Theorem ppivalnn4 48917

Description: Value of the term of the prime-counting function pi for positive integers, according to Ján Mináč, for 4. (Contributed by AV, 8-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
ppivalnn4	⊢ (⌊‘((((!‘(4 − 1)) + 1) / 4) − (⌊‘((!‘(4 − 1)) / 4)))) = 0

Proof of Theorem ppivalnn4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4m1e3 12498	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 − 1) = 3
2	1	fveq2i 6911	. . . . . . . 8 ⊢ (!‘(4 − 1)) = (!‘3)
3		fac3 14451	. . . . . . . 8 ⊢ (!‘3) = 6
4	2, 3	eqtri 2786	. . . . . . 7 ⊢ (!‘(4 − 1)) = 6
5	4	oveq1i 7453	. . . . . 6 ⊢ ((!‘(4 − 1)) + 1) = (6 + 1)
6		6p1e7 12517	. . . . . 6 ⊢ (6 + 1) = 7
7	5, 6	eqtri 2786	. . . . 5 ⊢ ((!‘(4 − 1)) + 1) = 7
8	7	oveq1i 7453	. . . 4 ⊢ (((!‘(4 − 1)) + 1) / 4) = (7 / 4)
9	4	oveq1i 7453	. . . . . 6 ⊢ ((!‘(4 − 1)) / 4) = (6 / 4)
10	9	fveq2i 6911	. . . . 5 ⊢ (⌊‘((!‘(4 − 1)) / 4)) = (⌊‘(6 / 4))
11		3t2e6 12535	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 2) = 6
12		2t2e4 12533	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 2) = 4
13	11, 12	oveq12i 7455	. . . . . . 7 ⊢ ((3 · 2) / (2 · 2)) = (6 / 4)
14		2ne0 12476	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≠ 0
15		3cn 12451	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℂ
16	15	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ≠ 0 → 3 ∈ ℂ)
17		2cnd 12448	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ≠ 0 → 2 ∈ ℂ)
18		id 23	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ≠ 0 → 2 ≠ 0)
19	16, 17, 17, 18, 18	divcan5rd 12147	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ≠ 0 → ((3 · 2) / (2 · 2)) = (3 / 2))
20	14, 19	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((3 · 2) / (2 · 2)) = (3 / 2)
21	13, 20	eqtr3i 2788	. . . . . 6 ⊢ (6 / 4) = (3 / 2)
22	21	fveq2i 6911	. . . . 5 ⊢ (⌊‘(6 / 4)) = (⌊‘(3 / 2))
23		ex-fl 31078	. . . . . 6 ⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘ -(3 / 2)) = -2)
24	23	simpli 489	. . . . 5 ⊢ (⌊‘(3 / 2)) = 1
25	10, 22, 24	3eqtri 2790	. . . 4 ⊢ (⌊‘((!‘(4 − 1)) / 4)) = 1
26	8, 25	oveq12i 7455	. . 3 ⊢ ((((!‘(4 − 1)) + 1) / 4) − (⌊‘((!‘(4 − 1)) / 4))) = ((7 / 4) − 1)
27	26	fveq2i 6911	. 2 ⊢ (⌊‘((((!‘(4 − 1)) + 1) / 4) − (⌊‘((!‘(4 − 1)) / 4)))) = (⌊‘((7 / 4) − 1))
28		4cn 12455	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
29		4ne0 12481	. . . . . . 7 ⊢ 4 ≠ 0
30	28, 29	dividi 12077	. . . . . 6 ⊢ (4 / 4) = 1
31	30	eqcomi 2772	. . . . 5 ⊢ 1 = (4 / 4)
32	31	oveq2i 7454	. . . 4 ⊢ ((7 / 4) − 1) = ((7 / 4) − (4 / 4))
33		7cn 12464	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℂ
34	28, 29	pm3.2i 476	. . . . . 6 ⊢ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)
35		divsubdir 12037	. . . . . 6 ⊢ ((7 ∈ ℂ ∧ 4 ∈ ℂ ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → ((7 − 4) / 4) = ((7 / 4) − (4 / 4)))
36	33, 28, 34, 35	mp3an 1491	. . . . 5 ⊢ ((7 − 4) / 4) = ((7 / 4) − (4 / 4))
37		4p3e7 12523	. . . . . . . 8 ⊢ (4 + 3) = 7
38	37	eqcomi 2772	. . . . . . 7 ⊢ 7 = (4 + 3)
39	28, 15, 38	mvrladdi 11602	. . . . . 6 ⊢ (7 − 4) = 3
40	39	oveq1i 7453	. . . . 5 ⊢ ((7 − 4) / 4) = (3 / 4)
41	36, 40	eqtr3i 2788	. . . 4 ⊢ ((7 / 4) − (4 / 4)) = (3 / 4)
42	32, 41	eqtri 2786	. . 3 ⊢ ((7 / 4) − 1) = (3 / 4)
43	42	fveq2i 6911	. 2 ⊢ (⌊‘((7 / 4) − 1)) = (⌊‘(3 / 4))
44		3lt4 12546	. . 3 ⊢ 3 < 4
45		3nn0 12651	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
46		4nn 12453	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ
47		divfl0 13991	. . . 4 ⊢ ((3 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ) → (3 < 4 ↔ (⌊‘(3 / 4)) = 0))
48	45, 46, 47	mp2an 705	. . 3 ⊢ (3 < 4 ↔ (⌊‘(3 / 4)) = 0)
49	44, 48	mpbi 233	. 2 ⊢ (⌊‘(3 / 4)) = 0
50	27, 43, 49	3eqtri 2790	1 ⊢ (⌊‘((((!‘(4 − 1)) + 1) / 4) − (⌊‘((!‘(4 − 1)) / 4)))) = 0

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959   class class class wbr 5106  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  ℂcc 11225  0cc0 11227  1c1 11228   + caddc 11230   · cmul 11232   < clt 11370   − cmin 11568   -cneg 11569   / cdiv 12000  ℕcn 12362  2c2 12424  3c3 12425  4c4 12426  6c6 12428  7c7 12429  ℕ₀cn0 12633  ⌊cfl 13957  !cfa 14444

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304  ax-pre-sup 11305

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-sup 9461  df-inf 9462  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-4 12434  df-5 12435  df-6 12436  df-7 12437  df-n0 12634  df-z 12721  df-uz 12993  df-rp 13148  df-fl 13959  df-seq 14172  df-fac 14445

This theorem is used by:  ppivalnnnprm  48918