Theorem qexpz 16920

Description: If a power of a rational number is an integer, then the number is an integer. In other words, all n-th roots are irrational unless they are integers (so that the original number is an n-th power). (Contributed by Mario Carneiro, 10-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
qexpz	⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)

Proof of Theorem qexpz

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2849	. 2 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 ∈ ℤ ↔ 0 ∈ ℤ))
2		simpll2 1226	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℕ)
3	2	nncnd 12223	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℂ)
4	3	mul01d 11379	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑁 · 0) = 0)
5		simpr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℙ)
6		simpll3 1227	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ)
7		simpll1 1225	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℚ)
8		qcn 12961	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℂ)
9	7, 8	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℂ)
10		simplr 778	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐴 ≠ 0)
11	2	nnzd 12591	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℤ)
12	9, 10, 11	expne0d 14162	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝐴↑𝑁) ≠ 0)
13		pczcl 16867	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ ((𝐴↑𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐴↑𝑁) ≠ 0)) → (𝑝 pCnt (𝐴↑𝑁)) ∈ ℕ0)
14	5, 6, 12, 13	syl12anc 847	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (𝐴↑𝑁)) ∈ ℕ0)
15	14	nn0ge0d 12542	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 0 ≤ (𝑝 pCnt (𝐴↑𝑁)))
16		pcexp 16878	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑝 pCnt (𝐴↑𝑁)) = (𝑁 · (𝑝 pCnt 𝐴)))
17	5, 7, 10, 11, 16	syl121anc 1393	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (𝐴↑𝑁)) = (𝑁 · (𝑝 pCnt 𝐴)))
18	15, 17	breqtrd 5125	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 0 ≤ (𝑁 · (𝑝 pCnt 𝐴)))
19	4, 18	eqbrtrd 5121	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑁 · 0) ≤ (𝑁 · (𝑝 pCnt 𝐴)))
20		0red 11181	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 0 ∈ ℝ)
21		pcqcl 16875	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℤ)
22	5, 7, 10, 21	syl12anc 847	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℤ)
23	22	zred 12674	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℝ)
24	2	nnred 12222	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑁 ∈ ℝ)
25	2	nngt0d 12259	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 0 < 𝑁)
26		lemul2 12041	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → (0 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴) ↔ (𝑁 · 0) ≤ (𝑁 · (𝑝 pCnt 𝐴))))
27	20, 23, 24, 25, 26	syl112anc 1392	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (0 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴) ↔ (𝑁 · 0) ≤ (𝑁 · (𝑝 pCnt 𝐴))))
28	19, 27	mpbird 259	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 0 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴))
29	28	ralrimiva 3153	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ∀𝑝 ∈ ℙ 0 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴))
30		simpl1 1204	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℚ)
31		pcz 16900	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴 ∈ ℤ ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ 0 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴)))
32	30, 31	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴 ∈ ℤ ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ 0 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴)))
33	29, 32	mpbird 259	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℤ)
34		0zd 12577	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ) → 0 ∈ ℤ)
35	1, 33, 34	pm2.61ne 3041	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ∀wral 3075   class class class wbr 5099  (class class class)co 7392  ℂcc 11068  ℝcr 11069  0cc0 11070   · cmul 11075   < clt 11213   ≤ cle 11214  ℕcn 12207  ℕ₀cn0 12478  ℤcz 12565  ℚcq 12946  ↑cexp 14071  ℙcprime 16688   pCnt cpc 16855

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147  ax-pre-sup 11148

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-2o 8433  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-sup 9385  df-inf 9386  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-n0 12479  df-z 12566  df-uz 12837  df-q 12947  df-rp 12991  df-fz 13510  df-fl 13799  df-mod 13877  df-seq 14012  df-exp 14072  df-cj 15109  df-re 15110  df-im 15111  df-sqrt 15245  df-abs 15246  df-dvds 16270  df-gcd 16512  df-prm 16689  df-pc 16856

This theorem is referenced by: (None)