Theorem ppivalnn4 48184

Description: Value of the term of the prime-counting function pi for positive integers, according to Ján Mináč, for 4. (Contributed by AV, 8-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
ppivalnn4	⊢ (⌊‘((((!‘(4 − 1)) + 1) / 4) − (⌊‘((!‘(4 − 1)) / 4)))) = 0

Proof of Theorem ppivalnn4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4m1e3 12336	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 − 1) = 3
2	1	fveq2i 6859	. . . . . . . 8 ⊢ (!‘(4 − 1)) = (!‘3)
3		fac3 14283	. . . . . . . 8 ⊢ (!‘3) = 6
4	2, 3	eqtri 2779	. . . . . . 7 ⊢ (!‘(4 − 1)) = 6
5	4	oveq1i 7395	. . . . . 6 ⊢ ((!‘(4 − 1)) + 1) = (6 + 1)
6		6p1e7 12355	. . . . . 6 ⊢ (6 + 1) = 7
7	5, 6	eqtri 2779	. . . . 5 ⊢ ((!‘(4 − 1)) + 1) = 7
8	7	oveq1i 7395	. . . 4 ⊢ (((!‘(4 − 1)) + 1) / 4) = (7 / 4)
9	4	oveq1i 7395	. . . . . 6 ⊢ ((!‘(4 − 1)) / 4) = (6 / 4)
10	9	fveq2i 6859	. . . . 5 ⊢ (⌊‘((!‘(4 − 1)) / 4)) = (⌊‘(6 / 4))
11		3t2e6 12373	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 2) = 6
12		2t2e4 12371	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 2) = 4
13	11, 12	oveq12i 7397	. . . . . . 7 ⊢ ((3 · 2) / (2 · 2)) = (6 / 4)
14		2ne0 12314	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≠ 0
15		3cn 12289	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℂ
16	15	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ≠ 0 → 3 ∈ ℂ)
17		2cnd 12286	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ≠ 0 → 2 ∈ ℂ)
18		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ≠ 0 → 2 ≠ 0)
19	16, 17, 17, 18, 18	divcan5rd 11984	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ≠ 0 → ((3 · 2) / (2 · 2)) = (3 / 2))
20	14, 19	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((3 · 2) / (2 · 2)) = (3 / 2)
21	13, 20	eqtr3i 2781	. . . . . 6 ⊢ (6 / 4) = (3 / 2)
22	21	fveq2i 6859	. . . . 5 ⊢ (⌊‘(6 / 4)) = (⌊‘(3 / 2))
23		ex-fl 30588	. . . . . 6 ⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)
24	23	simpli 486	. . . . 5 ⊢ (⌊‘(3 / 2)) = 1
25	10, 22, 24	3eqtri 2783	. . . 4 ⊢ (⌊‘((!‘(4 − 1)) / 4)) = 1
26	8, 25	oveq12i 7397	. . 3 ⊢ ((((!‘(4 − 1)) + 1) / 4) − (⌊‘((!‘(4 − 1)) / 4))) = ((7 / 4) − 1)
27	26	fveq2i 6859	. 2 ⊢ (⌊‘((((!‘(4 − 1)) + 1) / 4) − (⌊‘((!‘(4 − 1)) / 4)))) = (⌊‘((7 / 4) − 1))
28		4cn 12293	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
29		4ne0 12319	. . . . . . 7 ⊢ 4 ≠ 0
30	28, 29	dividi 11914	. . . . . 6 ⊢ (4 / 4) = 1
31	30	eqcomi 2765	. . . . 5 ⊢ 1 = (4 / 4)
32	31	oveq2i 7396	. . . 4 ⊢ ((7 / 4) − 1) = ((7 / 4) − (4 / 4))
33		7cn 12302	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℂ
34	28, 29	pm3.2i 473	. . . . . 6 ⊢ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)
35		divsubdir 11874	. . . . . 6 ⊢ ((7 ∈ ℂ ∧ 4 ∈ ℂ ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → ((7 − 4) / 4) = ((7 / 4) − (4 / 4)))
36	33, 28, 34, 35	mp3an 1476	. . . . 5 ⊢ ((7 − 4) / 4) = ((7 / 4) − (4 / 4))
37		4p3e7 12361	. . . . . . . 8 ⊢ (4 + 3) = 7
38	37	eqcomi 2765	. . . . . . 7 ⊢ 7 = (4 + 3)
39	28, 15, 38	mvrladdi 11438	. . . . . 6 ⊢ (7 − 4) = 3
40	39	oveq1i 7395	. . . . 5 ⊢ ((7 − 4) / 4) = (3 / 4)
41	36, 40	eqtr3i 2781	. . . 4 ⊢ ((7 / 4) − (4 / 4)) = (3 / 4)
42	32, 41	eqtri 2779	. . 3 ⊢ ((7 / 4) − 1) = (3 / 4)
43	42	fveq2i 6859	. 2 ⊢ (⌊‘((7 / 4) − 1)) = (⌊‘(3 / 4))
44		3lt4 12384	. . 3 ⊢ 3 < 4
45		3nn0 12489	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
46		4nn 12291	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ
47		divfl0 13824	. . . 4 ⊢ ((3 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ) → (3 < 4 ↔ (⌊‘(3 / 4)) = 0))
48	45, 46, 47	mp2an 700	. . 3 ⊢ (3 < 4 ↔ (⌊‘(3 / 4)) = 0)
49	44, 48	mpbi 232	. 2 ⊢ (⌊‘(3 / 4)) = 0
50	27, 43, 49	3eqtri 2783	1 ⊢ (⌊‘((((!‘(4 − 1)) + 1) / 4) − (⌊‘((!‘(4 − 1)) / 4)))) = 0

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1554   ∈ wcel 2136   ≠ wne 2951   class class class wbr 5094  ‘cfv 6510  (class class class)co 7385  ℂcc 11061  0cc0 11063  1c1 11064   + caddc 11066   · cmul 11068   < clt 11206   − cmin 11404  -cneg 11405   / cdiv 11834  ℕcn 12200  2c2 12262  3c3 12263  4c4 12264  6c6 12266  7c7 12267  ℕ₀cn0 12471  ⌊cfl 13790  !cfa 14276

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5316  ax-pr 5384  ax-un 7707  ax-cnex 11119  ax-resscn 11120  ax-1cn 11121  ax-icn 11122  ax-addcl 11123  ax-addrcl 11124  ax-mulcl 11125  ax-mulrcl 11126  ax-mulcom 11127  ax-addass 11128  ax-mulass 11129  ax-distr 11130  ax-i2m1 11131  ax-1ne0 11132  ax-1rid 11133  ax-rnegex 11134  ax-rrecex 11135  ax-cnre 11136  ax-pre-lttri 11137  ax-pre-lttrn 11138  ax-pre-ltadd 11139  ax-pre-mulgt0 11140  ax-pre-sup 11141

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3071  df-rex 3081  df-rmo 3361  df-reu 3362  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4945  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-tr 5202  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-f1 6515  df-fo 6516  df-f1o 6517  df-fv 6518  df-riota 7342  df-ov 7388  df-oprab 7389  df-mpo 7390  df-om 7836  df-2nd 7960  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8330  df-rdg 8369  df-er 8666  df-en 8917  df-dom 8918  df-sdom 8919  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11208  df-mnf 11209  df-xr 11210  df-ltxr 11211  df-le 11212  df-sub 11406  df-neg 11407  df-div 11835  df-nn 12201  df-2 12270  df-3 12271  df-4 12272  df-5 12273  df-6 12274  df-7 12275  df-n0 12472  df-z 12559  df-uz 12830  df-rp 12984  df-fl 13792  df-seq 14005  df-fac 14277

This theorem is referenced by:  ppivalnnnprm  48185