MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rollelem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rollelem 26027
Description: Lemma for rolle 26028. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rolle.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
rolle.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
rolle.lt (𝜑𝐴 < 𝐵)
rolle.f (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
rolle.d (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
rolle.r (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑈))
rolle.u (𝜑𝑈 ∈ (𝐴[,]𝐵))
rolle.n (𝜑 → ¬ 𝑈 ∈ {𝐴, 𝐵})
Assertion
Ref Expression
rollelem (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = 0)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦

Proof of Theorem rollelem
StepHypRef Expression
1 rolle.n . . 3 (𝜑 → ¬ 𝑈 ∈ {𝐴, 𝐵})
2 rolle.u . . . . . 6 (𝜑𝑈 ∈ (𝐴[,]𝐵))
3 rolle.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
43rexrd 11311 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
5 rolle.b . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
65rexrd 11311 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
7 rolle.lt . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 < 𝐵)
83, 5, 7ltled 11409 . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝐵)
9 prunioo 13521 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴, 𝐵}) = (𝐴[,]𝐵))
104, 6, 8, 9syl3anc 1373 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴, 𝐵}) = (𝐴[,]𝐵))
112, 10eleqtrrd 2844 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴, 𝐵}))
12 elun 4153 . . . . 5 (𝑈 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴, 𝐵}) ↔ (𝑈 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∨ 𝑈 ∈ {𝐴, 𝐵}))
1311, 12sylib 218 . . . 4 (𝜑 → (𝑈 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∨ 𝑈 ∈ {𝐴, 𝐵}))
1413ord 865 . . 3 (𝜑 → (¬ 𝑈 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑈 ∈ {𝐴, 𝐵}))
151, 14mt3d 148 . 2 (𝜑𝑈 ∈ (𝐴(,)𝐵))
16 rolle.f . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
17 cncff 24919 . . . 4 (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
1816, 17syl 17 . . 3 (𝜑𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
19 iccssre 13469 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
203, 5, 19syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
21 ioossicc 13473 . . . 4 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
2221a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
23 rolle.d . . . 4 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
2415, 23eleqtrrd 2844 . . 3 (𝜑𝑈 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
25 rolle.r . . . 4 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑈))
26 ssralv 4052 . . . 4 ((𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵) → (∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑈) → ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑈)))
2722, 25, 26sylc 65 . . 3 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑈))
2818, 20, 15, 22, 24, 27dvferm 26026 . 2 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) = 0)
29 fveqeq2 6915 . . 3 (𝑥 = 𝑈 → (((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = 0 ↔ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) = 0))
3029rspcev 3622 . 2 ((𝑈 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) = 0) → ∃𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = 0)
3115, 28, 30syl2anc 584 1 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wo 848   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  wrex 3070  cun 3949  wss 3951  {cpr 4628   class class class wbr 5143  dom cdm 5685  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  cr 11154  0cc0 11155  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296  (,)cioo 13387  [,]cicc 13390  cnccncf 24902   D cdv 25898
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-struct 17184  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-rest 17467  df-topn 17468  df-topgen 17488  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-cncf 24904  df-limc 25901  df-dv 25902
This theorem is referenced by:  rolle  26028
  Copyright terms: Public domain W3C validator