Theorem pcohtpy 24940

Description: Homotopy invariance of path concatenation. (Contributed by Jeff Madsen, 15-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pcohtpy.4	⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐺‘0))
pcohtpy.5	⊢ (𝜑 → 𝐹( ≃ph‘𝐽)𝐻)
pcohtpy.6	⊢ (𝜑 → 𝐺( ≃ph‘𝐽)𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pcohtpy	⊢ (𝜑 → (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺)( ≃ph‘𝐽)(𝐻(*𝑝‘𝐽)𝐾))

Proof of Theorem pcohtpy

Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pcohtpy.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹( ≃ph‘𝐽)𝐻)
2		isphtpc 24913	. . . . 5 ⊢ (𝐹( ≃ph‘𝐽)𝐻 ↔ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝐻 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐻) ≠ ∅))
3	1, 2	sylib 218	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝐻 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐻) ≠ ∅))
4	3	simp1d 1142	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
5		pcohtpy.6	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺( ≃ph‘𝐽)𝐾)
6		isphtpc 24913	. . . . 5 ⊢ (𝐺( ≃ph‘𝐽)𝐾 ↔ (𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝐾 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐾) ≠ ∅))
7	5, 6	sylib 218	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝐾 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐾) ≠ ∅))
8	7	simp1d 1142	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
9		pcohtpy.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐺‘0))
10	4, 8, 9	pcocn 24937	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺) ∈ (II Cn 𝐽))
11	3	simp2d 1143	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (II Cn 𝐽))
12	7	simp2d 1143	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (II Cn 𝐽))
13		phtpc01 24915	. . . . . 6 ⊢ (𝐹( ≃ph‘𝐽)𝐻 → ((𝐹‘0) = (𝐻‘0) ∧ (𝐹‘1) = (𝐻‘1)))
14	1, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘0) = (𝐻‘0) ∧ (𝐹‘1) = (𝐻‘1)))
15	14	simprd 495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐻‘1))
16		phtpc01 24915	. . . . . 6 ⊢ (𝐺( ≃ph‘𝐽)𝐾 → ((𝐺‘0) = (𝐾‘0) ∧ (𝐺‘1) = (𝐾‘1)))
17	5, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘0) = (𝐾‘0) ∧ (𝐺‘1) = (𝐾‘1)))
18	17	simpld 494	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘0) = (𝐾‘0))
19	9, 15, 18	3eqtr3d 2773	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘1) = (𝐾‘0))
20	11, 12, 19	pcocn 24937	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻(*𝑝‘𝐽)𝐾) ∈ (II Cn 𝐽))
21	3	simp3d 1144	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐻) ≠ ∅)
22		n0 4301	. . . . 5 ⊢ ((𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐻) ≠ ∅ ↔ ∃𝑚 𝑚 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐻))
23	21, 22	sylib 218	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑚 𝑚 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐻))
24	7	simp3d 1144	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐾) ≠ ∅)
25		n0 4301	. . . . 5 ⊢ ((𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐾) ≠ ∅ ↔ ∃𝑛 𝑛 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐾))
26	24, 25	sylib 218	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑛 𝑛 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐾))
27		exdistrv 1956	. . . 4 ⊢ (∃𝑚∃𝑛(𝑚 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐻) ∧ 𝑛 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐾)) ↔ (∃𝑚 𝑚 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐻) ∧ ∃𝑛 𝑛 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐾)))
28	23, 26, 27	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑚∃𝑛(𝑚 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐻) ∧ 𝑛 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐾)))
29	9	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐻) ∧ 𝑛 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐾))) → (𝐹‘1) = (𝐺‘0))
30	1	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐻) ∧ 𝑛 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐾))) → 𝐹( ≃ph‘𝐽)𝐻)
31	5	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐻) ∧ 𝑛 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐾))) → 𝐺( ≃ph‘𝐽)𝐾)
32		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), ((2 · 𝑥)𝑚𝑦), (((2 · 𝑥) − 1)𝑛𝑦))) = (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), ((2 · 𝑥)𝑚𝑦), (((2 · 𝑥) − 1)𝑛𝑦)))
33		simprl 770	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐻) ∧ 𝑛 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐾))) → 𝑚 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐻))
34		simprr 772	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐻) ∧ 𝑛 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐾))) → 𝑛 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐾))
35	29, 30, 31, 32, 33, 34	pcohtpylem 24939	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐻) ∧ 𝑛 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐾))) → (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), ((2 · 𝑥)𝑚𝑦), (((2 · 𝑥) − 1)𝑛𝑦))) ∈ ((𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺)(PHtpy‘𝐽)(𝐻(*𝑝‘𝐽)𝐾)))
36	35	ne0d 4290	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐻) ∧ 𝑛 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐾))) → ((𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺)(PHtpy‘𝐽)(𝐻(*𝑝‘𝐽)𝐾)) ≠ ∅)
37	36	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑚 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐻) ∧ 𝑛 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐾)) → ((𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺)(PHtpy‘𝐽)(𝐻(*𝑝‘𝐽)𝐾)) ≠ ∅))
38	37	exlimdvv 1935	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑚∃𝑛(𝑚 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐻) ∧ 𝑛 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐾)) → ((𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺)(PHtpy‘𝐽)(𝐻(*𝑝‘𝐽)𝐾)) ≠ ∅))
39	28, 38	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺)(PHtpy‘𝐽)(𝐻(*𝑝‘𝐽)𝐾)) ≠ ∅)
40		isphtpc 24913	. 2 ⊢ ((𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺)( ≃ph‘𝐽)(𝐻(*𝑝‘𝐽)𝐾) ↔ ((𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐻(*𝑝‘𝐽)𝐾) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺)(PHtpy‘𝐽)(𝐻(*𝑝‘𝐽)𝐾)) ≠ ∅))
41	10, 20, 39, 40	syl3anbrc 1344	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹(*𝑝‘𝐽)𝐺)( ≃ph‘𝐽)(𝐻(*𝑝‘𝐽)𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2926  ∅c0 4281  ifcif 4473   class class class wbr 5089  ‘cfv 6477  (class class class)co 7341   ∈ cmpo 7343  0cc0 10998  1c1 10999   · cmul 11003   ≤ cle 11139   − cmin 11336   / cdiv 11766  2c2 12172  [,]cicc 13240   Cn ccn 23132  IIcii 24788  PHtpycphtpy 24887   ≃_phcphtpc 24888  *_𝑝cpco 24920

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-cnex 11054  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074  ax-pre-mulgt0 11075  ax-pre-sup 11076

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-tp 4579  df-op 4581  df-uni 4858  df-int 4896  df-iun 4941  df-iin 4942  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-isom 6486  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-of 7605  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-supp 8086  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-2o 8381  df-er 8617  df-map 8747  df-ixp 8817  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-fsupp 9241  df-fi 9290  df-sup 9321  df-inf 9322  df-oi 9391  df-card 9824  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-sub 11338  df-neg 11339  df-div 11767  df-nn 12118  df-2 12180  df-3 12181  df-4 12182  df-5 12183  df-6 12184  df-7 12185  df-8 12186  df-9 12187  df-n0 12374  df-z 12461  df-dec 12581  df-uz 12725  df-q 12839  df-rp 12883  df-xneg 13003  df-xadd 13004  df-xmul 13005  df-ioo 13241  df-icc 13244  df-fz 13400  df-fzo 13547  df-seq 13901  df-exp 13961  df-hash 14230  df-cj 14998  df-re 14999  df-im 15000  df-sqrt 15134  df-abs 15135  df-struct 17050  df-sets 17067  df-slot 17085  df-ndx 17097  df-base 17113  df-ress 17134  df-plusg 17166  df-mulr 17167  df-starv 17168  df-sca 17169  df-vsca 17170  df-ip 17171  df-tset 17172  df-ple 17173  df-ds 17175  df-unif 17176  df-hom 17177  df-cco 17178  df-rest 17318  df-topn 17319  df-0g 17337  df-gsum 17338  df-topgen 17339  df-pt 17340  df-prds 17343  df-xrs 17398  df-qtop 17403  df-imas 17404  df-xps 17406  df-mre 17480  df-mrc 17481  df-acs 17483  df-mgm 18540  df-sgrp 18619  df-mnd 18635  df-submnd 18684  df-mulg 18973  df-cntz 19222  df-cmn 19687  df-psmet 21276  df-xmet 21277  df-met 21278  df-bl 21279  df-mopn 21280  df-cnfld 21285  df-top 22802  df-topon 22819  df-topsp 22841  df-bases 22854  df-cld 22927  df-cn 23135  df-cnp 23136  df-tx 23470  df-hmeo 23663  df-xms 24228  df-ms 24229  df-tms 24230  df-ii 24790  df-htpy 24889  df-phtpy 24890  df-phtpc 24911  df-pco 24925

This theorem is referenced by:  pcophtb  24949  pi1cpbl  24964  pi1xfrf  24973  pi1xfr  24975  pi1xfrcnvlem  24976