Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvmlift3lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvmlift3lem1 35324
Description: Lemma for cvmlift3 35333. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmlift3.b 𝐵 = 𝐶
cvmlift3.y 𝑌 = 𝐾
cvmlift3.f (𝜑𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
cvmlift3.k (𝜑𝐾 ∈ SConn)
cvmlift3.l (𝜑𝐾 ∈ 𝑛-Locally PConn)
cvmlift3.o (𝜑𝑂𝑌)
cvmlift3.g (𝜑𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
cvmlift3.p (𝜑𝑃𝐵)
cvmlift3.e (𝜑 → (𝐹𝑃) = (𝐺𝑂))
cvmlift3lem1.1 (𝜑𝑀 ∈ (II Cn 𝐾))
cvmlift3lem1.2 (𝜑 → (𝑀‘0) = 𝑂)
cvmlift3lem1.3 (𝜑𝑁 ∈ (II Cn 𝐾))
cvmlift3lem1.4 (𝜑 → (𝑁‘0) = 𝑂)
cvmlift3lem1.5 (𝜑 → (𝑀‘1) = (𝑁‘1))
Assertion
Ref Expression
cvmlift3lem1 (𝜑 → ((𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺𝑀) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = ((𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺𝑁) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1))
Distinct variable groups:   𝑔,𝐽   𝑔,𝐹   𝑔,𝑀   𝑔,𝑁   𝐵,𝑔   𝑔,𝐺   𝐶,𝑔   𝑔,𝐾   𝑃,𝑔   𝑔,𝑂   𝑔,𝑌
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑔)

Proof of Theorem cvmlift3lem1
StepHypRef Expression
1 cvmlift3.b . . . 4 𝐵 = 𝐶
2 eqid 2737 . . . 4 (𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺𝑀) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃)) = (𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺𝑀) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))
3 eqid 2737 . . . 4 (𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺𝑁) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃)) = (𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺𝑁) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))
4 cvmlift3.f . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
5 cvmlift3.p . . . 4 (𝜑𝑃𝐵)
6 cvmlift3.e . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝑃) = (𝐺𝑂))
7 cvmlift3lem1.2 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀‘0) = 𝑂)
87fveq2d 6910 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺‘(𝑀‘0)) = (𝐺𝑂))
96, 8eqtr4d 2780 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝑃) = (𝐺‘(𝑀‘0)))
10 cvmlift3lem1.1 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ (II Cn 𝐾))
11 iiuni 24907 . . . . . . . 8 (0[,]1) = II
12 cvmlift3.y . . . . . . . 8 𝑌 = 𝐾
1311, 12cnf 23254 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (II Cn 𝐾) → 𝑀:(0[,]1)⟶𝑌)
1410, 13syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑀:(0[,]1)⟶𝑌)
15 0elunit 13509 . . . . . 6 0 ∈ (0[,]1)
16 fvco3 7008 . . . . . 6 ((𝑀:(0[,]1)⟶𝑌 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → ((𝐺𝑀)‘0) = (𝐺‘(𝑀‘0)))
1714, 15, 16sylancl 586 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐺𝑀)‘0) = (𝐺‘(𝑀‘0)))
189, 17eqtr4d 2780 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝑃) = ((𝐺𝑀)‘0))
19 cvmlift3.k . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ SConn)
20 cvmlift3lem1.3 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ (II Cn 𝐾))
21 cvmlift3lem1.4 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘0) = 𝑂)
227, 21eqtr4d 2780 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀‘0) = (𝑁‘0))
23 cvmlift3lem1.5 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀‘1) = (𝑁‘1))
2419, 10, 20, 22, 23sconnpht2 35243 . . . . 5 (𝜑𝑀( ≃ph𝐾)𝑁)
25 cvmlift3.g . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
2624, 25phtpcco2 25032 . . . 4 (𝜑 → (𝐺𝑀)( ≃ph𝐽)(𝐺𝑁))
271, 2, 3, 4, 5, 18, 26cvmliftpht 35323 . . 3 (𝜑 → (𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺𝑀) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))( ≃ph𝐶)(𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺𝑁) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃)))
28 phtpc01 25028 . . 3 ((𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺𝑀) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))( ≃ph𝐶)(𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺𝑁) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃)) → (((𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺𝑀) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘0) = ((𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺𝑁) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘0) ∧ ((𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺𝑀) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = ((𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺𝑁) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1)))
2927, 28syl 17 . 2 (𝜑 → (((𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺𝑀) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘0) = ((𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺𝑁) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘0) ∧ ((𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺𝑀) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = ((𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺𝑁) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1)))
3029simprd 495 1 (𝜑 → ((𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺𝑀) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = ((𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑔) = (𝐺𝑁) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108   cuni 4907   class class class wbr 5143  ccom 5689  wf 6557  cfv 6561  crio 7387  (class class class)co 7431  0cc0 11155  1c1 11156  [,]cicc 13390   Cn ccn 23232  𝑛-Locally cnlly 23473  IIcii 24901  phcphtpc 25001  PConncpconn 35224  SConncsconn 35225   CovMap ccvm 35260
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-ec 8747  df-map 8868  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-cmp 23395  df-conn 23420  df-lly 23474  df-nlly 23475  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-ii 24903  df-cncf 24904  df-htpy 25002  df-phtpy 25003  df-phtpc 25024  df-pco 25038  df-pconn 35226  df-sconn 35227  df-cvm 35261
This theorem is referenced by:  cvmlift3lem2  35325
  Copyright terms: Public domain W3C validator