Theorem ply1idvr1OLD 22254

Description: Obsolete version of ply1idvr1 22253 as of 3-Jul-2025. (Contributed by AV, 14-Aug-2019.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1idvr1.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1idvr1.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
ply1idvr1.n	⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝑃)
ply1idvr1.e	⊢ ↑ = (.g‘𝑁)

Assertion

Ref	Expression
ply1idvr1OLD	⊢ (𝑅 ∈ Ring → (0 ↑ 𝑋) = (1r‘𝑃))

Proof of Theorem ply1idvr1OLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
3	1, 2	ringidcl 20215	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
4		ply1idvr1.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
5		ply1idvr1.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
6		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑃) = ( ·𝑠 ‘𝑃)
7		ply1idvr1.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝑃)
8		ply1idvr1.e	. . . . 5 ⊢ ↑ = (.g‘𝑁)
9		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
10	1, 4, 5, 6, 7, 8, 9	ply1scltm 22238	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅)) → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) = ((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑃)(0 ↑ 𝑋)))
11	3, 10	mpdan 688	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) = ((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑃)(0 ↑ 𝑋)))
12	4	ply1sca 22208	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
13	12	fveq2d 6846	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) = (1r‘(Scalar‘𝑃)))
14	13	oveq1d 7383	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((1r‘𝑅)( ·𝑠 ‘𝑃)(0 ↑ 𝑋)) = ((1r‘(Scalar‘𝑃))( ·𝑠 ‘𝑃)(0 ↑ 𝑋)))
15	4	ply1lmod 22207	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
16		0nn0 12428	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
17		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
18	4, 5, 7, 8, 17	ply1moncl 22228	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 0 ∈ ℕ0) → (0 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
19	16, 18	mpan2 692	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (0 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
20		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
21		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝑃)) = (1r‘(Scalar‘𝑃))
22	17, 20, 6, 21	lmodvs1 20856	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ LMod ∧ (0 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑃)) → ((1r‘(Scalar‘𝑃))( ·𝑠 ‘𝑃)(0 ↑ 𝑋)) = (0 ↑ 𝑋))
23	15, 19, 22	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((1r‘(Scalar‘𝑃))( ·𝑠 ‘𝑃)(0 ↑ 𝑋)) = (0 ↑ 𝑋))
24	11, 14, 23	3eqtrrd 2777	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (0 ↑ 𝑋) = ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)))
25		eqid 2737	. . 3 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘𝑃)
26	4, 9, 2, 25	ply1scl1 22250	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑃))
27	24, 26	eqtrd 2772	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (0 ↑ 𝑋) = (1r‘𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  0cc0 11038  ℕ₀cn0 12413  Basecbs 17148  Scalarcsca 17192   ·_𝑠 cvsca 17193  ._gcmg 19012  mulGrpcmgp 20090  1_rcur 20131  Ringcrg 20183  LModclmod 20826  algSccascl 21822  var₁cv1 22131  Poly₁cpl1 22132

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-of 7632  df-ofr 7633  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-supp 8113  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-er 8645  df-map 8777  df-pm 8778  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9277  df-sup 9357  df-oi 9427  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-seq 13937  df-hash 14266  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-sca 17205  df-vsca 17206  df-ip 17207  df-tset 17208  df-ple 17209  df-ds 17211  df-hom 17213  df-cco 17214  df-0g 17373  df-gsum 17374  df-prds 17379  df-pws 17381  df-mre 17517  df-mrc 17518  df-acs 17520  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-mhm 18720  df-submnd 18721  df-grp 18881  df-minusg 18882  df-sbg 18883  df-mulg 19013  df-subg 19068  df-ghm 19157  df-cntz 19261  df-cmn 19726  df-abl 19727  df-mgp 20091  df-rng 20103  df-ur 20132  df-ring 20185  df-subrng 20494  df-subrg 20518  df-lmod 20828  df-lss 20898  df-ascl 21825  df-psr 21880  df-mvr 21881  df-mpl 21882  df-opsr 21884  df-psr1 22135  df-vr1 22136  df-ply1 22137

This theorem is referenced by: (None)