Theorem cvmlift3lem1 36063

Description: Lemma for cvmlift3 36072. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvmlift3.b	⊢ 𝐵 = ∪ 𝐶
cvmlift3.y	⊢ 𝑌 = ∪ 𝐾
cvmlift3.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
cvmlift3.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ SConn)
cvmlift3.l	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑛-Locally PConn)
cvmlift3.o	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ 𝑌)
cvmlift3.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
cvmlift3.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐵)
cvmlift3.e	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑃) = (𝐺‘𝑂))
cvmlift3lem1.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (II Cn 𝐾))
cvmlift3lem1.2	⊢ (𝜑 → (𝑀‘0) = 𝑂)
cvmlift3lem1.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (II Cn 𝐾))
cvmlift3lem1.4	⊢ (𝜑 → (𝑁‘0) = 𝑂)
cvmlift3lem1.5	⊢ (𝜑 → (𝑀‘1) = (𝑁‘1))

Assertion

Ref	Expression
cvmlift3lem1	⊢ (𝜑 → ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ 𝑀) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ 𝑁) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1))

Distinct variable groups:   𝑔,𝐽   𝑔,𝐹   𝑔,𝑀   𝑔,𝑁   𝐵,𝑔   𝑔,𝐺   𝐶,𝑔   𝑔,𝐾   𝑃,𝑔   𝑔,𝑂   𝑔,𝑌

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑔)

Proof of Theorem cvmlift3lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvmlift3.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = ∪ 𝐶
2		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ 𝑀) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃)) = (℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ 𝑀) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))
3		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ 𝑁) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃)) = (℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ 𝑁) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))
4		cvmlift3.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
5		cvmlift3.p	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐵)
6		cvmlift3.e	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑃) = (𝐺‘𝑂))
7		cvmlift3lem1.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘0) = 𝑂)
8	7	fveq2d 6887	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘(𝑀‘0)) = (𝐺‘𝑂))
9	6, 8	eqtr4d 2799	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑃) = (𝐺‘(𝑀‘0)))
10		cvmlift3lem1.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (II Cn 𝐾))
11		iiuni 25195	. . . . . . . 8 ⊢ (0[,]1) = ∪ II
12		cvmlift3.y	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑌 = ∪ 𝐾
13	11, 12	cnf 23557	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ (II Cn 𝐾) → 𝑀:(0[,]1)⟶𝑌)
14	10, 13	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀:(0[,]1)⟶𝑌)
15		0elunit 13593	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ (0[,]1)
16		fvco3 6983	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀:(0[,]1)⟶𝑌 ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → ((𝐺 ∘ 𝑀)‘0) = (𝐺‘(𝑀‘0)))
17	14, 15, 16	sylancl 598	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 ∘ 𝑀)‘0) = (𝐺‘(𝑀‘0)))
18	9, 17	eqtr4d 2799	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑃) = ((𝐺 ∘ 𝑀)‘0))
19		cvmlift3.k	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ SConn)
20		cvmlift3lem1.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (II Cn 𝐾))
21		cvmlift3lem1.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘0) = 𝑂)
22	7, 21	eqtr4d 2799	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘0) = (𝑁‘0))
23		cvmlift3lem1.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘1) = (𝑁‘1))
24	19, 10, 20, 22, 23	sconnpht2 35982	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀( ≃ph‘𝐾)𝑁)
25		cvmlift3.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐾 Cn 𝐽))
26	24, 25	phtpcco2 25313	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘ 𝑀)( ≃ph‘𝐽)(𝐺 ∘ 𝑁))
27	1, 2, 3, 4, 5, 18, 26	cvmliftpht 36062	. . 3 ⊢ (𝜑 → (℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ 𝑀) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))( ≃ph‘𝐶)(℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ 𝑁) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃)))
28		phtpc01 25310	. . 3 ⊢ ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ 𝑀) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))( ≃ph‘𝐶)(℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ 𝑁) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃)) → (((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ 𝑀) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘0) = ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ 𝑁) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘0) ∧ ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ 𝑀) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ 𝑁) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1)))
29	27, 28	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ 𝑀) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘0) = ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ 𝑁) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘0) ∧ ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ 𝑀) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ 𝑁) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1)))
30	29	simprd 501	1 ⊢ (𝜑 → ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ 𝑀) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1) = ((℩𝑔 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑔) = (𝐺 ∘ 𝑁) ∧ (𝑔‘0) = 𝑃))‘1))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∪ cuni 4867   class class class wbr 5103   ∘ ccom 5655  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  ℩crio 7374  (class class class)co 7418  0cc0 11193  1c1 11194  [,]cicc 13472   Cn ccn 23535  𝑛-Locally cnlly 23777  IIcii 25189   ≃_phcphtpc 25283  PConncpconn 35963  SConncsconn 35964   CovMap ccvm 35999

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-inf2 9635  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270  ax-pre-sup 11271  ax-addf 11272

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-of 7691  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8171  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-2o 8470  df-er 8710  df-ec 8712  df-map 8842  df-ixp 8919  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-fsupp 9347  df-fi 9396  df-sup 9427  df-inf 9428  df-oi 9497  df-card 10013  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-div 11967  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-4 12400  df-5 12401  df-6 12402  df-7 12403  df-8 12404  df-9 12405  df-n0 12600  df-z 12687  df-dec 12808  df-uz 12959  df-q 13069  df-rp 13114  df-xneg 13234  df-xadd 13235  df-xmul 13236  df-ioo 13473  df-ico 13475  df-icc 13476  df-fz 13633  df-fzo 13782  df-fl 13925  df-seq 14138  df-exp 14198  df-hash 14468  df-cj 15259  df-re 15260  df-im 15261  df-sqrt 15395  df-abs 15396  df-clim 15648  df-sum 15847  df-struct 17318  df-sets 17335  df-slot 17353  df-ndx 17365  df-base 17381  df-ress 17402  df-plusg 17434  df-mulr 17435  df-starv 17436  df-sca 17437  df-vsca 17438  df-ip 17439  df-tset 17440  df-ple 17441  df-ds 17443  df-unif 17444  df-hom 17445  df-cco 17446  df-rest 17586  df-topn 17587  df-0g 17605  df-gsum 17606  df-topgen 17607  df-pt 17608  df-prds 17611  df-xrs 17667  df-qtop 17672  df-imas 17673  df-xps 17675  df-mre 17749  df-mrc 17750  df-acs 17752  df-mgm 18809  df-sgrp 18901  df-mnd 18917  df-submnd 18972  df-mulg 19271  df-cntz 19524  df-cmn 19989  df-psmet 21663  df-xmet 21664  df-met 21665  df-bl 21666  df-mopn 21667  df-cnfld 21672  df-top 23205  df-topon 23222  df-topsp 23244  df-bases 23257  df-cld 23330  df-ntr 23331  df-cls 23332  df-nei 23409  df-cn 23538  df-cnp 23539  df-cmp 23698  df-conn 23723  df-lly 23778  df-nlly 23779  df-tx 23874  df-hmeo 24067  df-xms 24632  df-ms 24633  df-tms 24634  df-ii 25191  df-cncf 25192  df-htpy 25284  df-phtpy 25285  df-phtpc 25306  df-pco 25319  df-pconn 35965  df-sconn 35966  df-cvm 36000

This theorem is used by:  cvmlift3lem2  36064