MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qexpz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qexpz 16839
Description: If a power of a rational number is an integer, then the number is an integer. In other words, all n-th roots are irrational unless they are integers (so that the original number is an n-th power). (Contributed by Mario Carneiro, 10-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
qexpz ((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)

Proof of Theorem qexpz
Dummy variable ๐‘ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2813 . 2 (๐ด = 0 โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ค โ†” 0 โˆˆ โ„ค))
2 simpll2 1210 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
32nncnd 12227 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
43mul01d 11412 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ ยท 0) = 0)
5 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„™)
6 simpll3 1211 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ โ„ค)
7 simpll1 1209 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„š)
8 qcn 12946 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„š โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
97, 8syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
10 simplr 766 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐ด โ‰  0)
112nnzd 12584 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
129, 10, 11expne0d 14118 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘) โ‰  0)
13 pczcl 16786 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง ((๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ โ„ค โˆง (๐ดโ†‘๐‘) โ‰  0)) โ†’ (๐‘ pCnt (๐ดโ†‘๐‘)) โˆˆ โ„•0)
145, 6, 12, 13syl12anc 834 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ pCnt (๐ดโ†‘๐‘)) โˆˆ โ„•0)
1514nn0ge0d 12534 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ 0 โ‰ค (๐‘ pCnt (๐ดโ†‘๐‘)))
16 pcexp 16797 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ pCnt (๐ดโ†‘๐‘)) = (๐‘ ยท (๐‘ pCnt ๐ด)))
175, 7, 10, 11, 16syl121anc 1372 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ pCnt (๐ดโ†‘๐‘)) = (๐‘ ยท (๐‘ pCnt ๐ด)))
1815, 17breqtrd 5165 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ 0 โ‰ค (๐‘ ยท (๐‘ pCnt ๐ด)))
194, 18eqbrtrd 5161 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ ยท 0) โ‰ค (๐‘ ยท (๐‘ pCnt ๐ด)))
20 0red 11216 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
21 pcqcl 16794 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„™ โˆง (๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐ด โ‰  0)) โ†’ (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„ค)
225, 7, 10, 21syl12anc 834 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„ค)
2322zred 12665 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„)
242nnred 12226 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
252nngt0d 12260 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ 0 < ๐‘)
26 lemul2 12066 . . . . . 6 ((0 โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ pCnt ๐ด) โˆˆ โ„ โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘)) โ†’ (0 โ‰ค (๐‘ pCnt ๐ด) โ†” (๐‘ ยท 0) โ‰ค (๐‘ ยท (๐‘ pCnt ๐ด))))
2720, 23, 24, 25, 26syl112anc 1371 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ (0 โ‰ค (๐‘ pCnt ๐ด) โ†” (๐‘ ยท 0) โ‰ค (๐‘ ยท (๐‘ pCnt ๐ด))))
2819, 27mpbird 257 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„™) โ†’ 0 โ‰ค (๐‘ pCnt ๐ด))
2928ralrimiva 3138 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ 0 โ‰ค (๐‘ pCnt ๐ด))
30 simpl1 1188 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„š)
31 pcz 16819 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„š โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ค โ†” โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ 0 โ‰ค (๐‘ pCnt ๐ด)))
3230, 31syl 17 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ค โ†” โˆ€๐‘ โˆˆ โ„™ 0 โ‰ค (๐‘ pCnt ๐ด)))
3329, 32mpbird 257 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ โ„ค) โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
34 0zd 12569 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ โ„ค) โ†’ 0 โˆˆ โ„ค)
351, 33, 34pm2.61ne 3019 1 ((๐ด โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐ดโ†‘๐‘) โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2932  โˆ€wral 3053   class class class wbr 5139  (class class class)co 7402  โ„‚cc 11105  โ„cr 11106  0cc0 11107   ยท cmul 11112   < clt 11247   โ‰ค cle 11248  โ„•cn 12211  โ„•0cn0 12471  โ„คcz 12557  โ„šcq 12931  โ†‘cexp 14028  โ„™cprime 16611   pCnt cpc 16774
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12976  df-fz 13486  df-fl 13758  df-mod 13836  df-seq 13968  df-exp 14029  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-dvds 16201  df-gcd 16439  df-prm 16612  df-pc 16775
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator