Theorem ply1idvr1 21464

Description: The identity of a polynomial ring expressed as power of the polynomial variable. (Contributed by AV, 14-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1idvr1.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1idvr1.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
ply1idvr1.n	⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝑃)
ply1idvr1.e	⊢ ↑ = (.g‘𝑁)

Assertion

Ref	Expression
ply1idvr1	⊢ (𝑅 ∈ Ring → (0 ↑ 𝑋) = (1r‘𝑃))

Proof of Theorem ply1idvr1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
3	1, 2	ringidcl 19807	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
4		ply1idvr1.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
5		ply1idvr1.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
6		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑃) = ( ·𝑠 ‘𝑃)
7		ply1idvr1.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝑃)
8		ply1idvr1.e	. . . . 5 ⊢ ↑ = (.g‘𝑁)
9		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
10	1, 4, 5, 6, 7, 8, 9	ply1scltm 21452	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅)) → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) = ((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑃)(0 ↑ 𝑋)))
11	3, 10	mpdan 684	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) = ((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑃)(0 ↑ 𝑋)))
12	4	ply1sca 21424	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
13	12	fveq2d 6778	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) = (1r‘(Scalar‘𝑃)))
14	13	oveq1d 7290	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑃)(0 ↑ 𝑋)) = ((1r‘(Scalar‘𝑃))( ·𝑠 ‘𝑃)(0 ↑ 𝑋)))
15	4	ply1lmod 21423	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
16		0nn0 12248	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
17		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
18	4, 5, 7, 8, 17	ply1moncl 21442	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 0 ∈ ℕ0) → (0 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
19	16, 18	mpan2 688	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (0 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
20		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
21		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝑃)) = (1r‘(Scalar‘𝑃))
22	17, 20, 6, 21	lmodvs1 20151	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ LMod ∧ (0 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑃)) → ((1r‘(Scalar‘𝑃))( ·𝑠 ‘𝑃)(0 ↑ 𝑋)) = (0 ↑ 𝑋))
23	15, 19, 22	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((1r‘(Scalar‘𝑃))( ·𝑠 ‘𝑃)(0 ↑ 𝑋)) = (0 ↑ 𝑋))
24	11, 14, 23	3eqtrrd 2783	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (0 ↑ 𝑋) = ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)))
25		eqid 2738	. . 3 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘𝑃)
26	4, 9, 2, 25	ply1scl1 21463	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑃))
27	24, 26	eqtrd 2778	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (0 ↑ 𝑋) = (1r‘𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  0cc0 10871  ℕ₀cn0 12233  Basecbs 16912  Scalarcsca 16965   ·_𝑠 cvsca 16966  ._gcmg 18700  mulGrpcmgp 19720  1_rcur 19737  Ringcrg 19783  LModclmod 20123  algSccascl 21059  var₁cv1 21347  Poly₁cpl1 21348

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-ofr 7534  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-hash 14045  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-tset 16981  df-ple 16982  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-mhm 18430  df-submnd 18431  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-mulg 18701  df-subg 18752  df-ghm 18832  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-abl 19389  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-subrg 20022  df-lmod 20125  df-lss 20194  df-ascl 21062  df-psr 21112  df-mvr 21113  df-mpl 21114  df-opsr 21116  df-psr1 21351  df-vr1 21352  df-ply1 21353

This theorem is referenced by:  decpmatid  21919  pmatcollpwscmatlem1  21938  idpm2idmp  21950