Theorem qexpz 16829

Description: If a power of a rational number is an integer, then the number is an integer. In other words, all n-th roots are irrational unless they are integers (so that the original number is an n-th power). (Contributed by Mario Carneiro, 10-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
qexpz	⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)

Proof of Theorem qexpz

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2824	. 2 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 ∈ ℤ ↔ 0 ∈ ℤ))
2		simpll2 1214	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℕ)
3	2	nncnd 12161	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℂ)
4	3	mul01d 11332	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑁 · 0) = 0)
5		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℙ)
6		simpll3 1215	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ)
7		simpll1 1213	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℚ)
8		qcn 12876	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℂ)
9	7, 8	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℂ)
10		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐴 ≠ 0)
11	2	nnzd 12514	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℤ)
12	9, 10, 11	expne0d 14075	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝐴↑𝑁) ≠ 0)
13		pczcl 16776	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ ((𝐴↑𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐴↑𝑁) ≠ 0)) → (𝑝 pCnt (𝐴↑𝑁)) ∈ ℕ0)
14	5, 6, 12, 13	syl12anc 836	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (𝐴↑𝑁)) ∈ ℕ0)
15	14	nn0ge0d 12465	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 0 ≤ (𝑝 pCnt (𝐴↑𝑁)))
16		pcexp 16787	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑝 pCnt (𝐴↑𝑁)) = (𝑁 · (𝑝 pCnt 𝐴)))
17	5, 7, 10, 11, 16	syl121anc 1377	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (𝐴↑𝑁)) = (𝑁 · (𝑝 pCnt 𝐴)))
18	15, 17	breqtrd 5124	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 0 ≤ (𝑁 · (𝑝 pCnt 𝐴)))
19	4, 18	eqbrtrd 5120	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑁 · 0) ≤ (𝑁 · (𝑝 pCnt 𝐴)))
20		0red 11135	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 0 ∈ ℝ)
21		pcqcl 16784	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℤ)
22	5, 7, 10, 21	syl12anc 836	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℤ)
23	22	zred 12596	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℝ)
24	2	nnred 12160	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℝ)
25	2	nngt0d 12194	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 0 < 𝑁)
26		lemul2 11994	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → (0 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴) ↔ (𝑁 · 0) ≤ (𝑁 · (𝑝 pCnt 𝐴))))
27	20, 23, 24, 25, 26	syl112anc 1376	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (0 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴) ↔ (𝑁 · 0) ≤ (𝑁 · (𝑝 pCnt 𝐴))))
28	19, 27	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 0 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴))
29	28	ralrimiva 3128	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ∀𝑝 ∈ ℙ 0 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴))
30		simpl1 1192	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℚ)
31		pcz 16809	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴 ∈ ℤ ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ 0 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴)))
32	30, 31	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 ∈ ℤ ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ 0 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴)))
33	29, 32	mpbird 257	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℤ)
34		0zd 12500	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ) → 0 ∈ ℤ)
35	1, 33, 34	pm2.61ne 3017	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ∀wral 3051   class class class wbr 5098  (class class class)co 7358  ℂcc 11024  ℝcr 11025  0cc0 11026   · cmul 11031   < clt 11166   ≤ cle 11167  ℕcn 12145  ℕ₀cn0 12401  ℤcz 12488  ℚcq 12861  ↑cexp 13984  ℙcprime 16598   pCnt cpc 16764

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-inf 9346  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-q 12862  df-rp 12906  df-fz 13424  df-fl 13712  df-mod 13790  df-seq 13925  df-exp 13985  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-dvds 16180  df-gcd 16422  df-prm 16599  df-pc 16765

This theorem is referenced by: (None)