Theorem psdascl 22148

Description: The derivative of a constant polynomial is zero. (Contributed by SN, 25-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
psdascl.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psdascl.z	⊢ 0 = (0g‘𝑆)
psdascl.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑆)
psdascl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
psdascl.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
psdascl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
psdascl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
psdascl.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
psdascl	⊢ (𝜑 → (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘(𝐴‘𝐶)) = 0 )

Proof of Theorem psdascl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psdascl.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
2		psdascl.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		psdascl.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
4		psdascl.i	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
5		psdascl.r	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
6	3, 4, 5	psrsca 21940	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑆))
7	6	fveq2d 6840	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑆)))
8	2, 7	eqtrid 2784	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(Scalar‘𝑆)))
9	1, 8	eleqtrd 2839	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑆)))
10		psdascl.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑆)
11		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑆) = (Scalar‘𝑆)
12		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑆)) = (Base‘(Scalar‘𝑆))
13		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑆) = ( ·𝑠 ‘𝑆)
14		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑆) = (1r‘𝑆)
15	10, 11, 12, 13, 14	asclval 21873	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑆)) → (𝐴‘𝐶) = (𝐶( ·𝑠 ‘𝑆)(1r‘𝑆)))
16	9, 15	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝐶) = (𝐶( ·𝑠 ‘𝑆)(1r‘𝑆)))
17	16	fveq2d 6840	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘(𝐴‘𝐶)) = (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘(𝐶( ·𝑠 ‘𝑆)(1r‘𝑆))))
18		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
19		psdascl.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
20	5	crngringd 20222	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
21	3, 4, 20	psrring 21962	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
22	18, 14	ringidcl 20241	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → (1r‘𝑆) ∈ (Base‘𝑆))
23	21, 22	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑆) ∈ (Base‘𝑆))
24	3, 18, 13, 2, 5, 19, 23, 1	psdvsca 22144	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘(𝐶( ·𝑠 ‘𝑆)(1r‘𝑆))) = (𝐶( ·𝑠 ‘𝑆)(((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘(1r‘𝑆))))
25		psdascl.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
26	3, 14, 25, 4, 5, 19	psd1 22147	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘(1r‘𝑆)) = 0 )
27	26	oveq2d 7378	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶( ·𝑠 ‘𝑆)(((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘(1r‘𝑆))) = (𝐶( ·𝑠 ‘𝑆) 0 ))
28	3, 4, 20	psrlmod 21952	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ LMod)
29	11, 13, 12, 25	lmodvs0 20886	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝐶 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑆))) → (𝐶( ·𝑠 ‘𝑆) 0 ) = 0 )
30	28, 9, 29	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶( ·𝑠 ‘𝑆) 0 ) = 0 )
31	27, 30	eqtrd 2772	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶( ·𝑠 ‘𝑆)(((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘(1r‘𝑆))) = 0 )
32	17, 24, 31	3eqtrd 2776	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘(𝐴‘𝐶)) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6494  (class class class)co 7362  Basecbs 17174  Scalarcsca 17218   ·_𝑠 cvsca 17219  0_gc0g 17397  1_rcur 20157  Ringcrg 20209  CRingccrg 20210  LModclmod 20850  algSccascl 21846   mPwSer cmps 21898   mPSDer cpsd 22110

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-ifp 1064  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-se 5580  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-isom 6503  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7626  df-ofr 7627  df-om 7813  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-supp 8106  df-tpos 8171  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-2o 8401  df-er 8638  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8841  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-fsupp 9270  df-sup 9350  df-oi 9420  df-card 9858  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-seq 13959  df-hash 14288  df-struct 17112  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-sca 17231  df-vsca 17232  df-ip 17233  df-tset 17234  df-ple 17235  df-ds 17237  df-hom 17239  df-cco 17240  df-0g 17399  df-gsum 17400  df-prds 17405  df-pws 17407  df-mre 17543  df-mrc 17544  df-acs 17546  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-mhm 18746  df-submnd 18747  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-mulg 19039  df-ghm 19183  df-cntz 19287  df-cmn 19752  df-abl 19753  df-mgp 20117  df-rng 20129  df-ur 20158  df-ring 20211  df-cring 20212  df-oppr 20312  df-lmod 20852  df-ascl 21849  df-psr 21903  df-psd 22136

This theorem is referenced by: (None)