Theorem psdascl 22160

Description: The derivative of a constant polynomial is zero. (Contributed by SN, 25-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
psdascl.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psdascl.z	⊢ 0 = (0g‘𝑆)
psdascl.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑆)
psdascl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
psdascl.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
psdascl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
psdascl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
psdascl.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
psdascl	⊢ (𝜑 → (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘(𝐴‘𝐶)) = 0 )

Proof of Theorem psdascl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psdascl.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
2		psdascl.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		psdascl.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
4		psdascl.i	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
5		psdascl.r	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
6	3, 4, 5	psrsca 21926	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑆))
7	6	fveq2d 6835	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑆)))
8	2, 7	eqtrid 2788	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(Scalar‘𝑆)))
9	1, 8	eleqtrd 2843	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑆)))
10		psdascl.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑆)
11		eqid 2741	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑆) = (Scalar‘𝑆)
12		eqid 2741	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑆)) = (Base‘(Scalar‘𝑆))
13		eqid 2741	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑆) = ( ·𝑠 ‘𝑆)
14		eqid 2741	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑆) = (1r‘𝑆)
15	10, 11, 12, 13, 14	asclval 21858	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑆)) → (𝐴‘𝐶) = (𝐶( ·𝑠 ‘𝑆)(1r‘𝑆)))
16	9, 15	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝐶) = (𝐶( ·𝑠 ‘𝑆)(1r‘𝑆)))
17	16	fveq2d 6835	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘(𝐴‘𝐶)) = (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘(𝐶( ·𝑠 ‘𝑆)(1r‘𝑆))))
18		eqid 2741	. . 3 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
19		psdascl.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
20	5	crngringd 20222	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
21	3, 4, 20	psrring 21948	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
22	18, 14	ringidcl 20241	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → (1r‘𝑆) ∈ (Base‘𝑆))
23	21, 22	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑆) ∈ (Base‘𝑆))
24	3, 18, 13, 2, 5, 19, 23, 1	psdvsca 22156	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘(𝐶( ·𝑠 ‘𝑆)(1r‘𝑆))) = (𝐶( ·𝑠 ‘𝑆)(((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘(1r‘𝑆))))
25		psdascl.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
26	3, 14, 25, 4, 5, 19	psd1 22159	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘(1r‘𝑆)) = 0 )
27	26	oveq2d 7376	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶( ·𝑠 ‘𝑆)(((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘(1r‘𝑆))) = (𝐶( ·𝑠 ‘𝑆) 0 ))
28	3, 4, 20	psrlmod 21938	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ LMod)
29	11, 13, 12, 25	lmodvs0 20890	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝐶 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑆))) → (𝐶( ·𝑠 ‘𝑆) 0 ) = 0 )
30	28, 9, 29	syl2anc 591	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶( ·𝑠 ‘𝑆) 0 ) = 0 )
31	27, 30	eqtrd 2776	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶( ·𝑠 ‘𝑆)(((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘(1r‘𝑆))) = 0 )
32	17, 24, 31	3eqtrd 2780	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘(𝐴‘𝐶)) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360  Basecbs 17174  Scalarcsca 17218   ·_𝑠 cvsca 17219  0_gc0g 17397  1_rcur 20157  Ringcrg 20209  CRingccrg 20210  LModclmod 20854  algSccascl 21831   mPwSer cmps 21883   mPSDer cpsd 22126

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-ifp 1070  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4842  df-int 4881  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-isom 6498  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-ofr 7625  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8105  df-tpos 8170  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-sup 9349  df-oi 9419  df-card 9858  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-seq 13959  df-hash 14288  df-struct 17112  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-sca 17231  df-vsca 17232  df-ip 17233  df-tset 17234  df-ple 17235  df-ds 17237  df-hom 17239  df-cco 17240  df-0g 17399  df-gsum 17400  df-prds 17405  df-pws 17407  df-mre 17543  df-mrc 17544  df-acs 17546  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-mhm 18746  df-submnd 18747  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-mulg 19039  df-ghm 19183  df-cntz 19287  df-cmn 19752  df-abl 19753  df-mgp 20117  df-rng 20129  df-ur 20158  df-ring 20211  df-cring 20212  df-oppr 20312  df-lmod 20856  df-ascl 21834  df-psr 21888  df-psd 22148

This theorem is referenced by: (None)