Theorem psgnfix2 21801

Description: A permutation of a finite set fixing one element is generated by transpositions not involving the fixed element. (Contributed by AV, 17-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
psgnfix.p	⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
psgnfix.t	⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
psgnfix.s	⊢ 𝑆 = (SymGrp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
psgnfix.z	⊢ 𝑍 = (SymGrp‘𝑁)
psgnfix.r	⊢ 𝑅 = ran (pmTrsp‘𝑁)

Assertion

Ref	Expression
psgnfix2	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑄 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} → ∃𝑤 ∈ Word 𝑅𝑄 = (𝑍 Σg 𝑤)))

Distinct variable groups:   𝐾,𝑞   𝑤,𝐾   𝑤,𝑁   𝑃,𝑞   𝑤,𝑄   𝑤,𝑆   𝑤,𝑇   𝑄,𝑞   𝑤,𝑅   𝑤,𝑍

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑤)   𝑅(𝑞)   𝑆(𝑞)   𝑇(𝑞)   𝑁(𝑞)   𝑍(𝑞)

Proof of Theorem psgnfix2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrabi 3648	. . . 4 ⊢ (𝑄 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} → 𝑄 ∈ 𝑃)
2	1	adantl 487	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑄 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾}) → 𝑄 ∈ 𝑃)
3		psgnfix.z	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (SymGrp‘𝑁)
4		psgnfix.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
5	3	fveq2i 6888	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑍) = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
6	4, 5	eqtr4i 2791	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝑍)
7		psgnfix.r	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = ran (pmTrsp‘𝑁)
8	3, 6, 7	psgnfitr 19633	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (𝑄 ∈ 𝑃 ↔ ∃𝑤 ∈ Word 𝑅𝑄 = (𝑍 Σg 𝑤)))
9	8	bicomd 226	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (∃𝑤 ∈ Word 𝑅𝑄 = (𝑍 Σg 𝑤) ↔ 𝑄 ∈ 𝑃))
10	9	ad2antrr 739	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑄 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾}) → (∃𝑤 ∈ Word 𝑅𝑄 = (𝑍 Σg 𝑤) ↔ 𝑄 ∈ 𝑃))
11	2, 10	mpbird 260	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) ∧ 𝑄 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾}) → ∃𝑤 ∈ Word 𝑅𝑄 = (𝑍 Σg 𝑤))
12	11	ex 418	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑄 ∈ {𝑞 ∈ 𝑃 ∣ (𝑞‘𝐾) = 𝐾} → ∃𝑤 ∈ Word 𝑅𝑄 = (𝑍 Σg 𝑤)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∃wrex 3091  {crab 3418   ∖ cdif 3903  {csn 4591  ran crn 5664  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  Fincfn 8949  Word cword 14570  Basecbs 17293   Σ_g cgsu 17517  SymGrpcsymg 19485  pmTrspcpmtr 19557

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-card 9941  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-nn 12251  df-2 12320  df-3 12321  df-4 12322  df-5 12323  df-6 12324  df-7 12325  df-8 12326  df-9 12327  df-n0 12522  df-z 12609  df-uz 12881  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-seq 14058  df-hash 14387  df-word 14571  df-concat 14628  df-s1 14655  df-struct 17231  df-sets 17248  df-slot 17266  df-ndx 17278  df-base 17294  df-ress 17315  df-plusg 17347  df-tset 17353  df-0g 17518  df-gsum 17519  df-mre 17662  df-mrc 17663  df-acs 17665  df-mgm 18722  df-sgrp 18811  df-mnd 18827  df-submnd 18881  df-efmnd 18967  df-grp 19049  df-minusg 19050  df-subg 19235  df-symg 19486  df-pmtr 19558

This theorem is used by:  psgndif  21804