Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvmliftpht Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvmliftpht 33280
Description: If 𝐺 and 𝐻 are path-homotopic, then their lifts 𝑀 and 𝑁 are also path-homotopic. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmliftpht.b 𝐵 = 𝐶
cvmliftpht.m 𝑀 = (𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑓) = 𝐺 ∧ (𝑓‘0) = 𝑃))
cvmliftpht.n 𝑁 = (𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑓) = 𝐻 ∧ (𝑓‘0) = 𝑃))
cvmliftpht.f (𝜑𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
cvmliftpht.p (𝜑𝑃𝐵)
cvmliftpht.e (𝜑 → (𝐹𝑃) = (𝐺‘0))
cvmliftpht.g (𝜑𝐺( ≃ph𝐽)𝐻)
Assertion
Ref Expression
cvmliftpht (𝜑𝑀( ≃ph𝐶)𝑁)
Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝑓,𝐹   𝑓,𝐽   𝐶,𝑓   𝑓,𝐺   𝑓,𝐻   𝑃,𝑓
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝑀(𝑓)   𝑁(𝑓)

Proof of Theorem cvmliftpht
Dummy variables 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvmliftpht.b . . . 4 𝐵 = 𝐶
2 cvmliftpht.m . . . 4 𝑀 = (𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑓) = 𝐺 ∧ (𝑓‘0) = 𝑃))
3 cvmliftpht.f . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
4 cvmliftpht.g . . . . . 6 (𝜑𝐺( ≃ph𝐽)𝐻)
5 isphtpc 24157 . . . . . 6 (𝐺( ≃ph𝐽)𝐻 ↔ (𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝐻 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻) ≠ ∅))
64, 5sylib 217 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝐻 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻) ≠ ∅))
76simp1d 1141 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
8 cvmliftpht.p . . . 4 (𝜑𝑃𝐵)
9 cvmliftpht.e . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝑃) = (𝐺‘0))
101, 2, 3, 7, 8, 9cvmliftiota 33263 . . 3 (𝜑 → (𝑀 ∈ (II Cn 𝐶) ∧ (𝐹𝑀) = 𝐺 ∧ (𝑀‘0) = 𝑃))
1110simp1d 1141 . 2 (𝜑𝑀 ∈ (II Cn 𝐶))
12 cvmliftpht.n . . . 4 𝑁 = (𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑓) = 𝐻 ∧ (𝑓‘0) = 𝑃))
136simp2d 1142 . . . 4 (𝜑𝐻 ∈ (II Cn 𝐽))
14 phtpc01 24159 . . . . . . 7 (𝐺( ≃ph𝐽)𝐻 → ((𝐺‘0) = (𝐻‘0) ∧ (𝐺‘1) = (𝐻‘1)))
154, 14syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐺‘0) = (𝐻‘0) ∧ (𝐺‘1) = (𝐻‘1)))
1615simpld 495 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺‘0) = (𝐻‘0))
179, 16eqtrd 2778 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝑃) = (𝐻‘0))
181, 12, 3, 13, 8, 17cvmliftiota 33263 . . 3 (𝜑 → (𝑁 ∈ (II Cn 𝐶) ∧ (𝐹𝑁) = 𝐻 ∧ (𝑁‘0) = 𝑃))
1918simp1d 1141 . 2 (𝜑𝑁 ∈ (II Cn 𝐶))
206simp3d 1143 . . . 4 (𝜑 → (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻) ≠ ∅)
21 n0 4280 . . . 4 ((𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻) ≠ ∅ ↔ ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻))
2220, 21sylib 217 . . 3 (𝜑 → ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻))
233adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑔 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻)) → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
247, 13phtpycn 24146 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻) ⊆ ((II ×t II) Cn 𝐽))
2524sselda 3921 . . . . . 6 ((𝜑𝑔 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻)) → 𝑔 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
268adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑔 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻)) → 𝑃𝐵)
279adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻)) → (𝐹𝑃) = (𝐺‘0))
28 0elunit 13201 . . . . . . . . 9 0 ∈ (0[,]1)
297adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑔 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻)) → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
3013adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑔 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻)) → 𝐻 ∈ (II Cn 𝐽))
31 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑔 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻)) → 𝑔 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻))
3229, 30, 31phtpyi 24147 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑔 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻)) ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → ((0𝑔0) = (𝐺‘0) ∧ (1𝑔0) = (𝐺‘1)))
3328, 32mpan2 688 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑔 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻)) → ((0𝑔0) = (𝐺‘0) ∧ (1𝑔0) = (𝐺‘1)))
3433simpld 495 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻)) → (0𝑔0) = (𝐺‘0))
3527, 34eqtr4d 2781 . . . . . 6 ((𝜑𝑔 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻)) → (𝐹𝑃) = (0𝑔0))
361, 23, 25, 26, 35cvmlift2 33278 . . . . 5 ((𝜑𝑔 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻)) → ∃! ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶)((𝐹) = 𝑔 ∧ (00) = 𝑃))
37 reurex 3362 . . . . 5 (∃! ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶)((𝐹) = 𝑔 ∧ (00) = 𝑃) → ∃ ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶)((𝐹) = 𝑔 ∧ (00) = 𝑃))
3836, 37syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑔 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻)) → ∃ ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶)((𝐹) = 𝑔 ∧ (00) = 𝑃))
393ad2antrr 723 . . . . . 6 (((𝜑𝑔 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻)) ∧ ( ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶) ∧ ((𝐹) = 𝑔 ∧ (00) = 𝑃))) → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
408ad2antrr 723 . . . . . 6 (((𝜑𝑔 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻)) ∧ ( ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶) ∧ ((𝐹) = 𝑔 ∧ (00) = 𝑃))) → 𝑃𝐵)
419ad2antrr 723 . . . . . 6 (((𝜑𝑔 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻)) ∧ ( ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶) ∧ ((𝐹) = 𝑔 ∧ (00) = 𝑃))) → (𝐹𝑃) = (𝐺‘0))
427ad2antrr 723 . . . . . 6 (((𝜑𝑔 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻)) ∧ ( ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶) ∧ ((𝐹) = 𝑔 ∧ (00) = 𝑃))) → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
4313ad2antrr 723 . . . . . 6 (((𝜑𝑔 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻)) ∧ ( ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶) ∧ ((𝐹) = 𝑔 ∧ (00) = 𝑃))) → 𝐻 ∈ (II Cn 𝐽))
44 simplr 766 . . . . . 6 (((𝜑𝑔 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻)) ∧ ( ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶) ∧ ((𝐹) = 𝑔 ∧ (00) = 𝑃))) → 𝑔 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻))
45 simprl 768 . . . . . 6 (((𝜑𝑔 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻)) ∧ ( ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶) ∧ ((𝐹) = 𝑔 ∧ (00) = 𝑃))) → ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶))
46 simprrl 778 . . . . . 6 (((𝜑𝑔 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻)) ∧ ( ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶) ∧ ((𝐹) = 𝑔 ∧ (00) = 𝑃))) → (𝐹) = 𝑔)
47 simprrr 779 . . . . . 6 (((𝜑𝑔 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻)) ∧ ( ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶) ∧ ((𝐹) = 𝑔 ∧ (00) = 𝑃))) → (00) = 𝑃)
481, 2, 12, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47cvmliftphtlem 33279 . . . . 5 (((𝜑𝑔 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻)) ∧ ( ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶) ∧ ((𝐹) = 𝑔 ∧ (00) = 𝑃))) → ∈ (𝑀(PHtpy‘𝐶)𝑁))
4948ne0d 4269 . . . 4 (((𝜑𝑔 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻)) ∧ ( ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶) ∧ ((𝐹) = 𝑔 ∧ (00) = 𝑃))) → (𝑀(PHtpy‘𝐶)𝑁) ≠ ∅)
5038, 49rexlimddv 3220 . . 3 ((𝜑𝑔 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻)) → (𝑀(PHtpy‘𝐶)𝑁) ≠ ∅)
5122, 50exlimddv 1938 . 2 (𝜑 → (𝑀(PHtpy‘𝐶)𝑁) ≠ ∅)
52 isphtpc 24157 . 2 (𝑀( ≃ph𝐶)𝑁 ↔ (𝑀 ∈ (II Cn 𝐶) ∧ 𝑁 ∈ (II Cn 𝐶) ∧ (𝑀(PHtpy‘𝐶)𝑁) ≠ ∅))
5311, 19, 51, 52syl3anbrc 1342 1 (𝜑𝑀( ≃ph𝐶)𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1086   = wceq 1539  wex 1782  wcel 2106  wne 2943  wrex 3065  ∃!wreu 3066  c0 4256   cuni 4839   class class class wbr 5074  ccom 5593  cfv 6433  crio 7231  (class class class)co 7275  0cc0 10871  1c1 10872  [,]cicc 13082   Cn ccn 22375   ×t ctx 22711  IIcii 24038  PHtpycphtpy 24131  phcphtpc 24132   CovMap ccvm 33217
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949  ax-addf 10950  ax-mulf 10951
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-er 8498  df-ec 8500  df-map 8617  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-fi 9170  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-ioo 13083  df-ico 13085  df-icc 13086  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-clim 15197  df-sum 15398  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-hom 16986  df-cco 16987  df-rest 17133  df-topn 17134  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-topgen 17154  df-pt 17155  df-prds 17158  df-xrs 17213  df-qtop 17218  df-imas 17219  df-xps 17221  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-submnd 18431  df-mulg 18701  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-met 20591  df-bl 20592  df-mopn 20593  df-cnfld 20598  df-top 22043  df-topon 22060  df-topsp 22082  df-bases 22096  df-cld 22170  df-ntr 22171  df-cls 22172  df-nei 22249  df-cn 22378  df-cnp 22379  df-cmp 22538  df-conn 22563  df-lly 22617  df-nlly 22618  df-tx 22713  df-hmeo 22906  df-xms 23473  df-ms 23474  df-tms 23475  df-ii 24040  df-htpy 24133  df-phtpy 24134  df-phtpc 24155  df-pconn 33183  df-sconn 33184  df-cvm 33218
This theorem is referenced by:  cvmlift3lem1  33281
  Copyright terms: Public domain W3C validator