MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  phtpcer Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem phtpcer 24374
Description: Path homotopy is an equivalence relation. Proposition 1.2 of [Hatcher] p. 26. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jul-2015.) (Proof shortened by AV, 1-May-2021.)
Assertion
Ref Expression
phtpcer ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ) Er (II Cn ๐ฝ)

Proof of Theorem phtpcer
Dummy variables ๐‘“ ๐‘” ๐‘ข ๐‘ฃ ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 phtpcrel 24372 . 2 Rel ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)
2 isphtpc 24373 . . . 4 (๐‘ฅ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ฆ โ†” (๐‘ฅ โˆˆ (II Cn ๐ฝ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (II Cn ๐ฝ) โˆง (๐‘ฅ(PHtpyโ€˜๐ฝ)๐‘ฆ) โ‰  โˆ…))
32simp2bi 1147 . . 3 (๐‘ฅ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ฆ โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ (II Cn ๐ฝ))
42simp1bi 1146 . . 3 (๐‘ฅ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ฆ โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ (II Cn ๐ฝ))
52simp3bi 1148 . . . . 5 (๐‘ฅ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ฆ โ†’ (๐‘ฅ(PHtpyโ€˜๐ฝ)๐‘ฆ) โ‰  โˆ…)
6 n0 4311 . . . . 5 ((๐‘ฅ(PHtpyโ€˜๐ฝ)๐‘ฆ) โ‰  โˆ… โ†” โˆƒ๐‘“ ๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ(PHtpyโ€˜๐ฝ)๐‘ฆ))
75, 6sylib 217 . . . 4 (๐‘ฅ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ฆ โ†’ โˆƒ๐‘“ ๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ(PHtpyโ€˜๐ฝ)๐‘ฆ))
84adantr 482 . . . . . 6 ((๐‘ฅ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ฆ โˆง ๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ(PHtpyโ€˜๐ฝ)๐‘ฆ)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ (II Cn ๐ฝ))
93adantr 482 . . . . . 6 ((๐‘ฅ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ฆ โˆง ๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ(PHtpyโ€˜๐ฝ)๐‘ฆ)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ (II Cn ๐ฝ))
10 eqid 2737 . . . . . 6 (๐‘ข โˆˆ (0[,]1), ๐‘ฃ โˆˆ (0[,]1) โ†ฆ (๐‘ข๐‘“(1 โˆ’ ๐‘ฃ))) = (๐‘ข โˆˆ (0[,]1), ๐‘ฃ โˆˆ (0[,]1) โ†ฆ (๐‘ข๐‘“(1 โˆ’ ๐‘ฃ)))
11 simpr 486 . . . . . 6 ((๐‘ฅ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ฆ โˆง ๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ(PHtpyโ€˜๐ฝ)๐‘ฆ)) โ†’ ๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ(PHtpyโ€˜๐ฝ)๐‘ฆ))
128, 9, 10, 11phtpycom 24367 . . . . 5 ((๐‘ฅ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ฆ โˆง ๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ(PHtpyโ€˜๐ฝ)๐‘ฆ)) โ†’ (๐‘ข โˆˆ (0[,]1), ๐‘ฃ โˆˆ (0[,]1) โ†ฆ (๐‘ข๐‘“(1 โˆ’ ๐‘ฃ))) โˆˆ (๐‘ฆ(PHtpyโ€˜๐ฝ)๐‘ฅ))
1312ne0d 4300 . . . 4 ((๐‘ฅ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ฆ โˆง ๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ(PHtpyโ€˜๐ฝ)๐‘ฆ)) โ†’ (๐‘ฆ(PHtpyโ€˜๐ฝ)๐‘ฅ) โ‰  โˆ…)
147, 13exlimddv 1939 . . 3 (๐‘ฅ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ฆ โ†’ (๐‘ฆ(PHtpyโ€˜๐ฝ)๐‘ฅ) โ‰  โˆ…)
15 isphtpc 24373 . . 3 (๐‘ฆ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ฅ โ†” (๐‘ฆ โˆˆ (II Cn ๐ฝ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (II Cn ๐ฝ) โˆง (๐‘ฆ(PHtpyโ€˜๐ฝ)๐‘ฅ) โ‰  โˆ…))
163, 4, 14, 15syl3anbrc 1344 . 2 (๐‘ฅ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ฆ โ†’ ๐‘ฆ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ฅ)
174adantr 482 . . 3 ((๐‘ฅ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ฆ โˆง ๐‘ฆ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ง) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ (II Cn ๐ฝ))
18 simpr 486 . . . . 5 ((๐‘ฅ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ฆ โˆง ๐‘ฆ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ง) โ†’ ๐‘ฆ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ง)
19 isphtpc 24373 . . . . 5 (๐‘ฆ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ง โ†” (๐‘ฆ โˆˆ (II Cn ๐ฝ) โˆง ๐‘ง โˆˆ (II Cn ๐ฝ) โˆง (๐‘ฆ(PHtpyโ€˜๐ฝ)๐‘ง) โ‰  โˆ…))
2018, 19sylib 217 . . . 4 ((๐‘ฅ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ฆ โˆง ๐‘ฆ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ง) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ (II Cn ๐ฝ) โˆง ๐‘ง โˆˆ (II Cn ๐ฝ) โˆง (๐‘ฆ(PHtpyโ€˜๐ฝ)๐‘ง) โ‰  โˆ…))
2120simp2d 1144 . . 3 ((๐‘ฅ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ฆ โˆง ๐‘ฆ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ง) โ†’ ๐‘ง โˆˆ (II Cn ๐ฝ))
225adantr 482 . . . . . 6 ((๐‘ฅ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ฆ โˆง ๐‘ฆ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ง) โ†’ (๐‘ฅ(PHtpyโ€˜๐ฝ)๐‘ฆ) โ‰  โˆ…)
2322, 6sylib 217 . . . . 5 ((๐‘ฅ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ฆ โˆง ๐‘ฆ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ง) โ†’ โˆƒ๐‘“ ๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ(PHtpyโ€˜๐ฝ)๐‘ฆ))
2420simp3d 1145 . . . . . 6 ((๐‘ฅ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ฆ โˆง ๐‘ฆ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ง) โ†’ (๐‘ฆ(PHtpyโ€˜๐ฝ)๐‘ง) โ‰  โˆ…)
25 n0 4311 . . . . . 6 ((๐‘ฆ(PHtpyโ€˜๐ฝ)๐‘ง) โ‰  โˆ… โ†” โˆƒ๐‘” ๐‘” โˆˆ (๐‘ฆ(PHtpyโ€˜๐ฝ)๐‘ง))
2624, 25sylib 217 . . . . 5 ((๐‘ฅ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ฆ โˆง ๐‘ฆ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ง) โ†’ โˆƒ๐‘” ๐‘” โˆˆ (๐‘ฆ(PHtpyโ€˜๐ฝ)๐‘ง))
27 exdistrv 1960 . . . . 5 (โˆƒ๐‘“โˆƒ๐‘”(๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ(PHtpyโ€˜๐ฝ)๐‘ฆ) โˆง ๐‘” โˆˆ (๐‘ฆ(PHtpyโ€˜๐ฝ)๐‘ง)) โ†” (โˆƒ๐‘“ ๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ(PHtpyโ€˜๐ฝ)๐‘ฆ) โˆง โˆƒ๐‘” ๐‘” โˆˆ (๐‘ฆ(PHtpyโ€˜๐ฝ)๐‘ง)))
2823, 26, 27sylanbrc 584 . . . 4 ((๐‘ฅ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ฆ โˆง ๐‘ฆ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ง) โ†’ โˆƒ๐‘“โˆƒ๐‘”(๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ(PHtpyโ€˜๐ฝ)๐‘ฆ) โˆง ๐‘” โˆˆ (๐‘ฆ(PHtpyโ€˜๐ฝ)๐‘ง)))
29 eqid 2737 . . . . . . . 8 (๐‘ข โˆˆ (0[,]1), ๐‘ฃ โˆˆ (0[,]1) โ†ฆ if(๐‘ฃ โ‰ค (1 / 2), (๐‘ข๐‘“(2 ยท ๐‘ฃ)), (๐‘ข๐‘”((2 ยท ๐‘ฃ) โˆ’ 1)))) = (๐‘ข โˆˆ (0[,]1), ๐‘ฃ โˆˆ (0[,]1) โ†ฆ if(๐‘ฃ โ‰ค (1 / 2), (๐‘ข๐‘“(2 ยท ๐‘ฃ)), (๐‘ข๐‘”((2 ยท ๐‘ฃ) โˆ’ 1))))
3017adantr 482 . . . . . . . 8 (((๐‘ฅ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ฆ โˆง ๐‘ฆ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ง) โˆง (๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ(PHtpyโ€˜๐ฝ)๐‘ฆ) โˆง ๐‘” โˆˆ (๐‘ฆ(PHtpyโ€˜๐ฝ)๐‘ง))) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ (II Cn ๐ฝ))
3120simp1d 1143 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ฆ โˆง ๐‘ฆ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ง) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ (II Cn ๐ฝ))
3231adantr 482 . . . . . . . 8 (((๐‘ฅ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ฆ โˆง ๐‘ฆ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ง) โˆง (๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ(PHtpyโ€˜๐ฝ)๐‘ฆ) โˆง ๐‘” โˆˆ (๐‘ฆ(PHtpyโ€˜๐ฝ)๐‘ง))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ (II Cn ๐ฝ))
3321adantr 482 . . . . . . . 8 (((๐‘ฅ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ฆ โˆง ๐‘ฆ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ง) โˆง (๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ(PHtpyโ€˜๐ฝ)๐‘ฆ) โˆง ๐‘” โˆˆ (๐‘ฆ(PHtpyโ€˜๐ฝ)๐‘ง))) โ†’ ๐‘ง โˆˆ (II Cn ๐ฝ))
34 simprl 770 . . . . . . . 8 (((๐‘ฅ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ฆ โˆง ๐‘ฆ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ง) โˆง (๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ(PHtpyโ€˜๐ฝ)๐‘ฆ) โˆง ๐‘” โˆˆ (๐‘ฆ(PHtpyโ€˜๐ฝ)๐‘ง))) โ†’ ๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ(PHtpyโ€˜๐ฝ)๐‘ฆ))
35 simprr 772 . . . . . . . 8 (((๐‘ฅ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ฆ โˆง ๐‘ฆ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ง) โˆง (๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ(PHtpyโ€˜๐ฝ)๐‘ฆ) โˆง ๐‘” โˆˆ (๐‘ฆ(PHtpyโ€˜๐ฝ)๐‘ง))) โ†’ ๐‘” โˆˆ (๐‘ฆ(PHtpyโ€˜๐ฝ)๐‘ง))
3629, 30, 32, 33, 34, 35phtpycc 24370 . . . . . . 7 (((๐‘ฅ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ฆ โˆง ๐‘ฆ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ง) โˆง (๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ(PHtpyโ€˜๐ฝ)๐‘ฆ) โˆง ๐‘” โˆˆ (๐‘ฆ(PHtpyโ€˜๐ฝ)๐‘ง))) โ†’ (๐‘ข โˆˆ (0[,]1), ๐‘ฃ โˆˆ (0[,]1) โ†ฆ if(๐‘ฃ โ‰ค (1 / 2), (๐‘ข๐‘“(2 ยท ๐‘ฃ)), (๐‘ข๐‘”((2 ยท ๐‘ฃ) โˆ’ 1)))) โˆˆ (๐‘ฅ(PHtpyโ€˜๐ฝ)๐‘ง))
3736ne0d 4300 . . . . . 6 (((๐‘ฅ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ฆ โˆง ๐‘ฆ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ง) โˆง (๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ(PHtpyโ€˜๐ฝ)๐‘ฆ) โˆง ๐‘” โˆˆ (๐‘ฆ(PHtpyโ€˜๐ฝ)๐‘ง))) โ†’ (๐‘ฅ(PHtpyโ€˜๐ฝ)๐‘ง) โ‰  โˆ…)
3837ex 414 . . . . 5 ((๐‘ฅ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ฆ โˆง ๐‘ฆ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ง) โ†’ ((๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ(PHtpyโ€˜๐ฝ)๐‘ฆ) โˆง ๐‘” โˆˆ (๐‘ฆ(PHtpyโ€˜๐ฝ)๐‘ง)) โ†’ (๐‘ฅ(PHtpyโ€˜๐ฝ)๐‘ง) โ‰  โˆ…))
3938exlimdvv 1938 . . . 4 ((๐‘ฅ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ฆ โˆง ๐‘ฆ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ง) โ†’ (โˆƒ๐‘“โˆƒ๐‘”(๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ(PHtpyโ€˜๐ฝ)๐‘ฆ) โˆง ๐‘” โˆˆ (๐‘ฆ(PHtpyโ€˜๐ฝ)๐‘ง)) โ†’ (๐‘ฅ(PHtpyโ€˜๐ฝ)๐‘ง) โ‰  โˆ…))
4028, 39mpd 15 . . 3 ((๐‘ฅ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ฆ โˆง ๐‘ฆ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ง) โ†’ (๐‘ฅ(PHtpyโ€˜๐ฝ)๐‘ง) โ‰  โˆ…)
41 isphtpc 24373 . . 3 (๐‘ฅ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ง โ†” (๐‘ฅ โˆˆ (II Cn ๐ฝ) โˆง ๐‘ง โˆˆ (II Cn ๐ฝ) โˆง (๐‘ฅ(PHtpyโ€˜๐ฝ)๐‘ง) โ‰  โˆ…))
4217, 21, 40, 41syl3anbrc 1344 . 2 ((๐‘ฅ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ฆ โˆง ๐‘ฆ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ง) โ†’ ๐‘ฅ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ง)
43 eqid 2737 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ (0[,]1), ๐‘ง โˆˆ (0[,]1) โ†ฆ (๐‘ฅโ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘ฆ โˆˆ (0[,]1), ๐‘ง โˆˆ (0[,]1) โ†ฆ (๐‘ฅโ€˜๐‘ฆ))
44 id 22 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ (II Cn ๐ฝ) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ (II Cn ๐ฝ))
4543, 44phtpyid 24368 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ (II Cn ๐ฝ) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ (0[,]1), ๐‘ง โˆˆ (0[,]1) โ†ฆ (๐‘ฅโ€˜๐‘ฆ)) โˆˆ (๐‘ฅ(PHtpyโ€˜๐ฝ)๐‘ฅ))
4645ne0d 4300 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ (II Cn ๐ฝ) โ†’ (๐‘ฅ(PHtpyโ€˜๐ฝ)๐‘ฅ) โ‰  โˆ…)
4746ancli 550 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ (II Cn ๐ฝ) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (II Cn ๐ฝ) โˆง (๐‘ฅ(PHtpyโ€˜๐ฝ)๐‘ฅ) โ‰  โˆ…))
4847pm4.71ri 562 . . . 4 (๐‘ฅ โˆˆ (II Cn ๐ฝ) โ†” ((๐‘ฅ โˆˆ (II Cn ๐ฝ) โˆง (๐‘ฅ(PHtpyโ€˜๐ฝ)๐‘ฅ) โ‰  โˆ…) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (II Cn ๐ฝ)))
49 df-3an 1090 . . . 4 ((๐‘ฅ โˆˆ (II Cn ๐ฝ) โˆง (๐‘ฅ(PHtpyโ€˜๐ฝ)๐‘ฅ) โ‰  โˆ… โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (II Cn ๐ฝ)) โ†” ((๐‘ฅ โˆˆ (II Cn ๐ฝ) โˆง (๐‘ฅ(PHtpyโ€˜๐ฝ)๐‘ฅ) โ‰  โˆ…) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (II Cn ๐ฝ)))
50 3ancomb 1100 . . . 4 ((๐‘ฅ โˆˆ (II Cn ๐ฝ) โˆง (๐‘ฅ(PHtpyโ€˜๐ฝ)๐‘ฅ) โ‰  โˆ… โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (II Cn ๐ฝ)) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ (II Cn ๐ฝ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (II Cn ๐ฝ) โˆง (๐‘ฅ(PHtpyโ€˜๐ฝ)๐‘ฅ) โ‰  โˆ…))
5148, 49, 503bitr2i 299 . . 3 (๐‘ฅ โˆˆ (II Cn ๐ฝ) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ (II Cn ๐ฝ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (II Cn ๐ฝ) โˆง (๐‘ฅ(PHtpyโ€˜๐ฝ)๐‘ฅ) โ‰  โˆ…))
52 isphtpc 24373 . . 3 (๐‘ฅ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ฅ โ†” (๐‘ฅ โˆˆ (II Cn ๐ฝ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (II Cn ๐ฝ) โˆง (๐‘ฅ(PHtpyโ€˜๐ฝ)๐‘ฅ) โ‰  โˆ…))
5351, 52bitr4i 278 . 2 (๐‘ฅ โˆˆ (II Cn ๐ฝ) โ†” ๐‘ฅ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ฅ)
541, 16, 42, 53iseri 8682 1 ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ) Er (II Cn ๐ฝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088  โˆƒwex 1782   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2944  โˆ…c0 4287  ifcif 4491   class class class wbr 5110  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   โˆˆ cmpo 7364   Er wer 8652  0cc0 11058  1c1 11059   ยท cmul 11063   โ‰ค cle 11197   โˆ’ cmin 11392   / cdiv 11819  2c2 12215  [,]cicc 13274   Cn ccn 22591  IIcii 24254  PHtpycphtpy 24347   โ‰ƒphcphtpc 24348
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-map 8774  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-pt 17333  df-prds 17336  df-xrs 17391  df-qtop 17396  df-imas 17397  df-xps 17399  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-mulg 18880  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-ii 24256  df-htpy 24349  df-phtpy 24350  df-phtpc 24371
This theorem is referenced by:  pcophtb  24408  pi1buni  24419  pi1addf  24426  pi1addval  24427  pi1grplem  24428  pi1inv  24431  pi1xfrf  24432  pi1xfr  24434  pi1xfrcnvlem  24435  pi1cof  24438  sconnpi1  33873
  Copyright terms: Public domain W3C validator