MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgamgulmlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgamgulmlem4 25761
Description: Lemma for lgamgulm 25764. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lgamgulm.r (𝜑𝑅 ∈ ℕ)
lgamgulm.u 𝑈 = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ((abs‘𝑥) ≤ 𝑅 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 (1 / 𝑅) ≤ (abs‘(𝑥 + 𝑘)))}
lgamgulm.g 𝐺 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑧𝑈 ↦ ((𝑧 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝑧 / 𝑚) + 1)))))
lgamgulm.t 𝑇 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ if((2 · 𝑅) ≤ 𝑚, (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑚↑2))), ((𝑅 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) + ((log‘((𝑅 + 1) · 𝑚)) + π))))
Assertion
Ref Expression
lgamgulmlem4 (𝜑 → seq1( + , 𝑇) ∈ dom ⇝ )
Distinct variable groups:   𝑘,𝑚,𝑥,𝑧,𝑅   𝑈,𝑚,𝑧   𝜑,𝑚,𝑥,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝑇(𝑥,𝑧,𝑘,𝑚)   𝑈(𝑥,𝑘)   𝐺(𝑥,𝑧,𝑘,𝑚)

Proof of Theorem lgamgulmlem4
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2nn 11782 . . . . . . 7 2 ∈ ℕ
21a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
3 lgamgulm.r . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ ℕ)
42, 3nnmulcld 11762 . . . . 5 (𝜑 → (2 · 𝑅) ∈ ℕ)
54nnzd 12160 . . . 4 (𝜑 → (2 · 𝑅) ∈ ℤ)
6 eluzle 12330 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑅)) → (2 · 𝑅) ≤ 𝑛)
76adantl 485 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑅))) → (2 · 𝑅) ≤ 𝑛)
87iftrued 4419 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑅))) → if((2 · 𝑅) ≤ 𝑛, (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑛↑2))), ((𝑅 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) + ((log‘((𝑅 + 1) · 𝑛)) + π))) = (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑛↑2))))
9 eluznn 12393 . . . . . . 7 (((2 · 𝑅) ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑅))) → 𝑛 ∈ ℕ)
104, 9sylan 583 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑅))) → 𝑛 ∈ ℕ)
11 breq2 5031 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑛 → ((2 · 𝑅) ≤ 𝑚 ↔ (2 · 𝑅) ≤ 𝑛))
12 oveq1 7171 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑛 → (𝑚↑2) = (𝑛↑2))
1312oveq2d 7180 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑛 → ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑚↑2)) = ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑛↑2)))
1413oveq2d 7180 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑛 → (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑚↑2))) = (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑛↑2))))
15 oveq1 7171 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = 𝑛 → (𝑚 + 1) = (𝑛 + 1))
16 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = 𝑛𝑚 = 𝑛)
1715, 16oveq12d 7182 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑛 → ((𝑚 + 1) / 𝑚) = ((𝑛 + 1) / 𝑛))
1817fveq2d 6672 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑛 → (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚)) = (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛)))
1918oveq2d 7180 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑛 → (𝑅 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) = (𝑅 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))))
20 oveq2 7172 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑛 → ((𝑅 + 1) · 𝑚) = ((𝑅 + 1) · 𝑛))
2120fveq2d 6672 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑛 → (log‘((𝑅 + 1) · 𝑚)) = (log‘((𝑅 + 1) · 𝑛)))
2221oveq1d 7179 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑛 → ((log‘((𝑅 + 1) · 𝑚)) + π) = ((log‘((𝑅 + 1) · 𝑛)) + π))
2319, 22oveq12d 7182 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑛 → ((𝑅 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) + ((log‘((𝑅 + 1) · 𝑚)) + π)) = ((𝑅 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) + ((log‘((𝑅 + 1) · 𝑛)) + π)))
2411, 14, 23ifbieq12d 4439 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑛 → if((2 · 𝑅) ≤ 𝑚, (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑚↑2))), ((𝑅 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) + ((log‘((𝑅 + 1) · 𝑚)) + π))) = if((2 · 𝑅) ≤ 𝑛, (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑛↑2))), ((𝑅 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) + ((log‘((𝑅 + 1) · 𝑛)) + π))))
25 lgamgulm.t . . . . . . 7 𝑇 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ if((2 · 𝑅) ≤ 𝑚, (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑚↑2))), ((𝑅 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) + ((log‘((𝑅 + 1) · 𝑚)) + π))))
26 ovex 7197 . . . . . . . 8 (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑛↑2))) ∈ V
27 ovex 7197 . . . . . . . 8 ((𝑅 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) + ((log‘((𝑅 + 1) · 𝑛)) + π)) ∈ V
2826, 27ifex 4461 . . . . . . 7 if((2 · 𝑅) ≤ 𝑛, (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑛↑2))), ((𝑅 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) + ((log‘((𝑅 + 1) · 𝑛)) + π))) ∈ V
2924, 25, 28fvmpt 6769 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑇𝑛) = if((2 · 𝑅) ≤ 𝑛, (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑛↑2))), ((𝑅 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) + ((log‘((𝑅 + 1) · 𝑛)) + π))))
3010, 29syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑅))) → (𝑇𝑛) = if((2 · 𝑅) ≤ 𝑛, (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑛↑2))), ((𝑅 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) + ((log‘((𝑅 + 1) · 𝑛)) + π))))
31 eqid 2738 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑚↑2)))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑚↑2))))
3214, 31, 26fvmpt 6769 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑚↑2))))‘𝑛) = (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑛↑2))))
3310, 32syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑅))) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑚↑2))))‘𝑛) = (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑛↑2))))
348, 30, 333eqtr4d 2783 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑅))) → (𝑇𝑛) = ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑚↑2))))‘𝑛))
355, 34seqfeq 13480 . . 3 (𝜑 → seq(2 · 𝑅)( + , 𝑇) = seq(2 · 𝑅)( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑚↑2))))))
36 nnuz 12356 . . . . . 6 ℕ = (ℤ‘1)
37 1zzd 12087 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
383nncnd 11725 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ ℂ)
39 2cnd 11787 . . . . . . . 8 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
40 1cnd 10707 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
4138, 40addcld 10731 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑅 + 1) ∈ ℂ)
4239, 41mulcld 10732 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · (𝑅 + 1)) ∈ ℂ)
4338, 42mulcld 10732 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑅 · (2 · (𝑅 + 1))) ∈ ℂ)
44 1lt2 11880 . . . . . . . . . 10 1 < 2
45 2re 11783 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ
46 rere 14564 . . . . . . . . . . 11 (2 ∈ ℝ → (ℜ‘2) = 2)
4745, 46ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (ℜ‘2) = 2
4844, 47breqtrri 5054 . . . . . . . . 9 1 < (ℜ‘2)
4948a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 < (ℜ‘2))
50 oveq1 7171 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = 𝑛 → (𝑚𝑐-2) = (𝑛𝑐-2))
51 eqid 2738 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑚𝑐-2)) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑚𝑐-2))
52 ovex 7197 . . . . . . . . . 10 (𝑛𝑐-2) ∈ V
5350, 51, 52fvmpt 6769 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑚𝑐-2))‘𝑛) = (𝑛𝑐-2))
5453adantl 485 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑚𝑐-2))‘𝑛) = (𝑛𝑐-2))
5539, 49, 54zetacvg 25744 . . . . . . 7 (𝜑 → seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑚𝑐-2))) ∈ dom ⇝ )
56 climdm 14994 . . . . . . 7 (seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑚𝑐-2))) ∈ dom ⇝ ↔ seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑚𝑐-2))) ⇝ ( ⇝ ‘seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑚𝑐-2)))))
5755, 56sylib 221 . . . . . 6 (𝜑 → seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑚𝑐-2))) ⇝ ( ⇝ ‘seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑚𝑐-2)))))
58 simpr 488 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
5958nncnd 11725 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℂ)
60 2cnd 11787 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
6160negcld 11055 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → -2 ∈ ℂ)
6259, 61cxpcld 25443 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛𝑐-2) ∈ ℂ)
6354, 62eqeltrd 2833 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑚𝑐-2))‘𝑛) ∈ ℂ)
6438adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ ℂ)
65 1cnd 10707 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
6664, 65addcld 10731 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑅 + 1) ∈ ℂ)
6760, 66mulcld 10732 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (2 · (𝑅 + 1)) ∈ ℂ)
6864, 67mulcld 10732 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑅 · (2 · (𝑅 + 1))) ∈ ℂ)
6959sqcld 13593 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛↑2) ∈ ℂ)
7058nnne0d 11759 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ≠ 0)
71 2z 12088 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℤ
7271a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℤ)
7359, 70, 72expne0d 13601 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛↑2) ≠ 0)
7468, 69, 73divrecd 11490 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑅 · (2 · (𝑅 + 1))) / (𝑛↑2)) = ((𝑅 · (2 · (𝑅 + 1))) · (1 / (𝑛↑2))))
7564, 67, 69, 73divassd 11522 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑅 · (2 · (𝑅 + 1))) / (𝑛↑2)) = (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑛↑2))))
7659, 70, 60cxpnegd 25450 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛𝑐-2) = (1 / (𝑛𝑐2)))
7759, 70, 72cxpexpzd 25446 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛𝑐2) = (𝑛↑2))
7877oveq2d 7180 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (1 / (𝑛𝑐2)) = (1 / (𝑛↑2)))
7976, 78eqtr2d 2774 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (1 / (𝑛↑2)) = (𝑛𝑐-2))
8079oveq2d 7180 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑅 · (2 · (𝑅 + 1))) · (1 / (𝑛↑2))) = ((𝑅 · (2 · (𝑅 + 1))) · (𝑛𝑐-2)))
8174, 75, 803eqtr3d 2781 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑛↑2))) = ((𝑅 · (2 · (𝑅 + 1))) · (𝑛𝑐-2)))
8232adantl 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑚↑2))))‘𝑛) = (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑛↑2))))
8354oveq2d 7180 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑅 · (2 · (𝑅 + 1))) · ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑚𝑐-2))‘𝑛)) = ((𝑅 · (2 · (𝑅 + 1))) · (𝑛𝑐-2)))
8481, 82, 833eqtr4d 2783 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑚↑2))))‘𝑛) = ((𝑅 · (2 · (𝑅 + 1))) · ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑚𝑐-2))‘𝑛)))
8536, 37, 43, 57, 63, 84isermulc2 15100 . . . . 5 (𝜑 → seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑚↑2))))) ⇝ ((𝑅 · (2 · (𝑅 + 1))) · ( ⇝ ‘seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑚𝑐-2))))))
86 climrel 14932 . . . . . 6 Rel ⇝
8786releldmi 5785 . . . . 5 (seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑚↑2))))) ⇝ ((𝑅 · (2 · (𝑅 + 1))) · ( ⇝ ‘seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑚𝑐-2))))) → seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑚↑2))))) ∈ dom ⇝ )
8885, 87syl 17 . . . 4 (𝜑 → seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑚↑2))))) ∈ dom ⇝ )
8967, 69, 73divcld 11487 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑛↑2)) ∈ ℂ)
9064, 89mulcld 10732 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑛↑2))) ∈ ℂ)
9182, 90eqeltrd 2833 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑚↑2))))‘𝑛) ∈ ℂ)
9236, 4, 91iserex 15099 . . . 4 (𝜑 → (seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑚↑2))))) ∈ dom ⇝ ↔ seq(2 · 𝑅)( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑚↑2))))) ∈ dom ⇝ ))
9388, 92mpbid 235 . . 3 (𝜑 → seq(2 · 𝑅)( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑚↑2))))) ∈ dom ⇝ )
9435, 93eqeltrd 2833 . 2 (𝜑 → seq(2 · 𝑅)( + , 𝑇) ∈ dom ⇝ )
9529adantl 485 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑇𝑛) = if((2 · 𝑅) ≤ 𝑛, (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑛↑2))), ((𝑅 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) + ((log‘((𝑅 + 1) · 𝑛)) + π))))
963adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ ℕ)
9796nnred 11724 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑅 ∈ ℝ)
9845a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ)
99 1red 10713 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℝ)
10097, 99readdcld 10741 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑅 + 1) ∈ ℝ)
10198, 100remulcld 10742 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (2 · (𝑅 + 1)) ∈ ℝ)
10258nnsqcld 13690 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛↑2) ∈ ℕ)
103101, 102nndivred 11763 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑛↑2)) ∈ ℝ)
10497, 103remulcld 10742 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑛↑2))) ∈ ℝ)
10558peano2nnd 11726 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
106105nnrpd 12505 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 + 1) ∈ ℝ+)
10758nnrpd 12505 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℝ+)
108106, 107rpdivcld 12524 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑛 + 1) / 𝑛) ∈ ℝ+)
109108relogcld 25358 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛)) ∈ ℝ)
11097, 109remulcld 10742 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑅 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) ∈ ℝ)
11196peano2nnd 11726 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑅 + 1) ∈ ℕ)
112111nnrpd 12505 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑅 + 1) ∈ ℝ+)
113112, 107rpmulcld 12523 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑅 + 1) · 𝑛) ∈ ℝ+)
114113relogcld 25358 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (log‘((𝑅 + 1) · 𝑛)) ∈ ℝ)
115 pire 25195 . . . . . . . . 9 π ∈ ℝ
116115a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → π ∈ ℝ)
117114, 116readdcld 10741 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((log‘((𝑅 + 1) · 𝑛)) + π) ∈ ℝ)
118110, 117readdcld 10741 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑅 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) + ((log‘((𝑅 + 1) · 𝑛)) + π)) ∈ ℝ)
119104, 118ifcld 4457 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → if((2 · 𝑅) ≤ 𝑛, (𝑅 · ((2 · (𝑅 + 1)) / (𝑛↑2))), ((𝑅 · (log‘((𝑛 + 1) / 𝑛))) + ((log‘((𝑅 + 1) · 𝑛)) + π))) ∈ ℝ)
12095, 119eqeltrd 2833 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑇𝑛) ∈ ℝ)
121120recnd 10740 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑇𝑛) ∈ ℂ)
12236, 4, 121iserex 15099 . 2 (𝜑 → (seq1( + , 𝑇) ∈ dom ⇝ ↔ seq(2 · 𝑅)( + , 𝑇) ∈ dom ⇝ ))
12394, 122mpbird 260 1 (𝜑 → seq1( + , 𝑇) ∈ dom ⇝ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1542  wcel 2113  wral 3053  {crab 3057  ifcif 4411   class class class wbr 5027  cmpt 5107  dom cdm 5519  cfv 6333  (class class class)co 7164  cc 10606  cr 10607  1c1 10609   + caddc 10611   · cmul 10613   < clt 10746  cle 10747  cmin 10941  -cneg 10942   / cdiv 11368  cn 11709  2c2 11764  0cn0 11969  cz 12055  cuz 12317  seqcseq 13453  cexp 13514  cre 14539  abscabs 14676  cli 14924  πcpi 15505  logclog 25290  𝑐ccxp 25291
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5151  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-inf2 9170  ax-cnex 10664  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684  ax-pre-mulgt0 10685  ax-pre-sup 10686  ax-addf 10687  ax-mulf 10688
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-pss 3860  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-tp 4518  df-op 4520  df-uni 4794  df-int 4834  df-iun 4880  df-iin 4881  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-tr 5134  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-isom 6342  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-of 7419  df-om 7594  df-1st 7707  df-2nd 7708  df-supp 7850  df-wrecs 7969  df-recs 8030  df-rdg 8068  df-1o 8124  df-2o 8125  df-oadd 8128  df-er 8313  df-map 8432  df-pm 8433  df-ixp 8501  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-fin 8552  df-fsupp 8900  df-fi 8941  df-sup 8972  df-inf 8973  df-oi 9040  df-dju 9396  df-card 9434  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-sub 10943  df-neg 10944  df-div 11369  df-nn 11710  df-2 11772  df-3 11773  df-4 11774  df-5 11775  df-6 11776  df-7 11777  df-8 11778  df-9 11779  df-n0 11970  df-z 12056  df-dec 12173  df-uz 12318  df-q 12424  df-rp 12466  df-xneg 12583  df-xadd 12584  df-xmul 12585  df-ioo 12818  df-ioc 12819  df-ico 12820  df-icc 12821  df-fz 12975  df-fzo 13118  df-fl 13246  df-mod 13322  df-seq 13454  df-exp 13515  df-fac 13719  df-bc 13748  df-hash 13776  df-shft 14509  df-cj 14541  df-re 14542  df-im 14543  df-sqrt 14677  df-abs 14678  df-limsup 14911  df-clim 14928  df-rlim 14929  df-sum 15129  df-ef 15506  df-sin 15508  df-cos 15509  df-pi 15511  df-struct 16581  df-ndx 16582  df-slot 16583  df-base 16585  df-sets 16586  df-ress 16587  df-plusg 16674  df-mulr 16675  df-starv 16676  df-sca 16677  df-vsca 16678  df-ip 16679  df-tset 16680  df-ple 16681  df-ds 16683  df-unif 16684  df-hom 16685  df-cco 16686  df-rest 16792  df-topn 16793  df-0g 16811  df-gsum 16812  df-topgen 16813  df-pt 16814  df-prds 16817  df-xrs 16871  df-qtop 16876  df-imas 16877  df-xps 16879  df-mre 16953  df-mrc 16954  df-acs 16956  df-mgm 17961  df-sgrp 18010  df-mnd 18021  df-submnd 18066  df-mulg 18336  df-cntz 18558  df-cmn 19019  df-psmet 20202  df-xmet 20203  df-met 20204  df-bl 20205  df-mopn 20206  df-fbas 20207  df-fg 20208  df-cnfld 20211  df-top 21638  df-topon 21655  df-topsp 21677  df-bases 21690  df-cld 21763  df-ntr 21764  df-cls 21765  df-nei 21842  df-lp 21880  df-perf 21881  df-cn 21971  df-cnp 21972  df-haus 22059  df-tx 22306  df-hmeo 22499  df-fil 22590  df-fm 22682  df-flim 22683  df-flf 22684  df-xms 23066  df-ms 23067  df-tms 23068  df-cncf 23623  df-limc 24610  df-dv 24611  df-log 25292  df-cxp 25293
This theorem is referenced by:  lgamgulmlem6  25763
  Copyright terms: Public domain W3C validator