Theorem psdascl 22436

Description: The derivative of a constant polynomial is zero. (Contributed by SN, 25-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
psdascl.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psdascl.z	⊢ 0 = (0g‘𝑆)
psdascl.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑆)
psdascl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
psdascl.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
psdascl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
psdascl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
psdascl.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
psdascl	⊢ (𝜑 → (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘(𝐴‘𝐶)) = 0 )

Proof of Theorem psdascl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psdascl.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
2		psdascl.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		psdascl.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
4		psdascl.i	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
5		psdascl.r	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
6	3, 4, 5	psrsca 22202	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑆))
7	6	fveq2d 6878	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑆)))
8	2, 7	eqtrid 2807	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(Scalar‘𝑆)))
9	1, 8	eleqtrd 2862	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑆)))
10		psdascl.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑆)
11		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑆) = (Scalar‘𝑆)
12		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑆)) = (Base‘(Scalar‘𝑆))
13		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑆) = ( ·𝑠 ‘𝑆)
14		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑆) = (1r‘𝑆)
15	10, 11, 12, 13, 14	asclval 22134	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑆)) → (𝐴‘𝐶) = (𝐶( ·𝑠 ‘𝑆)(1r‘𝑆)))
16	9, 15	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝐶) = (𝐶( ·𝑠 ‘𝑆)(1r‘𝑆)))
17	16	fveq2d 6878	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘(𝐴‘𝐶)) = (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘(𝐶( ·𝑠 ‘𝑆)(1r‘𝑆))))
18		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
19		psdascl.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
20	5	crngringd 20420	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
21	3, 4, 20	psrring 22224	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
22	18, 14	ringidcl 20441	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → (1r‘𝑆) ∈ (Base‘𝑆))
23	21, 22	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑆) ∈ (Base‘𝑆))
24	3, 18, 13, 2, 5, 19, 23, 1	psdvsca 22432	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘(𝐶( ·𝑠 ‘𝑆)(1r‘𝑆))) = (𝐶( ·𝑠 ‘𝑆)(((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘(1r‘𝑆))))
25		psdascl.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
26	3, 14, 25, 4, 5, 19	psd1 22435	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘(1r‘𝑆)) = 0 )
27	26	oveq2d 7425	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶( ·𝑠 ‘𝑆)(((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘(1r‘𝑆))) = (𝐶( ·𝑠 ‘𝑆) 0 ))
28	3, 4, 20	psrlmod 22214	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ LMod)
29	11, 13, 12, 25	lmodvs0 21118	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝐶 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑆))) → (𝐶( ·𝑠 ‘𝑆) 0 ) = 0 )
30	28, 9, 29	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶( ·𝑠 ‘𝑆) 0 ) = 0 )
31	27, 30	eqtrd 2795	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶( ·𝑠 ‘𝑆)(((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘(1r‘𝑆))) = 0 )
32	17, 24, 31	3eqtrd 2799	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘(𝐴‘𝐶)) = 0 )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6528  (class class class)co 7409  Basecbs 17334  Scalarcsca 17378   ·_𝑠 cvsca 17379  0_gc0g 17557  1_rcur 20354  Ringcrg 20406  CRingccrg 20407  LModclmod 21082  algSccascl 22107   mPwSer cmps 22159   mPSDer cpsd 22402

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-cnex 11213  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-mulcom 11221  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233  ax-pre-mulgt0 11234

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-ifp 1079  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-se 5602  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-isom 6537  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7677  df-ofr 7678  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8157  df-tpos 8222  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-sup 9412  df-oi 9482  df-card 9977  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11500  df-neg 11501  df-nn 12291  df-2 12360  df-3 12361  df-4 12362  df-5 12363  df-6 12364  df-7 12365  df-8 12366  df-9 12367  df-n0 12562  df-z 12649  df-dec 12770  df-uz 12921  df-fz 13595  df-fzo 13743  df-seq 14099  df-hash 14428  df-struct 17272  df-sets 17289  df-slot 17307  df-ndx 17319  df-base 17335  df-ress 17356  df-plusg 17388  df-mulr 17389  df-sca 17391  df-vsca 17392  df-ip 17393  df-tset 17394  df-ple 17395  df-ds 17397  df-hom 17399  df-cco 17400  df-0g 17559  df-gsum 17560  df-prds 17565  df-pws 17567  df-mre 17703  df-mrc 17704  df-acs 17706  df-mgm 18763  df-sgrp 18855  df-mnd 18871  df-mhm 18925  df-submnd 18926  df-grp 19094  df-minusg 19095  df-mulg 19225  df-ghm 19375  df-cntz 19478  df-cmn 19943  df-abl 19944  df-mgp 20308  df-rng 20322  df-ur 20355  df-ring 20408  df-cring 20409  df-oppr 20514  df-lmod 21084  df-ascl 22110  df-psr 22164  df-psd 22424

This theorem is used by: (None)