Theorem phtpc01 25028

Description: Path homotopic paths have the same endpoints. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
phtpc01	⊢ (𝐹( ≃ph‘𝐽)𝐺 → ((𝐹‘0) = (𝐺‘0) ∧ (𝐹‘1) = (𝐺‘1)))

Proof of Theorem phtpc01

Dummy variable ℎ is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isphtpc 25026	. 2 ⊢ (𝐹( ≃ph‘𝐽)𝐺 ↔ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺) ≠ ∅))
2		n0 4353	. . . 4 ⊢ ((𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺) ≠ ∅ ↔ ∃ℎ ℎ ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺))
3		simpll 767	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ℎ ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺)) → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
4		simplr 769	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ℎ ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺)) → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
5		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ℎ ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺)) → ℎ ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺))
6	3, 4, 5	phtpy01 25017	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ℎ ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺)) → ((𝐹‘0) = (𝐺‘0) ∧ (𝐹‘1) = (𝐺‘1)))
7	6	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽)) → (ℎ ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺) → ((𝐹‘0) = (𝐺‘0) ∧ (𝐹‘1) = (𝐺‘1))))
8	7	exlimdv 1933	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽)) → (∃ℎ ℎ ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺) → ((𝐹‘0) = (𝐺‘0) ∧ (𝐹‘1) = (𝐺‘1))))
9	2, 8	biimtrid 242	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽)) → ((𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺) ≠ ∅ → ((𝐹‘0) = (𝐺‘0) ∧ (𝐹‘1) = (𝐺‘1))))
10	9	3impia 1118	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺) ≠ ∅) → ((𝐹‘0) = (𝐺‘0) ∧ (𝐹‘1) = (𝐺‘1)))
11	1, 10	sylbi 217	1 ⊢ (𝐹( ≃ph‘𝐽)𝐺 → ((𝐹‘0) = (𝐺‘0) ∧ (𝐹‘1) = (𝐺‘1)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ∅c0 4333   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  0cc0 11155  1c1 11156   Cn ccn 23232  IIcii 24901  PHtpycphtpy 25000   ≃_phcphtpc 25001

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-icc 13394  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-topgen 17488  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-top 22900  df-topon 22917  df-bases 22953  df-cn 23235  df-ii 24903  df-htpy 25002  df-phtpy 25003  df-phtpc 25024

This theorem is referenced by:  pcohtpy  25053  pi1blem  25072  cvmliftpht  35323  cvmlift3lem1  35324