MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgamgulmlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgamgulmlem4 26397
Description: Lemma for lgamgulm 26400. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lgamgulm.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„•)
lgamgulm.u ๐‘ˆ = {๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆฃ ((absโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค ๐‘… โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (1 / ๐‘…) โ‰ค (absโ€˜(๐‘ฅ + ๐‘˜)))}
lgamgulm.g ๐บ = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘ง โˆˆ ๐‘ˆ โ†ฆ ((๐‘ง ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) โˆ’ (logโ€˜((๐‘ง / ๐‘š) + 1)))))
lgamgulm.t ๐‘‡ = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ if((2 ยท ๐‘…) โ‰ค ๐‘š, (๐‘… ยท ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘šโ†‘2))), ((๐‘… ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) + ((logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘š)) + ฯ€))))
Assertion
Ref Expression
lgamgulmlem4 (๐œ‘ โ†’ seq1( + , ๐‘‡) โˆˆ dom โ‡ )
Distinct variable groups:   ๐‘˜,๐‘š,๐‘ฅ,๐‘ง,๐‘…   ๐‘ˆ,๐‘š,๐‘ง   ๐œ‘,๐‘š,๐‘ฅ,๐‘ง
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘˜)   ๐‘‡(๐‘ฅ,๐‘ง,๐‘˜,๐‘š)   ๐‘ˆ(๐‘ฅ,๐‘˜)   ๐บ(๐‘ฅ,๐‘ง,๐‘˜,๐‘š)

Proof of Theorem lgamgulmlem4
Dummy variable ๐‘› is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2nn 12231 . . . . . . 7 2 โˆˆ โ„•
21a1i 11 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„•)
3 lgamgulm.r . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„•)
42, 3nnmulcld 12211 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐‘…) โˆˆ โ„•)
54nnzd 12531 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ๐‘…) โˆˆ โ„ค)
6 eluzle 12781 . . . . . . 7 (๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(2 ยท ๐‘…)) โ†’ (2 ยท ๐‘…) โ‰ค ๐‘›)
76adantl 483 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(2 ยท ๐‘…))) โ†’ (2 ยท ๐‘…) โ‰ค ๐‘›)
87iftrued 4495 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(2 ยท ๐‘…))) โ†’ if((2 ยท ๐‘…) โ‰ค ๐‘›, (๐‘… ยท ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘›โ†‘2))), ((๐‘… ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) + ((logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘›)) + ฯ€))) = (๐‘… ยท ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘›โ†‘2))))
9 eluznn 12848 . . . . . . 7 (((2 ยท ๐‘…) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(2 ยท ๐‘…))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
104, 9sylan 581 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(2 ยท ๐‘…))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
11 breq2 5110 . . . . . . . 8 (๐‘š = ๐‘› โ†’ ((2 ยท ๐‘…) โ‰ค ๐‘š โ†” (2 ยท ๐‘…) โ‰ค ๐‘›))
12 oveq1 7365 . . . . . . . . . 10 (๐‘š = ๐‘› โ†’ (๐‘šโ†‘2) = (๐‘›โ†‘2))
1312oveq2d 7374 . . . . . . . . 9 (๐‘š = ๐‘› โ†’ ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘šโ†‘2)) = ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘›โ†‘2)))
1413oveq2d 7374 . . . . . . . 8 (๐‘š = ๐‘› โ†’ (๐‘… ยท ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘šโ†‘2))) = (๐‘… ยท ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘›โ†‘2))))
15 oveq1 7365 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘š = ๐‘› โ†’ (๐‘š + 1) = (๐‘› + 1))
16 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘š = ๐‘› โ†’ ๐‘š = ๐‘›)
1715, 16oveq12d 7376 . . . . . . . . . . 11 (๐‘š = ๐‘› โ†’ ((๐‘š + 1) / ๐‘š) = ((๐‘› + 1) / ๐‘›))
1817fveq2d 6847 . . . . . . . . . 10 (๐‘š = ๐‘› โ†’ (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š)) = (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›)))
1918oveq2d 7374 . . . . . . . . 9 (๐‘š = ๐‘› โ†’ (๐‘… ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) = (๐‘… ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))))
20 oveq2 7366 . . . . . . . . . . 11 (๐‘š = ๐‘› โ†’ ((๐‘… + 1) ยท ๐‘š) = ((๐‘… + 1) ยท ๐‘›))
2120fveq2d 6847 . . . . . . . . . 10 (๐‘š = ๐‘› โ†’ (logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘š)) = (logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘›)))
2221oveq1d 7373 . . . . . . . . 9 (๐‘š = ๐‘› โ†’ ((logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘š)) + ฯ€) = ((logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘›)) + ฯ€))
2319, 22oveq12d 7376 . . . . . . . 8 (๐‘š = ๐‘› โ†’ ((๐‘… ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) + ((logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘š)) + ฯ€)) = ((๐‘… ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) + ((logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘›)) + ฯ€)))
2411, 14, 23ifbieq12d 4515 . . . . . . 7 (๐‘š = ๐‘› โ†’ if((2 ยท ๐‘…) โ‰ค ๐‘š, (๐‘… ยท ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘šโ†‘2))), ((๐‘… ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) + ((logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘š)) + ฯ€))) = if((2 ยท ๐‘…) โ‰ค ๐‘›, (๐‘… ยท ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘›โ†‘2))), ((๐‘… ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) + ((logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘›)) + ฯ€))))
25 lgamgulm.t . . . . . . 7 ๐‘‡ = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ if((2 ยท ๐‘…) โ‰ค ๐‘š, (๐‘… ยท ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘šโ†‘2))), ((๐‘… ยท (logโ€˜((๐‘š + 1) / ๐‘š))) + ((logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘š)) + ฯ€))))
26 ovex 7391 . . . . . . . 8 (๐‘… ยท ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘›โ†‘2))) โˆˆ V
27 ovex 7391 . . . . . . . 8 ((๐‘… ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) + ((logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘›)) + ฯ€)) โˆˆ V
2826, 27ifex 4537 . . . . . . 7 if((2 ยท ๐‘…) โ‰ค ๐‘›, (๐‘… ยท ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘›โ†‘2))), ((๐‘… ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) + ((logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘›)) + ฯ€))) โˆˆ V
2924, 25, 28fvmpt 6949 . . . . . 6 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘›) = if((2 ยท ๐‘…) โ‰ค ๐‘›, (๐‘… ยท ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘›โ†‘2))), ((๐‘… ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) + ((logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘›)) + ฯ€))))
3010, 29syl 17 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(2 ยท ๐‘…))) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘›) = if((2 ยท ๐‘…) โ‰ค ๐‘›, (๐‘… ยท ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘›โ†‘2))), ((๐‘… ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) + ((logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘›)) + ฯ€))))
31 eqid 2733 . . . . . . 7 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘… ยท ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘šโ†‘2)))) = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘… ยท ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘šโ†‘2))))
3214, 31, 26fvmpt 6949 . . . . . 6 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘… ยท ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘šโ†‘2))))โ€˜๐‘›) = (๐‘… ยท ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘›โ†‘2))))
3310, 32syl 17 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(2 ยท ๐‘…))) โ†’ ((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘… ยท ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘šโ†‘2))))โ€˜๐‘›) = (๐‘… ยท ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘›โ†‘2))))
348, 30, 333eqtr4d 2783 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(2 ยท ๐‘…))) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘›) = ((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘… ยท ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘šโ†‘2))))โ€˜๐‘›))
355, 34seqfeq 13939 . . 3 (๐œ‘ โ†’ seq(2 ยท ๐‘…)( + , ๐‘‡) = seq(2 ยท ๐‘…)( + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘… ยท ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘šโ†‘2))))))
36 nnuz 12811 . . . . . 6 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
37 1zzd 12539 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
383nncnd 12174 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„‚)
39 2cnd 12236 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
40 1cnd 11155 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
4138, 40addcld 11179 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… + 1) โˆˆ โ„‚)
4239, 41mulcld 11180 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท (๐‘… + 1)) โˆˆ โ„‚)
4338, 42mulcld 11180 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… ยท (2 ยท (๐‘… + 1))) โˆˆ โ„‚)
44 1lt2 12329 . . . . . . . . . 10 1 < 2
45 2re 12232 . . . . . . . . . . 11 2 โˆˆ โ„
46 rere 15013 . . . . . . . . . . 11 (2 โˆˆ โ„ โ†’ (โ„œโ€˜2) = 2)
4745, 46ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (โ„œโ€˜2) = 2
4844, 47breqtrri 5133 . . . . . . . . 9 1 < (โ„œโ€˜2)
4948a1i 11 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 1 < (โ„œโ€˜2))
50 oveq1 7365 . . . . . . . . . 10 (๐‘š = ๐‘› โ†’ (๐‘šโ†‘๐‘-2) = (๐‘›โ†‘๐‘-2))
51 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘šโ†‘๐‘-2)) = (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘šโ†‘๐‘-2))
52 ovex 7391 . . . . . . . . . 10 (๐‘›โ†‘๐‘-2) โˆˆ V
5350, 51, 52fvmpt 6949 . . . . . . . . 9 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘šโ†‘๐‘-2))โ€˜๐‘›) = (๐‘›โ†‘๐‘-2))
5453adantl 483 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘šโ†‘๐‘-2))โ€˜๐‘›) = (๐‘›โ†‘๐‘-2))
5539, 49, 54zetacvg 26380 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ seq1( + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘šโ†‘๐‘-2))) โˆˆ dom โ‡ )
56 climdm 15442 . . . . . . 7 (seq1( + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘šโ†‘๐‘-2))) โˆˆ dom โ‡ โ†” seq1( + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘šโ†‘๐‘-2))) โ‡ ( โ‡ โ€˜seq1( + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘šโ†‘๐‘-2)))))
5755, 56sylib 217 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ seq1( + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘šโ†‘๐‘-2))) โ‡ ( โ‡ โ€˜seq1( + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘šโ†‘๐‘-2)))))
58 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
5958nncnd 12174 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„‚)
60 2cnd 12236 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
6160negcld 11504 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ -2 โˆˆ โ„‚)
6259, 61cxpcld 26079 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘›โ†‘๐‘-2) โˆˆ โ„‚)
6354, 62eqeltrd 2834 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘šโ†‘๐‘-2))โ€˜๐‘›) โˆˆ โ„‚)
6438adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„‚)
65 1cnd 11155 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
6664, 65addcld 11179 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘… + 1) โˆˆ โ„‚)
6760, 66mulcld 11180 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (2 ยท (๐‘… + 1)) โˆˆ โ„‚)
6864, 67mulcld 11180 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘… ยท (2 ยท (๐‘… + 1))) โˆˆ โ„‚)
6959sqcld 14055 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘›โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
7058nnne0d 12208 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘› โ‰  0)
71 2z 12540 . . . . . . . . . . 11 2 โˆˆ โ„ค
7271a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ 2 โˆˆ โ„ค)
7359, 70, 72expne0d 14063 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘›โ†‘2) โ‰  0)
7468, 69, 73divrecd 11939 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘… ยท (2 ยท (๐‘… + 1))) / (๐‘›โ†‘2)) = ((๐‘… ยท (2 ยท (๐‘… + 1))) ยท (1 / (๐‘›โ†‘2))))
7564, 67, 69, 73divassd 11971 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘… ยท (2 ยท (๐‘… + 1))) / (๐‘›โ†‘2)) = (๐‘… ยท ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘›โ†‘2))))
7659, 70, 60cxpnegd 26086 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘›โ†‘๐‘-2) = (1 / (๐‘›โ†‘๐‘2)))
7759, 70, 72cxpexpzd 26082 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘›โ†‘๐‘2) = (๐‘›โ†‘2))
7877oveq2d 7374 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (1 / (๐‘›โ†‘๐‘2)) = (1 / (๐‘›โ†‘2)))
7976, 78eqtr2d 2774 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (1 / (๐‘›โ†‘2)) = (๐‘›โ†‘๐‘-2))
8079oveq2d 7374 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘… ยท (2 ยท (๐‘… + 1))) ยท (1 / (๐‘›โ†‘2))) = ((๐‘… ยท (2 ยท (๐‘… + 1))) ยท (๐‘›โ†‘๐‘-2)))
8174, 75, 803eqtr3d 2781 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘… ยท ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘›โ†‘2))) = ((๐‘… ยท (2 ยท (๐‘… + 1))) ยท (๐‘›โ†‘๐‘-2)))
8232adantl 483 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘… ยท ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘šโ†‘2))))โ€˜๐‘›) = (๐‘… ยท ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘›โ†‘2))))
8354oveq2d 7374 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘… ยท (2 ยท (๐‘… + 1))) ยท ((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘šโ†‘๐‘-2))โ€˜๐‘›)) = ((๐‘… ยท (2 ยท (๐‘… + 1))) ยท (๐‘›โ†‘๐‘-2)))
8481, 82, 833eqtr4d 2783 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘… ยท ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘šโ†‘2))))โ€˜๐‘›) = ((๐‘… ยท (2 ยท (๐‘… + 1))) ยท ((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘šโ†‘๐‘-2))โ€˜๐‘›)))
8536, 37, 43, 57, 63, 84isermulc2 15548 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ seq1( + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘… ยท ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘šโ†‘2))))) โ‡ ((๐‘… ยท (2 ยท (๐‘… + 1))) ยท ( โ‡ โ€˜seq1( + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘šโ†‘๐‘-2))))))
86 climrel 15380 . . . . . 6 Rel โ‡
8786releldmi 5904 . . . . 5 (seq1( + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘… ยท ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘šโ†‘2))))) โ‡ ((๐‘… ยท (2 ยท (๐‘… + 1))) ยท ( โ‡ โ€˜seq1( + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘šโ†‘๐‘-2))))) โ†’ seq1( + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘… ยท ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘šโ†‘2))))) โˆˆ dom โ‡ )
8885, 87syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ seq1( + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘… ยท ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘šโ†‘2))))) โˆˆ dom โ‡ )
8967, 69, 73divcld 11936 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘›โ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
9064, 89mulcld 11180 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘… ยท ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘›โ†‘2))) โˆˆ โ„‚)
9182, 90eqeltrd 2834 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘… ยท ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘šโ†‘2))))โ€˜๐‘›) โˆˆ โ„‚)
9236, 4, 91iserex 15547 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (seq1( + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘… ยท ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘šโ†‘2))))) โˆˆ dom โ‡ โ†” seq(2 ยท ๐‘…)( + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘… ยท ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘šโ†‘2))))) โˆˆ dom โ‡ ))
9388, 92mpbid 231 . . 3 (๐œ‘ โ†’ seq(2 ยท ๐‘…)( + , (๐‘š โˆˆ โ„• โ†ฆ (๐‘… ยท ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘šโ†‘2))))) โˆˆ dom โ‡ )
9435, 93eqeltrd 2834 . 2 (๐œ‘ โ†’ seq(2 ยท ๐‘…)( + , ๐‘‡) โˆˆ dom โ‡ )
9529adantl 483 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘›) = if((2 ยท ๐‘…) โ‰ค ๐‘›, (๐‘… ยท ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘›โ†‘2))), ((๐‘… ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) + ((logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘›)) + ฯ€))))
963adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„•)
9796nnred 12173 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„)
9845a1i 11 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ 2 โˆˆ โ„)
99 1red 11161 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
10097, 99readdcld 11189 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘… + 1) โˆˆ โ„)
10198, 100remulcld 11190 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (2 ยท (๐‘… + 1)) โˆˆ โ„)
10258nnsqcld 14153 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘›โ†‘2) โˆˆ โ„•)
103101, 102nndivred 12212 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘›โ†‘2)) โˆˆ โ„)
10497, 103remulcld 11190 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘… ยท ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘›โ†‘2))) โˆˆ โ„)
10558peano2nnd 12175 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘› + 1) โˆˆ โ„•)
106105nnrpd 12960 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘› + 1) โˆˆ โ„+)
10758nnrpd 12960 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„+)
108106, 107rpdivcld 12979 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘› + 1) / ๐‘›) โˆˆ โ„+)
109108relogcld 25994 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›)) โˆˆ โ„)
11097, 109remulcld 11190 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘… ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) โˆˆ โ„)
11196peano2nnd 12175 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘… + 1) โˆˆ โ„•)
112111nnrpd 12960 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘… + 1) โˆˆ โ„+)
113112, 107rpmulcld 12978 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘… + 1) ยท ๐‘›) โˆˆ โ„+)
114113relogcld 25994 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘›)) โˆˆ โ„)
115 pire 25831 . . . . . . . . 9 ฯ€ โˆˆ โ„
116115a1i 11 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ฯ€ โˆˆ โ„)
117114, 116readdcld 11189 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ((logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘›)) + ฯ€) โˆˆ โ„)
118110, 117readdcld 11189 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘… ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) + ((logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘›)) + ฯ€)) โˆˆ โ„)
119104, 118ifcld 4533 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ if((2 ยท ๐‘…) โ‰ค ๐‘›, (๐‘… ยท ((2 ยท (๐‘… + 1)) / (๐‘›โ†‘2))), ((๐‘… ยท (logโ€˜((๐‘› + 1) / ๐‘›))) + ((logโ€˜((๐‘… + 1) ยท ๐‘›)) + ฯ€))) โˆˆ โ„)
12095, 119eqeltrd 2834 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘›) โˆˆ โ„)
121120recnd 11188 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘›) โˆˆ โ„‚)
12236, 4, 121iserex 15547 . 2 (๐œ‘ โ†’ (seq1( + , ๐‘‡) โˆˆ dom โ‡ โ†” seq(2 ยท ๐‘…)( + , ๐‘‡) โˆˆ dom โ‡ ))
12394, 122mpbird 257 1 (๐œ‘ โ†’ seq1( + , ๐‘‡) โˆˆ dom โ‡ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3061  {crab 3406  ifcif 4487   class class class wbr 5106   โ†ฆ cmpt 5189  dom cdm 5634  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11054  โ„cr 11055  1c1 11057   + caddc 11059   ยท cmul 11061   < clt 11194   โ‰ค cle 11195   โˆ’ cmin 11390  -cneg 11391   / cdiv 11817  โ„•cn 12158  2c2 12213  โ„•0cn0 12418  โ„คcz 12504  โ„คโ‰ฅcuz 12768  seqcseq 13912  โ†‘cexp 13973  โ„œcre 14988  abscabs 15125   โ‡ cli 15372  ฯ€cpi 15954  logclog 25926  โ†‘๐‘ccxp 25927
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134  ax-addf 11135  ax-mulf 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-oadd 8417  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-fi 9352  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-dju 9842  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-q 12879  df-rp 12921  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13274  df-ioc 13275  df-ico 13276  df-icc 13277  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-fl 13703  df-mod 13781  df-seq 13913  df-exp 13974  df-fac 14180  df-bc 14209  df-hash 14237  df-shft 14958  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-limsup 15359  df-clim 15376  df-rlim 15377  df-sum 15577  df-ef 15955  df-sin 15957  df-cos 15958  df-pi 15960  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-starv 17153  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-unif 17161  df-hom 17162  df-cco 17163  df-rest 17309  df-topn 17310  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-topgen 17330  df-pt 17331  df-prds 17334  df-xrs 17389  df-qtop 17394  df-imas 17395  df-xps 17397  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-acs 17474  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-submnd 18607  df-mulg 18878  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-limc 25246  df-dv 25247  df-log 25928  df-cxp 25929
This theorem is referenced by:  lgamgulmlem6  26399
  Copyright terms: Public domain W3C validator