Theorem psdascl 22128

Description: The derivative of a constant polynomial is zero. (Contributed by SN, 25-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
psdascl.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
psdascl.z	⊢ 0 = (0g‘𝑆)
psdascl.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑆)
psdascl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
psdascl.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
psdascl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
psdascl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
psdascl.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
psdascl	⊢ (𝜑 → (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘(𝐴‘𝐶)) = 0 )

Proof of Theorem psdascl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		psdascl.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
2		psdascl.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		psdascl.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
4		psdascl.i	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
5		psdascl.r	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
6	3, 4, 5	psrsca 21920	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑆))
7	6	fveq2d 6848	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑆)))
8	2, 7	eqtrid 2784	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(Scalar‘𝑆)))
9	1, 8	eleqtrd 2839	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑆)))
10		psdascl.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑆)
11		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑆) = (Scalar‘𝑆)
12		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑆)) = (Base‘(Scalar‘𝑆))
13		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑆) = ( ·𝑠 ‘𝑆)
14		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑆) = (1r‘𝑆)
15	10, 11, 12, 13, 14	asclval 21852	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑆)) → (𝐴‘𝐶) = (𝐶( ·𝑠 ‘𝑆)(1r‘𝑆)))
16	9, 15	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝐶) = (𝐶( ·𝑠 ‘𝑆)(1r‘𝑆)))
17	16	fveq2d 6848	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘(𝐴‘𝐶)) = (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘(𝐶( ·𝑠 ‘𝑆)(1r‘𝑆))))
18		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
19		psdascl.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
20	5	crngringd 20198	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
21	3, 4, 20	psrring 21942	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
22	18, 14	ringidcl 20217	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → (1r‘𝑆) ∈ (Base‘𝑆))
23	21, 22	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑆) ∈ (Base‘𝑆))
24	3, 18, 13, 2, 5, 19, 23, 1	psdvsca 22124	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘(𝐶( ·𝑠 ‘𝑆)(1r‘𝑆))) = (𝐶( ·𝑠 ‘𝑆)(((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘(1r‘𝑆))))
25		psdascl.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑆)
26	3, 14, 25, 4, 5, 19	psd1 22127	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘(1r‘𝑆)) = 0 )
27	26	oveq2d 7386	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶( ·𝑠 ‘𝑆)(((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘(1r‘𝑆))) = (𝐶( ·𝑠 ‘𝑆) 0 ))
28	3, 4, 20	psrlmod 21932	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ LMod)
29	11, 13, 12, 25	lmodvs0 20864	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝐶 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑆))) → (𝐶( ·𝑠 ‘𝑆) 0 ) = 0 )
30	28, 9, 29	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶( ·𝑠 ‘𝑆) 0 ) = 0 )
31	27, 30	eqtrd 2772	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶( ·𝑠 ‘𝑆)(((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘(1r‘𝑆))) = 0 )
32	17, 24, 31	3eqtrd 2776	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 mPSDer 𝑅)‘𝑋)‘(𝐴‘𝐶)) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370  Basecbs 17150  Scalarcsca 17194   ·_𝑠 cvsca 17195  0_gc0g 17373  1_rcur 20133  Ringcrg 20185  CRingccrg 20186  LModclmod 20828  algSccascl 21824   mPwSer cmps 21877   mPSDer cpsd 22090

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-ifp 1064  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-se 5588  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-isom 6511  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-of 7634  df-ofr 7635  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-supp 8115  df-tpos 8180  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-1o 8409  df-2o 8410  df-er 8647  df-map 8779  df-pm 8780  df-ixp 8850  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-fin 8901  df-fsupp 9279  df-sup 9359  df-oi 9429  df-card 9865  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-nn 12160  df-2 12222  df-3 12223  df-4 12224  df-5 12225  df-6 12226  df-7 12227  df-8 12228  df-9 12229  df-n0 12416  df-z 12503  df-dec 12622  df-uz 12766  df-fz 13438  df-fzo 13585  df-seq 13939  df-hash 14268  df-struct 17088  df-sets 17105  df-slot 17123  df-ndx 17135  df-base 17151  df-ress 17172  df-plusg 17204  df-mulr 17205  df-sca 17207  df-vsca 17208  df-ip 17209  df-tset 17210  df-ple 17211  df-ds 17213  df-hom 17215  df-cco 17216  df-0g 17375  df-gsum 17376  df-prds 17381  df-pws 17383  df-mre 17519  df-mrc 17520  df-acs 17522  df-mgm 18579  df-sgrp 18658  df-mnd 18674  df-mhm 18722  df-submnd 18723  df-grp 18883  df-minusg 18884  df-mulg 19015  df-ghm 19159  df-cntz 19263  df-cmn 19728  df-abl 19729  df-mgp 20093  df-rng 20105  df-ur 20134  df-ring 20187  df-cring 20188  df-oppr 20290  df-lmod 20830  df-ascl 21827  df-psr 21882  df-psd 22116

This theorem is referenced by: (None)