Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  plymulx Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem plymulx 33559
Description: Coefficients of a polynomial multiplied by Xp. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
plymulx (๐น โˆˆ (Polyโ€˜โ„) โ†’ (coeffโ€˜(๐น โˆ˜f ยท Xp)) = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ if(๐‘› = 0, 0, ((coeffโ€˜๐น)โ€˜(๐‘› โˆ’ 1)))))
Distinct variable group:   ๐‘›,๐น

Proof of Theorem plymulx
Dummy variable ๐‘š is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-resscn 11167 . . . . . . 7 โ„ โŠ† โ„‚
2 1re 11214 . . . . . . 7 1 โˆˆ โ„
3 plyid 25723 . . . . . . 7 ((โ„ โŠ† โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„) โ†’ Xp โˆˆ (Polyโ€˜โ„))
41, 2, 3mp2an 691 . . . . . 6 Xp โˆˆ (Polyโ€˜โ„)
5 plymul02 33557 . . . . . . 7 (Xp โˆˆ (Polyโ€˜โ„) โ†’ (0๐‘ โˆ˜f ยท Xp) = 0๐‘)
65fveq2d 6896 . . . . . 6 (Xp โˆˆ (Polyโ€˜โ„) โ†’ (coeffโ€˜(0๐‘ โˆ˜f ยท Xp)) = (coeffโ€˜0๐‘))
74, 6ax-mp 5 . . . . 5 (coeffโ€˜(0๐‘ โˆ˜f ยท Xp)) = (coeffโ€˜0๐‘)
8 fconstmpt 5739 . . . . . 6 (โ„•0 ร— {0}) = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ 0)
9 coe0 25770 . . . . . 6 (coeffโ€˜0๐‘) = (โ„•0 ร— {0})
10 eqidd 2734 . . . . . . . 8 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› = 0) โ†’ 0 = 0)
11 elnnne0 12486 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†” (๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โ‰  0))
12 df-ne 2942 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โ‰  0 โ†” ยฌ ๐‘› = 0)
1312anbi2i 624 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โ‰  0) โ†” (๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ยฌ ๐‘› = 0))
1411, 13bitr2i 276 . . . . . . . . . 10 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ยฌ ๐‘› = 0) โ†” ๐‘› โˆˆ โ„•)
15 nnm1nn0 12513 . . . . . . . . . 10 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘› โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
1614, 15sylbi 216 . . . . . . . . 9 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ยฌ ๐‘› = 0) โ†’ (๐‘› โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
17 eqidd 2734 . . . . . . . . . 10 (๐‘š = (๐‘› โˆ’ 1) โ†’ 0 = 0)
18 fconstmpt 5739 . . . . . . . . . . 11 (โ„•0 ร— {0}) = (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†ฆ 0)
199, 18eqtri 2761 . . . . . . . . . 10 (coeffโ€˜0๐‘) = (๐‘š โˆˆ โ„•0 โ†ฆ 0)
20 c0ex 11208 . . . . . . . . . 10 0 โˆˆ V
2117, 19, 20fvmpt 6999 . . . . . . . . 9 ((๐‘› โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0 โ†’ ((coeffโ€˜0๐‘)โ€˜(๐‘› โˆ’ 1)) = 0)
2216, 21syl 17 . . . . . . . 8 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ยฌ ๐‘› = 0) โ†’ ((coeffโ€˜0๐‘)โ€˜(๐‘› โˆ’ 1)) = 0)
2310, 22ifeqda 4565 . . . . . . 7 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ if(๐‘› = 0, 0, ((coeffโ€˜0๐‘)โ€˜(๐‘› โˆ’ 1))) = 0)
2423mpteq2ia 5252 . . . . . 6 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ if(๐‘› = 0, 0, ((coeffโ€˜0๐‘)โ€˜(๐‘› โˆ’ 1)))) = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ 0)
258, 9, 243eqtr4ri 2772 . . . . 5 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ if(๐‘› = 0, 0, ((coeffโ€˜0๐‘)โ€˜(๐‘› โˆ’ 1)))) = (coeffโ€˜0๐‘)
267, 25eqtr4i 2764 . . . 4 (coeffโ€˜(0๐‘ โˆ˜f ยท Xp)) = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ if(๐‘› = 0, 0, ((coeffโ€˜0๐‘)โ€˜(๐‘› โˆ’ 1))))
27 fvoveq1 7432 . . . 4 (๐น = 0๐‘ โ†’ (coeffโ€˜(๐น โˆ˜f ยท Xp)) = (coeffโ€˜(0๐‘ โˆ˜f ยท Xp)))
28 simpl 484 . . . . . . . 8 ((๐น = 0๐‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐น = 0๐‘)
2928fveq2d 6896 . . . . . . 7 ((๐น = 0๐‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (coeffโ€˜๐น) = (coeffโ€˜0๐‘))
3029fveq1d 6894 . . . . . 6 ((๐น = 0๐‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((coeffโ€˜๐น)โ€˜(๐‘› โˆ’ 1)) = ((coeffโ€˜0๐‘)โ€˜(๐‘› โˆ’ 1)))
3130ifeq2d 4549 . . . . 5 ((๐น = 0๐‘ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ if(๐‘› = 0, 0, ((coeffโ€˜๐น)โ€˜(๐‘› โˆ’ 1))) = if(๐‘› = 0, 0, ((coeffโ€˜0๐‘)โ€˜(๐‘› โˆ’ 1))))
3231mpteq2dva 5249 . . . 4 (๐น = 0๐‘ โ†’ (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ if(๐‘› = 0, 0, ((coeffโ€˜๐น)โ€˜(๐‘› โˆ’ 1)))) = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ if(๐‘› = 0, 0, ((coeffโ€˜0๐‘)โ€˜(๐‘› โˆ’ 1)))))
3326, 27, 323eqtr4a 2799 . . 3 (๐น = 0๐‘ โ†’ (coeffโ€˜(๐น โˆ˜f ยท Xp)) = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ if(๐‘› = 0, 0, ((coeffโ€˜๐น)โ€˜(๐‘› โˆ’ 1)))))
3433adantl 483 . 2 ((๐น โˆˆ (Polyโ€˜โ„) โˆง ๐น = 0๐‘) โ†’ (coeffโ€˜(๐น โˆ˜f ยท Xp)) = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ if(๐‘› = 0, 0, ((coeffโ€˜๐น)โ€˜(๐‘› โˆ’ 1)))))
35 simpl 484 . . . 4 ((๐น โˆˆ (Polyโ€˜โ„) โˆง ยฌ ๐น = 0๐‘) โ†’ ๐น โˆˆ (Polyโ€˜โ„))
36 elsng 4643 . . . . . 6 (๐น โˆˆ (Polyโ€˜โ„) โ†’ (๐น โˆˆ {0๐‘} โ†” ๐น = 0๐‘))
3736notbid 318 . . . . 5 (๐น โˆˆ (Polyโ€˜โ„) โ†’ (ยฌ ๐น โˆˆ {0๐‘} โ†” ยฌ ๐น = 0๐‘))
3837biimpar 479 . . . 4 ((๐น โˆˆ (Polyโ€˜โ„) โˆง ยฌ ๐น = 0๐‘) โ†’ ยฌ ๐น โˆˆ {0๐‘})
3935, 38eldifd 3960 . . 3 ((๐น โˆˆ (Polyโ€˜โ„) โˆง ยฌ ๐น = 0๐‘) โ†’ ๐น โˆˆ ((Polyโ€˜โ„) โˆ– {0๐‘}))
40 plymulx0 33558 . . 3 (๐น โˆˆ ((Polyโ€˜โ„) โˆ– {0๐‘}) โ†’ (coeffโ€˜(๐น โˆ˜f ยท Xp)) = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ if(๐‘› = 0, 0, ((coeffโ€˜๐น)โ€˜(๐‘› โˆ’ 1)))))
4139, 40syl 17 . 2 ((๐น โˆˆ (Polyโ€˜โ„) โˆง ยฌ ๐น = 0๐‘) โ†’ (coeffโ€˜(๐น โˆ˜f ยท Xp)) = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ if(๐‘› = 0, 0, ((coeffโ€˜๐น)โ€˜(๐‘› โˆ’ 1)))))
4234, 41pm2.61dan 812 1 (๐น โˆˆ (Polyโ€˜โ„) โ†’ (coeffโ€˜(๐น โˆ˜f ยท Xp)) = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ if(๐‘› = 0, 0, ((coeffโ€˜๐น)โ€˜(๐‘› โˆ’ 1)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2941   โˆ– cdif 3946   โŠ† wss 3949  ifcif 4529  {csn 4629   โ†ฆ cmpt 5232   ร— cxp 5675  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   โˆ˜f cof 7668  โ„‚cc 11108  โ„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   ยท cmul 11115   โˆ’ cmin 11444  โ„•cn 12212  โ„•0cn0 12472  0๐‘c0p 25186  Polycply 25698  Xpcidp 25699  coeffccoe 25700
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-0p 25187  df-ply 25702  df-idp 25703  df-coe 25704  df-dgr 25705
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator