Theorem qexpz 16870

Description: If a power of a rational number is an integer, then the number is an integer. In other words, all n-th roots are irrational unless they are integers (so that the original number is an n-th power). (Contributed by Mario Carneiro, 10-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
qexpz	⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)

Proof of Theorem qexpz

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2817	. 2 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 ∈ ℤ ↔ 0 ∈ ℤ))
2		simpll2 1211	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℕ)
3	2	nncnd 12259	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℂ)
4	3	mul01d 11444	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑁 · 0) = 0)
5		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℙ)
6		simpll3 1212	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ)
7		simpll1 1210	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℚ)
8		qcn 12978	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℂ)
9	7, 8	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℂ)
10		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐴 ≠ 0)
11	2	nnzd 12616	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℤ)
12	9, 10, 11	expne0d 14149	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝐴↑𝑁) ≠ 0)
13		pczcl 16817	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ ((𝐴↑𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐴↑𝑁) ≠ 0)) → (𝑝 pCnt (𝐴↑𝑁)) ∈ ℕ0)
14	5, 6, 12, 13	syl12anc 836	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (𝐴↑𝑁)) ∈ ℕ0)
15	14	nn0ge0d 12566	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 0 ≤ (𝑝 pCnt (𝐴↑𝑁)))
16		pcexp 16828	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑝 pCnt (𝐴↑𝑁)) = (𝑁 · (𝑝 pCnt 𝐴)))
17	5, 7, 10, 11, 16	syl121anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (𝐴↑𝑁)) = (𝑁 · (𝑝 pCnt 𝐴)))
18	15, 17	breqtrd 5174	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 0 ≤ (𝑁 · (𝑝 pCnt 𝐴)))
19	4, 18	eqbrtrd 5170	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑁 · 0) ≤ (𝑁 · (𝑝 pCnt 𝐴)))
20		0red 11248	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 0 ∈ ℝ)
21		pcqcl 16825	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℤ)
22	5, 7, 10, 21	syl12anc 836	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℤ)
23	22	zred 12697	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℝ)
24	2	nnred 12258	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℝ)
25	2	nngt0d 12292	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 0 < 𝑁)
26		lemul2 12098	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → (0 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴) ↔ (𝑁 · 0) ≤ (𝑁 · (𝑝 pCnt 𝐴))))
27	20, 23, 24, 25, 26	syl112anc 1372	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (0 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴) ↔ (𝑁 · 0) ≤ (𝑁 · (𝑝 pCnt 𝐴))))
28	19, 27	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 0 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴))
29	28	ralrimiva 3143	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ∀𝑝 ∈ ℙ 0 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴))
30		simpl1 1189	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℚ)
31		pcz 16850	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴 ∈ ℤ ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ 0 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴)))
32	30, 31	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 ∈ ℤ ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ 0 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴)))
33	29, 32	mpbird 257	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℤ)
34		0zd 12601	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ) → 0 ∈ ℤ)
35	1, 33, 34	pm2.61ne 3024	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2937  ∀wral 3058   class class class wbr 5148  (class class class)co 7420  ℂcc 11137  ℝcr 11138  0cc0 11139   · cmul 11144   < clt 11279   ≤ cle 11280  ℕcn 12243  ℕ₀cn0 12503  ℤcz 12589  ℚcq 12963  ↑cexp 14059  ℙcprime 16642   pCnt cpc 16805

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9466  df-inf 9467  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-q 12964  df-rp 13008  df-fz 13518  df-fl 13790  df-mod 13868  df-seq 14000  df-exp 14060  df-cj 15079  df-re 15080  df-im 15081  df-sqrt 15215  df-abs 15216  df-dvds 16232  df-gcd 16470  df-prm 16643  df-pc 16806

This theorem is referenced by: (None)