![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > quartlem3 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Closure lemmas for quart 26227. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.) |
Ref | Expression |
---|---|
quart.a | โข (๐ โ ๐ด โ โ) |
quart.b | โข (๐ โ ๐ต โ โ) |
quart.c | โข (๐ โ ๐ถ โ โ) |
quart.d | โข (๐ โ ๐ท โ โ) |
quart.x | โข (๐ โ ๐ โ โ) |
quart.e | โข (๐ โ ๐ธ = -(๐ด / 4)) |
quart.p | โข (๐ โ ๐ = (๐ต โ ((3 / 8) ยท (๐ดโ2)))) |
quart.q | โข (๐ โ ๐ = ((๐ถ โ ((๐ด ยท ๐ต) / 2)) + ((๐ดโ3) / 8))) |
quart.r | โข (๐ โ ๐ = ((๐ท โ ((๐ถ ยท ๐ด) / 4)) + ((((๐ดโ2) ยท ๐ต) / ;16) โ ((3 / ;;256) ยท (๐ดโ4))))) |
quart.u | โข (๐ โ ๐ = ((๐โ2) + (;12 ยท ๐ ))) |
quart.v | โข (๐ โ ๐ = ((-(2 ยท (๐โ3)) โ (;27 ยท (๐โ2))) + (;72 ยท (๐ ยท ๐ )))) |
quart.w | โข (๐ โ ๐ = (โโ((๐โ2) โ (4 ยท (๐โ3))))) |
quart.s | โข (๐ โ ๐ = ((โโ๐) / 2)) |
quart.m | โข (๐ โ ๐ = -((((2 ยท ๐) + ๐) + (๐ / ๐)) / 3)) |
quart.t | โข (๐ โ ๐ = (((๐ + ๐) / 2)โ๐(1 / 3))) |
quart.t0 | โข (๐ โ ๐ โ 0) |
Ref | Expression |
---|---|
quartlem3 | โข (๐ โ (๐ โ โ โง ๐ โ โ โง ๐ โ โ)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | quart.s | . . 3 โข (๐ โ ๐ = ((โโ๐) / 2)) | |
2 | quart.m | . . . . . 6 โข (๐ โ ๐ = -((((2 ยท ๐) + ๐) + (๐ / ๐)) / 3)) | |
3 | 2cn 12235 | . . . . . . . . . . 11 โข 2 โ โ | |
4 | quart.a | . . . . . . . . . . . . 13 โข (๐ โ ๐ด โ โ) | |
5 | quart.b | . . . . . . . . . . . . 13 โข (๐ โ ๐ต โ โ) | |
6 | quart.c | . . . . . . . . . . . . 13 โข (๐ โ ๐ถ โ โ) | |
7 | quart.d | . . . . . . . . . . . . 13 โข (๐ โ ๐ท โ โ) | |
8 | quart.p | . . . . . . . . . . . . 13 โข (๐ โ ๐ = (๐ต โ ((3 / 8) ยท (๐ดโ2)))) | |
9 | quart.q | . . . . . . . . . . . . 13 โข (๐ โ ๐ = ((๐ถ โ ((๐ด ยท ๐ต) / 2)) + ((๐ดโ3) / 8))) | |
10 | quart.r | . . . . . . . . . . . . 13 โข (๐ โ ๐ = ((๐ท โ ((๐ถ ยท ๐ด) / 4)) + ((((๐ดโ2) ยท ๐ต) / ;16) โ ((3 / ;;256) ยท (๐ดโ4))))) | |
11 | 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 | quart1cl 26220 | . . . . . . . . . . . 12 โข (๐ โ (๐ โ โ โง ๐ โ โ โง ๐ โ โ)) |
12 | 11 | simp1d 1143 | . . . . . . . . . . 11 โข (๐ โ ๐ โ โ) |
13 | mulcl 11142 | . . . . . . . . . . 11 โข ((2 โ โ โง ๐ โ โ) โ (2 ยท ๐) โ โ) | |
14 | 3, 12, 13 | sylancr 588 | . . . . . . . . . 10 โข (๐ โ (2 ยท ๐) โ โ) |
15 | quart.t | . . . . . . . . . . 11 โข (๐ โ ๐ = (((๐ + ๐) / 2)โ๐(1 / 3))) | |
16 | quart.e | . . . . . . . . . . . . . . . 16 โข (๐ โ ๐ธ = -(๐ด / 4)) | |
17 | quart.u | . . . . . . . . . . . . . . . 16 โข (๐ โ ๐ = ((๐โ2) + (;12 ยท ๐ ))) | |
18 | quart.v | . . . . . . . . . . . . . . . 16 โข (๐ โ ๐ = ((-(2 ยท (๐โ3)) โ (;27 ยท (๐โ2))) + (;72 ยท (๐ ยท ๐ )))) | |
19 | quart.w | . . . . . . . . . . . . . . . 16 โข (๐ โ ๐ = (โโ((๐โ2) โ (4 ยท (๐โ3))))) | |
20 | 4, 5, 6, 7, 4, 16, 8, 9, 10, 17, 18, 19 | quartlem2 26224 | . . . . . . . . . . . . . . 15 โข (๐ โ (๐ โ โ โง ๐ โ โ โง ๐ โ โ)) |
21 | 20 | simp2d 1144 | . . . . . . . . . . . . . 14 โข (๐ โ ๐ โ โ) |
22 | 20 | simp3d 1145 | . . . . . . . . . . . . . 14 โข (๐ โ ๐ โ โ) |
23 | 21, 22 | addcld 11181 | . . . . . . . . . . . . 13 โข (๐ โ (๐ + ๐) โ โ) |
24 | 23 | halfcld 12405 | . . . . . . . . . . . 12 โข (๐ โ ((๐ + ๐) / 2) โ โ) |
25 | 3nn 12239 | . . . . . . . . . . . . . 14 โข 3 โ โ | |
26 | nnrecre 12202 | . . . . . . . . . . . . . 14 โข (3 โ โ โ (1 / 3) โ โ) | |
27 | 25, 26 | ax-mp 5 | . . . . . . . . . . . . 13 โข (1 / 3) โ โ |
28 | 27 | recni 11176 | . . . . . . . . . . . 12 โข (1 / 3) โ โ |
29 | cxpcl 26045 | . . . . . . . . . . . 12 โข ((((๐ + ๐) / 2) โ โ โง (1 / 3) โ โ) โ (((๐ + ๐) / 2)โ๐(1 / 3)) โ โ) | |
30 | 24, 28, 29 | sylancl 587 | . . . . . . . . . . 11 โข (๐ โ (((๐ + ๐) / 2)โ๐(1 / 3)) โ โ) |
31 | 15, 30 | eqeltrd 2838 | . . . . . . . . . 10 โข (๐ โ ๐ โ โ) |
32 | 14, 31 | addcld 11181 | . . . . . . . . 9 โข (๐ โ ((2 ยท ๐) + ๐) โ โ) |
33 | 20 | simp1d 1143 | . . . . . . . . . 10 โข (๐ โ ๐ โ โ) |
34 | quart.t0 | . . . . . . . . . 10 โข (๐ โ ๐ โ 0) | |
35 | 33, 31, 34 | divcld 11938 | . . . . . . . . 9 โข (๐ โ (๐ / ๐) โ โ) |
36 | 32, 35 | addcld 11181 | . . . . . . . 8 โข (๐ โ (((2 ยท ๐) + ๐) + (๐ / ๐)) โ โ) |
37 | 3cn 12241 | . . . . . . . . 9 โข 3 โ โ | |
38 | 37 | a1i 11 | . . . . . . . 8 โข (๐ โ 3 โ โ) |
39 | 3ne0 12266 | . . . . . . . . 9 โข 3 โ 0 | |
40 | 39 | a1i 11 | . . . . . . . 8 โข (๐ โ 3 โ 0) |
41 | 36, 38, 40 | divcld 11938 | . . . . . . 7 โข (๐ โ ((((2 ยท ๐) + ๐) + (๐ / ๐)) / 3) โ โ) |
42 | 41 | negcld 11506 | . . . . . 6 โข (๐ โ -((((2 ยท ๐) + ๐) + (๐ / ๐)) / 3) โ โ) |
43 | 2, 42 | eqeltrd 2838 | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ โ โ) |
44 | 43 | sqrtcld 15329 | . . . 4 โข (๐ โ (โโ๐) โ โ) |
45 | 44 | halfcld 12405 | . . 3 โข (๐ โ ((โโ๐) / 2) โ โ) |
46 | 1, 45 | eqeltrd 2838 | . 2 โข (๐ โ ๐ โ โ) |
47 | 46, 43, 31 | 3jca 1129 | 1 โข (๐ โ (๐ โ โ โง ๐ โ โ โง ๐ โ โ)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง w3a 1088 = wceq 1542 โ wcel 2107 โ wne 2944 โcfv 6501 (class class class)co 7362 โcc 11056 โcr 11057 0cc0 11058 1c1 11059 + caddc 11061 ยท cmul 11063 โ cmin 11392 -cneg 11393 / cdiv 11819 โcn 12160 2c2 12215 3c3 12216 4c4 12217 5c5 12218 6c6 12219 7c7 12220 8c8 12221 ;cdc 12625 โcexp 13974 โcsqrt 15125 โ๐ccxp 25927 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2708 ax-rep 5247 ax-sep 5261 ax-nul 5268 ax-pow 5325 ax-pr 5389 ax-un 7677 ax-inf2 9584 ax-cnex 11114 ax-resscn 11115 ax-1cn 11116 ax-icn 11117 ax-addcl 11118 ax-addrcl 11119 ax-mulcl 11120 ax-mulrcl 11121 ax-mulcom 11122 ax-addass 11123 ax-mulass 11124 ax-distr 11125 ax-i2m1 11126 ax-1ne0 11127 ax-1rid 11128 ax-rnegex 11129 ax-rrecex 11130 ax-cnre 11131 ax-pre-lttri 11132 ax-pre-lttrn 11133 ax-pre-ltadd 11134 ax-pre-mulgt0 11135 ax-pre-sup 11136 ax-addf 11137 ax-mulf 11138 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2539 df-eu 2568 df-clab 2715 df-cleq 2729 df-clel 2815 df-nfc 2890 df-ne 2945 df-nel 3051 df-ral 3066 df-rex 3075 df-rmo 3356 df-reu 3357 df-rab 3411 df-v 3450 df-sbc 3745 df-csb 3861 df-dif 3918 df-un 3920 df-in 3922 df-ss 3932 df-pss 3934 df-nul 4288 df-if 4492 df-pw 4567 df-sn 4592 df-pr 4594 df-tp 4596 df-op 4598 df-uni 4871 df-int 4913 df-iun 4961 df-iin 4962 df-br 5111 df-opab 5173 df-mpt 5194 df-tr 5228 df-id 5536 df-eprel 5542 df-po 5550 df-so 5551 df-fr 5593 df-se 5594 df-we 5595 df-xp 5644 df-rel 5645 df-cnv 5646 df-co 5647 df-dm 5648 df-rn 5649 df-res 5650 df-ima 5651 df-pred 6258 df-ord 6325 df-on 6326 df-lim 6327 df-suc 6328 df-iota 6453 df-fun 6503 df-fn 6504 df-f 6505 df-f1 6506 df-fo 6507 df-f1o 6508 df-fv 6509 df-isom 6510 df-riota 7318 df-ov 7365 df-oprab 7366 df-mpo 7367 df-of 7622 df-om 7808 df-1st 7926 df-2nd 7927 df-supp 8098 df-frecs 8217 df-wrecs 8248 df-recs 8322 df-rdg 8361 df-1o 8417 df-2o 8418 df-er 8655 df-map 8774 df-pm 8775 df-ixp 8843 df-en 8891 df-dom 8892 df-sdom 8893 df-fin 8894 df-fsupp 9313 df-fi 9354 df-sup 9385 df-inf 9386 df-oi 9453 df-card 9882 df-pnf 11198 df-mnf 11199 df-xr 11200 df-ltxr 11201 df-le 11202 df-sub 11394 df-neg 11395 df-div 11820 df-nn 12161 df-2 12223 df-3 12224 df-4 12225 df-5 12226 df-6 12227 df-7 12228 df-8 12229 df-9 12230 df-n0 12421 df-z 12507 df-dec 12626 df-uz 12771 df-q 12881 df-rp 12923 df-xneg 13040 df-xadd 13041 df-xmul 13042 df-ioo 13275 df-ioc 13276 df-ico 13277 df-icc 13278 df-fz 13432 df-fzo 13575 df-fl 13704 df-mod 13782 df-seq 13914 df-exp 13975 df-fac 14181 df-bc 14210 df-hash 14238 df-shft 14959 df-cj 14991 df-re 14992 df-im 14993 df-sqrt 15127 df-abs 15128 df-limsup 15360 df-clim 15377 df-rlim 15378 df-sum 15578 df-ef 15957 df-sin 15959 df-cos 15960 df-pi 15962 df-struct 17026 df-sets 17043 df-slot 17061 df-ndx 17073 df-base 17091 df-ress 17120 df-plusg 17153 df-mulr 17154 df-starv 17155 df-sca 17156 df-vsca 17157 df-ip 17158 df-tset 17159 df-ple 17160 df-ds 17162 df-unif 17163 df-hom 17164 df-cco 17165 df-rest 17311 df-topn 17312 df-0g 17330 df-gsum 17331 df-topgen 17332 df-pt 17333 df-prds 17336 df-xrs 17391 df-qtop 17396 df-imas 17397 df-xps 17399 df-mre 17473 df-mrc 17474 df-acs 17476 df-mgm 18504 df-sgrp 18553 df-mnd 18564 df-submnd 18609 df-mulg 18880 df-cntz 19104 df-cmn 19571 df-psmet 20804 df-xmet 20805 df-met 20806 df-bl 20807 df-mopn 20808 df-fbas 20809 df-fg 20810 df-cnfld 20813 df-top 22259 df-topon 22276 df-topsp 22298 df-bases 22312 df-cld 22386 df-ntr 22387 df-cls 22388 df-nei 22465 df-lp 22503 df-perf 22504 df-cn 22594 df-cnp 22595 df-haus 22682 df-tx 22929 df-hmeo 23122 df-fil 23213 df-fm 23305 df-flim 23306 df-flf 23307 df-xms 23689 df-ms 23690 df-tms 23691 df-cncf 24257 df-limc 25246 df-dv 25247 df-log 25928 df-cxp 25929 |
This theorem is referenced by: quartlem4 26226 quart 26227 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |