MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qexpz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qexpz 16863
Description: If a power of a rational number is an integer, then the number is an integer. In other words, all n-th roots are irrational unless they are integers (so that the original number is an n-th power). (Contributed by Mario Carneiro, 10-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
qexpz ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)

Proof of Theorem qexpz
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2817 . 2 (𝐴 = 0 → (𝐴 ∈ ℤ ↔ 0 ∈ ℤ))
2 simpll2 1211 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℕ)
32nncnd 12252 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℂ)
43mul01d 11437 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑁 · 0) = 0)
5 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℙ)
6 simpll3 1212 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝐴𝑁) ∈ ℤ)
7 simpll1 1210 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℚ)
8 qcn 12971 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℂ)
97, 8syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℂ)
10 simplr 768 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐴 ≠ 0)
112nnzd 12609 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℤ)
129, 10, 11expne0d 14142 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝐴𝑁) ≠ 0)
13 pczcl 16810 . . . . . . . . 9 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ ((𝐴𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐴𝑁) ≠ 0)) → (𝑝 pCnt (𝐴𝑁)) ∈ ℕ0)
145, 6, 12, 13syl12anc 836 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (𝐴𝑁)) ∈ ℕ0)
1514nn0ge0d 12559 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 0 ≤ (𝑝 pCnt (𝐴𝑁)))
16 pcexp 16821 . . . . . . . 8 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑝 pCnt (𝐴𝑁)) = (𝑁 · (𝑝 pCnt 𝐴)))
175, 7, 10, 11, 16syl121anc 1373 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (𝐴𝑁)) = (𝑁 · (𝑝 pCnt 𝐴)))
1815, 17breqtrd 5168 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 0 ≤ (𝑁 · (𝑝 pCnt 𝐴)))
194, 18eqbrtrd 5164 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑁 · 0) ≤ (𝑁 · (𝑝 pCnt 𝐴)))
20 0red 11241 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 0 ∈ ℝ)
21 pcqcl 16818 . . . . . . . 8 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℤ)
225, 7, 10, 21syl12anc 836 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℤ)
2322zred 12690 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℝ)
242nnred 12251 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℝ)
252nngt0d 12285 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 0 < 𝑁)
26 lemul2 12091 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → (0 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴) ↔ (𝑁 · 0) ≤ (𝑁 · (𝑝 pCnt 𝐴))))
2720, 23, 24, 25, 26syl112anc 1372 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (0 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴) ↔ (𝑁 · 0) ≤ (𝑁 · (𝑝 pCnt 𝐴))))
2819, 27mpbird 257 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 0 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴))
2928ralrimiva 3142 . . 3 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ∀𝑝 ∈ ℙ 0 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴))
30 simpl1 1189 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℚ)
31 pcz 16843 . . . 4 (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴 ∈ ℤ ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ 0 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴)))
3230, 31syl 17 . . 3 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 ∈ ℤ ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ 0 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴)))
3329, 32mpbird 257 . 2 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℤ)
34 0zd 12594 . 2 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℤ) → 0 ∈ ℤ)
351, 33, 34pm2.61ne 3023 1 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1085   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2936  wral 3057   class class class wbr 5142  (class class class)co 7414  cc 11130  cr 11131  0cc0 11132   · cmul 11137   < clt 11272  cle 11273  cn 12236  0cn0 12496  cz 12582  cq 12956  cexp 14052  cprime 16635   pCnt cpc 16798
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209  ax-pre-sup 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9459  df-inf 9460  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11896  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-n0 12497  df-z 12583  df-uz 12847  df-q 12957  df-rp 13001  df-fz 13511  df-fl 13783  df-mod 13861  df-seq 13993  df-exp 14053  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-dvds 16225  df-gcd 16463  df-prm 16636  df-pc 16799
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator