Theorem pcohtpy 24383

Description: Homotopy invariance of path concatenation. (Contributed by Jeff Madsen, 15-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pcohtpy.4	⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐺‘0))
pcohtpy.5	⊢ (𝜑 → 𝐹( ≃ph‘𝐽)𝐻)
pcohtpy.6	⊢ (𝜑 → 𝐺( ≃ph‘𝐽)𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pcohtpy	⊢ (𝜑 → (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺)( ≃ph‘𝐽)(𝐻(*𝑝‘𝐽)𝐾))

Proof of Theorem pcohtpy

Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pcohtpy.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹( ≃ph‘𝐽)𝐻)
2		isphtpc 24357	. . . . 5 ⊢ (𝐹( ≃ph‘𝐽)𝐻 ↔ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝐻 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐻) ≠ ∅))
3	1, 2	sylib 217	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝐻 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐻) ≠ ∅))
4	3	simp1d 1142	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
5		pcohtpy.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺( ≃ph‘𝐽)𝐾)
6		isphtpc 24357	. . . . 5 ⊢ (𝐺( ≃ph‘𝐽)𝐾 ↔ (𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝐾 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐾) ≠ ∅))
7	5, 6	sylib 217	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝐾 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐾) ≠ ∅))
8	7	simp1d 1142	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
9		pcohtpy.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐺‘0))
10	4, 8, 9	pcocn 24380	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺) ∈ (II Cn 𝐽))
11	3	simp2d 1143	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (II Cn 𝐽))
12	7	simp2d 1143	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (II Cn 𝐽))
13		phtpc01 24359	. . . . . 6 ⊢ (𝐹( ≃ph‘𝐽)𝐻 → ((𝐹‘0) = (𝐻‘0) ∧ (𝐹‘1) = (𝐻‘1)))
14	1, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘0) = (𝐻‘0) ∧ (𝐹‘1) = (𝐻‘1)))
15	14	simprd 496	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐻‘1))
16		phtpc01 24359	. . . . . 6 ⊢ (𝐺( ≃ph‘𝐽)𝐾 → ((𝐺‘0) = (𝐾‘0) ∧ (𝐺‘1) = (𝐾‘1)))
17	5, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘0) = (𝐾‘0) ∧ (𝐺‘1) = (𝐾‘1)))
18	17	simpld 495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘0) = (𝐾‘0))
19	9, 15, 18	3eqtr3d 2784	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘1) = (𝐾‘0))
20	11, 12, 19	pcocn 24380	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻(*𝑝‘𝐽)𝐾) ∈ (II Cn 𝐽))
21	3	simp3d 1144	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐻) ≠ ∅)
22		n0 4306	. . . . 5 ⊢ ((𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐻) ≠ ∅ ↔ ∃𝑚 𝑚 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐻))
23	21, 22	sylib 217	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑚 𝑚 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐻))
24	7	simp3d 1144	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐾) ≠ ∅)
25		n0 4306	. . . . 5 ⊢ ((𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐾) ≠ ∅ ↔ ∃𝑛 𝑛 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐾))
26	24, 25	sylib 217	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 𝑛 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐾))
27		exdistrv 1959	. . . 4 ⊢ (∃𝑚∃𝑛(𝑚 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐻) ∧ 𝑛 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐾)) ↔ (∃𝑚 𝑚 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐻) ∧ ∃𝑛 𝑛 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐾)))
28	23, 26, 27	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑚∃𝑛(𝑚 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐻) ∧ 𝑛 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐾)))
29	9	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐻) ∧ 𝑛 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐾))) → (𝐹‘1) = (𝐺‘0))
30	1	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐻) ∧ 𝑛 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐾))) → 𝐹( ≃ph‘𝐽)𝐻)
31	5	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐻) ∧ 𝑛 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐾))) → 𝐺( ≃ph‘𝐽)𝐾)
32		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), ((2 · 𝑥)𝑚𝑦), (((2 · 𝑥) − 1)𝑛𝑦))) = (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), ((2 · 𝑥)𝑚𝑦), (((2 · 𝑥) − 1)𝑛𝑦)))
33		simprl 769	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐻) ∧ 𝑛 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐾))) → 𝑚 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐻))
34		simprr 771	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐻) ∧ 𝑛 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐾))) → 𝑛 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐾))
35	29, 30, 31, 32, 33, 34	pcohtpylem 24382	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐻) ∧ 𝑛 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐾))) → (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), ((2 · 𝑥)𝑚𝑦), (((2 · 𝑥) − 1)𝑛𝑦))) ∈ ((𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺)(PHtpy‘𝐽)(𝐻(*𝑝‘𝐽)𝐾)))
36	35	ne0d 4295	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐻) ∧ 𝑛 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐾))) → ((𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺)(PHtpy‘𝐽)(𝐻(*𝑝‘𝐽)𝐾)) ≠ ∅)
37	36	ex 413	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑚 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐻) ∧ 𝑛 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐾)) → ((𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺)(PHtpy‘𝐽)(𝐻(*𝑝‘𝐽)𝐾)) ≠ ∅))
38	37	exlimdvv 1937	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑚∃𝑛(𝑚 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐻) ∧ 𝑛 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐾)) → ((𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺)(PHtpy‘𝐽)(𝐻(*𝑝‘𝐽)𝐾)) ≠ ∅))
39	28, 38	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺)(PHtpy‘𝐽)(𝐻(*𝑝‘𝐽)𝐾)) ≠ ∅)
40		isphtpc 24357	. 2 ⊢ ((𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺)( ≃ph‘𝐽)(𝐻(*𝑝‘𝐽)𝐾) ↔ ((𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐻(*𝑝‘𝐽)𝐾) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺)(PHtpy‘𝐽)(𝐻(*𝑝‘𝐽)𝐾)) ≠ ∅))
41	10, 20, 39, 40	syl3anbrc 1343	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺)( ≃ph‘𝐽)(𝐻(*𝑝‘𝐽)𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541  ∃wex 1781   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∅c0 4282  ifcif 4486   class class class wbr 5105  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357   ∈ cmpo 7359  0cc0 11051  1c1 11052   · cmul 11056   ≤ cle 11190   − cmin 11385   / cdiv 11812  2c2 12208  [,]cicc 13267   Cn ccn 22575  IIcii 24238  PHtpycphtpy 24331   ≃_phcphtpc 24332  *_𝑝cpco 24363

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-mulf 11131

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-ii 24240  df-htpy 24333  df-phtpy 24334  df-phtpc 24355  df-pco 24368

This theorem is referenced by:  pcophtb  24392  pi1cpbl  24407  pi1xfrf  24416  pi1xfr  24418  pi1xfrcnvlem  24419