Theorem ppivalnnnprm 48357

Description: Value of a term of the prime-counting function pi for positive integers, according to Ján Miná&ccaron, for a non-prime number greater than 1. (Contributed by AV, 8-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
ppivalnnnprm	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∉ ℙ) → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0)

Proof of Theorem ppivalnnnprm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzp1 12900	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 = 2 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2 + 1))))
2		neleq1 3070	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 2 → (𝑁 ∉ ℙ ↔ 2 ∉ ℙ))
3		2prm 16751	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℙ
4		pm2.24nel 3077	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℙ → (2 ∉ ℙ → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (2 ∉ ℙ → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0)
6	2, 5	biimtrdi 256	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 2 → (𝑁 ∉ ℙ → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0))
7		uzp1 12900	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑁 = 3 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(3 + 1))))
8		neleq1 3070	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = 3 → (𝑁 ∉ ℙ ↔ 3 ∉ ℙ))
9		3prm 16753	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℙ
10		pm2.24nel 3077	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 ∈ ℙ → (3 ∉ ℙ → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0))
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (3 ∉ ℙ → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0)
12	8, 11	biimtrdi 256	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 3 → (𝑁 ∉ ℙ → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0))
13		uzp1 12900	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (𝑁 = 4 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(4 + 1))))
14		fvoveq1 7435	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 = 4 → (!‘(𝑁 − 1)) = (!‘(4 − 1)))
15	14	oveq1d 7427	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 = 4 → ((!‘(𝑁 − 1)) + 1) = ((!‘(4 − 1)) + 1))
16		id 23	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 = 4 → 𝑁 = 4)
17	15, 16	oveq12d 7430	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 = 4 → (((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) = (((!‘(4 − 1)) + 1) / 4))
18	14, 16	oveq12d 7430	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 = 4 → ((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁) = ((!‘(4 − 1)) / 4))
19	18	fveq2d 6887	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 = 4 → (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)) = (⌊‘((!‘(4 − 1)) / 4)))
20	17, 19	oveq12d 7430	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 = 4 → ((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁))) = ((((!‘(4 − 1)) + 1) / 4) − (⌊‘((!‘(4 − 1)) / 4))))
21	20	fveq2d 6887	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 = 4 → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = (⌊‘((((!‘(4 − 1)) + 1) / 4) − (⌊‘((!‘(4 − 1)) / 4)))))
22		ppivalnn4 48356	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⌊‘((((!‘(4 − 1)) + 1) / 4) − (⌊‘((!‘(4 − 1)) / 4)))) = 0
23	21, 22	eqtrdi 2814	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 = 4 → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0)
24	23	a1d 26	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = 4 → (𝑁 ∉ ℙ → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0))
25		uzp1 12900	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) → (𝑁 = 5 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(5 + 1))))
26		neleq1 3070	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 = 5 → (𝑁 ∉ ℙ ↔ 5 ∉ ℙ))
27		5prm 17169	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 5 ∈ ℙ
28		pm2.24nel 3077	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (5 ∈ ℙ → (5 ∉ ℙ → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0))
29	27, 28	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (5 ∉ ℙ → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0)
30	26, 29	biimtrdi 256	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 = 5 → (𝑁 ∉ ℙ → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0))
31		ppivalnnnprmge6 48355	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑁 ∉ ℙ) → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0)
32	31	ex 417	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) → (𝑁 ∉ ℙ → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0))
33		5p1e6 12388	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (5 + 1) = 6
34	33	fveq2i 6886	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℤ≥‘(5 + 1)) = (ℤ≥‘6)
35	32, 34	eleq2s 2881	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(5 + 1)) → (𝑁 ∉ ℙ → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0))
36	30, 35	jaoi 870	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 = 5 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(5 + 1))) → (𝑁 ∉ ℙ → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0))
37	25, 36	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) → (𝑁 ∉ ℙ → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0))
38		4p1e5 12387	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (4 + 1) = 5
39	38	fveq2i 6886	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℤ≥‘(4 + 1)) = (ℤ≥‘5)
40	37, 39	eleq2s 2881	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(4 + 1)) → (𝑁 ∉ ℙ → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0))
41	24, 40	jaoi 870	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 = 4 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(4 + 1))) → (𝑁 ∉ ℙ → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0))
42	13, 41	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (𝑁 ∉ ℙ → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0))
43		3p1e4 12386	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 1) = 4
44	43	fveq2i 6886	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤ≥‘(3 + 1)) = (ℤ≥‘4)
45	42, 44	eleq2s 2881	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(3 + 1)) → (𝑁 ∉ ℙ → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0))
46	12, 45	jaoi 870	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 = 3 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(3 + 1))) → (𝑁 ∉ ℙ → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0))
47	7, 46	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑁 ∉ ℙ → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0))
48		2p1e3 12383	. . . . . 6 ⊢ (2 + 1) = 3
49	48	fveq2i 6886	. . . . 5 ⊢ (ℤ≥‘(2 + 1)) = (ℤ≥‘3)
50	47, 49	eleq2s 2881	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2 + 1)) → (𝑁 ∉ ℙ → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0))
51	6, 50	jaoi 870	. . 3 ⊢ ((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2 + 1))) → (𝑁 ∉ ℙ → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0))
52	1, 51	syl 18	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 ∉ ℙ → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0))
53	52	imp 411	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∉ ℙ) → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ∉ wnel 3064  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  0cc0 11101  1c1 11102   + caddc 11104   − cmin 11442   / cdiv 11872  2c2 12296  3c3 12297  4c4 12298  5c5 12299  6c6 12300  ℤ_≥cuz 12863  ⌊cfl 13825  !cfa 14311  ℙcprime 16730

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-2o 8455  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-sup 9403  df-inf 9404  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-7 12309  df-8 12310  df-9 12311  df-n0 12506  df-z 12593  df-dec 12713  df-uz 12864  df-rp 13018  df-ico 13379  df-fz 13537  df-fzo 13685  df-fl 13827  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14312  df-bc 14341  df-cj 15152  df-re 15153  df-im 15154  df-sqrt 15288  df-abs 15289  df-dvds 16312  df-prm 16731

This theorem is referenced by:  indprm  48358  indprmfz  48359