Theorem phtpcer 25183

Description: Path homotopy is an equivalence relation. Proposition 1.2 of [Hatcher] p. 26. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jul-2015.) (Proof shortened by AV, 1-May-2021.)

Assertion

Ref	Expression
phtpcer	⊢ ( ≃ph‘𝐽) Er (II Cn 𝐽)

Proof of Theorem phtpcer

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑢 𝑣 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phtpcrel 25181	. 2 ⊢ Rel ( ≃ph‘𝐽)
2		isphtpc 25182	. . . 4 ⊢ (𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ↔ (𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦) ≠ ∅))
3	2	simp2bi 1164	. . 3 ⊢ (𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 → 𝑦 ∈ (II Cn 𝐽))
4	2	simp1bi 1163	. . 3 ⊢ (𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 → 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽))
5	2	simp3bi 1165	. . . . 5 ⊢ (𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 → (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦) ≠ ∅)
6		n0 4307	. . . . 5 ⊢ ((𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦))
7	5, 6	sylib 221	. . . 4 ⊢ (𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 → ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦))
8	4	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑓 ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦)) → 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽))
9	3	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑓 ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦)) → 𝑦 ∈ (II Cn 𝐽))
10		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 ∈ (0[,]1), 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝑓(1 − 𝑣))) = (𝑢 ∈ (0[,]1), 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝑓(1 − 𝑣)))
11		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑓 ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦)) → 𝑓 ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦))
12	8, 9, 10, 11	phtpycom 25176	. . . . 5 ⊢ ((𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑓 ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦)) → (𝑢 ∈ (0[,]1), 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝑓(1 − 𝑣))) ∈ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑥))
13	12	ne0d 4295	. . . 4 ⊢ ((𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑓 ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦)) → (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑥) ≠ ∅)
14	7, 13	exlimddv 1968	. . 3 ⊢ (𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 → (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑥) ≠ ∅)
15		isphtpc 25182	. . 3 ⊢ (𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑥 ↔ (𝑦 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑥) ≠ ∅))
16	3, 4, 14, 15	syl3anbrc 1362	. 2 ⊢ (𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 → 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑥)
17	4	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑧) → 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽))
18		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑧) → 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑧)
19		isphtpc 25182	. . . . 5 ⊢ (𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑧 ↔ (𝑦 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑧 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑧) ≠ ∅))
20	18, 19	sylib 221	. . . 4 ⊢ ((𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑧) → (𝑦 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑧 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑧) ≠ ∅))
21	20	simp2d 1161	. . 3 ⊢ ((𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑧) → 𝑧 ∈ (II Cn 𝐽))
22	5	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑧) → (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦) ≠ ∅)
23	22, 6	sylib 221	. . . . 5 ⊢ ((𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑧) → ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦))
24	20	simp3d 1162	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑧) → (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑧) ≠ ∅)
25		n0 4307	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑧) ≠ ∅ ↔ ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑧))
26	24, 25	sylib 221	. . . . 5 ⊢ ((𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑧) → ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑧))
27		exdistrv 1988	. . . . 5 ⊢ (∃𝑓∃𝑔(𝑓 ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑧)) ↔ (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦) ∧ ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑧)))
28	23, 26, 27	sylanbrc 595	. . . 4 ⊢ ((𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑧) → ∃𝑓∃𝑔(𝑓 ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑧)))
29		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 ∈ (0[,]1), 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑣 ≤ (1 / 2), (𝑢𝑓(2 · 𝑣)), (𝑢𝑔((2 · 𝑣) − 1)))) = (𝑢 ∈ (0[,]1), 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑣 ≤ (1 / 2), (𝑢𝑓(2 · 𝑣)), (𝑢𝑔((2 · 𝑣) − 1))))
30	17	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑧) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑧))) → 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽))
31	20	simp1d 1160	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑧) → 𝑦 ∈ (II Cn 𝐽))
32	31	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑧) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑧))) → 𝑦 ∈ (II Cn 𝐽))
33	21	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑧) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑧))) → 𝑧 ∈ (II Cn 𝐽))
34		simprl 783	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑧) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑧))) → 𝑓 ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦))
35		simprr 785	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑧) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑧))) → 𝑔 ∈ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑧))
36	29, 30, 32, 33, 34, 35	phtpycc 25179	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑧) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑧))) → (𝑢 ∈ (0[,]1), 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑣 ≤ (1 / 2), (𝑢𝑓(2 · 𝑣)), (𝑢𝑔((2 · 𝑣) − 1)))) ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑧))
37	36	ne0d 4295	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑧) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑧))) → (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑧) ≠ ∅)
38	37	ex 418	. . . . 5 ⊢ ((𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑧) → ((𝑓 ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑧)) → (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑧) ≠ ∅))
39	38	exlimdvv 1967	. . . 4 ⊢ ((𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑧) → (∃𝑓∃𝑔(𝑓 ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑧)) → (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑧) ≠ ∅))
40	28, 39	mpd 16	. . 3 ⊢ ((𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑧) → (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑧) ≠ ∅)
41		isphtpc 25182	. . 3 ⊢ (𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑧 ↔ (𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑧 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑧) ≠ ∅))
42	17, 21, 40, 41	syl3anbrc 1362	. 2 ⊢ ((𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑧) → 𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑧)
43		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1), 𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘𝑦)) = (𝑦 ∈ (0[,]1), 𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘𝑦))
44		id 23	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽))
45	43, 44	phtpyid 25177	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑦 ∈ (0[,]1), 𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘𝑦)) ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑥))
46	45	ne0d 4295	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑥) ≠ ∅)
47	46	ancli 558	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑥) ≠ ∅))
48	47	pm4.71ri 570	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ↔ ((𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑥) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽)))
49		df-3an 1105	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑥) ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽)) ↔ ((𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑥) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽)))
50		3ancomb 1116	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑥) ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽)) ↔ (𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑥) ≠ ∅))
51	48, 49, 50	3bitr2i 302	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ↔ (𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑥) ≠ ∅))
52		isphtpc 25182	. . 3 ⊢ (𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑥 ↔ (𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑥) ≠ ∅))
53	51, 52	bitr4i 281	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ↔ 𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑥)
54	1, 16, 42, 53	iseri 8724	1 ⊢ ( ≃ph‘𝐽) Er (II Cn 𝐽)

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103  ∃wex 1812   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ∅c0 4286  ifcif 4489   class class class wbr 5111  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416   ∈ cmpo 7418   Er wer 8693  0cc0 11111  1c1 11112   · cmul 11116   ≤ cle 11255   − cmin 11452   / cdiv 11882  2c2 12306  [,]cicc 13386   Cn ccn 23410  IIcii 25063  PHtpycphtpy 25156   ≃_phcphtpc 25157

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188  ax-pre-sup 11189

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7680  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-map 8828  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9325  df-fi 9374  df-sup 9405  df-inf 9406  df-oi 9475  df-card 9937  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-div 11883  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-4 12316  df-5 12317  df-6 12318  df-7 12319  df-8 12320  df-9 12321  df-n0 12516  df-z 12603  df-dec 12723  df-uz 12874  df-q 12984  df-rp 13028  df-xneg 13148  df-xadd 13149  df-xmul 13150  df-ioo 13387  df-icc 13390  df-fz 13547  df-fzo 13695  df-seq 14051  df-exp 14111  df-hash 14380  df-cj 15169  df-re 15170  df-im 15171  df-sqrt 15305  df-abs 15306  df-struct 17224  df-sets 17241  df-slot 17259  df-ndx 17271  df-base 17287  df-ress 17308  df-plusg 17340  df-mulr 17341  df-starv 17342  df-sca 17343  df-vsca 17344  df-ip 17345  df-tset 17346  df-ple 17347  df-ds 17349  df-unif 17350  df-hom 17351  df-cco 17352  df-rest 17492  df-topn 17493  df-0g 17511  df-gsum 17512  df-topgen 17513  df-pt 17514  df-prds 17517  df-xrs 17573  df-qtop 17578  df-imas 17579  df-xps 17581  df-mre 17655  df-mrc 17656  df-acs 17658  df-mgm 18715  df-sgrp 18798  df-mnd 18814  df-submnd 18865  df-mulg 19157  df-cntz 19410  df-cmn 19875  df-psmet 21543  df-xmet 21544  df-met 21545  df-bl 21546  df-mopn 21547  df-cnfld 21552  df-top 23080  df-topon 23097  df-topsp 23119  df-bases 23132  df-cld 23205  df-cn 23413  df-cnp 23414  df-tx 23748  df-hmeo 23941  df-xms 24506  df-ms 24507  df-tms 24508  df-ii 25065  df-htpy 25158  df-phtpy 25159  df-phtpc 25180

This theorem is used by:  pcophtb  25217  pi1buni  25228  pi1addf  25235  pi1addval  25236  pi1grplem  25237  pi1inv  25240  pi1xfrf  25241  pi1xfr  25243  pi1xfrcnvlem  25244  pi1cof  25247  sconnpi1  35744