Theorem ppivalnnnprm 48928

Description: Value of a term of the prime-counting function pi for positive integers, according to Ján Miná&ccaron, for a non-prime number greater than 1. (Contributed by AV, 8-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
ppivalnnnprm	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∉ ℙ) → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0)

Proof of Theorem ppivalnnnprm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzp1 13032	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 = 2 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2 + 1))))
2		neleq1 3071	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 2 → (𝑁 ∉ ℙ ↔ 2 ∉ ℙ))
3		2prm 16899	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℙ
4		pm2.24nel 3078	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℙ → (2 ∉ ℙ → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (2 ∉ ℙ → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0)
6	2, 5	biimtrdi 256	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 2 → (𝑁 ∉ ℙ → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0))
7		uzp1 13032	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑁 = 3 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(3 + 1))))
8		neleq1 3071	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = 3 → (𝑁 ∉ ℙ ↔ 3 ∉ ℙ))
9		3prm 16901	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℙ
10		pm2.24nel 3078	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 ∈ ℙ → (3 ∉ ℙ → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0))
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (3 ∉ ℙ → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0)
12	8, 11	biimtrdi 256	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 3 → (𝑁 ∉ ℙ → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0))
13		uzp1 13032	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (𝑁 = 4 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(4 + 1))))
14		fvoveq1 7469	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 = 4 → (!‘(𝑁 − 1)) = (!‘(4 − 1)))
15	14	oveq1d 7461	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 = 4 → ((!‘(𝑁 − 1)) + 1) = ((!‘(4 − 1)) + 1))
16		id 23	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 = 4 → 𝑁 = 4)
17	15, 16	oveq12d 7464	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 = 4 → (((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) = (((!‘(4 − 1)) + 1) / 4))
18	14, 16	oveq12d 7464	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 = 4 → ((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁) = ((!‘(4 − 1)) / 4))
19	18	fveq2d 6915	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 = 4 → (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)) = (⌊‘((!‘(4 − 1)) / 4)))
20	17, 19	oveq12d 7464	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 = 4 → ((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁))) = ((((!‘(4 − 1)) + 1) / 4) − (⌊‘((!‘(4 − 1)) / 4))))
21	20	fveq2d 6915	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 = 4 → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = (⌊‘((((!‘(4 − 1)) + 1) / 4) − (⌊‘((!‘(4 − 1)) / 4)))))
22		ppivalnn4 48927	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⌊‘((((!‘(4 − 1)) + 1) / 4) − (⌊‘((!‘(4 − 1)) / 4)))) = 0
23	21, 22	eqtrdi 2814	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 = 4 → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0)
24	23	a1d 26	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = 4 → (𝑁 ∉ ℙ → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0))
25		uzp1 13032	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) → (𝑁 = 5 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(5 + 1))))
26		neleq1 3071	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 = 5 → (𝑁 ∉ ℙ ↔ 5 ∉ ℙ))
27		5prm 17318	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 5 ∈ ℙ
28		pm2.24nel 3078	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (5 ∈ ℙ → (5 ∉ ℙ → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0))
29	27, 28	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (5 ∉ ℙ → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0)
30	26, 29	biimtrdi 256	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 = 5 → (𝑁 ∉ ℙ → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0))
31		ppivalnnnprmge6 48926	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑁 ∉ ℙ) → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0)
32	31	ex 418	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) → (𝑁 ∉ ℙ → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0))
33		5p1e6 12519	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (5 + 1) = 6
34	33	fveq2i 6914	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℤ≥‘(5 + 1)) = (ℤ≥‘6)
35	32, 34	eleq2s 2882	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(5 + 1)) → (𝑁 ∉ ℙ → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0))
36	30, 35	jaoi 871	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 = 5 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(5 + 1))) → (𝑁 ∉ ℙ → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0))
37	25, 36	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) → (𝑁 ∉ ℙ → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0))
38		4p1e5 12518	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (4 + 1) = 5
39	38	fveq2i 6914	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℤ≥‘(4 + 1)) = (ℤ≥‘5)
40	37, 39	eleq2s 2882	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(4 + 1)) → (𝑁 ∉ ℙ → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0))
41	24, 40	jaoi 871	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 = 4 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(4 + 1))) → (𝑁 ∉ ℙ → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0))
42	13, 41	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (𝑁 ∉ ℙ → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0))
43		3p1e4 12517	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 1) = 4
44	43	fveq2i 6914	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤ≥‘(3 + 1)) = (ℤ≥‘4)
45	42, 44	eleq2s 2882	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(3 + 1)) → (𝑁 ∉ ℙ → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0))
46	12, 45	jaoi 871	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 = 3 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(3 + 1))) → (𝑁 ∉ ℙ → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0))
47	7, 46	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑁 ∉ ℙ → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0))
48		2p1e3 12514	. . . . . 6 ⊢ (2 + 1) = 3
49	48	fveq2i 6914	. . . . 5 ⊢ (ℤ≥‘(2 + 1)) = (ℤ≥‘3)
50	47, 49	eleq2s 2882	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2 + 1)) → (𝑁 ∉ ℙ → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0))
51	6, 50	jaoi 871	. . 3 ⊢ ((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2 + 1))) → (𝑁 ∉ ℙ → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0))
52	1, 51	syl 18	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 ∉ ℙ → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0))
53	52	imp 412	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∉ ℙ) → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ∉ wnel 3065  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  0cc0 11230  1c1 11231   + caddc 11233   − cmin 11571   / cdiv 12003  2c2 12427  3c3 12428  4c4 12429  5c5 12430  6c6 12431  ℤ_≥cuz 12995  ⌊cfl 13960  !cfa 14447  ℙcprime 16878

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307  ax-pre-sup 11308

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8748  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008  df-sup 9464  df-inf 9465  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-div 12004  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-4 12437  df-5 12438  df-6 12439  df-7 12440  df-8 12441  df-9 12442  df-n0 12637  df-z 12724  df-dec 12845  df-uz 12996  df-rp 13151  df-ico 13512  df-fz 13670  df-fzo 13819  df-fl 13962  df-seq 14175  df-exp 14235  df-fac 14448  df-bc 14477  df-cj 15298  df-re 15299  df-im 15300  df-sqrt 15434  df-abs 15435  df-dvds 16455  df-prm 16879

This theorem is used by:  indprm  48929  indprmfz  48930