Theorem quartlem3 26809

Description: Closure lemmas for quart 26811. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
quart.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
quart.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
quart.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
quart.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
quart.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
quart.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 = -(𝐴 / 4))
quart.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 = (𝐵 − ((3 / 8) · (𝐴↑2))))
quart.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 = ((𝐶 − ((𝐴 · 𝐵) / 2)) + ((𝐴↑3) / 8)))
quart.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 = ((𝐷 − ((𝐶 · 𝐴) / 4)) + ((((𝐴↑2) · 𝐵) / ;16) − ((3 / ;;256) · (𝐴↑4)))))
quart.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = ((𝑃↑2) + (;12 · 𝑅)))
quart.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 = ((-(2 · (𝑃↑3)) − (;27 · (𝑄↑2))) + (;72 · (𝑃 · 𝑅))))
quart.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 = (√‘((𝑉↑2) − (4 · (𝑈↑3)))))
quart.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 = ((√‘𝑀) / 2))
quart.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 = -((((2 · 𝑃) + 𝑇) + (𝑈 / 𝑇)) / 3))
quart.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 = (((𝑉 + 𝑊) / 2)↑𝑐(1 / 3)))
quart.t0	⊢ (𝜑 → 𝑇 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
quartlem3	⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ))

Proof of Theorem quartlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		quart.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = ((√‘𝑀) / 2))
2		quart.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = -((((2 · 𝑃) + 𝑇) + (𝑈 / 𝑇)) / 3))
3		2cn 12317	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℂ
4		quart.a	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
5		quart.b	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
6		quart.c	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
7		quart.d	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
8		quart.p	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = (𝐵 − ((3 / 8) · (𝐴↑2))))
9		quart.q	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑄 = ((𝐶 − ((𝐴 · 𝐵) / 2)) + ((𝐴↑3) / 8)))
10		quart.r	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = ((𝐷 − ((𝐶 · 𝐴) / 4)) + ((((𝐴↑2) · 𝐵) / ;16) − ((3 / ;;256) · (𝐴↑4)))))
11	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	quart1cl 26804	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ))
12	11	simp1d 1139	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
13		mulcl 11222	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑃 ∈ ℂ) → (2 · 𝑃) ∈ ℂ)
14	3, 12, 13	sylancr 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (2 · 𝑃) ∈ ℂ)
15		quart.t	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑇 = (((𝑉 + 𝑊) / 2)↑𝑐(1 / 3)))
16		quart.e	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = -(𝐴 / 4))
17		quart.u	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = ((𝑃↑2) + (;12 · 𝑅)))
18		quart.v	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = ((-(2 · (𝑃↑3)) − (;27 · (𝑄↑2))) + (;72 · (𝑃 · 𝑅))))
19		quart.w	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑊 = (√‘((𝑉↑2) − (4 · (𝑈↑3)))))
20	4, 5, 6, 7, 4, 16, 8, 9, 10, 17, 18, 19	quartlem2 26808	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∈ ℂ ∧ 𝑉 ∈ ℂ ∧ 𝑊 ∈ ℂ))
21	20	simp2d 1140	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ ℂ)
22	20	simp3d 1141	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℂ)
23	21, 22	addcld 11263	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑉 + 𝑊) ∈ ℂ)
24	23	halfcld 12487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑉 + 𝑊) / 2) ∈ ℂ)
25		3nn 12321	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 3 ∈ ℕ
26		nnrecre 12284	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (3 ∈ ℕ → (1 / 3) ∈ ℝ)
27	25, 26	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 / 3) ∈ ℝ
28	27	recni 11258	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 / 3) ∈ ℂ
29		cxpcl 26626	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑉 + 𝑊) / 2) ∈ ℂ ∧ (1 / 3) ∈ ℂ) → (((𝑉 + 𝑊) / 2)↑𝑐(1 / 3)) ∈ ℂ)
30	24, 28, 29	sylancl 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝑉 + 𝑊) / 2)↑𝑐(1 / 3)) ∈ ℂ)
31	15, 30	eqeltrd 2825	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ)
32	14, 31	addcld 11263	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((2 · 𝑃) + 𝑇) ∈ ℂ)
33	20	simp1d 1139	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℂ)
34		quart.t0	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ≠ 0)
35	33, 31, 34	divcld 12020	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑈 / 𝑇) ∈ ℂ)
36	32, 35	addcld 11263	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((2 · 𝑃) + 𝑇) + (𝑈 / 𝑇)) ∈ ℂ)
37		3cn 12323	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℂ
38	37	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 3 ∈ ℂ)
39		3ne0 12348	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ≠ 0
40	39	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 3 ≠ 0)
41	36, 38, 40	divcld 12020	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((2 · 𝑃) + 𝑇) + (𝑈 / 𝑇)) / 3) ∈ ℂ)
42	41	negcld 11588	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → -((((2 · 𝑃) + 𝑇) + (𝑈 / 𝑇)) / 3) ∈ ℂ)
43	2, 42	eqeltrd 2825	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
44	43	sqrtcld 15416	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (√‘𝑀) ∈ ℂ)
45	44	halfcld 12487	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((√‘𝑀) / 2) ∈ ℂ)
46	1, 45	eqeltrd 2825	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℂ)
47	46, 43, 31	3jca 1125	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2930  ‘cfv 6543  (class class class)co 7416  ℂcc 11136  ℝcr 11137  0cc0 11138  1c1 11139   + caddc 11141   · cmul 11143   − cmin 11474  -cneg 11475   / cdiv 11901  ℕcn 12242  2c2 12297  3c3 12298  4c4 12299  5c5 12300  6c6 12301  7c7 12302  8c8 12303  ;cdc 12707  ↑cexp 14058  √csqrt 15212  ↑_𝑐ccxp 26507

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-inf2 9664  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216  ax-addf 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-supp 8164  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-er 8723  df-map 8845  df-pm 8846  df-ixp 8915  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-fsupp 9386  df-fi 9434  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13124  df-xadd 13125  df-xmul 13126  df-ioo 13360  df-ioc 13361  df-ico 13362  df-icc 13363  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-fl 13789  df-mod 13867  df-seq 13999  df-exp 14059  df-fac 14265  df-bc 14294  df-hash 14322  df-shft 15046  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-limsup 15447  df-clim 15464  df-rlim 15465  df-sum 15665  df-ef 16043  df-sin 16045  df-cos 16046  df-pi 16048  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-starv 17247  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-unif 17255  df-hom 17256  df-cco 17257  df-rest 17403  df-topn 17404  df-0g 17422  df-gsum 17423  df-topgen 17424  df-pt 17425  df-prds 17428  df-xrs 17483  df-qtop 17488  df-imas 17489  df-xps 17491  df-mre 17565  df-mrc 17566  df-acs 17568  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18740  df-mulg 19028  df-cntz 19272  df-cmn 19741  df-psmet 21275  df-xmet 21276  df-met 21277  df-bl 21278  df-mopn 21279  df-fbas 21280  df-fg 21281  df-cnfld 21284  df-top 22814  df-topon 22831  df-topsp 22853  df-bases 22867  df-cld 22941  df-ntr 22942  df-cls 22943  df-nei 23020  df-lp 23058  df-perf 23059  df-cn 23149  df-cnp 23150  df-haus 23237  df-tx 23484  df-hmeo 23677  df-fil 23768  df-fm 23860  df-flim 23861  df-flf 23862  df-xms 24244  df-ms 24245  df-tms 24246  df-cncf 24816  df-limc 25813  df-dv 25814  df-log 26508  df-cxp 26509

This theorem is referenced by:  quartlem4  26810  quart  26811