Theorem phtpcer 24395

Description: Path homotopy is an equivalence relation. Proposition 1.2 of [Hatcher] p. 26. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jul-2015.) (Proof shortened by AV, 1-May-2021.)

Assertion

Ref	Expression
phtpcer	⊢ ( ≃ph‘𝐽) Er (II Cn 𝐽)

Proof of Theorem phtpcer

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑢 𝑣 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phtpcrel 24393	. 2 ⊢ Rel ( ≃ph‘𝐽)
2		isphtpc 24394	. . . 4 ⊢ (𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ↔ (𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑦 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦) ≠ ∅))
3	2	simp2bi 1146	. . 3 ⊢ (𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 → 𝑦 ∈ (II Cn 𝐽))
4	2	simp1bi 1145	. . 3 ⊢ (𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 → 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽))
5	2	simp3bi 1147	. . . . 5 ⊢ (𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 → (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦) ≠ ∅)
6		n0 4311	. . . . 5 ⊢ ((𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦))
7	5, 6	sylib 217	. . . 4 ⊢ (𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 → ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦))
8	4	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑓 ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦)) → 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽))
9	3	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑓 ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦)) → 𝑦 ∈ (II Cn 𝐽))
10		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 ∈ (0[,]1), 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝑓(1 − 𝑣))) = (𝑢 ∈ (0[,]1), 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝑓(1 − 𝑣)))
11		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑓 ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦)) → 𝑓 ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦))
12	8, 9, 10, 11	phtpycom 24388	. . . . 5 ⊢ ((𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑓 ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦)) → (𝑢 ∈ (0[,]1), 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝑓(1 − 𝑣))) ∈ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑥))
13	12	ne0d 4300	. . . 4 ⊢ ((𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑓 ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦)) → (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑥) ≠ ∅)
14	7, 13	exlimddv 1938	. . 3 ⊢ (𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 → (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑥) ≠ ∅)
15		isphtpc 24394	. . 3 ⊢ (𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑥 ↔ (𝑦 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑥) ≠ ∅))
16	3, 4, 14, 15	syl3anbrc 1343	. 2 ⊢ (𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 → 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑥)
17	4	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑧) → 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽))
18		simpr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑧) → 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑧)
19		isphtpc 24394	. . . . 5 ⊢ (𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑧 ↔ (𝑦 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑧 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑧) ≠ ∅))
20	18, 19	sylib 217	. . . 4 ⊢ ((𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑧) → (𝑦 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑧 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑧) ≠ ∅))
21	20	simp2d 1143	. . 3 ⊢ ((𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑧) → 𝑧 ∈ (II Cn 𝐽))
22	5	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑧) → (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦) ≠ ∅)
23	22, 6	sylib 217	. . . . 5 ⊢ ((𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑧) → ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦))
24	20	simp3d 1144	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑧) → (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑧) ≠ ∅)
25		n0 4311	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑧) ≠ ∅ ↔ ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑧))
26	24, 25	sylib 217	. . . . 5 ⊢ ((𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑧) → ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑧))
27		exdistrv 1959	. . . . 5 ⊢ (∃𝑓∃𝑔(𝑓 ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑧)) ↔ (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦) ∧ ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑧)))
28	23, 26, 27	sylanbrc 583	. . . 4 ⊢ ((𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑧) → ∃𝑓∃𝑔(𝑓 ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑧)))
29		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 ∈ (0[,]1), 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑣 ≤ (1 / 2), (𝑢𝑓(2 · 𝑣)), (𝑢𝑔((2 · 𝑣) − 1)))) = (𝑢 ∈ (0[,]1), 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑣 ≤ (1 / 2), (𝑢𝑓(2 · 𝑣)), (𝑢𝑔((2 · 𝑣) − 1))))
30	17	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑧) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑧))) → 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽))
31	20	simp1d 1142	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑧) → 𝑦 ∈ (II Cn 𝐽))
32	31	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑧) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑧))) → 𝑦 ∈ (II Cn 𝐽))
33	21	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑧) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑧))) → 𝑧 ∈ (II Cn 𝐽))
34		simprl 769	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑧) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑧))) → 𝑓 ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦))
35		simprr 771	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑧) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑧))) → 𝑔 ∈ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑧))
36	29, 30, 32, 33, 34, 35	phtpycc 24391	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑧) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑧))) → (𝑢 ∈ (0[,]1), 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑣 ≤ (1 / 2), (𝑢𝑓(2 · 𝑣)), (𝑢𝑔((2 · 𝑣) − 1)))) ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑧))
37	36	ne0d 4300	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑧) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑧))) → (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑧) ≠ ∅)
38	37	ex 413	. . . . 5 ⊢ ((𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑧) → ((𝑓 ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑧)) → (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑧) ≠ ∅))
39	38	exlimdvv 1937	. . . 4 ⊢ ((𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑧) → (∃𝑓∃𝑔(𝑓 ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦(PHtpy‘𝐽)𝑧)) → (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑧) ≠ ∅))
40	28, 39	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑧) → (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑧) ≠ ∅)
41		isphtpc 24394	. . 3 ⊢ (𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑧 ↔ (𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑧 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑧) ≠ ∅))
42	17, 21, 40, 41	syl3anbrc 1343	. 2 ⊢ ((𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑦 ∧ 𝑦( ≃ph‘𝐽)𝑧) → 𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑧)
43		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,]1), 𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘𝑦)) = (𝑦 ∈ (0[,]1), 𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘𝑦))
44		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) → 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽))
45	43, 44	phtpyid 24389	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑦 ∈ (0[,]1), 𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥‘𝑦)) ∈ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑥))
46	45	ne0d 4300	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑥) ≠ ∅)
47	46	ancli 549	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) → (𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑥) ≠ ∅))
48	47	pm4.71ri 561	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ↔ ((𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑥) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽)))
49		df-3an 1089	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑥) ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽)) ↔ ((𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑥) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽)))
50		3ancomb 1099	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑥) ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽)) ↔ (𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑥) ≠ ∅))
51	48, 49, 50	3bitr2i 298	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ↔ (𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑥) ≠ ∅))
52		isphtpc 24394	. . 3 ⊢ (𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑥 ↔ (𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝑥(PHtpy‘𝐽)𝑥) ≠ ∅))
53	51, 52	bitr4i 277	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (II Cn 𝐽) ↔ 𝑥( ≃ph‘𝐽)𝑥)
54	1, 16, 42, 53	iseri 8682	1 ⊢ ( ≃ph‘𝐽) Er (II Cn 𝐽)

Syntax hints:   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087  ∃wex 1781   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2939  ∅c0 4287  ifcif 4491   class class class wbr 5110  ‘cfv 6501  (class class class)co 7362   ∈ cmpo 7364   Er wer 8652  0cc0 11060  1c1 11061   · cmul 11065   ≤ cle 11199   − cmin 11394   / cdiv 11821  2c2 12217  [,]cicc 13277   Cn ccn 22612  IIcii 24275  PHtpycphtpy 24368   ≃_phcphtpc 24369

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11116  ax-resscn 11117  ax-1cn 11118  ax-icn 11119  ax-addcl 11120  ax-addrcl 11121  ax-mulcl 11122  ax-mulrcl 11123  ax-mulcom 11124  ax-addass 11125  ax-mulass 11126  ax-distr 11127  ax-i2m1 11128  ax-1ne0 11129  ax-1rid 11130  ax-rnegex 11131  ax-rrecex 11132  ax-cnre 11133  ax-pre-lttri 11134  ax-pre-lttrn 11135  ax-pre-ltadd 11136  ax-pre-mulgt0 11137  ax-pre-sup 11138  ax-mulf 11140

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-map 8774  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9356  df-sup 9387  df-inf 9388  df-oi 9455  df-card 9884  df-pnf 11200  df-mnf 11201  df-xr 11202  df-ltxr 11203  df-le 11204  df-sub 11396  df-neg 11397  df-div 11822  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12423  df-z 12509  df-dec 12628  df-uz 12773  df-q 12883  df-rp 12925  df-xneg 13042  df-xadd 13043  df-xmul 13044  df-ioo 13278  df-icc 13281  df-fz 13435  df-fzo 13578  df-seq 13917  df-exp 13978  df-hash 14241  df-cj 14996  df-re 14997  df-im 14998  df-sqrt 15132  df-abs 15133  df-struct 17030  df-sets 17047  df-slot 17065  df-ndx 17077  df-base 17095  df-ress 17124  df-plusg 17160  df-mulr 17161  df-starv 17162  df-sca 17163  df-vsca 17164  df-ip 17165  df-tset 17166  df-ple 17167  df-ds 17169  df-unif 17170  df-hom 17171  df-cco 17172  df-rest 17318  df-topn 17319  df-0g 17337  df-gsum 17338  df-topgen 17339  df-pt 17340  df-prds 17343  df-xrs 17398  df-qtop 17403  df-imas 17404  df-xps 17406  df-mre 17480  df-mrc 17481  df-acs 17483  df-mgm 18511  df-sgrp 18560  df-mnd 18571  df-submnd 18616  df-mulg 18887  df-cntz 19111  df-cmn 19578  df-psmet 20825  df-xmet 20826  df-met 20827  df-bl 20828  df-mopn 20829  df-cnfld 20834  df-top 22280  df-topon 22297  df-topsp 22319  df-bases 22333  df-cld 22407  df-cn 22615  df-cnp 22616  df-tx 22950  df-hmeo 23143  df-xms 23710  df-ms 23711  df-tms 23712  df-ii 24277  df-htpy 24370  df-phtpy 24371  df-phtpc 24392

This theorem is referenced by:  pcophtb  24429  pi1buni  24440  pi1addf  24447  pi1addval  24448  pi1grplem  24449  pi1inv  24452  pi1xfrf  24453  pi1xfr  24455  pi1xfrcnvlem  24456  pi1cof  24459  sconnpi1  33920