Theorem pcohtpy 24527

Description: Homotopy invariance of path concatenation. (Contributed by Jeff Madsen, 15-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pcohtpy.4	⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐺‘0))
pcohtpy.5	⊢ (𝜑 → 𝐹( ≃ph‘𝐽)𝐻)
pcohtpy.6	⊢ (𝜑 → 𝐺( ≃ph‘𝐽)𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pcohtpy	⊢ (𝜑 → (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺)( ≃ph‘𝐽)(𝐻(*𝑝‘𝐽)𝐾))

Proof of Theorem pcohtpy

Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pcohtpy.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹( ≃ph‘𝐽)𝐻)
2		isphtpc 24501	. . . . 5 ⊢ (𝐹( ≃ph‘𝐽)𝐻 ↔ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝐻 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐻) ≠ ∅))
3	1, 2	sylib 217	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝐻 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐻) ≠ ∅))
4	3	simp1d 1142	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
5		pcohtpy.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺( ≃ph‘𝐽)𝐾)
6		isphtpc 24501	. . . . 5 ⊢ (𝐺( ≃ph‘𝐽)𝐾 ↔ (𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝐾 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐾) ≠ ∅))
7	5, 6	sylib 217	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝐾 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐾) ≠ ∅))
8	7	simp1d 1142	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
9		pcohtpy.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐺‘0))
10	4, 8, 9	pcocn 24524	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺) ∈ (II Cn 𝐽))
11	3	simp2d 1143	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (II Cn 𝐽))
12	7	simp2d 1143	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (II Cn 𝐽))
13		phtpc01 24503	. . . . . 6 ⊢ (𝐹( ≃ph‘𝐽)𝐻 → ((𝐹‘0) = (𝐻‘0) ∧ (𝐹‘1) = (𝐻‘1)))
14	1, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘0) = (𝐻‘0) ∧ (𝐹‘1) = (𝐻‘1)))
15	14	simprd 496	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐻‘1))
16		phtpc01 24503	. . . . . 6 ⊢ (𝐺( ≃ph‘𝐽)𝐾 → ((𝐺‘0) = (𝐾‘0) ∧ (𝐺‘1) = (𝐾‘1)))
17	5, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘0) = (𝐾‘0) ∧ (𝐺‘1) = (𝐾‘1)))
18	17	simpld 495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘0) = (𝐾‘0))
19	9, 15, 18	3eqtr3d 2780	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘1) = (𝐾‘0))
20	11, 12, 19	pcocn 24524	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻(*𝑝‘𝐽)𝐾) ∈ (II Cn 𝐽))
21	3	simp3d 1144	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐻) ≠ ∅)
22		n0 4345	. . . . 5 ⊢ ((𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐻) ≠ ∅ ↔ ∃𝑚 𝑚 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐻))
23	21, 22	sylib 217	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑚 𝑚 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐻))
24	7	simp3d 1144	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐾) ≠ ∅)
25		n0 4345	. . . . 5 ⊢ ((𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐾) ≠ ∅ ↔ ∃𝑛 𝑛 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐾))
26	24, 25	sylib 217	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 𝑛 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐾))
27		exdistrv 1959	. . . 4 ⊢ (∃𝑚∃𝑛(𝑚 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐻) ∧ 𝑛 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐾)) ↔ (∃𝑚 𝑚 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐻) ∧ ∃𝑛 𝑛 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐾)))
28	23, 26, 27	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑚∃𝑛(𝑚 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐻) ∧ 𝑛 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐾)))
29	9	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐻) ∧ 𝑛 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐾))) → (𝐹‘1) = (𝐺‘0))
30	1	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐻) ∧ 𝑛 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐾))) → 𝐹( ≃ph‘𝐽)𝐻)
31	5	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐻) ∧ 𝑛 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐾))) → 𝐺( ≃ph‘𝐽)𝐾)
32		eqid 2732	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), ((2 · 𝑥)𝑚𝑦), (((2 · 𝑥) − 1)𝑛𝑦))) = (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), ((2 · 𝑥)𝑚𝑦), (((2 · 𝑥) − 1)𝑛𝑦)))
33		simprl 769	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐻) ∧ 𝑛 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐾))) → 𝑚 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐻))
34		simprr 771	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐻) ∧ 𝑛 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐾))) → 𝑛 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐾))
35	29, 30, 31, 32, 33, 34	pcohtpylem 24526	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐻) ∧ 𝑛 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐾))) → (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), ((2 · 𝑥)𝑚𝑦), (((2 · 𝑥) − 1)𝑛𝑦))) ∈ ((𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺)(PHtpy‘𝐽)(𝐻(*𝑝‘𝐽)𝐾)))
36	35	ne0d 4334	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐻) ∧ 𝑛 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐾))) → ((𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺)(PHtpy‘𝐽)(𝐻(*𝑝‘𝐽)𝐾)) ≠ ∅)
37	36	ex 413	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑚 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐻) ∧ 𝑛 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐾)) → ((𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺)(PHtpy‘𝐽)(𝐻(*𝑝‘𝐽)𝐾)) ≠ ∅))
38	37	exlimdvv 1937	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑚∃𝑛(𝑚 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐻) ∧ 𝑛 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐾)) → ((𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺)(PHtpy‘𝐽)(𝐻(*𝑝‘𝐽)𝐾)) ≠ ∅))
39	28, 38	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺)(PHtpy‘𝐽)(𝐻(*𝑝‘𝐽)𝐾)) ≠ ∅)
40		isphtpc 24501	. 2 ⊢ ((𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺)( ≃ph‘𝐽)(𝐻(*𝑝‘𝐽)𝐾) ↔ ((𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐻(*𝑝‘𝐽)𝐾) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺)(PHtpy‘𝐽)(𝐻(*𝑝‘𝐽)𝐾)) ≠ ∅))
41	10, 20, 39, 40	syl3anbrc 1343	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺)( ≃ph‘𝐽)(𝐻(*𝑝‘𝐽)𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541  ∃wex 1781   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  ∅c0 4321  ifcif 4527   class class class wbr 5147  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405   ∈ cmpo 7407  0cc0 11106  1c1 11107   · cmul 11111   ≤ cle 11245   − cmin 11440   / cdiv 11867  2c2 12263  [,]cicc 13323   Cn ccn 22719  IIcii 24382  PHtpycphtpy 24475   ≃_phcphtpc 24476  *_𝑝cpco 24507

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-mulf 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8699  df-map 8818  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-mulg 18945  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-cnfld 20937  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-cld 22514  df-cn 22722  df-cnp 22723  df-tx 23057  df-hmeo 23250  df-xms 23817  df-ms 23818  df-tms 23819  df-ii 24384  df-htpy 24477  df-phtpy 24478  df-phtpc 24499  df-pco 24512

This theorem is referenced by:  pcophtb  24536  pi1cpbl  24551  pi1xfrf  24560  pi1xfr  24562  pi1xfrcnvlem  24563