Theorem ppivalnnnprm 48539

Description: Value of a term of the prime-counting function pi for positive integers, according to Ján Miná&ccaron, for a non-prime number greater than 1. (Contributed by AV, 8-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
ppivalnnnprm	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∉ ℙ) → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0)

Proof of Theorem ppivalnnnprm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzp1 12928	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 = 2 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2 + 1))))
2		neleq1 3069	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 2 → (𝑁 ∉ ℙ ↔ 2 ∉ ℙ))
3		2prm 16788	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℙ
4		pm2.24nel 3076	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℙ → (2 ∉ ℙ → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (2 ∉ ℙ → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0)
6	2, 5	biimtrdi 256	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 2 → (𝑁 ∉ ℙ → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0))
7		uzp1 12928	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑁 = 3 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(3 + 1))))
8		neleq1 3069	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = 3 → (𝑁 ∉ ℙ ↔ 3 ∉ ℙ))
9		3prm 16790	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℙ
10		pm2.24nel 3076	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 ∈ ℙ → (3 ∉ ℙ → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0))
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (3 ∉ ℙ → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0)
12	8, 11	biimtrdi 256	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 3 → (𝑁 ∉ ℙ → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0))
13		uzp1 12928	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (𝑁 = 4 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(4 + 1))))
14		fvoveq1 7440	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 = 4 → (!‘(𝑁 − 1)) = (!‘(4 − 1)))
15	14	oveq1d 7432	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 = 4 → ((!‘(𝑁 − 1)) + 1) = ((!‘(4 − 1)) + 1))
16		id 23	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 = 4 → 𝑁 = 4)
17	15, 16	oveq12d 7435	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 = 4 → (((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) = (((!‘(4 − 1)) + 1) / 4))
18	14, 16	oveq12d 7435	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 = 4 → ((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁) = ((!‘(4 − 1)) / 4))
19	18	fveq2d 6886	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 = 4 → (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)) = (⌊‘((!‘(4 − 1)) / 4)))
20	17, 19	oveq12d 7435	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 = 4 → ((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁))) = ((((!‘(4 − 1)) + 1) / 4) − (⌊‘((!‘(4 − 1)) / 4))))
21	20	fveq2d 6886	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 = 4 → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = (⌊‘((((!‘(4 − 1)) + 1) / 4) − (⌊‘((!‘(4 − 1)) / 4)))))
22		ppivalnn4 48538	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⌊‘((((!‘(4 − 1)) + 1) / 4) − (⌊‘((!‘(4 − 1)) / 4)))) = 0
23	21, 22	eqtrdi 2813	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 = 4 → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0)
24	23	a1d 26	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = 4 → (𝑁 ∉ ℙ → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0))
25		uzp1 12928	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) → (𝑁 = 5 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(5 + 1))))
26		neleq1 3069	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 = 5 → (𝑁 ∉ ℙ ↔ 5 ∉ ℙ))
27		5prm 17206	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 5 ∈ ℙ
28		pm2.24nel 3076	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (5 ∈ ℙ → (5 ∉ ℙ → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0))
29	27, 28	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (5 ∉ ℙ → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0)
30	26, 29	biimtrdi 256	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 = 5 → (𝑁 ∉ ℙ → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0))
31		ppivalnnnprmge6 48537	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑁 ∉ ℙ) → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0)
32	31	ex 418	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) → (𝑁 ∉ ℙ → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0))
33		5p1e6 12415	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (5 + 1) = 6
34	33	fveq2i 6885	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℤ≥‘(5 + 1)) = (ℤ≥‘6)
35	32, 34	eleq2s 2880	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(5 + 1)) → (𝑁 ∉ ℙ → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0))
36	30, 35	jaoi 871	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 = 5 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(5 + 1))) → (𝑁 ∉ ℙ → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0))
37	25, 36	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) → (𝑁 ∉ ℙ → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0))
38		4p1e5 12414	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (4 + 1) = 5
39	38	fveq2i 6885	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℤ≥‘(4 + 1)) = (ℤ≥‘5)
40	37, 39	eleq2s 2880	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(4 + 1)) → (𝑁 ∉ ℙ → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0))
41	24, 40	jaoi 871	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 = 4 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(4 + 1))) → (𝑁 ∉ ℙ → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0))
42	13, 41	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (𝑁 ∉ ℙ → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0))
43		3p1e4 12413	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 1) = 4
44	43	fveq2i 6885	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤ≥‘(3 + 1)) = (ℤ≥‘4)
45	42, 44	eleq2s 2880	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(3 + 1)) → (𝑁 ∉ ℙ → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0))
46	12, 45	jaoi 871	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 = 3 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(3 + 1))) → (𝑁 ∉ ℙ → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0))
47	7, 46	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑁 ∉ ℙ → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0))
48		2p1e3 12410	. . . . . 6 ⊢ (2 + 1) = 3
49	48	fveq2i 6885	. . . . 5 ⊢ (ℤ≥‘(2 + 1)) = (ℤ≥‘3)
50	47, 49	eleq2s 2880	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2 + 1)) → (𝑁 ∉ ℙ → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0))
51	6, 50	jaoi 871	. . 3 ⊢ ((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2 + 1))) → (𝑁 ∉ ℙ → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0))
52	1, 51	syl 18	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 ∉ ℙ → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0))
53	52	imp 412	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∉ ℙ) → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∉ wnel 3063  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  0cc0 11128  1c1 11129   + caddc 11131   − cmin 11469   / cdiv 11899  2c2 12323  3c3 12324  4c4 12325  5c5 12326  6c6 12327  ℤ_≥cuz 12891  ⌊cfl 13855  !cfa 14341  ℙcprime 16767

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205  ax-pre-sup 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-sup 9416  df-inf 9417  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-4 12333  df-5 12334  df-6 12335  df-7 12336  df-8 12337  df-9 12338  df-n0 12533  df-z 12620  df-dec 12741  df-uz 12892  df-rp 13047  df-ico 13408  df-fz 13566  df-fzo 13714  df-fl 13857  df-seq 14070  df-exp 14130  df-fac 14342  df-bc 14371  df-cj 15190  df-re 15191  df-im 15192  df-sqrt 15326  df-abs 15327  df-dvds 16349  df-prm 16768

This theorem is used by:  indprm  48540  indprmfz  48541