertion
Ref Expression
lgamgulmlem4 (𝜑 → seq1( + , 𝑇) ∈ dom ⇝ )
Distinct variable groups:   𝑘,𝑚,𝑥,𝑧,𝑅   𝑈,𝑚,𝑧   𝜑,𝑚,𝑥,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝑇(𝑥,𝑧,𝑘,𝑚)   𝑈(𝑥,𝑘)   𝐺(𝑥,𝑧,𝑘,𝑚)

Proof of Theorem lgamgulmlem4
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2nn 11702 . . . . . . 7 2 ∈ ℕ
21a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
3 lgamgulm.r . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ ℕ)
42, 3nnmulcld 11682 . . . . 5 (𝜑 → (2 · 𝑅) ∈ ℕ)
54nnzd 12078 . . . 4 (𝜑 → (2 · 𝑅) ∈ ℤ)
6 eluzle 12248 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑅)) → (2 · 𝑅) ≤ 𝑛)
76adantl 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑅))) → (2 · 𝑅) ≤ 𝑛)
87iftrued 4473 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑅))) → if((2 · 𝑅) ≤ 𝑛, (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑛↑2))), ((𝑅 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) + ((log‘((𝑅 + 1) · 𝑛)) + π))) = (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑛↑2))))
9 eluznn 12310 . . . . . . 7 (((2 · 𝑅) ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑅))) → 𝑛 ∈ ℕ)
104, 9sylan 582 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑅))) → 𝑛 ∈ ℕ)
11 breq2 5061 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑛 → ((2 · 𝑅) ≤ 𝑚 ↔ (2 · 𝑅) ≤ 𝑛))
12 oveq1 7155 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑛 → (𝑚↑2) = (𝑛↑2))
1312oveq2d 7164 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑛 → ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑚↑2)) = ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑛↑2)))
1413oveq2d 7164 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑛 → (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑚↑2))) = (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑛↑2))))
15 oveq1 7155 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = 𝑛 → (𝑚 + 1) = (𝑛 + 1))
16 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = 𝑛𝑚 = 𝑛)
1715, 16oveq12d 7166 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑛 → ((𝑚 + 1) / 𝑚) = ((𝑛 + 1) / 𝑛))
1817fveq2d 6667 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑛 → (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚)) = (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛)))
1918oveq2d 7164 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑛 → (𝑅 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) = (𝑅 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))))
20 oveq2 7156 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑛 → ((𝑅 + 1) · 𝑚) = ((𝑅 + 1) · 𝑛))
2120fveq2d 6667 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑛 → (log‘((𝑅 + 1) · 𝑚)) = (log‘((𝑅 + 1) · 𝑛)))
2221oveq1d 7163 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑛 → ((log‘((𝑅 + 1) · 𝑚)) + π) = ((log‘((𝑅 + 1) · 𝑛)) + π))
2319, 22oveq12d 7166 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑛 → ((𝑅 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) + ((log‘((𝑅 + 1) · 𝑚)) + π)) = ((𝑅 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) + ((log‘((𝑅 + 1) · 𝑛)) + π)))
2411, 14, 23ifbieq12d 4492 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑛 → if((2 · 𝑅) ≤ 𝑚, (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑚↑2))), ((𝑅 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) + ((log‘((𝑅 + 1) · 𝑚)) + π))) = if((2 · 𝑅) ≤ 𝑛, (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑛↑2))), ((𝑅 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) + ((log‘((𝑅 + 1) · 𝑛)) + π))))
25 lgamgulm.t . . . . . . 7 𝑇 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ if((2 · 𝑅) ≤ 𝑚, (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑚↑2))), ((𝑅 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) + ((log‘((𝑅 + 1) · 𝑚)) + π))))
26 ovex 7181 . . . . . . . 8 (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑛↑2))) ∈ V
27 ovex 7181 . . . . . . . 8 ((𝑅 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) + ((log‘((𝑅 + 1) · 𝑛)) + π)) ∈ V
2826, 27ifex 4513 . . . . . . 7 if((2 · 𝑅) ≤ 𝑛, (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑛↑2))), ((𝑅 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) + ((log‘((𝑅 + 1) · 𝑛)) + π))) ∈ V
2924, 25, 28fvmpt 6761 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑇𝑛) = if((2 · 𝑅) ≤ 𝑛, (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑛↑2))), ((𝑅 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) + ((log‘((𝑅 + 1) · 𝑛)) + π))))
3010, 29syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑅))) → (𝑇𝑛) = if((2 · 𝑅) ≤ 𝑛, (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑛↑2))), ((𝑅 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) + ((log‘((𝑅 + 1) · 𝑛)) + π))))
31 eqid 2819 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑚↑2)))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑚↑2))))
3214, 31, 26fvmpt 6761 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑚↑2))))‘𝑛) = (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑛↑2))))
3310, 32syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑅))) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑚↑2))))‘𝑛) = (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑛↑2))))
348, 30, 333eqtr4d 2864 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑅))) → (𝑇𝑛) = ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑚↑2))))‘𝑛))
355, 34seqfeq 13387 . . 3 (𝜑 → seq(2 · 𝑅)( + , 𝑇) = seq(2 · 𝑅)( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑚↑2))))))
36 nnuz 12273 . . . . . 6 ℕ = (ℤ‘1)
37 1zzd 12005 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
383nncnd 11646 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ ℂ)
39 2cnd 11707 . . . . . . . 8 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
40 1cnd 10628 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
4138, 40addcld 10652 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑅 + 1) ∈ ℂ)
4239, 41mulcld 10653 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · (𝑅 + 1)) ∈ ℂ)
4338, 42mulcld 10653 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑅 · (2 · (𝑅 + 1))) ∈ ℂ)
44 1lt2 11800 . . . . . . . . . 10 1 < 2
45 2re 11703 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ
46 rere 14473 . . . . . . . . . . 11 (2 ∈ ℝ → (ℜ‘2) = 2)
4745, 46ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (ℜ‘2) = 2
4844, 47breqtrri 5084 . . . . . . . . 9 1 < (ℜ‘2)
4948a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 < (ℜ‘2))
50 oveq1 7155 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑛 → (𝑚𝑐-2) = (𝑛𝑐-2))
51 eqid 2819 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑚𝑐-2)) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑚𝑐-2))
52 ovex 7181 . . . . . . . . . 10 (𝑛𝑐-2) ∈ V
5350, 51, 52fvmpt 6761 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑚𝑐-2))‘𝑛) = (𝑛𝑐-2))
5453adantl 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑚𝑐-2))‘𝑛) = (𝑛𝑐-2))
5539, 49, 54zetacvg 25584 . . . . . . 7 (𝜑 → seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑚𝑐-2))) ∈ dom ⇝ )
56 climdm 14903 . . . . . . 7 (seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑚𝑐-2))) ∈ dom ⇝ ↔ seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑚𝑐-2))) ⇝ ( ⇝ ‘seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑚𝑐-2)))))
5755, 56sylib 220 . . . . . 6 (𝜑 → seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑚𝑐-2))) ⇝ ( ⇝ ‘seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑚𝑐-2)))))
58 simpr 487 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
5958nncnd 11646 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℂ)
60 2cnd 11707 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
6160negcld 10976 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → -2 ∈ ℂ)
6259, 61cxpcld 25283 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛𝑐-2) ∈ ℂ)
6354, 62eqeltrd 2911 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑚𝑐-2))‘𝑛) ∈ ℂ)
6438adantr 483 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ ℂ)
65 1cnd 10628 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
6664, 65addcld 10652 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑅 + 1) ∈ ℂ)
6760, 66mulcld 10653 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (2 · (𝑅 + 1)) ∈ ℂ)
6864, 67mulcld 10653 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑅 · (2 · (𝑅 + 1))) ∈ ℂ)
6959sqcld 13500 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛↑2) ∈ ℂ)
7058nnne0d 11679 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ≠ 0)
71 2z 12006 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℤ
7271a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℤ)
7359, 70, 72expne0d 13508 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛↑2) ≠ 0)
7468, 69, 73divrecd 11411 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑅 · (2 · (𝑅 + 1))) / (𝑛↑2)) = ((𝑅 · (2 · (𝑅 + 1))) · (1 / (𝑛↑2))))
7564, 67, 69, 73divassd 11443 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑅 · (2 · (𝑅 + 1))) / (𝑛↑2)) = (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑛↑2))))
7659, 70, 60cxpnegd 25290 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛𝑐-2) = (1 / (𝑛𝑐2)))
7759, 70, 72cxpexpzd 25286 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛𝑐2) = (𝑛↑2))
7877oveq2d 7164 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (1 / (𝑛𝑐2)) = (1 / (𝑛↑2)))
7976, 78eqtr2d 2855 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (1 / (𝑛↑2)) = (𝑛𝑐-2))
8079oveq2d 7164 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑅 · (2 · (𝑅 + 1))) · (1 / (𝑛↑2))) = ((𝑅 · (2 · (𝑅 + 1))) · (𝑛𝑐-2)))
8174, 75, 803eqtr3d 2862 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑛↑2))) = ((𝑅 · (2 · (𝑅 + 1))) · (𝑛𝑐-2)))
8232adantl 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑚↑2))))‘𝑛) = (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑛↑2))))
8354oveq2d 7164 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑅 · (2 · (𝑅 + 1))) · ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑚𝑐-2))‘𝑛)) = ((𝑅 · (2 · (𝑅 + 1))) · (𝑛𝑐-2)))
8481, 82, 833eqtr4d 2864 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑚↑2))))‘𝑛) = ((𝑅 · (2 · (𝑅 + 1))) · ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑚𝑐-2))‘𝑛)))
8536, 37, 43, 57, 63, 84isermulc2 15006 . . . . 5 (𝜑 → seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑚↑2))))) ⇝ ((𝑅 · (2 · (𝑅 + 1))) · ( ⇝ ‘seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑚𝑐-2))))))
86 climrel 14841 . . . . . 6 Rel ⇝
8786releldmi 5811 . . . . 5 (seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑚↑2))))) ⇝ ((𝑅 · (2 · (𝑅 + 1))) · ( ⇝ ‘seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑚𝑐-2))))) → seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑚↑2))))) ∈ dom ⇝ )
8885, 87syl 17 . . . 4 (𝜑 → seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑚↑2))))) ∈ dom ⇝ )
8967, 69, 73divcld 11408 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑛↑2)) ∈ ℂ)
9064, 89mulcld 10653 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑛↑2))) ∈ ℂ)
9182, 90eqeltrd 2911 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑚↑2))))‘𝑛) ∈ ℂ)
9236, 4, 91iserex 15005 . . . 4 (𝜑 → (seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑚↑2))))) ∈ dom ⇝ ↔ seq(2 · 𝑅)( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑚↑2))))) ∈ dom ⇝ ))
9388, 92mpbid 234 . . 3 (𝜑 → seq(2 · 𝑅)( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑚↑2))))) ∈ dom ⇝ )
9435, 93eqeltrd 2911 . 2 (𝜑 → seq(2 · 𝑅)( + , 𝑇) ∈ dom ⇝ )
9529adantl 484 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑇𝑛) = if((2 · 𝑅) ≤ 𝑛, (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑛↑2))), ((𝑅 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) + ((log‘((𝑅 + 1) · 𝑛)) + π))))
963adantr 483 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ ℕ)
9796nnred 11645 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ ℝ)
9845a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ)
99 1red 10634 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
10097, 99readdcld 10662 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑅 + 1) ∈ ℝ)
10198, 100remulcld 10663 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (2 · (𝑅 + 1)) ∈ ℝ)
10258nnsqcld 13597 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛↑2) ∈ ℕ)
103101, 102nndivred 11683 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑛↑2)) ∈ ℝ)
10497, 103remulcld 10663 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑛↑2))) ∈ ℝ)
10558peano2nnd 11647 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
106105nnrpd 12421 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 + 1) ∈ ℝ+)
10758nnrpd 12421 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℝ+)
108106, 107rpdivcld 12440 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑛 + 1) / 𝑛) ∈ ℝ+)
109108relogcld 25198 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛)) ∈ ℝ)
11097, 109remulcld 10663 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑅 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) ∈ ℝ)
11196peano2nnd 11647 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑅 + 1) ∈ ℕ)
112111nnrpd 12421 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑅 + 1) ∈ ℝ+)
113112, 107rpmulcld 12439 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑅 + 1) · 𝑛) ∈ ℝ+)
114113relogcld 25198 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (log‘((𝑅 + 1) · 𝑛)) ∈ ℝ)
115 pire 25036 . . . . . . . . 9 π ∈ ℝ
116115a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → π ∈ ℝ)
117114, 116readdcld 10662 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((log‘((𝑅 + 1) · 𝑛)) + π) ∈ ℝ)
118110, 117readdcld 10662 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑅 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) + ((log‘((𝑅 + 1) · 𝑛)) + π)) ∈ ℝ)
119104, 118ifcld 4510 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → if((2 · 𝑅) ≤ 𝑛, (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑛↑2))), ((𝑅 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) + ((log‘((𝑅 + 1) · 𝑛)) + π))) ∈ ℝ)
12095, 119eqeltrd 2911 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑇𝑛) ∈ ℝ)
121120recnd 10661 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑇𝑛) ∈ ℂ)
12236, 4, 121iserex 15005 . 2 (𝜑 → (seq1( + , 𝑇) ∈ dom ⇝ ↔ seq(2 · 𝑅)( + , 𝑇) ∈ dom ⇝ ))
12394, 122mpbird 259 1 (𝜑 → seq1( + , 𝑇) ∈ dom ⇝ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398   = wceq 1531  wcel 2108  wral 3136  {crab 3140  ifcif 4465   class class class wbr 5057  cmpt 5137  dom cdm 5548  cfv 6348  (class class class)co 7148  cc 10527  cr 10528  1c1 10530   + caddc 10532   · cmul 10534   < clt 10667  cle 10668  cmin 10862  -cneg 10863   / cdiv 11289  cn 11630  2c2 11684  0cn0 11889  cz 11973  cuz 12235  seqcseq 13361  cexp 13421  cre 14448  abscabs 14585  cli 14833  πcpi 15412  logclog 25130  𝑐ccxp 25131
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-inf2 9096  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-addf 10608  ax-mulf 10609
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-fal 1544  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-of 7401  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-supp 7823  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-2o 8095  df-oadd 8098  df-er 8281  df-map 8400  df-pm 8401  df-ixp 8454  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fsupp 8826  df-fi 8867  df-sup 8898  df-inf 8899  df-oi 8966  df-dju 9322  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-ioo 12734  df-ioc 12735  df-ico 12736  df-icc 12737  df-fz 12885  df-fzo 13026  df-fl 13154  df-mod 13230  df-seq 13362  df-exp 13422  df-fac 13626  df-bc 13655  df-hash 13683  df-shft 14418  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-limsup 14820  df-clim 14837  df-rlim 14838  df-sum 15035  df-ef 15413  df-sin 15415  df-cos 15416  df-pi 15418  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-hom 16581  df-cco 16582  df-rest 16688  df-topn 16689  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-topgen 16709  df-pt 16710  df-prds 16713  df-xrs 16767  df-qtop 16772  df-imas 16773  df-xps 16775  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-submnd 17949  df-mulg 18217  df-cntz 18439  df-cmn 18900  df-psmet 20529  df-xmet 20530  df-met 20531  df-bl 20532  df-mopn 20533  df-fbas 20534  df-fg 20535  df-cnfld 20538  df-top 21494  df-topon 21511  df-topsp 21533  df-bases 21546  df-cld 21619  df-ntr 21620  df-cls 21621  df-nei 21698  df-lp 21736  df-perf 21737  df-cn 21827  df-cnp 21828  df-haus 21915  df-tx 22162  df-hmeo 22355  df-fil 22446  df-fm 22538  df-flim 22539  df-flf 22540  df-xms 22922  df-ms 22923  df-tms 22924  df-cncf 23478  df-limc 24456  df-dv 24457  df-log 25132  df-cxp 25133
This theorem is referenced by:  lgamgulmlem6  25603
  Copyright terms: Public domain W3C validator