Theorem phtpcer 25135

Description: Path homotopy is an equivalence relation. Proposition 1.2 of [Hatcher] p. 26. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jul-2015.) (Proof shortened by AV, 1-May-2021.)

Assertion

Ref	Expression
phtpcer	⊢ ( ≃ph‘𝐽) Er (II Cn 𝐽)

Proof of Theorem phtpcer

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑢 𝑣 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phtpcrel 25133	. 2 ⊢ Rel ( ≃ph‘𝐽)
2		isphtpc 25134	. . . 4 ⊢ (𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ↔ (𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦) ≠ ∅))
3	2	simp2bi 1164	. . 3 ⊢ (𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 → 𝑦 ∈ (II Cn 𝐽))
4	2	simp1bi 1163	. . 3 ⊢ (𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 → 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽))
5	2	simp3bi 1165	. . . . 5 ⊢ (𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 → (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦) ≠ ∅)
6		n0 4308	. . . . 5 ⊢ ((𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦))
7	5, 6	sylib 221	. . . 4 ⊢ (𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 → ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦))
8	4	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑓 ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦)) → 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽))
9	3	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑓 ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦)) → 𝑦 ∈ (II Cn 𝐽))
10		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 ∈ (0[,]1), 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝑓(1 − 𝑣))) = (𝑢 ∈ (0[,]1), 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝑓(1 − 𝑣)))
11		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑓 ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦)) → 𝑓 ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦))
12	8, 9, 10, 11	phtpycom 25128	. . . . 5 ⊢ ((𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑓 ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦)) → (𝑢 ∈ (0[,]1), 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝑓(1 − 𝑣))) ∈ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑥))
13	12	ne0d 4296	. . . 4 ⊢ ((𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑓 ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦)) → (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑥) ≠ ∅)
14	7, 13	exlimddv 1965	. . 3 ⊢ (𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 → (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑥) ≠ ∅)
15		isphtpc 25134	. . 3 ⊢ (𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑥 ↔ (𝑦 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑥) ≠ ∅))
16	3, 4, 14, 15	syl3anbrc 1362	. 2 ⊢ (𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 → 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑥)
17	4	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑧) → 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽))
18		simpr 489	. . . . 5 ⊢ ((𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑧) → 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑧)
19		isphtpc 25134	. . . . 5 ⊢ (𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑧 ↔ (𝑦 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑧 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑧) ≠ ∅))
20	18, 19	sylib 221	. . . 4 ⊢ ((𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑧) → (𝑦 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑧 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑧) ≠ ∅))
21	20	simp2d 1161	. . 3 ⊢ ((𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑧) → 𝑧 ∈ (II Cn 𝐽))
22	5	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑧) → (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦) ≠ ∅)
23	22, 6	sylib 221	. . . . 5 ⊢ ((𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑧) → ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦))
24	20	simp3d 1162	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑧) → (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑧) ≠ ∅)
25		n0 4308	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑧) ≠ ∅ ↔ ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑧))
26	24, 25	sylib 221	. . . . 5 ⊢ ((𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑧) → ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑧))
27		exdistrv 1985	. . . . 5 ⊢ (∃𝑓∃𝑔(𝑓 ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑧)) ↔ (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦) ∧ ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑧)))
28	23, 26, 27	sylanbrc 594	. . . 4 ⊢ ((𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑧) → ∃𝑓∃𝑔(𝑓 ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑧)))
29		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 ∈ (0[,]1), 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑣 ≤ (1 / 2), (𝑢𝑓(2 · 𝑣)), (𝑢𝑔((2 · 𝑣) − 1)))) = (𝑢 ∈ (0[,]1), 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑣 ≤ (1 / 2), (𝑢𝑓(2 · 𝑣)), (𝑢𝑔((2 · 𝑣) − 1))))
30	17	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑧) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑧))) → 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽))
31	20	simp1d 1160	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑧) → 𝑦 ∈ (II Cn 𝐽))
32	31	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑧) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑧))) → 𝑦 ∈ (II Cn 𝐽))
33	21	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑧) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑧))) → 𝑧 ∈ (II Cn 𝐽))
34		simprl 782	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑧) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑧))) → 𝑓 ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦))
35		simprr 784	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑧) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑧))) → 𝑔 ∈ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑧))
36	29, 30, 32, 33, 34, 35	phtpycc 25131	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑧) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑧))) → (𝑢 ∈ (0[,]1), 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑣 ≤ (1 / 2), (𝑢𝑓(2 · 𝑣)), (𝑢𝑔((2 · 𝑣) − 1)))) ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑧))
37	36	ne0d 4296	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑧) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑧))) → (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑧) ≠ ∅)
38	37	ex 417	. . . . 5 ⊢ ((𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑧) → ((𝑓 ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑧)) → (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑧) ≠ ∅))
39	38	exlimdvv 1964	. . . 4 ⊢ ((𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑧) → (∃𝑓∃𝑔(𝑓 ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑧)) → (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑧) ≠ ∅))
40	28, 39	mpd 16	. . 3 ⊢ ((𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑧) → (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑧) ≠ ∅)
41		isphtpc 25134	. . 3 ⊢ (𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑧 ↔ (𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑧 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑧) ≠ ∅))
42	17, 21, 40, 41	syl3anbrc 1362	. 2 ⊢ ((𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑧) → 𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑧)
43		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1), 𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘𝑦)) = (𝑦 ∈ (0[,]1), 𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘𝑦))
44		id 23	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽))
45	43, 44	phtpyid 25129	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑦 ∈ (0[,]1), 𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘𝑦)) ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑥))
46	45	ne0d 4296	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑥) ≠ ∅)
47	46	ancli 557	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑥) ≠ ∅))
48	47	pm4.71ri 569	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ↔ ((𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑥) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽)))
49		df-3an 1105	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑥) ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽)) ↔ ((𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑥) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽)))
50		3ancomb 1116	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑥) ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽)) ↔ (𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑥) ≠ ∅))
51	48, 49, 50	3bitr2i 302	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ↔ (𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑥) ≠ ∅))
52		isphtpc 25134	. . 3 ⊢ (𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑥 ↔ (𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑥) ≠ ∅))
53	51, 52	bitr4i 281	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ↔ 𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑥)
54	1, 16, 42, 53	iseri 8723	1 ⊢ ( ≃ph‘𝐽) Er (II Cn 𝐽)

Syntax hints:   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103  ∃wex 1809   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∅c0 4287  ifcif 4488   class class class wbr 5110  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412   ∈ cmpo 7414   Er wer 8692  0cc0 11101  1c1 11102   · cmul 11106   ≤ cle 11245   − cmin 11442   / cdiv 11872  2c2 12296  [,]cicc 13376   Cn ccn 23362  IIcii 25015  PHtpycphtpy 25108   ≃_phcphtpc 25109

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8158  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-2o 8455  df-er 8695  df-map 8827  df-ixp 8897  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-fsupp 9323  df-fi 9372  df-sup 9403  df-inf 9404  df-oi 9473  df-card 9926  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-7 12309  df-8 12310  df-9 12311  df-n0 12506  df-z 12593  df-dec 12713  df-uz 12864  df-q 12974  df-rp 13018  df-xneg 13138  df-xadd 13139  df-xmul 13140  df-ioo 13377  df-icc 13380  df-fz 13537  df-fzo 13685  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14369  df-cj 15152  df-re 15153  df-im 15154  df-sqrt 15288  df-abs 15289  df-struct 17208  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-ress 17292  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-hom 17335  df-cco 17336  df-rest 17476  df-topn 17477  df-0g 17495  df-gsum 17496  df-topgen 17497  df-pt 17498  df-prds 17501  df-xrs 17557  df-qtop 17562  df-imas 17563  df-xps 17565  df-mre 17639  df-mrc 17640  df-acs 17642  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-submnd 18843  df-mulg 19135  df-cntz 19388  df-cmn 19853  df-psmet 21495  df-xmet 21496  df-met 21497  df-bl 21498  df-mopn 21499  df-cnfld 21504  df-top 23032  df-topon 23049  df-topsp 23071  df-bases 23084  df-cld 23157  df-cn 23365  df-cnp 23366  df-tx 23700  df-hmeo 23893  df-xms 24458  df-ms 24459  df-tms 24460  df-ii 25017  df-htpy 25110  df-phtpy 25111  df-phtpc 25132

This theorem is referenced by:  pcophtb  25169  pi1buni  25180  pi1addf  25187  pi1addval  25188  pi1grplem  25189  pi1inv  25192  pi1xfrf  25193  pi1xfr  25195  pi1xfrcnvlem  25196  pi1cof  25199  sconnpi1  35712