MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  phtpcer Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem phtpcer 24511
Description: Path homotopy is an equivalence relation. Proposition 1.2 of [Hatcher] p. 26. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Jul-2015.) (Proof shortened by AV, 1-May-2021.)
Assertion
Ref Expression
phtpcer ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ) Er (II Cn ๐ฝ)

Proof of Theorem phtpcer
Dummy variables ๐‘“ ๐‘” ๐‘ข ๐‘ฃ ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 phtpcrel 24509 . 2 Rel ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)
2 isphtpc 24510 . . . 4 (๐‘ฅ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ฆ โ†” (๐‘ฅ โˆˆ (II Cn ๐ฝ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (II Cn ๐ฝ) โˆง (๐‘ฅ(PHtpyโ€˜๐ฝ)๐‘ฆ) โ‰  โˆ…))
32simp2bi 1147 . . 3 (๐‘ฅ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ฆ โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ (II Cn ๐ฝ))
42simp1bi 1146 . . 3 (๐‘ฅ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ฆ โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ (II Cn ๐ฝ))
52simp3bi 1148 . . . . 5 (๐‘ฅ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ฆ โ†’ (๐‘ฅ(PHtpyโ€˜๐ฝ)๐‘ฆ) โ‰  โˆ…)
6 n0 4347 . . . . 5 ((๐‘ฅ(PHtpyโ€˜๐ฝ)๐‘ฆ) โ‰  โˆ… โ†” โˆƒ๐‘“ ๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ(PHtpyโ€˜๐ฝ)๐‘ฆ))
75, 6sylib 217 . . . 4 (๐‘ฅ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ฆ โ†’ โˆƒ๐‘“ ๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ(PHtpyโ€˜๐ฝ)๐‘ฆ))
84adantr 482 . . . . . 6 ((๐‘ฅ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ฆ โˆง ๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ(PHtpyโ€˜๐ฝ)๐‘ฆ)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ (II Cn ๐ฝ))
93adantr 482 . . . . . 6 ((๐‘ฅ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ฆ โˆง ๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ(PHtpyโ€˜๐ฝ)๐‘ฆ)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ (II Cn ๐ฝ))
10 eqid 2733 . . . . . 6 (๐‘ข โˆˆ (0[,]1), ๐‘ฃ โˆˆ (0[,]1) โ†ฆ (๐‘ข๐‘“(1 โˆ’ ๐‘ฃ))) = (๐‘ข โˆˆ (0[,]1), ๐‘ฃ โˆˆ (0[,]1) โ†ฆ (๐‘ข๐‘“(1 โˆ’ ๐‘ฃ)))
11 simpr 486 . . . . . 6 ((๐‘ฅ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ฆ โˆง ๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ(PHtpyโ€˜๐ฝ)๐‘ฆ)) โ†’ ๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ(PHtpyโ€˜๐ฝ)๐‘ฆ))
128, 9, 10, 11phtpycom 24504 . . . . 5 ((๐‘ฅ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ฆ โˆง ๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ(PHtpyโ€˜๐ฝ)๐‘ฆ)) โ†’ (๐‘ข โˆˆ (0[,]1), ๐‘ฃ โˆˆ (0[,]1) โ†ฆ (๐‘ข๐‘“(1 โˆ’ ๐‘ฃ))) โˆˆ (๐‘ฆ(PHtpyโ€˜๐ฝ)๐‘ฅ))
1312ne0d 4336 . . . 4 ((๐‘ฅ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ฆ โˆง ๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ(PHtpyโ€˜๐ฝ)๐‘ฆ)) โ†’ (๐‘ฆ(PHtpyโ€˜๐ฝ)๐‘ฅ) โ‰  โˆ…)
147, 13exlimddv 1939 . . 3 (๐‘ฅ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ฆ โ†’ (๐‘ฆ(PHtpyโ€˜๐ฝ)๐‘ฅ) โ‰  โˆ…)
15 isphtpc 24510 . . 3 (๐‘ฆ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ฅ โ†” (๐‘ฆ โˆˆ (II Cn ๐ฝ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (II Cn ๐ฝ) โˆง (๐‘ฆ(PHtpyโ€˜๐ฝ)๐‘ฅ) โ‰  โˆ…))
163, 4, 14, 15syl3anbrc 1344 . 2 (๐‘ฅ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ฆ โ†’ ๐‘ฆ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ฅ)
174adantr 482 . . 3 ((๐‘ฅ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ฆ โˆง ๐‘ฆ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ง) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ (II Cn ๐ฝ))
18 simpr 486 . . . . 5 ((๐‘ฅ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ฆ โˆง ๐‘ฆ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ง) โ†’ ๐‘ฆ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ง)
19 isphtpc 24510 . . . . 5 (๐‘ฆ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ง โ†” (๐‘ฆ โˆˆ (II Cn ๐ฝ) โˆง ๐‘ง โˆˆ (II Cn ๐ฝ) โˆง (๐‘ฆ(PHtpyโ€˜๐ฝ)๐‘ง) โ‰  โˆ…))
2018, 19sylib 217 . . . 4 ((๐‘ฅ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ฆ โˆง ๐‘ฆ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ง) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ (II Cn ๐ฝ) โˆง ๐‘ง โˆˆ (II Cn ๐ฝ) โˆง (๐‘ฆ(PHtpyโ€˜๐ฝ)๐‘ง) โ‰  โˆ…))
2120simp2d 1144 . . 3 ((๐‘ฅ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ฆ โˆง ๐‘ฆ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ง) โ†’ ๐‘ง โˆˆ (II Cn ๐ฝ))
225adantr 482 . . . . . 6 ((๐‘ฅ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ฆ โˆง ๐‘ฆ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ง) โ†’ (๐‘ฅ(PHtpyโ€˜๐ฝ)๐‘ฆ) โ‰  โˆ…)
2322, 6sylib 217 . . . . 5 ((๐‘ฅ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ฆ โˆง ๐‘ฆ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ง) โ†’ โˆƒ๐‘“ ๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ(PHtpyโ€˜๐ฝ)๐‘ฆ))
2420simp3d 1145 . . . . . 6 ((๐‘ฅ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ฆ โˆง ๐‘ฆ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ง) โ†’ (๐‘ฆ(PHtpyโ€˜๐ฝ)๐‘ง) โ‰  โˆ…)
25 n0 4347 . . . . . 6 ((๐‘ฆ(PHtpyโ€˜๐ฝ)๐‘ง) โ‰  โˆ… โ†” โˆƒ๐‘” ๐‘” โˆˆ (๐‘ฆ(PHtpyโ€˜๐ฝ)๐‘ง))
2624, 25sylib 217 . . . . 5 ((๐‘ฅ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ฆ โˆง ๐‘ฆ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ง) โ†’ โˆƒ๐‘” ๐‘” โˆˆ (๐‘ฆ(PHtpyโ€˜๐ฝ)๐‘ง))
27 exdistrv 1960 . . . . 5 (โˆƒ๐‘“โˆƒ๐‘”(๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ(PHtpyโ€˜๐ฝ)๐‘ฆ) โˆง ๐‘” โˆˆ (๐‘ฆ(PHtpyโ€˜๐ฝ)๐‘ง)) โ†” (โˆƒ๐‘“ ๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ(PHtpyโ€˜๐ฝ)๐‘ฆ) โˆง โˆƒ๐‘” ๐‘” โˆˆ (๐‘ฆ(PHtpyโ€˜๐ฝ)๐‘ง)))
2823, 26, 27sylanbrc 584 . . . 4 ((๐‘ฅ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ฆ โˆง ๐‘ฆ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ง) โ†’ โˆƒ๐‘“โˆƒ๐‘”(๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ(PHtpyโ€˜๐ฝ)๐‘ฆ) โˆง ๐‘” โˆˆ (๐‘ฆ(PHtpyโ€˜๐ฝ)๐‘ง)))
29 eqid 2733 . . . . . . . 8 (๐‘ข โˆˆ (0[,]1), ๐‘ฃ โˆˆ (0[,]1) โ†ฆ if(๐‘ฃ โ‰ค (1 / 2), (๐‘ข๐‘“(2 ยท ๐‘ฃ)), (๐‘ข๐‘”((2 ยท ๐‘ฃ) โˆ’ 1)))) = (๐‘ข โˆˆ (0[,]1), ๐‘ฃ โˆˆ (0[,]1) โ†ฆ if(๐‘ฃ โ‰ค (1 / 2), (๐‘ข๐‘“(2 ยท ๐‘ฃ)), (๐‘ข๐‘”((2 ยท ๐‘ฃ) โˆ’ 1))))
3017adantr 482 . . . . . . . 8 (((๐‘ฅ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ฆ โˆง ๐‘ฆ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ง) โˆง (๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ(PHtpyโ€˜๐ฝ)๐‘ฆ) โˆง ๐‘” โˆˆ (๐‘ฆ(PHtpyโ€˜๐ฝ)๐‘ง))) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ (II Cn ๐ฝ))
3120simp1d 1143 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฅ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ฆ โˆง ๐‘ฆ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ง) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ (II Cn ๐ฝ))
3231adantr 482 . . . . . . . 8 (((๐‘ฅ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ฆ โˆง ๐‘ฆ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ง) โˆง (๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ(PHtpyโ€˜๐ฝ)๐‘ฆ) โˆง ๐‘” โˆˆ (๐‘ฆ(PHtpyโ€˜๐ฝ)๐‘ง))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ (II Cn ๐ฝ))
3321adantr 482 . . . . . . . 8 (((๐‘ฅ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ฆ โˆง ๐‘ฆ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ง) โˆง (๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ(PHtpyโ€˜๐ฝ)๐‘ฆ) โˆง ๐‘” โˆˆ (๐‘ฆ(PHtpyโ€˜๐ฝ)๐‘ง))) โ†’ ๐‘ง โˆˆ (II Cn ๐ฝ))
34 simprl 770 . . . . . . . 8 (((๐‘ฅ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ฆ โˆง ๐‘ฆ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ง) โˆง (๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ(PHtpyโ€˜๐ฝ)๐‘ฆ) โˆง ๐‘” โˆˆ (๐‘ฆ(PHtpyโ€˜๐ฝ)๐‘ง))) โ†’ ๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ(PHtpyโ€˜๐ฝ)๐‘ฆ))
35 simprr 772 . . . . . . . 8 (((๐‘ฅ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ฆ โˆง ๐‘ฆ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ง) โˆง (๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ(PHtpyโ€˜๐ฝ)๐‘ฆ) โˆง ๐‘” โˆˆ (๐‘ฆ(PHtpyโ€˜๐ฝ)๐‘ง))) โ†’ ๐‘” โˆˆ (๐‘ฆ(PHtpyโ€˜๐ฝ)๐‘ง))
3629, 30, 32, 33, 34, 35phtpycc 24507 . . . . . . 7 (((๐‘ฅ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ฆ โˆง ๐‘ฆ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ง) โˆง (๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ(PHtpyโ€˜๐ฝ)๐‘ฆ) โˆง ๐‘” โˆˆ (๐‘ฆ(PHtpyโ€˜๐ฝ)๐‘ง))) โ†’ (๐‘ข โˆˆ (0[,]1), ๐‘ฃ โˆˆ (0[,]1) โ†ฆ if(๐‘ฃ โ‰ค (1 / 2), (๐‘ข๐‘“(2 ยท ๐‘ฃ)), (๐‘ข๐‘”((2 ยท ๐‘ฃ) โˆ’ 1)))) โˆˆ (๐‘ฅ(PHtpyโ€˜๐ฝ)๐‘ง))
3736ne0d 4336 . . . . . 6 (((๐‘ฅ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ฆ โˆง ๐‘ฆ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ง) โˆง (๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ(PHtpyโ€˜๐ฝ)๐‘ฆ) โˆง ๐‘” โˆˆ (๐‘ฆ(PHtpyโ€˜๐ฝ)๐‘ง))) โ†’ (๐‘ฅ(PHtpyโ€˜๐ฝ)๐‘ง) โ‰  โˆ…)
3837ex 414 . . . . 5 ((๐‘ฅ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ฆ โˆง ๐‘ฆ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ง) โ†’ ((๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ(PHtpyโ€˜๐ฝ)๐‘ฆ) โˆง ๐‘” โˆˆ (๐‘ฆ(PHtpyโ€˜๐ฝ)๐‘ง)) โ†’ (๐‘ฅ(PHtpyโ€˜๐ฝ)๐‘ง) โ‰  โˆ…))
3938exlimdvv 1938 . . . 4 ((๐‘ฅ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ฆ โˆง ๐‘ฆ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ง) โ†’ (โˆƒ๐‘“โˆƒ๐‘”(๐‘“ โˆˆ (๐‘ฅ(PHtpyโ€˜๐ฝ)๐‘ฆ) โˆง ๐‘” โˆˆ (๐‘ฆ(PHtpyโ€˜๐ฝ)๐‘ง)) โ†’ (๐‘ฅ(PHtpyโ€˜๐ฝ)๐‘ง) โ‰  โˆ…))
4028, 39mpd 15 . . 3 ((๐‘ฅ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ฆ โˆง ๐‘ฆ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ง) โ†’ (๐‘ฅ(PHtpyโ€˜๐ฝ)๐‘ง) โ‰  โˆ…)
41 isphtpc 24510 . . 3 (๐‘ฅ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ง โ†” (๐‘ฅ โˆˆ (II Cn ๐ฝ) โˆง ๐‘ง โˆˆ (II Cn ๐ฝ) โˆง (๐‘ฅ(PHtpyโ€˜๐ฝ)๐‘ง) โ‰  โˆ…))
4217, 21, 40, 41syl3anbrc 1344 . 2 ((๐‘ฅ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ฆ โˆง ๐‘ฆ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ง) โ†’ ๐‘ฅ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ง)
43 eqid 2733 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ (0[,]1), ๐‘ง โˆˆ (0[,]1) โ†ฆ (๐‘ฅโ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘ฆ โˆˆ (0[,]1), ๐‘ง โˆˆ (0[,]1) โ†ฆ (๐‘ฅโ€˜๐‘ฆ))
44 id 22 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ (II Cn ๐ฝ) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ (II Cn ๐ฝ))
4543, 44phtpyid 24505 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ (II Cn ๐ฝ) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ (0[,]1), ๐‘ง โˆˆ (0[,]1) โ†ฆ (๐‘ฅโ€˜๐‘ฆ)) โˆˆ (๐‘ฅ(PHtpyโ€˜๐ฝ)๐‘ฅ))
4645ne0d 4336 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ (II Cn ๐ฝ) โ†’ (๐‘ฅ(PHtpyโ€˜๐ฝ)๐‘ฅ) โ‰  โˆ…)
4746ancli 550 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ (II Cn ๐ฝ) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (II Cn ๐ฝ) โˆง (๐‘ฅ(PHtpyโ€˜๐ฝ)๐‘ฅ) โ‰  โˆ…))
4847pm4.71ri 562 . . . 4 (๐‘ฅ โˆˆ (II Cn ๐ฝ) โ†” ((๐‘ฅ โˆˆ (II Cn ๐ฝ) โˆง (๐‘ฅ(PHtpyโ€˜๐ฝ)๐‘ฅ) โ‰  โˆ…) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (II Cn ๐ฝ)))
49 df-3an 1090 . . . 4 ((๐‘ฅ โˆˆ (II Cn ๐ฝ) โˆง (๐‘ฅ(PHtpyโ€˜๐ฝ)๐‘ฅ) โ‰  โˆ… โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (II Cn ๐ฝ)) โ†” ((๐‘ฅ โˆˆ (II Cn ๐ฝ) โˆง (๐‘ฅ(PHtpyโ€˜๐ฝ)๐‘ฅ) โ‰  โˆ…) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (II Cn ๐ฝ)))
50 3ancomb 1100 . . . 4 ((๐‘ฅ โˆˆ (II Cn ๐ฝ) โˆง (๐‘ฅ(PHtpyโ€˜๐ฝ)๐‘ฅ) โ‰  โˆ… โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (II Cn ๐ฝ)) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ (II Cn ๐ฝ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (II Cn ๐ฝ) โˆง (๐‘ฅ(PHtpyโ€˜๐ฝ)๐‘ฅ) โ‰  โˆ…))
5148, 49, 503bitr2i 299 . . 3 (๐‘ฅ โˆˆ (II Cn ๐ฝ) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ (II Cn ๐ฝ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (II Cn ๐ฝ) โˆง (๐‘ฅ(PHtpyโ€˜๐ฝ)๐‘ฅ) โ‰  โˆ…))
52 isphtpc 24510 . . 3 (๐‘ฅ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ฅ โ†” (๐‘ฅ โˆˆ (II Cn ๐ฝ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ (II Cn ๐ฝ) โˆง (๐‘ฅ(PHtpyโ€˜๐ฝ)๐‘ฅ) โ‰  โˆ…))
5351, 52bitr4i 278 . 2 (๐‘ฅ โˆˆ (II Cn ๐ฝ) โ†” ๐‘ฅ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ)๐‘ฅ)
541, 16, 42, 53iseri 8730 1 ( โ‰ƒphโ€˜๐ฝ) Er (II Cn ๐ฝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088  โˆƒwex 1782   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2941  โˆ…c0 4323  ifcif 4529   class class class wbr 5149  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   โˆˆ cmpo 7411   Er wer 8700  0cc0 11110  1c1 11111   ยท cmul 11115   โ‰ค cle 11249   โˆ’ cmin 11444   / cdiv 11871  2c2 12267  [,]cicc 13327   Cn ccn 22728  IIcii 24391  PHtpycphtpy 24484   โ‰ƒphcphtpc 24485
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-ii 24393  df-htpy 24486  df-phtpy 24487  df-phtpc 24508
This theorem is referenced by:  pcophtb  24545  pi1buni  24556  pi1addf  24563  pi1addval  24564  pi1grplem  24565  pi1inv  24568  pi1xfrf  24569  pi1xfr  24571  pi1xfrcnvlem  24572  pi1cof  24575  sconnpi1  34230
  Copyright terms: Public domain W3C validator