Theorem pceq0 16949

Description: There are zero powers of a prime 𝑃 in 𝑁 iff 𝑃 does not divide 𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pceq0	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑃 pCnt 𝑁) = 0 ↔ ¬ 𝑃 ∥ 𝑁))

Proof of Theorem pceq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pcelnn 16948	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ ↔ 𝑃 ∥ 𝑁))
2		pccl 16927	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0)
3		nnne0 12281	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ → (𝑃 pCnt 𝑁) ≠ 0)
4		elnn0 12517	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ ∨ (𝑃 pCnt 𝑁) = 0))
5	4	biimpi 219	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0 → ((𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ ∨ (𝑃 pCnt 𝑁) = 0))
6	5	ord 878	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0 → (¬ (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ → (𝑃 pCnt 𝑁) = 0))
7	6	necon1ad 2977	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0 → ((𝑃 pCnt 𝑁) ≠ 0 → (𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ))
8	3, 7	impbid2 229	. . . 4 ⊢ ((𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ0 → ((𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ ↔ (𝑃 pCnt 𝑁) ≠ 0))
9	2, 8	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑃 pCnt 𝑁) ∈ ℕ ↔ (𝑃 pCnt 𝑁) ≠ 0))
10	1, 9	bitr3d 284	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑃 ∥ 𝑁 ↔ (𝑃 pCnt 𝑁) ≠ 0))
11	10	necon2bbid 3003	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑃 pCnt 𝑁) = 0 ↔ ¬ 𝑃 ∥ 𝑁))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960   class class class wbr 5111  (class class class)co 7416  0cc0 11111  ℕcn 12244  ℕ₀cn0 12515   ∥ cdvds 16328  ℙcprime 16747   pCnt cpc 16914

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188  ax-pre-sup 11189

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9405  df-inf 9406  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-div 11883  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-n0 12516  df-z 12603  df-uz 12875  df-q 12985  df-rp 13029  df-fl 13839  df-mod 13917  df-seq 14052  df-exp 14112  df-cj 15170  df-re 15171  df-im 15172  df-sqrt 15306  df-abs 15307  df-dvds 16329  df-gcd 16571  df-prm 16748  df-pc 16915

This theorem is used by:  pcprmpw2  16960  pcaddlem  16966  pcmpt  16970  pcprod  16973  prmreclem2  16995  pgpfi  19699  sylow2alem2  19712  ablfac1c  20167  pgpfac1lem3a  20172  isppw2  27310  chtublem  27406  bposlem3  27481  lgsval2lem  27502  lgsmod  27518  lgsdilem2  27528  lgsne0  27530  ostth3  27833  aks4d1p7d1  42882  aks4d1p8d2  42885  aks6d1c2p2  42919  aks6d1c7  42984