Theorem psdascl 22302

Description: The derivative of a constant polynomial is zero. (Contributed by SN, 25-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
psdascl.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psdascl.z	⊢ 0 = (0g‘𝑆)
psdascl.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑆)
psdascl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
psdascl.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
psdascl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
psdascl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
psdascl.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
psdascl	⊢ (𝜑 → (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘(𝐴‘𝐶)) = 0 )

Proof of Theorem psdascl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psdascl.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
2		psdascl.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		psdascl.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
4		psdascl.i	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
5		psdascl.r	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
6	3, 4, 5	psrsca 22068	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑆))
7	6	fveq2d 6888	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑆)))
8	2, 7	eqtrid 2816	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(Scalar‘𝑆)))
9	1, 8	eleqtrd 2871	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑆)))
10		psdascl.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑆)
11		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑆) = (Scalar‘𝑆)
12		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑆)) = (Base‘(Scalar‘𝑆))
13		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑆) = ( ·𝑠 ‘𝑆)
14		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑆) = (1r‘𝑆)
15	10, 11, 12, 13, 14	asclval 22000	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑆)) → (𝐴‘𝐶) = (𝐶( ·𝑠 ‘𝑆)(1r‘𝑆)))
16	9, 15	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝐶) = (𝐶( ·𝑠 ‘𝑆)(1r‘𝑆)))
17	16	fveq2d 6888	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘(𝐴‘𝐶)) = (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘(𝐶( ·𝑠 ‘𝑆)(1r‘𝑆))))
18		eqid 2769	. . 3 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
19		psdascl.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
20	5	crngringd 20330	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
21	3, 4, 20	psrring 22090	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
22	18, 14	ringidcl 20350	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → (1r‘𝑆) ∈ (Base‘𝑆))
23	21, 22	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑆) ∈ (Base‘𝑆))
24	3, 18, 13, 2, 5, 19, 23, 1	psdvsca 22298	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘(𝐶( ·𝑠 ‘𝑆)(1r‘𝑆))) = (𝐶( ·𝑠 ‘𝑆)(((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘(1r‘𝑆))))
25		psdascl.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
26	3, 14, 25, 4, 5, 19	psd1 22301	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘(1r‘𝑆)) = 0 )
27	26	oveq2d 7429	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶( ·𝑠 ‘𝑆)(((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘(1r‘𝑆))) = (𝐶( ·𝑠 ‘𝑆) 0 ))
28	3, 4, 20	psrlmod 22080	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ LMod)
29	11, 13, 12, 25	lmodvs0 20997	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝐶 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑆))) → (𝐶( ·𝑠 ‘𝑆) 0 ) = 0 )
30	28, 9, 29	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶( ·𝑠 ‘𝑆) 0 ) = 0 )
31	27, 30	eqtrd 2804	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶( ·𝑠 ‘𝑆)(((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘(1r‘𝑆))) = 0 )
32	17, 24, 31	3eqtrd 2808	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘(𝐴‘𝐶)) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ‘cfv 6539  (class class class)co 7413  Basecbs 17271  Scalarcsca 17315   ·_𝑠 cvsca 17316  0_gc0g 17494  1_rcur 20265  Ringcrg 20317  CRingccrg 20318  LModclmod 20961  algSccascl 21973   mPwSer cmps 22025   mPSDer cpsd 22268

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5273  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7735  ax-cnex 11158  ax-resscn 11159  ax-1cn 11160  ax-icn 11161  ax-addcl 11162  ax-addrcl 11163  ax-mulcl 11164  ax-mulrcl 11165  ax-mulcom 11166  ax-addass 11167  ax-mulass 11168  ax-distr 11169  ax-i2m1 11170  ax-1ne0 11171  ax-1rid 11172  ax-rnegex 11173  ax-rrecex 11174  ax-cnre 11175  ax-pre-lttri 11176  ax-pre-lttrn 11177  ax-pre-ltadd 11178  ax-pre-mulgt0 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-ifp 1077  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-iin 4963  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5559  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-se 5618  df-we 5619  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-pred 6305  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-isom 6548  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7677  df-ofr 7678  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8159  df-tpos 8224  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9324  df-sup 9404  df-oi 9474  df-card 9927  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12236  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12507  df-z 12594  df-dec 12714  df-uz 12865  df-fz 13538  df-fzo 13685  df-seq 14040  df-hash 14369  df-struct 17209  df-sets 17226  df-slot 17244  df-ndx 17256  df-base 17272  df-ress 17293  df-plusg 17325  df-mulr 17326  df-sca 17328  df-vsca 17329  df-ip 17330  df-tset 17331  df-ple 17332  df-ds 17334  df-hom 17336  df-cco 17337  df-0g 17496  df-gsum 17497  df-prds 17502  df-pws 17504  df-mre 17640  df-mrc 17641  df-acs 17643  df-mgm 18700  df-sgrp 18779  df-mnd 18795  df-mhm 18843  df-submnd 18844  df-grp 19005  df-minusg 19006  df-mulg 19136  df-ghm 19286  df-cntz 19389  df-cmn 19854  df-abl 19855  df-mgp 20219  df-rng 20233  df-ur 20266  df-ring 20319  df-cring 20320  df-oppr 20421  df-lmod 20963  df-ascl 21976  df-psr 22030  df-psd 22290

This theorem is referenced by: (None)