Theorem ppivalnn4 48532

Description: Value of the term of the prime-counting function pi for positive integers, according to Ján Mináč, for 4. (Contributed by AV, 8-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
ppivalnn4	⊢ (⌊‘((((!‘(4 − 1)) + 1) / 4) − (⌊‘((!‘(4 − 1)) / 4)))) = 0

Proof of Theorem ppivalnn4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4m1e3 12396	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 − 1) = 3
2	1	fveq2i 6885	. . . . . . . 8 ⊢ (!‘(4 − 1)) = (!‘3)
3		fac3 14346	. . . . . . . 8 ⊢ (!‘3) = 6
4	2, 3	eqtri 2785	. . . . . . 7 ⊢ (!‘(4 − 1)) = 6
5	4	oveq1i 7426	. . . . . 6 ⊢ ((!‘(4 − 1)) + 1) = (6 + 1)
6		6p1e7 12415	. . . . . 6 ⊢ (6 + 1) = 7
7	5, 6	eqtri 2785	. . . . 5 ⊢ ((!‘(4 − 1)) + 1) = 7
8	7	oveq1i 7426	. . . 4 ⊢ (((!‘(4 − 1)) + 1) / 4) = (7 / 4)
9	4	oveq1i 7426	. . . . . 6 ⊢ ((!‘(4 − 1)) / 4) = (6 / 4)
10	9	fveq2i 6885	. . . . 5 ⊢ (⌊‘((!‘(4 − 1)) / 4)) = (⌊‘(6 / 4))
11		3t2e6 12433	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 2) = 6
12		2t2e4 12431	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 2) = 4
13	11, 12	oveq12i 7428	. . . . . . 7 ⊢ ((3 · 2) / (2 · 2)) = (6 / 4)
14		2ne0 12374	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≠ 0
15		3cn 12349	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℂ
16	15	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ≠ 0 → 3 ∈ ℂ)
17		2cnd 12346	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ≠ 0 → 2 ∈ ℂ)
18		id 23	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ≠ 0 → 2 ≠ 0)
19	16, 17, 17, 18, 18	divcan5rd 12045	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ≠ 0 → ((3 · 2) / (2 · 2)) = (3 / 2))
20	14, 19	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((3 · 2) / (2 · 2)) = (3 / 2)
21	13, 20	eqtr3i 2787	. . . . . 6 ⊢ (6 / 4) = (3 / 2)
22	21	fveq2i 6885	. . . . 5 ⊢ (⌊‘(6 / 4)) = (⌊‘(3 / 2))
23		ex-fl 30928	. . . . . 6 ⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘-(3 / 2)) = -2)
24	23	simpli 489	. . . . 5 ⊢ (⌊‘(3 / 2)) = 1
25	10, 22, 24	3eqtri 2789	. . . 4 ⊢ (⌊‘((!‘(4 − 1)) / 4)) = 1
26	8, 25	oveq12i 7428	. . 3 ⊢ ((((!‘(4 − 1)) + 1) / 4) − (⌊‘((!‘(4 − 1)) / 4))) = ((7 / 4) − 1)
27	26	fveq2i 6885	. 2 ⊢ (⌊‘((((!‘(4 − 1)) + 1) / 4) − (⌊‘((!‘(4 − 1)) / 4)))) = (⌊‘((7 / 4) − 1))
28		4cn 12353	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
29		4ne0 12379	. . . . . . 7 ⊢ 4 ≠ 0
30	28, 29	dividi 11975	. . . . . 6 ⊢ (4 / 4) = 1
31	30	eqcomi 2771	. . . . 5 ⊢ 1 = (4 / 4)
32	31	oveq2i 7427	. . . 4 ⊢ ((7 / 4) − 1) = ((7 / 4) − (4 / 4))
33		7cn 12362	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℂ
34	28, 29	pm3.2i 476	. . . . . 6 ⊢ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)
35		divsubdir 11935	. . . . . 6 ⊢ ((7 ∈ ℂ ∧ 4 ∈ ℂ ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → ((7 − 4) / 4) = ((7 / 4) − (4 / 4)))
36	33, 28, 34, 35	mp3an 1490	. . . . 5 ⊢ ((7 − 4) / 4) = ((7 / 4) − (4 / 4))
37		4p3e7 12421	. . . . . . . 8 ⊢ (4 + 3) = 7
38	37	eqcomi 2771	. . . . . . 7 ⊢ 7 = (4 + 3)
39	28, 15, 38	mvrladdi 11502	. . . . . 6 ⊢ (7 − 4) = 3
40	39	oveq1i 7426	. . . . 5 ⊢ ((7 − 4) / 4) = (3 / 4)
41	36, 40	eqtr3i 2787	. . . 4 ⊢ ((7 / 4) − (4 / 4)) = (3 / 4)
42	32, 41	eqtri 2785	. . 3 ⊢ ((7 / 4) − 1) = (3 / 4)
43	42	fveq2i 6885	. 2 ⊢ (⌊‘((7 / 4) − 1)) = (⌊‘(3 / 4))
44		3lt4 12444	. . 3 ⊢ 3 < 4
45		3nn0 12549	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
46		4nn 12351	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ
47		divfl0 13887	. . . 4 ⊢ ((3 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ) → (3 < 4 ↔ (⌊‘(3 / 4)) = 0))
48	45, 46, 47	mp2an 705	. . 3 ⊢ (3 < 4 ↔ (⌊‘(3 / 4)) = 0)
49	44, 48	mpbi 233	. 2 ⊢ (⌊‘(3 / 4)) = 0
50	27, 43, 49	3eqtri 2789	1 ⊢ (⌊‘((((!‘(4 − 1)) + 1) / 4) − (⌊‘((!‘(4 − 1)) / 4)))) = 0

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957   class class class wbr 5107  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  ℂcc 11125  0cc0 11127  1c1 11128   + caddc 11130   · cmul 11132   < clt 11270   − cmin 11468  -cneg 11469   / cdiv 11898  ℕcn 12260  2c2 12322  3c3 12323  4c4 12324  6c6 12326  7c7 12327  ℕ₀cn0 12531  ⌊cfl 13853  !cfa 14339

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-sup 9415  df-inf 9416  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-rp 13045  df-fl 13855  df-seq 14068  df-fac 14340

This theorem is used by:  ppivalnnnprm  48533