MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcohtpy Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pcohtpy 24183
Description: Homotopy invariance of path concatenation. (Contributed by Jeff Madsen, 15-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pcohtpy.4 (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐺‘0))
pcohtpy.5 (𝜑𝐹( ≃ph𝐽)𝐻)
pcohtpy.6 (𝜑𝐺( ≃ph𝐽)𝐾)
Assertion
Ref Expression
pcohtpy (𝜑 → (𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)( ≃ph𝐽)(𝐻(*𝑝𝐽)𝐾))

Proof of Theorem pcohtpy
Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pcohtpy.5 . . . . 5 (𝜑𝐹( ≃ph𝐽)𝐻)
2 isphtpc 24157 . . . . 5 (𝐹( ≃ph𝐽)𝐻 ↔ (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝐻 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐻) ≠ ∅))
31, 2sylib 217 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝐻 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐻) ≠ ∅))
43simp1d 1141 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (II Cn 𝐽))
5 pcohtpy.6 . . . . 5 (𝜑𝐺( ≃ph𝐽)𝐾)
6 isphtpc 24157 . . . . 5 (𝐺( ≃ph𝐽)𝐾 ↔ (𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝐾 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐾) ≠ ∅))
75, 6sylib 217 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝐾 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐾) ≠ ∅))
87simp1d 1141 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
9 pcohtpy.4 . . 3 (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐺‘0))
104, 8, 9pcocn 24180 . 2 (𝜑 → (𝐹(*𝑝𝐽)𝐺) ∈ (II Cn 𝐽))
113simp2d 1142 . . 3 (𝜑𝐻 ∈ (II Cn 𝐽))
127simp2d 1142 . . 3 (𝜑𝐾 ∈ (II Cn 𝐽))
13 phtpc01 24159 . . . . . 6 (𝐹( ≃ph𝐽)𝐻 → ((𝐹‘0) = (𝐻‘0) ∧ (𝐹‘1) = (𝐻‘1)))
141, 13syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐹‘0) = (𝐻‘0) ∧ (𝐹‘1) = (𝐻‘1)))
1514simprd 496 . . . 4 (𝜑 → (𝐹‘1) = (𝐻‘1))
16 phtpc01 24159 . . . . . 6 (𝐺( ≃ph𝐽)𝐾 → ((𝐺‘0) = (𝐾‘0) ∧ (𝐺‘1) = (𝐾‘1)))
175, 16syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐺‘0) = (𝐾‘0) ∧ (𝐺‘1) = (𝐾‘1)))
1817simpld 495 . . . 4 (𝜑 → (𝐺‘0) = (𝐾‘0))
199, 15, 183eqtr3d 2786 . . 3 (𝜑 → (𝐻‘1) = (𝐾‘0))
2011, 12, 19pcocn 24180 . 2 (𝜑 → (𝐻(*𝑝𝐽)𝐾) ∈ (II Cn 𝐽))
213simp3d 1143 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐻) ≠ ∅)
22 n0 4280 . . . . 5 ((𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐻) ≠ ∅ ↔ ∃𝑚 𝑚 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐻))
2321, 22sylib 217 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑚 𝑚 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐻))
247simp3d 1143 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐾) ≠ ∅)
25 n0 4280 . . . . 5 ((𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐾) ≠ ∅ ↔ ∃𝑛 𝑛 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐾))
2624, 25sylib 217 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑛 𝑛 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐾))
27 exdistrv 1959 . . . 4 (∃𝑚𝑛(𝑚 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐻) ∧ 𝑛 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐾)) ↔ (∃𝑚 𝑚 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐻) ∧ ∃𝑛 𝑛 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐾)))
2823, 26, 27sylanbrc 583 . . 3 (𝜑 → ∃𝑚𝑛(𝑚 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐻) ∧ 𝑛 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐾)))
299adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐻) ∧ 𝑛 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐾))) → (𝐹‘1) = (𝐺‘0))
301adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐻) ∧ 𝑛 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐾))) → 𝐹( ≃ph𝐽)𝐻)
315adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐻) ∧ 𝑛 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐾))) → 𝐺( ≃ph𝐽)𝐾)
32 eqid 2738 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), ((2 · 𝑥)𝑚𝑦), (((2 · 𝑥) − 1)𝑛𝑦))) = (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), ((2 · 𝑥)𝑚𝑦), (((2 · 𝑥) − 1)𝑛𝑦)))
33 simprl 768 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐻) ∧ 𝑛 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐾))) → 𝑚 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐻))
34 simprr 770 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐻) ∧ 𝑛 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐾))) → 𝑛 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐾))
3529, 30, 31, 32, 33, 34pcohtpylem 24182 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐻) ∧ 𝑛 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐾))) → (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 ≤ (1 / 2), ((2 · 𝑥)𝑚𝑦), (((2 · 𝑥) − 1)𝑛𝑦))) ∈ ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)(PHtpy‘𝐽)(𝐻(*𝑝𝐽)𝐾)))
3635ne0d 4269 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑚 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐻) ∧ 𝑛 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐾))) → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)(PHtpy‘𝐽)(𝐻(*𝑝𝐽)𝐾)) ≠ ∅)
3736ex 413 . . . 4 (𝜑 → ((𝑚 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐻) ∧ 𝑛 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐾)) → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)(PHtpy‘𝐽)(𝐻(*𝑝𝐽)𝐾)) ≠ ∅))
3837exlimdvv 1937 . . 3 (𝜑 → (∃𝑚𝑛(𝑚 ∈ (𝐹(PHtpy‘𝐽)𝐻) ∧ 𝑛 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐾)) → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)(PHtpy‘𝐽)(𝐻(*𝑝𝐽)𝐾)) ≠ ∅))
3928, 38mpd 15 . 2 (𝜑 → ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)(PHtpy‘𝐽)(𝐻(*𝑝𝐽)𝐾)) ≠ ∅)
40 isphtpc 24157 . 2 ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)( ≃ph𝐽)(𝐻(*𝑝𝐽)𝐾) ↔ ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐻(*𝑝𝐽)𝐾) ∈ (II Cn 𝐽) ∧ ((𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)(PHtpy‘𝐽)(𝐻(*𝑝𝐽)𝐾)) ≠ ∅))
4110, 20, 39, 40syl3anbrc 1342 1 (𝜑 → (𝐹(*𝑝𝐽)𝐺)( ≃ph𝐽)(𝐻(*𝑝𝐽)𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1086   = wceq 1539  wex 1782  wcel 2106  wne 2943  c0 4256  ifcif 4459   class class class wbr 5074  cfv 6433  (class class class)co 7275  cmpo 7277  0cc0 10871  1c1 10872   · cmul 10876  cle 11010  cmin 11205   / cdiv 11632  2c2 12028  [,]cicc 13082   Cn ccn 22375  IIcii 24038  PHtpycphtpy 24131  phcphtpc 24132  *𝑝cpco 24163
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949  ax-mulf 10951
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-er 8498  df-map 8617  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-fi 9170  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-ioo 13083  df-icc 13086  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-hom 16986  df-cco 16987  df-rest 17133  df-topn 17134  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-topgen 17154  df-pt 17155  df-prds 17158  df-xrs 17213  df-qtop 17218  df-imas 17219  df-xps 17221  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-submnd 18431  df-mulg 18701  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-met 20591  df-bl 20592  df-mopn 20593  df-cnfld 20598  df-top 22043  df-topon 22060  df-topsp 22082  df-bases 22096  df-cld 22170  df-cn 22378  df-cnp 22379  df-tx 22713  df-hmeo 22906  df-xms 23473  df-ms 23474  df-tms 23475  df-ii 24040  df-htpy 24133  df-phtpy 24134  df-phtpc 24155  df-pco 24168
This theorem is referenced by:  pcophtb  24192  pi1cpbl  24207  pi1xfrf  24216  pi1xfr  24218  pi1xfrcnvlem  24219
  Copyright terms: Public domain W3C validator