Theorem phtpc01 25047

Description: Path homotopic paths have the same endpoints. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
phtpc01	⊢ (𝐹( ≃ph‘𝐽)𝐺 → ((𝐹‘0) = (𝐺‘0) ∧ (𝐹‘1) = (𝐺‘1)))

Proof of Theorem phtpc01

Dummy variable ℎ is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isphtpc 25045	. 2 ⊢ (𝐹( ≃ph‘𝐽)𝐺 ↔ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺) ≠ ∅))
2		n0 4376	. . . 4 ⊢ ((𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺) ≠ ∅ ↔ ∃ℎ ℎ ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺))
3		simpll 766	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ℎ ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺)) → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
4		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ℎ ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺)) → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
5		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ℎ ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺)) → ℎ ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺))
6	3, 4, 5	phtpy01 25036	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽)) ∧ ℎ ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺)) → ((𝐹‘0) = (𝐺‘0) ∧ (𝐹‘1) = (𝐺‘1)))
7	6	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽)) → (ℎ ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺) → ((𝐹‘0) = (𝐺‘0) ∧ (𝐹‘1) = (𝐺‘1))))
8	7	exlimdv 1932	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽)) → (∃ℎ ℎ ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺) → ((𝐹‘0) = (𝐺‘0) ∧ (𝐹‘1) = (𝐺‘1))))
9	2, 8	biimtrid 242	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽)) → ((𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺) ≠ ∅ → ((𝐹‘0) = (𝐺‘0) ∧ (𝐹‘1) = (𝐺‘1))))
10	9	3impia 1117	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐺) ≠ ∅) → ((𝐹‘0) = (𝐺‘0) ∧ (𝐹‘1) = (𝐺‘1)))
11	1, 10	sylbi 217	1 ⊢ (𝐹( ≃ph‘𝐽)𝐺 → ((𝐹‘0) = (𝐺‘0) ∧ (𝐹‘1) = (𝐺‘1)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537  ∃wex 1777   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∅c0 4352   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  0cc0 11184  1c1 11185   Cn ccn 23253  IIcii 24920  PHtpycphtpy 25019   ≃_phcphtpc 25020

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-sup 9511  df-inf 9512  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-xneg 13175  df-xadd 13176  df-xmul 13177  df-icc 13414  df-seq 14053  df-exp 14113  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-topgen 17503  df-psmet 21379  df-xmet 21380  df-met 21381  df-bl 21382  df-mopn 21383  df-top 22921  df-topon 22938  df-bases 22974  df-cn 23256  df-ii 24922  df-htpy 25021  df-phtpy 25022  df-phtpc 25043

This theorem is referenced by:  pcohtpy  25072  pi1blem  25091  cvmliftpht  35286  cvmlift3lem1  35287