Theorem ppivalnnnprm 48085

Description: Value of a term of the prime-counting function pi for positive integers, according to Ján Miná&ccaron, for a non-prime number greater than 1. (Contributed by AV, 8-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
ppivalnnnprm	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∉ ℙ) → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0)

Proof of Theorem ppivalnnnprm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzp1 12825	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 = 2 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2 + 1))))
2		neleq1 3043	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 2 → (𝑁 ∉ ℙ ↔ 2 ∉ ℙ))
3		2prm 16661	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℙ
4		pm2.24nel 3050	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℙ → (2 ∉ ℙ → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (2 ∉ ℙ → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0)
6	2, 5	biimtrdi 253	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 2 → (𝑁 ∉ ℙ → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0))
7		uzp1 12825	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑁 = 3 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(3 + 1))))
8		neleq1 3043	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = 3 → (𝑁 ∉ ℙ ↔ 3 ∉ ℙ))
9		3prm 16663	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℙ
10		pm2.24nel 3050	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 ∈ ℙ → (3 ∉ ℙ → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0))
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (3 ∉ ℙ → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0)
12	8, 11	biimtrdi 253	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 3 → (𝑁 ∉ ℙ → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0))
13		uzp1 12825	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (𝑁 = 4 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(4 + 1))))
14		fvoveq1 7390	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 = 4 → (!‘(𝑁 − 1)) = (!‘(4 − 1)))
15	14	oveq1d 7382	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 = 4 → ((!‘(𝑁 − 1)) + 1) = ((!‘(4 − 1)) + 1))
16		id 22	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 = 4 → 𝑁 = 4)
17	15, 16	oveq12d 7385	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 = 4 → (((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) = (((!‘(4 − 1)) + 1) / 4))
18	14, 16	oveq12d 7385	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 = 4 → ((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁) = ((!‘(4 − 1)) / 4))
19	18	fveq2d 6845	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 = 4 → (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)) = (⌊‘((!‘(4 − 1)) / 4)))
20	17, 19	oveq12d 7385	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 = 4 → ((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁))) = ((((!‘(4 − 1)) + 1) / 4) − (⌊‘((!‘(4 − 1)) / 4))))
21	20	fveq2d 6845	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 = 4 → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = (⌊‘((((!‘(4 − 1)) + 1) / 4) − (⌊‘((!‘(4 − 1)) / 4)))))
22		ppivalnn4 48084	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⌊‘((((!‘(4 − 1)) + 1) / 4) − (⌊‘((!‘(4 − 1)) / 4)))) = 0
23	21, 22	eqtrdi 2788	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 = 4 → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0)
24	23	a1d 25	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = 4 → (𝑁 ∉ ℙ → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0))
25		uzp1 12825	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) → (𝑁 = 5 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(5 + 1))))
26		neleq1 3043	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 = 5 → (𝑁 ∉ ℙ ↔ 5 ∉ ℙ))
27		5prm 17079	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 5 ∈ ℙ
28		pm2.24nel 3050	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (5 ∈ ℙ → (5 ∉ ℙ → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0))
29	27, 28	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (5 ∉ ℙ → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0)
30	26, 29	biimtrdi 253	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 = 5 → (𝑁 ∉ ℙ → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0))
31		ppivalnnnprmge6 48083	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑁 ∉ ℙ) → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0)
32	31	ex 412	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) → (𝑁 ∉ ℙ → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0))
33		5p1e6 12323	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (5 + 1) = 6
34	33	fveq2i 6844	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℤ≥‘(5 + 1)) = (ℤ≥‘6)
35	32, 34	eleq2s 2855	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(5 + 1)) → (𝑁 ∉ ℙ → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0))
36	30, 35	jaoi 858	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 = 5 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(5 + 1))) → (𝑁 ∉ ℙ → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0))
37	25, 36	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) → (𝑁 ∉ ℙ → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0))
38		4p1e5 12322	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (4 + 1) = 5
39	38	fveq2i 6844	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℤ≥‘(4 + 1)) = (ℤ≥‘5)
40	37, 39	eleq2s 2855	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(4 + 1)) → (𝑁 ∉ ℙ → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0))
41	24, 40	jaoi 858	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 = 4 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(4 + 1))) → (𝑁 ∉ ℙ → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0))
42	13, 41	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (𝑁 ∉ ℙ → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0))
43		3p1e4 12321	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 1) = 4
44	43	fveq2i 6844	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤ≥‘(3 + 1)) = (ℤ≥‘4)
45	42, 44	eleq2s 2855	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(3 + 1)) → (𝑁 ∉ ℙ → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0))
46	12, 45	jaoi 858	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 = 3 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(3 + 1))) → (𝑁 ∉ ℙ → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0))
47	7, 46	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑁 ∉ ℙ → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0))
48		2p1e3 12318	. . . . . 6 ⊢ (2 + 1) = 3
49	48	fveq2i 6844	. . . . 5 ⊢ (ℤ≥‘(2 + 1)) = (ℤ≥‘3)
50	47, 49	eleq2s 2855	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2 + 1)) → (𝑁 ∉ ℙ → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0))
51	6, 50	jaoi 858	. . 3 ⊢ ((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2 + 1))) → (𝑁 ∉ ℙ → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0))
52	1, 51	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 ∉ ℙ → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0))
53	52	imp 406	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∉ ℙ) → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∉ wnel 3037  ‘cfv 6499  (class class class)co 7367  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   − cmin 11377   / cdiv 11807  2c2 12236  3c3 12237  4c4 12238  5c5 12239  6c6 12240  ℤ_≥cuz 12788  ⌊cfl 13749  !cfa 14235  ℙcprime 16640

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6266  df-ord 6327  df-on 6328  df-lim 6329  df-suc 6330  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-sup 9355  df-inf 9356  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-rp 12943  df-ico 13304  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-fl 13751  df-seq 13964  df-exp 14024  df-fac 14236  df-bc 14265  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-dvds 16222  df-prm 16641

This theorem is referenced by:  indprm  48086  indprmfz  48087