Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvmliftpht Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvmliftpht 32572
 Description: If 𝐺 and 𝐻 are path-homotopic, then their lifts 𝑀 and 𝑁 are also path-homotopic. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cvmliftpht.b 𝐵 = 𝐶
cvmliftpht.m 𝑀 = (𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑓) = 𝐺 ∧ (𝑓‘0) = 𝑃))
cvmliftpht.n 𝑁 = (𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑓) = 𝐻 ∧ (𝑓‘0) = 𝑃))
cvmliftpht.f (𝜑𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
cvmliftpht.p (𝜑𝑃𝐵)
cvmliftpht.e (𝜑 → (𝐹𝑃) = (𝐺‘0))
cvmliftpht.g (𝜑𝐺( ≃ph𝐽)𝐻)
Assertion
Ref Expression
cvmliftpht (𝜑𝑀( ≃ph𝐶)𝑁)
Distinct variable groups:   𝐵,𝑓   𝑓,𝐹   𝑓,𝐽   𝐶,𝑓   𝑓,𝐺   𝑓,𝐻   𝑃,𝑓
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝑀(𝑓)   𝑁(𝑓)

Proof of Theorem cvmliftpht
Dummy variables 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cvmliftpht.b . . . 4 𝐵 = 𝐶
2 cvmliftpht.m . . . 4 𝑀 = (𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑓) = 𝐺 ∧ (𝑓‘0) = 𝑃))
3 cvmliftpht.f . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
4 cvmliftpht.g . . . . . 6 (𝜑𝐺( ≃ph𝐽)𝐻)
5 isphtpc 23577 . . . . . 6 (𝐺( ≃ph𝐽)𝐻 ↔ (𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝐻 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻) ≠ ∅))
64, 5sylib 221 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ 𝐻 ∈ (II Cn 𝐽) ∧ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻) ≠ ∅))
76simp1d 1139 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
8 cvmliftpht.p . . . 4 (𝜑𝑃𝐵)
9 cvmliftpht.e . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝑃) = (𝐺‘0))
101, 2, 3, 7, 8, 9cvmliftiota 32555 . . 3 (𝜑 → (𝑀 ∈ (II Cn 𝐶) ∧ (𝐹𝑀) = 𝐺 ∧ (𝑀‘0) = 𝑃))
1110simp1d 1139 . 2 (𝜑𝑀 ∈ (II Cn 𝐶))
12 cvmliftpht.n . . . 4 𝑁 = (𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹𝑓) = 𝐻 ∧ (𝑓‘0) = 𝑃))
136simp2d 1140 . . . 4 (𝜑𝐻 ∈ (II Cn 𝐽))
14 phtpc01 23579 . . . . . . 7 (𝐺( ≃ph𝐽)𝐻 → ((𝐺‘0) = (𝐻‘0) ∧ (𝐺‘1) = (𝐻‘1)))
154, 14syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐺‘0) = (𝐻‘0) ∧ (𝐺‘1) = (𝐻‘1)))
1615simpld 498 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺‘0) = (𝐻‘0))
179, 16eqtrd 2856 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝑃) = (𝐻‘0))
181, 12, 3, 13, 8, 17cvmliftiota 32555 . . 3 (𝜑 → (𝑁 ∈ (II Cn 𝐶) ∧ (𝐹𝑁) = 𝐻 ∧ (𝑁‘0) = 𝑃))
1918simp1d 1139 . 2 (𝜑𝑁 ∈ (II Cn 𝐶))
206simp3d 1141 . . . 4 (𝜑 → (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻) ≠ ∅)
21 n0 4283 . . . 4 ((𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻) ≠ ∅ ↔ ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻))
2220, 21sylib 221 . . 3 (𝜑 → ∃𝑔 𝑔 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻))
233adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑔 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻)) → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
247, 13phtpycn 23566 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻) ⊆ ((II ×t II) Cn 𝐽))
2524sselda 3943 . . . . . 6 ((𝜑𝑔 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻)) → 𝑔 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
268adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑔 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻)) → 𝑃𝐵)
279adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻)) → (𝐹𝑃) = (𝐺‘0))
28 0elunit 12837 . . . . . . . . 9 0 ∈ (0[,]1)
297adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑔 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻)) → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
3013adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑔 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻)) → 𝐻 ∈ (II Cn 𝐽))
31 simpr 488 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑔 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻)) → 𝑔 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻))
3229, 30, 31phtpyi 23567 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑔 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻)) ∧ 0 ∈ (0[,]1)) → ((0𝑔0) = (𝐺‘0) ∧ (1𝑔0) = (𝐺‘1)))
3328, 32mpan2 690 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑔 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻)) → ((0𝑔0) = (𝐺‘0) ∧ (1𝑔0) = (𝐺‘1)))
3433simpld 498 . . . . . . 7 ((𝜑𝑔 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻)) → (0𝑔0) = (𝐺‘0))
3527, 34eqtr4d 2859 . . . . . 6 ((𝜑𝑔 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻)) → (𝐹𝑃) = (0𝑔0))
361, 23, 25, 26, 35cvmlift2 32570 . . . . 5 ((𝜑𝑔 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻)) → ∃! ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶)((𝐹) = 𝑔 ∧ (00) = 𝑃))
37 reurex 3408 . . . . 5 (∃! ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶)((𝐹) = 𝑔 ∧ (00) = 𝑃) → ∃ ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶)((𝐹) = 𝑔 ∧ (00) = 𝑃))
3836, 37syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑔 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻)) → ∃ ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶)((𝐹) = 𝑔 ∧ (00) = 𝑃))
393ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝜑𝑔 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻)) ∧ ( ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶) ∧ ((𝐹) = 𝑔 ∧ (00) = 𝑃))) → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
408ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝜑𝑔 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻)) ∧ ( ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶) ∧ ((𝐹) = 𝑔 ∧ (00) = 𝑃))) → 𝑃𝐵)
419ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝜑𝑔 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻)) ∧ ( ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶) ∧ ((𝐹) = 𝑔 ∧ (00) = 𝑃))) → (𝐹𝑃) = (𝐺‘0))
427ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝜑𝑔 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻)) ∧ ( ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶) ∧ ((𝐹) = 𝑔 ∧ (00) = 𝑃))) → 𝐺 ∈ (II Cn 𝐽))
4313ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝜑𝑔 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻)) ∧ ( ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶) ∧ ((𝐹) = 𝑔 ∧ (00) = 𝑃))) → 𝐻 ∈ (II Cn 𝐽))
44 simplr 768 . . . . . 6 (((𝜑𝑔 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻)) ∧ ( ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶) ∧ ((𝐹) = 𝑔 ∧ (00) = 𝑃))) → 𝑔 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻))
45 simprl 770 . . . . . 6 (((𝜑𝑔 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻)) ∧ ( ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶) ∧ ((𝐹) = 𝑔 ∧ (00) = 𝑃))) → ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶))
46 simprrl 780 . . . . . 6 (((𝜑𝑔 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻)) ∧ ( ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶) ∧ ((𝐹) = 𝑔 ∧ (00) = 𝑃))) → (𝐹) = 𝑔)
47 simprrr 781 . . . . . 6 (((𝜑𝑔 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻)) ∧ ( ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶) ∧ ((𝐹) = 𝑔 ∧ (00) = 𝑃))) → (00) = 𝑃)
481, 2, 12, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47cvmliftphtlem 32571 . . . . 5 (((𝜑𝑔 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻)) ∧ ( ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶) ∧ ((𝐹) = 𝑔 ∧ (00) = 𝑃))) → ∈ (𝑀(PHtpy‘𝐶)𝑁))
4948ne0d 4274 . . . 4 (((𝜑𝑔 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻)) ∧ ( ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶) ∧ ((𝐹) = 𝑔 ∧ (00) = 𝑃))) → (𝑀(PHtpy‘𝐶)𝑁) ≠ ∅)
5038, 49rexlimddv 3277 . . 3 ((𝜑𝑔 ∈ (𝐺(PHtpy‘𝐽)𝐻)) → (𝑀(PHtpy‘𝐶)𝑁) ≠ ∅)
5122, 50exlimddv 1937 . 2 (𝜑 → (𝑀(PHtpy‘𝐶)𝑁) ≠ ∅)
52 isphtpc 23577 . 2 (𝑀( ≃ph𝐶)𝑁 ↔ (𝑀 ∈ (II Cn 𝐶) ∧ 𝑁 ∈ (II Cn 𝐶) ∧ (𝑀(PHtpy‘𝐶)𝑁) ≠ ∅))
5311, 19, 51, 52syl3anbrc 1340 1 (𝜑𝑀( ≃ph𝐶)𝑁)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538  ∃wex 1781   ∈ wcel 2115   ≠ wne 3007  ∃wrex 3127  ∃!wreu 3128  ∅c0 4266  ∪ cuni 4811   class class class wbr 5039   ∘ ccom 5532  ‘cfv 6328  ℩crio 7087  (class class class)co 7130  0cc0 10514  1c1 10515  [,]cicc 12719   Cn ccn 21807   ×t ctx 22143  IIcii 23458  PHtpycphtpy 23551   ≃phcphtpc 23552   CovMap ccvm 32509 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-inf2 9080  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591  ax-pre-sup 10592  ax-addf 10593  ax-mulf 10594 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-int 4850  df-iun 4894  df-iin 4895  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-se 5488  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-of 7384  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-supp 7806  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-1o 8077  df-2o 8078  df-oadd 8081  df-er 8264  df-ec 8266  df-map 8383  df-ixp 8437  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-fin 8488  df-fsupp 8810  df-fi 8851  df-sup 8882  df-inf 8883  df-oi 8950  df-card 9344  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-div 11275  df-nn 11616  df-2 11678  df-3 11679  df-4 11680  df-5 11681  df-6 11682  df-7 11683  df-8 11684  df-9 11685  df-n0 11876  df-z 11960  df-dec 12077  df-uz 12222  df-q 12327  df-rp 12368  df-xneg 12485  df-xadd 12486  df-xmul 12487  df-ioo 12720  df-ico 12722  df-icc 12723  df-fz 12876  df-fzo 13017  df-fl 13145  df-seq 13353  df-exp 13414  df-hash 13675  df-cj 14437  df-re 14438  df-im 14439  df-sqrt 14573  df-abs 14574  df-clim 14824  df-sum 15022  df-struct 16463  df-ndx 16464  df-slot 16465  df-base 16467  df-sets 16468  df-ress 16469  df-plusg 16556  df-mulr 16557  df-starv 16558  df-sca 16559  df-vsca 16560  df-ip 16561  df-tset 16562  df-ple 16563  df-ds 16565  df-unif 16566  df-hom 16567  df-cco 16568  df-rest 16674  df-topn 16675  df-0g 16693  df-gsum 16694  df-topgen 16695  df-pt 16696  df-prds 16699  df-xrs 16753  df-qtop 16758  df-imas 16759  df-xps 16761  df-mre 16835  df-mrc 16836  df-acs 16838  df-mgm 17830  df-sgrp 17879  df-mnd 17890  df-submnd 17935  df-mulg 18203  df-cntz 18425  df-cmn 18886  df-psmet 20512  df-xmet 20513  df-met 20514  df-bl 20515  df-mopn 20516  df-cnfld 20521  df-top 21477  df-topon 21494  df-topsp 21516  df-bases 21529  df-cld 21602  df-ntr 21603  df-cls 21604  df-nei 21681  df-cn 21810  df-cnp 21811  df-cmp 21970  df-conn 21995  df-lly 22049  df-nlly 22050  df-tx 22145  df-hmeo 22338  df-xms 22905  df-ms 22906  df-tms 22907  df-ii 23460  df-htpy 23553  df-phtpy 23554  df-phtpc 23575  df-pconn 32475  df-sconn 32476  df-cvm 32510 This theorem is referenced by:  cvmlift3lem1  32573
 Copyright terms: Public domain W3C validator