MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rollelem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rollelem 24733
Description: Lemma for rolle 24734. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rolle.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
rolle.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
rolle.lt (𝜑𝐴 < 𝐵)
rolle.f (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
rolle.d (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
rolle.r (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑈))
rolle.u (𝜑𝑈 ∈ (𝐴[,]𝐵))
rolle.n (𝜑 → ¬ 𝑈 ∈ {𝐴, 𝐵})
Assertion
Ref Expression
rollelem (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = 0)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑈,𝑦

Proof of Theorem rollelem
StepHypRef Expression
1 rolle.n . . 3 (𝜑 → ¬ 𝑈 ∈ {𝐴, 𝐵})
2 rolle.u . . . . . 6 (𝜑𝑈 ∈ (𝐴[,]𝐵))
3 rolle.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
43rexrd 10762 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
5 rolle.b . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
65rexrd 10762 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
7 rolle.lt . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 < 𝐵)
83, 5, 7ltled 10859 . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝐵)
9 prunioo 12948 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴, 𝐵}) = (𝐴[,]𝐵))
104, 6, 8, 9syl3anc 1372 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴, 𝐵}) = (𝐴[,]𝐵))
112, 10eleqtrrd 2836 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴, 𝐵}))
12 elun 4037 . . . . 5 (𝑈 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴, 𝐵}) ↔ (𝑈 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∨ 𝑈 ∈ {𝐴, 𝐵}))
1311, 12sylib 221 . . . 4 (𝜑 → (𝑈 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∨ 𝑈 ∈ {𝐴, 𝐵}))
1413ord 863 . . 3 (𝜑 → (¬ 𝑈 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑈 ∈ {𝐴, 𝐵}))
151, 14mt3d 150 . 2 (𝜑𝑈 ∈ (𝐴(,)𝐵))
16 rolle.f . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ))
17 cncff 23638 . . . 4 (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℝ) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
1816, 17syl 17 . . 3 (𝜑𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℝ)
19 iccssre 12896 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
203, 5, 19syl2anc 587 . . 3 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
21 ioossicc 12900 . . . 4 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
2221a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
23 rolle.d . . . 4 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
2415, 23eleqtrrd 2836 . . 3 (𝜑𝑈 ∈ dom (ℝ D 𝐹))
25 rolle.r . . . 4 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑈))
26 ssralv 3941 . . . 4 ((𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵) → (∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑈) → ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑈)))
2722, 25, 26sylc 65 . . 3 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑈))
2818, 20, 15, 22, 24, 27dvferm 24732 . 2 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) = 0)
29 fveqeq2 6677 . . 3 (𝑥 = 𝑈 → (((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = 0 ↔ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) = 0))
3029rspcev 3524 . 2 ((𝑈 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ((ℝ D 𝐹)‘𝑈) = 0) → ∃𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = 0)
3115, 28, 30syl2anc 587 1 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐹)‘𝑥) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wo 846   = wceq 1542  wcel 2113  wral 3053  wrex 3054  cun 3839  wss 3841  {cpr 4515   class class class wbr 5027  dom cdm 5519  wf 6329  cfv 6333  (class class class)co 7164  cr 10607  0cc0 10608  *cxr 10745   < clt 10746  cle 10747  (,)cioo 12814  [,]cicc 12817  cnccncf 23621   D cdv 24607
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5151  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-cnex 10664  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684  ax-pre-mulgt0 10685  ax-pre-sup 10686
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-pss 3860  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-tp 4518  df-op 4520  df-uni 4794  df-int 4834  df-iun 4880  df-iin 4881  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-tr 5134  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-om 7594  df-1st 7707  df-2nd 7708  df-wrecs 7969  df-recs 8030  df-rdg 8068  df-1o 8124  df-er 8313  df-map 8432  df-pm 8433  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-fin 8552  df-fi 8941  df-sup 8972  df-inf 8973  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-sub 10943  df-neg 10944  df-div 11369  df-nn 11710  df-2 11772  df-3 11773  df-4 11774  df-5 11775  df-6 11776  df-7 11777  df-8 11778  df-9 11779  df-n0 11970  df-z 12056  df-dec 12173  df-uz 12318  df-q 12424  df-rp 12466  df-xneg 12583  df-xadd 12584  df-xmul 12585  df-ioo 12818  df-ico 12820  df-icc 12821  df-fz 12975  df-seq 13454  df-exp 13515  df-cj 14541  df-re 14542  df-im 14543  df-sqrt 14677  df-abs 14678  df-struct 16581  df-ndx 16582  df-slot 16583  df-base 16585  df-plusg 16674  df-mulr 16675  df-starv 16676  df-tset 16680  df-ple 16681  df-ds 16683  df-unif 16684  df-rest 16792  df-topn 16793  df-topgen 16813  df-psmet 20202  df-xmet 20203  df-met 20204  df-bl 20205  df-mopn 20206  df-fbas 20207  df-fg 20208  df-cnfld 20211  df-top 21638  df-topon 21655  df-topsp 21677  df-bases 21690  df-cld 21763  df-ntr 21764  df-cls 21765  df-nei 21842  df-lp 21880  df-perf 21881  df-cn 21971  df-cnp 21972  df-haus 22059  df-fil 22590  df-fm 22682  df-flim 22683  df-flf 22684  df-xms 23066  df-ms 23067  df-cncf 23623  df-limc 24610  df-dv 24611
This theorem is referenced by:  rolle  24734
  Copyright terms: Public domain W3C validator