Theorem phtpcer 25046

Description: Path homotopy is an equivalence relation. Proposition 1.2 of [Hatcher] p. 26. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jul-2015.) (Proof shortened by AV, 1-May-2021.)

Assertion

Ref	Expression
phtpcer	⊢ ( ≃ph‘𝐽) Er (II Cn 𝐽)

Proof of Theorem phtpcer

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑢 𝑣 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phtpcrel 25044	. 2 ⊢ Rel ( ≃ph‘𝐽)
2		isphtpc 25045	. . . 4 ⊢ (𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ↔ (𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦) ≠ ∅))
3	2	simp2bi 1146	. . 3 ⊢ (𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 → 𝑦 ∈ (II Cn 𝐽))
4	2	simp1bi 1145	. . 3 ⊢ (𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 → 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽))
5	2	simp3bi 1147	. . . . 5 ⊢ (𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 → (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦) ≠ ∅)
6		n0 4376	. . . . 5 ⊢ ((𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦))
7	5, 6	sylib 218	. . . 4 ⊢ (𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 → ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦))
8	4	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑓 ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦)) → 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽))
9	3	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑓 ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦)) → 𝑦 ∈ (II Cn 𝐽))
10		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 ∈ (0[,]1), 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝑓(1 − 𝑣))) = (𝑢 ∈ (0[,]1), 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝑓(1 − 𝑣)))
11		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑓 ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦)) → 𝑓 ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦))
12	8, 9, 10, 11	phtpycom 25039	. . . . 5 ⊢ ((𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑓 ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦)) → (𝑢 ∈ (0[,]1), 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝑓(1 − 𝑣))) ∈ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑥))
13	12	ne0d 4365	. . . 4 ⊢ ((𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑓 ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦)) → (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑥) ≠ ∅)
14	7, 13	exlimddv 1934	. . 3 ⊢ (𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 → (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑥) ≠ ∅)
15		isphtpc 25045	. . 3 ⊢ (𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑥 ↔ (𝑦 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑥) ≠ ∅))
16	3, 4, 14, 15	syl3anbrc 1343	. 2 ⊢ (𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 → 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑥)
17	4	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑧) → 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽))
18		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑧) → 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑧)
19		isphtpc 25045	. . . . 5 ⊢ (𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑧 ↔ (𝑦 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑧 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑧) ≠ ∅))
20	18, 19	sylib 218	. . . 4 ⊢ ((𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑧) → (𝑦 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑧 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑧) ≠ ∅))
21	20	simp2d 1143	. . 3 ⊢ ((𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑧) → 𝑧 ∈ (II Cn 𝐽))
22	5	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑧) → (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦) ≠ ∅)
23	22, 6	sylib 218	. . . . 5 ⊢ ((𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑧) → ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦))
24	20	simp3d 1144	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑧) → (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑧) ≠ ∅)
25		n0 4376	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑧) ≠ ∅ ↔ ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑧))
26	24, 25	sylib 218	. . . . 5 ⊢ ((𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑧) → ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑧))
27		exdistrv 1955	. . . . 5 ⊢ (∃𝑓∃𝑔(𝑓 ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑧)) ↔ (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦) ∧ ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑧)))
28	23, 26, 27	sylanbrc 582	. . . 4 ⊢ ((𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑧) → ∃𝑓∃𝑔(𝑓 ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑧)))
29		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 ∈ (0[,]1), 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑣 ≤ (1 / 2), (𝑢𝑓(2 · 𝑣)), (𝑢𝑔((2 · 𝑣) − 1)))) = (𝑢 ∈ (0[,]1), 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑣 ≤ (1 / 2), (𝑢𝑓(2 · 𝑣)), (𝑢𝑔((2 · 𝑣) − 1))))
30	17	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑧) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑧))) → 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽))
31	20	simp1d 1142	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑧) → 𝑦 ∈ (II Cn 𝐽))
32	31	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑧) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑧))) → 𝑦 ∈ (II Cn 𝐽))
33	21	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑧) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑧))) → 𝑧 ∈ (II Cn 𝐽))
34		simprl 770	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑧) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑧))) → 𝑓 ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦))
35		simprr 772	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑧) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑧))) → 𝑔 ∈ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑧))
36	29, 30, 32, 33, 34, 35	phtpycc 25042	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑧) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑧))) → (𝑢 ∈ (0[,]1), 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑣 ≤ (1 / 2), (𝑢𝑓(2 · 𝑣)), (𝑢𝑔((2 · 𝑣) − 1)))) ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑧))
37	36	ne0d 4365	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑧) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑧))) → (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑧) ≠ ∅)
38	37	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑧) → ((𝑓 ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑧)) → (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑧) ≠ ∅))
39	38	exlimdvv 1933	. . . 4 ⊢ ((𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑧) → (∃𝑓∃𝑔(𝑓 ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑧)) → (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑧) ≠ ∅))
40	28, 39	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑧) → (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑧) ≠ ∅)
41		isphtpc 25045	. . 3 ⊢ (𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑧 ↔ (𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑧 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑧) ≠ ∅))
42	17, 21, 40, 41	syl3anbrc 1343	. 2 ⊢ ((𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑧) → 𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑧)
43		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1), 𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘𝑦)) = (𝑦 ∈ (0[,]1), 𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘𝑦))
44		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽))
45	43, 44	phtpyid 25040	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑦 ∈ (0[,]1), 𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘𝑦)) ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑥))
46	45	ne0d 4365	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑥) ≠ ∅)
47	46	ancli 548	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑥) ≠ ∅))
48	47	pm4.71ri 560	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ↔ ((𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑥) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽)))
49		df-3an 1089	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑥) ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽)) ↔ ((𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑥) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽)))
50		3ancomb 1099	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑥) ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽)) ↔ (𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑥) ≠ ∅))
51	48, 49, 50	3bitr2i 299	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ↔ (𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑥) ≠ ∅))
52		isphtpc 25045	. . 3 ⊢ (𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑥 ↔ (𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑥) ≠ ∅))
53	51, 52	bitr4i 278	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ↔ 𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑥)
54	1, 16, 42, 53	iseri 8790	1 ⊢ ( ≃ph‘𝐽) Er (II Cn 𝐽)

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087  ∃wex 1777   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∅c0 4352  ifcif 4548   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   ∈ cmpo 7450   Er wer 8760  0cc0 11184  1c1 11185   · cmul 11189   ≤ cle 11325   − cmin 11520   / cdiv 11947  2c2 12348  [,]cicc 13410   Cn ccn 23253  IIcii 24920  PHtpycphtpy 25019   ≃_phcphtpc 25020

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-map 8886  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-fi 9480  df-sup 9511  df-inf 9512  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-xneg 13175  df-xadd 13176  df-xmul 13177  df-ioo 13411  df-icc 13414  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-seq 14053  df-exp 14113  df-hash 14380  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-hom 17335  df-cco 17336  df-rest 17482  df-topn 17483  df-0g 17501  df-gsum 17502  df-topgen 17503  df-pt 17504  df-prds 17507  df-xrs 17562  df-qtop 17567  df-imas 17568  df-xps 17570  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-submnd 18819  df-mulg 19108  df-cntz 19357  df-cmn 19824  df-psmet 21379  df-xmet 21380  df-met 21381  df-bl 21382  df-mopn 21383  df-cnfld 21388  df-top 22921  df-topon 22938  df-topsp 22960  df-bases 22974  df-cld 23048  df-cn 23256  df-cnp 23257  df-tx 23591  df-hmeo 23784  df-xms 24351  df-ms 24352  df-tms 24353  df-ii 24922  df-htpy 25021  df-phtpy 25022  df-phtpc 25043

This theorem is referenced by:  pcophtb  25081  pi1buni  25092  pi1addf  25099  pi1addval  25100  pi1grplem  25101  pi1inv  25104  pi1xfrf  25105  pi1xfr  25107  pi1xfrcnvlem  25108  pi1cof  25111  sconnpi1  35207