Theorem ppivalnn4 48234

Description: Value of the term of the prime-counting function pi for positive integers, according to Ján Mináč, for 4. (Contributed by AV, 8-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
ppivalnn4	⊢ (⌊‘((((!‘(4 − 1)) + 1) / 4) − (⌊‘((!‘(4 − 1)) / 4)))) = 0

Proof of Theorem ppivalnn4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4m1e3 12360	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 − 1) = 3
2	1	fveq2i 6874	. . . . . . . 8 ⊢ (!‘(4 − 1)) = (!‘3)
3		fac3 14307	. . . . . . . 8 ⊢ (!‘3) = 6
4	2, 3	eqtri 2788	. . . . . . 7 ⊢ (!‘(4 − 1)) = 6
5	4	oveq1i 7410	. . . . . 6 ⊢ ((!‘(4 − 1)) + 1) = (6 + 1)
6		6p1e7 12379	. . . . . 6 ⊢ (6 + 1) = 7
7	5, 6	eqtri 2788	. . . . 5 ⊢ ((!‘(4 − 1)) + 1) = 7
8	7	oveq1i 7410	. . . 4 ⊢ (((!‘(4 − 1)) + 1) / 4) = (7 / 4)
9	4	oveq1i 7410	. . . . . 6 ⊢ ((!‘(4 − 1)) / 4) = (6 / 4)
10	9	fveq2i 6874	. . . . 5 ⊢ (⌊‘((!‘(4 − 1)) / 4)) = (⌊‘(6 / 4))
11		3t2e6 12397	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 2) = 6
12		2t2e4 12395	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 2) = 4
13	11, 12	oveq12i 7412	. . . . . . 7 ⊢ ((3 · 2) / (2 · 2)) = (6 / 4)
14		2ne0 12338	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≠ 0
15		3cn 12313	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℂ
16	15	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ≠ 0 → 3 ∈ ℂ)
17		2cnd 12310	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ≠ 0 → 2 ∈ ℂ)
18		id 23	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ≠ 0 → 2 ≠ 0)
19	16, 17, 17, 18, 18	divcan5rd 12009	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ≠ 0 → ((3 · 2) / (2 · 2)) = (3 / 2))
20	14, 19	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((3 · 2) / (2 · 2)) = (3 / 2)
21	13, 20	eqtr3i 2790	. . . . . 6 ⊢ (6 / 4) = (3 / 2)
22	21	fveq2i 6874	. . . . 5 ⊢ (⌊‘(6 / 4)) = (⌊‘(3 / 2))
23		ex-fl 30707	. . . . . 6 ⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)
24	23	simpli 488	. . . . 5 ⊢ (⌊‘(3 / 2)) = 1
25	10, 22, 24	3eqtri 2792	. . . 4 ⊢ (⌊‘((!‘(4 − 1)) / 4)) = 1
26	8, 25	oveq12i 7412	. . 3 ⊢ ((((!‘(4 − 1)) + 1) / 4) − (⌊‘((!‘(4 − 1)) / 4))) = ((7 / 4) − 1)
27	26	fveq2i 6874	. 2 ⊢ (⌊‘((((!‘(4 − 1)) + 1) / 4) − (⌊‘((!‘(4 − 1)) / 4)))) = (⌊‘((7 / 4) − 1))
28		4cn 12317	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
29		4ne0 12343	. . . . . . 7 ⊢ 4 ≠ 0
30	28, 29	dividi 11939	. . . . . 6 ⊢ (4 / 4) = 1
31	30	eqcomi 2774	. . . . 5 ⊢ 1 = (4 / 4)
32	31	oveq2i 7411	. . . 4 ⊢ ((7 / 4) − 1) = ((7 / 4) − (4 / 4))
33		7cn 12326	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℂ
34	28, 29	pm3.2i 475	. . . . . 6 ⊢ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)
35		divsubdir 11899	. . . . . 6 ⊢ ((7 ∈ ℂ ∧ 4 ∈ ℂ ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → ((7 − 4) / 4) = ((7 / 4) − (4 / 4)))
36	33, 28, 34, 35	mp3an 1485	. . . . 5 ⊢ ((7 − 4) / 4) = ((7 / 4) − (4 / 4))
37		4p3e7 12385	. . . . . . . 8 ⊢ (4 + 3) = 7
38	37	eqcomi 2774	. . . . . . 7 ⊢ 7 = (4 + 3)
39	28, 15, 38	mvrladdi 11463	. . . . . 6 ⊢ (7 − 4) = 3
40	39	oveq1i 7410	. . . . 5 ⊢ ((7 − 4) / 4) = (3 / 4)
41	36, 40	eqtr3i 2790	. . . 4 ⊢ ((7 / 4) − (4 / 4)) = (3 / 4)
42	32, 41	eqtri 2788	. . 3 ⊢ ((7 / 4) − 1) = (3 / 4)
43	42	fveq2i 6874	. 2 ⊢ (⌊‘((7 / 4) − 1)) = (⌊‘(3 / 4))
44		3lt4 12408	. . 3 ⊢ 3 < 4
45		3nn0 12513	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
46		4nn 12315	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ
47		divfl0 13848	. . . 4 ⊢ ((3 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ) → (3 < 4 ↔ (⌊‘(3 / 4)) = 0))
48	45, 46, 47	mp2an 704	. . 3 ⊢ (3 < 4 ↔ (⌊‘(3 / 4)) = 0)
49	44, 48	mpbi 233	. 2 ⊢ (⌊‘(3 / 4)) = 0
50	27, 43, 49	3eqtri 2792	1 ⊢ (⌊‘((((!‘(4 − 1)) + 1) / 4) − (⌊‘((!‘(4 − 1)) / 4)))) = 0

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960   class class class wbr 5105  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  ℂcc 11086  0cc0 11088  1c1 11089   + caddc 11091   · cmul 11093   < clt 11231   − cmin 11429  -cneg 11430   / cdiv 11859  ℕcn 12224  2c2 12286  3c3 12287  4c4 12288  6c6 12290  7c7 12291  ℕ₀cn0 12495  ⌊cfl 13814  !cfa 14300

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-sup 9390  df-inf 9391  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-4 12296  df-5 12297  df-6 12298  df-7 12299  df-n0 12496  df-z 12583  df-uz 12854  df-rp 13008  df-fl 13816  df-seq 14029  df-fac 14301

This theorem is referenced by:  ppivalnnnprm  48235