Theorem ppivalnn4 48788

Description: Value of the term of the prime-counting function pi for positive integers, according to Ján Mináč, for 4. (Contributed by AV, 8-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
ppivalnn4	⊢ (⌊‘((((!‘(4 − 1)) + 1) / 4) − (⌊‘((!‘(4 − 1)) / 4)))) = 0

Proof of Theorem ppivalnn4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4m1e3 12472	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 − 1) = 3
2	1	fveq2i 6888	. . . . . . . 8 ⊢ (!‘(4 − 1)) = (!‘3)
3		fac3 14425	. . . . . . . 8 ⊢ (!‘3) = 6
4	2, 3	eqtri 2783	. . . . . . 7 ⊢ (!‘(4 − 1)) = 6
5	4	oveq1i 7430	. . . . . 6 ⊢ ((!‘(4 − 1)) + 1) = (6 + 1)
6		6p1e7 12491	. . . . . 6 ⊢ (6 + 1) = 7
7	5, 6	eqtri 2783	. . . . 5 ⊢ ((!‘(4 − 1)) + 1) = 7
8	7	oveq1i 7430	. . . 4 ⊢ (((!‘(4 − 1)) + 1) / 4) = (7 / 4)
9	4	oveq1i 7430	. . . . . 6 ⊢ ((!‘(4 − 1)) / 4) = (6 / 4)
10	9	fveq2i 6888	. . . . 5 ⊢ (⌊‘((!‘(4 − 1)) / 4)) = (⌊‘(6 / 4))
11		3t2e6 12509	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 2) = 6
12		2t2e4 12507	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 2) = 4
13	11, 12	oveq12i 7432	. . . . . . 7 ⊢ ((3 · 2) / (2 · 2)) = (6 / 4)
14		2ne0 12450	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≠ 0
15		3cn 12425	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℂ
16	15	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ≠ 0 → 3 ∈ ℂ)
17		2cnd 12422	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ≠ 0 → 2 ∈ ℂ)
18		id 23	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ≠ 0 → 2 ≠ 0)
19	16, 17, 17, 18, 18	divcan5rd 12121	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ≠ 0 → ((3 · 2) / (2 · 2)) = (3 / 2))
20	14, 19	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((3 · 2) / (2 · 2)) = (3 / 2)
21	13, 20	eqtr3i 2785	. . . . . 6 ⊢ (6 / 4) = (3 / 2)
22	21	fveq2i 6888	. . . . 5 ⊢ (⌊‘(6 / 4)) = (⌊‘(3 / 2))
23		ex-fl 31049	. . . . . 6 ⊢ ((⌊‘(3 / 2)) = 1 ∧ (⌊‘ -(3 / 2)) = -2)
24	23	simpli 489	. . . . 5 ⊢ (⌊‘(3 / 2)) = 1
25	10, 22, 24	3eqtri 2787	. . . 4 ⊢ (⌊‘((!‘(4 − 1)) / 4)) = 1
26	8, 25	oveq12i 7432	. . 3 ⊢ ((((!‘(4 − 1)) + 1) / 4) − (⌊‘((!‘(4 − 1)) / 4))) = ((7 / 4) − 1)
27	26	fveq2i 6888	. 2 ⊢ (⌊‘((((!‘(4 − 1)) + 1) / 4) − (⌊‘((!‘(4 − 1)) / 4)))) = (⌊‘((7 / 4) − 1))
28		4cn 12429	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
29		4ne0 12455	. . . . . . 7 ⊢ 4 ≠ 0
30	28, 29	dividi 12051	. . . . . 6 ⊢ (4 / 4) = 1
31	30	eqcomi 2769	. . . . 5 ⊢ 1 = (4 / 4)
32	31	oveq2i 7431	. . . 4 ⊢ ((7 / 4) − 1) = ((7 / 4) − (4 / 4))
33		7cn 12438	. . . . . 6 ⊢ 7 ∈ ℂ
34	28, 29	pm3.2i 476	. . . . . 6 ⊢ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)
35		divsubdir 12011	. . . . . 6 ⊢ ((7 ∈ ℂ ∧ 4 ∈ ℂ ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → ((7 − 4) / 4) = ((7 / 4) − (4 / 4)))
36	33, 28, 34, 35	mp3an 1490	. . . . 5 ⊢ ((7 − 4) / 4) = ((7 / 4) − (4 / 4))
37		4p3e7 12497	. . . . . . . 8 ⊢ (4 + 3) = 7
38	37	eqcomi 2769	. . . . . . 7 ⊢ 7 = (4 + 3)
39	28, 15, 38	mvrladdi 11576	. . . . . 6 ⊢ (7 − 4) = 3
40	39	oveq1i 7430	. . . . 5 ⊢ ((7 − 4) / 4) = (3 / 4)
41	36, 40	eqtr3i 2785	. . . 4 ⊢ ((7 / 4) − (4 / 4)) = (3 / 4)
42	32, 41	eqtri 2783	. . 3 ⊢ ((7 / 4) − 1) = (3 / 4)
43	42	fveq2i 6888	. 2 ⊢ (⌊‘((7 / 4) − 1)) = (⌊‘(3 / 4))
44		3lt4 12520	. . 3 ⊢ 3 < 4
45		3nn0 12625	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
46		4nn 12427	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℕ
47		divfl0 13965	. . . 4 ⊢ ((3 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ) → (3 < 4 ↔ (⌊‘(3 / 4)) = 0))
48	45, 46, 47	mp2an 705	. . 3 ⊢ (3 < 4 ↔ (⌊‘(3 / 4)) = 0)
49	44, 48	mpbi 233	. 2 ⊢ (⌊‘(3 / 4)) = 0
50	27, 43, 49	3eqtri 2787	1 ⊢ (⌊‘((((!‘(4 − 1)) + 1) / 4) − (⌊‘((!‘(4 − 1)) / 4)))) = 0

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11199  0cc0 11201  1c1 11202   + caddc 11204   · cmul 11206   < clt 11344   − cmin 11542   -cneg 11543   / cdiv 11974  ℕcn 12336  2c2 12398  3c3 12399  4c4 12400  6c6 12402  7c7 12403  ℕ₀cn0 12607  ⌊cfl 13931  !cfa 14418

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278  ax-pre-sup 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-er 8718  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-sup 9435  df-inf 9436  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-div 11975  df-nn 12337  df-2 12406  df-3 12407  df-4 12408  df-5 12409  df-6 12410  df-7 12411  df-n0 12608  df-z 12695  df-uz 12967  df-rp 13122  df-fl 13933  df-seq 14146  df-fac 14419

This theorem is used by:  ppivalnnnprm  48789