Theorem phtpcer 24735

Description: Path homotopy is an equivalence relation. Proposition 1.2 of [Hatcher] p. 26. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jul-2015.) (Proof shortened by AV, 1-May-2021.)

Assertion

Ref	Expression
phtpcer	⊢ ( ≃ph‘𝐽) Er (II Cn 𝐽)

Proof of Theorem phtpcer

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑢 𝑣 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phtpcrel 24733	. 2 ⊢ Rel ( ≃ph‘𝐽)
2		isphtpc 24734	. . . 4 ⊢ (𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ↔ (𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦) ≠ ∅))
3	2	simp2bi 1146	. . 3 ⊢ (𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 → 𝑦 ∈ (II Cn 𝐽))
4	2	simp1bi 1145	. . 3 ⊢ (𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 → 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽))
5	2	simp3bi 1147	. . . . 5 ⊢ (𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 → (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦) ≠ ∅)
6		n0 4346	. . . . 5 ⊢ ((𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦))
7	5, 6	sylib 217	. . . 4 ⊢ (𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 → ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦))
8	4	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑓 ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦)) → 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽))
9	3	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑓 ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦)) → 𝑦 ∈ (II Cn 𝐽))
10		eqid 2732	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 ∈ (0[,]1), 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝑓(1 − 𝑣))) = (𝑢 ∈ (0[,]1), 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝑓(1 − 𝑣)))
11		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑓 ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦)) → 𝑓 ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦))
12	8, 9, 10, 11	phtpycom 24728	. . . . 5 ⊢ ((𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑓 ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦)) → (𝑢 ∈ (0[,]1), 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝑓(1 − 𝑣))) ∈ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑥))
13	12	ne0d 4335	. . . 4 ⊢ ((𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑓 ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦)) → (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑥) ≠ ∅)
14	7, 13	exlimddv 1938	. . 3 ⊢ (𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 → (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑥) ≠ ∅)
15		isphtpc 24734	. . 3 ⊢ (𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑥 ↔ (𝑦 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑥) ≠ ∅))
16	3, 4, 14, 15	syl3anbrc 1343	. 2 ⊢ (𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 → 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑥)
17	4	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑧) → 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽))
18		simpr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑧) → 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑧)
19		isphtpc 24734	. . . . 5 ⊢ (𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑧 ↔ (𝑦 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑧 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑧) ≠ ∅))
20	18, 19	sylib 217	. . . 4 ⊢ ((𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑧) → (𝑦 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑧 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑧) ≠ ∅))
21	20	simp2d 1143	. . 3 ⊢ ((𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑧) → 𝑧 ∈ (II Cn 𝐽))
22	5	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑧) → (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦) ≠ ∅)
23	22, 6	sylib 217	. . . . 5 ⊢ ((𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑧) → ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦))
24	20	simp3d 1144	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑧) → (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑧) ≠ ∅)
25		n0 4346	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑧) ≠ ∅ ↔ ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑧))
26	24, 25	sylib 217	. . . . 5 ⊢ ((𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑧) → ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑧))
27		exdistrv 1959	. . . . 5 ⊢ (∃𝑓∃𝑔(𝑓 ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑧)) ↔ (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦) ∧ ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑧)))
28	23, 26, 27	sylanbrc 583	. . . 4 ⊢ ((𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑧) → ∃𝑓∃𝑔(𝑓 ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑧)))
29		eqid 2732	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 ∈ (0[,]1), 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑣 ≤ (1 / 2), (𝑢𝑓(2 · 𝑣)), (𝑢𝑔((2 · 𝑣) − 1)))) = (𝑢 ∈ (0[,]1), 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑣 ≤ (1 / 2), (𝑢𝑓(2 · 𝑣)), (𝑢𝑔((2 · 𝑣) − 1))))
30	17	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑧) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑧))) → 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽))
31	20	simp1d 1142	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑧) → 𝑦 ∈ (II Cn 𝐽))
32	31	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑧) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑧))) → 𝑦 ∈ (II Cn 𝐽))
33	21	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑧) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑧))) → 𝑧 ∈ (II Cn 𝐽))
34		simprl 769	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑧) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑧))) → 𝑓 ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦))
35		simprr 771	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑧) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑧))) → 𝑔 ∈ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑧))
36	29, 30, 32, 33, 34, 35	phtpycc 24731	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑧) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑧))) → (𝑢 ∈ (0[,]1), 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑣 ≤ (1 / 2), (𝑢𝑓(2 · 𝑣)), (𝑢𝑔((2 · 𝑣) − 1)))) ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑧))
37	36	ne0d 4335	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑧) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑧))) → (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑧) ≠ ∅)
38	37	ex 413	. . . . 5 ⊢ ((𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑧) → ((𝑓 ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑧)) → (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑧) ≠ ∅))
39	38	exlimdvv 1937	. . . 4 ⊢ ((𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑧) → (∃𝑓∃𝑔(𝑓 ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑧)) → (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑧) ≠ ∅))
40	28, 39	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑧) → (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑧) ≠ ∅)
41		isphtpc 24734	. . 3 ⊢ (𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑧 ↔ (𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑧 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑧) ≠ ∅))
42	17, 21, 40, 41	syl3anbrc 1343	. 2 ⊢ ((𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑧) → 𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑧)
43		eqid 2732	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1), 𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘𝑦)) = (𝑦 ∈ (0[,]1), 𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘𝑦))
44		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽))
45	43, 44	phtpyid 24729	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑦 ∈ (0[,]1), 𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘𝑦)) ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑥))
46	45	ne0d 4335	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑥) ≠ ∅)
47	46	ancli 549	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑥) ≠ ∅))
48	47	pm4.71ri 561	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ↔ ((𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑥) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽)))
49		df-3an 1089	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑥) ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽)) ↔ ((𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑥) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽)))
50		3ancomb 1099	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑥) ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽)) ↔ (𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑥) ≠ ∅))
51	48, 49, 50	3bitr2i 298	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ↔ (𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑥) ≠ ∅))
52		isphtpc 24734	. . 3 ⊢ (𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑥 ↔ (𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑥) ≠ ∅))
53	51, 52	bitr4i 277	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ↔ 𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑥)
54	1, 16, 42, 53	iseri 8732	1 ⊢ ( ≃ph‘𝐽) Er (II Cn 𝐽)

Syntax hints:   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087  ∃wex 1781   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  ∅c0 4322  ifcif 4528   class class class wbr 5148  ‘cfv 6543  (class class class)co 7411   ∈ cmpo 7413   Er wer 8702  0cc0 11112  1c1 11113   · cmul 11117   ≤ cle 11253   − cmin 11448   / cdiv 11875  2c2 12271  [,]cicc 13331   Cn ccn 22948  IIcii 24615  PHtpycphtpy 24708   ≃_phcphtpc 24709

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-mulf 11192

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-topgen 17393  df-pt 17394  df-prds 17397  df-xrs 17452  df-qtop 17457  df-imas 17458  df-xps 17460  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-mulg 18987  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cld 22743  df-cn 22951  df-cnp 22952  df-tx 23286  df-hmeo 23479  df-xms 24046  df-ms 24047  df-tms 24048  df-ii 24617  df-htpy 24710  df-phtpy 24711  df-phtpc 24732

This theorem is referenced by:  pcophtb  24769  pi1buni  24780  pi1addf  24787  pi1addval  24788  pi1grplem  24789  pi1inv  24792  pi1xfrf  24793  pi1xfr  24795  pi1xfrcnvlem  24796  pi1cof  24799  sconnpi1  34516