Theorem ppivalnnnprm 48235

Description: Value of a term of the prime-counting function pi for positive integers, according to Ján Miná&ccaron, for a non-prime number greater than 1. (Contributed by AV, 8-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
ppivalnnnprm	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∉ ℙ) → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0)

Proof of Theorem ppivalnnnprm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzp1 12890	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 = 2 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2 + 1))))
2		neleq1 3070	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 2 → (𝑁 ∉ ℙ ↔ 2 ∉ ℙ))
3		2prm 16740	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℙ
4		pm2.24nel 3077	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℙ → (2 ∉ ℙ → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0))
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (2 ∉ ℙ → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0)
6	2, 5	biimtrdi 256	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 2 → (𝑁 ∉ ℙ → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0))
7		uzp1 12890	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑁 = 3 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(3 + 1))))
8		neleq1 3070	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = 3 → (𝑁 ∉ ℙ ↔ 3 ∉ ℙ))
9		3prm 16742	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℙ
10		pm2.24nel 3077	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 ∈ ℙ → (3 ∉ ℙ → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0))
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (3 ∉ ℙ → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0)
12	8, 11	biimtrdi 256	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 3 → (𝑁 ∉ ℙ → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0))
13		uzp1 12890	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (𝑁 = 4 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(4 + 1))))
14		fvoveq1 7423	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 = 4 → (!‘(𝑁 − 1)) = (!‘(4 − 1)))
15	14	oveq1d 7415	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 = 4 → ((!‘(𝑁 − 1)) + 1) = ((!‘(4 − 1)) + 1))
16		id 23	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 = 4 → 𝑁 = 4)
17	15, 16	oveq12d 7418	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 = 4 → (((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) = (((!‘(4 − 1)) + 1) / 4))
18	14, 16	oveq12d 7418	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 = 4 → ((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁) = ((!‘(4 − 1)) / 4))
19	18	fveq2d 6875	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 = 4 → (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)) = (⌊‘((!‘(4 − 1)) / 4)))
20	17, 19	oveq12d 7418	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 = 4 → ((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁))) = ((((!‘(4 − 1)) + 1) / 4) − (⌊‘((!‘(4 − 1)) / 4))))
21	20	fveq2d 6875	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 = 4 → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = (⌊‘((((!‘(4 − 1)) + 1) / 4) − (⌊‘((!‘(4 − 1)) / 4)))))
22		ppivalnn4 48234	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⌊‘((((!‘(4 − 1)) + 1) / 4) − (⌊‘((!‘(4 − 1)) / 4)))) = 0
23	21, 22	eqtrdi 2816	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 = 4 → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0)
24	23	a1d 26	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = 4 → (𝑁 ∉ ℙ → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0))
25		uzp1 12890	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) → (𝑁 = 5 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(5 + 1))))
26		neleq1 3070	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 = 5 → (𝑁 ∉ ℙ ↔ 5 ∉ ℙ))
27		5prm 17158	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 5 ∈ ℙ
28		pm2.24nel 3077	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (5 ∈ ℙ → (5 ∉ ℙ → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0))
29	27, 28	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (5 ∉ ℙ → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0)
30	26, 29	biimtrdi 256	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 = 5 → (𝑁 ∉ ℙ → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0))
31		ppivalnnnprmge6 48233	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) ∧ 𝑁 ∉ ℙ) → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0)
32	31	ex 417	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘6) → (𝑁 ∉ ℙ → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0))
33		5p1e6 12378	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (5 + 1) = 6
34	33	fveq2i 6874	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℤ≥‘(5 + 1)) = (ℤ≥‘6)
35	32, 34	eleq2s 2883	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(5 + 1)) → (𝑁 ∉ ℙ → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0))
36	30, 35	jaoi 870	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 = 5 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(5 + 1))) → (𝑁 ∉ ℙ → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0))
37	25, 36	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘5) → (𝑁 ∉ ℙ → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0))
38		4p1e5 12377	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (4 + 1) = 5
39	38	fveq2i 6874	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℤ≥‘(4 + 1)) = (ℤ≥‘5)
40	37, 39	eleq2s 2883	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(4 + 1)) → (𝑁 ∉ ℙ → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0))
41	24, 40	jaoi 870	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 = 4 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(4 + 1))) → (𝑁 ∉ ℙ → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0))
42	13, 41	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (𝑁 ∉ ℙ → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0))
43		3p1e4 12376	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 + 1) = 4
44	43	fveq2i 6874	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤ≥‘(3 + 1)) = (ℤ≥‘4)
45	42, 44	eleq2s 2883	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(3 + 1)) → (𝑁 ∉ ℙ → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0))
46	12, 45	jaoi 870	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 = 3 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(3 + 1))) → (𝑁 ∉ ℙ → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0))
47	7, 46	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑁 ∉ ℙ → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0))
48		2p1e3 12373	. . . . . 6 ⊢ (2 + 1) = 3
49	48	fveq2i 6874	. . . . 5 ⊢ (ℤ≥‘(2 + 1)) = (ℤ≥‘3)
50	47, 49	eleq2s 2883	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2 + 1)) → (𝑁 ∉ ℙ → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0))
51	6, 50	jaoi 870	. . 3 ⊢ ((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(2 + 1))) → (𝑁 ∉ ℙ → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0))
52	1, 51	syl 18	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 ∉ ℙ → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0))
53	52	imp 411	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∉ ℙ) → (⌊‘((((!‘(𝑁 − 1)) + 1) / 𝑁) − (⌊‘((!‘(𝑁 − 1)) / 𝑁)))) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ∉ wnel 3064  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  0cc0 11088  1c1 11089   + caddc 11091   − cmin 11429   / cdiv 11859  2c2 12286  3c3 12287  4c4 12288  5c5 12289  6c6 12290  ℤ_≥cuz 12853  ⌊cfl 13814  !cfa 14300  ℙcprime 16719

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-2o 8442  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-sup 9390  df-inf 9391  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-4 12296  df-5 12297  df-6 12298  df-7 12299  df-8 12300  df-9 12301  df-n0 12496  df-z 12583  df-dec 12703  df-uz 12854  df-rp 13008  df-ico 13369  df-fz 13527  df-fzo 13674  df-fl 13816  df-seq 14029  df-exp 14089  df-fac 14301  df-bc 14330  df-cj 15140  df-re 15141  df-im 15142  df-sqrt 15276  df-abs 15277  df-dvds 16301  df-prm 16720

This theorem is referenced by:  indprm  48236  indprmfz  48237