Theorem recsccl 43386

Description: The closure of the cosecant function with a real argument. (Contributed by David A. Wheeler, 15-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
recsccl	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) → (csc‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem recsccl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 10342	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		cscval 43380	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) → (csc‘𝐴) = (1 / (sin‘𝐴)))
3	1, 2	sylan 575	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) → (csc‘𝐴) = (1 / (sin‘𝐴)))
4		resincl 15242	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘𝐴) ∈ ℝ)
5		1red 10357	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ)
6		redivcl 11070	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (sin‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) → (1 / (sin‘𝐴)) ∈ ℝ)
7	5, 6	syl3an1 1206	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (sin‘𝐴) ∈ ℝ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) → (1 / (sin‘𝐴)) ∈ ℝ)
8	4, 7	syl3an2 1207	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) → (1 / (sin‘𝐴)) ∈ ℝ)
9	8	3anidm12 1546	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) → (1 / (sin‘𝐴)) ∈ ℝ)
10	3, 9	eqeltrd 2906	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (sin‘𝐴) ≠ 0) → (csc‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1656   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2999  ‘cfv 6123  (class class class)co 6905  ℂcc 10250  ℝcr 10251  0cc0 10252  1c1 10253   / cdiv 11009  sincsin 15166  cscccsc 43374

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-inf2 8815  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329  ax-pre-sup 10330  ax-addf 10331  ax-mulf 10332

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-fal 1670  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-se 5302  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-isom 6132  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-oadd 7830  df-er 8009  df-pm 8125  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-sup 8617  df-inf 8618  df-oi 8684  df-card 9078  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-div 11010  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-n0 11619  df-z 11705  df-uz 11969  df-rp 12113  df-ico 12469  df-fz 12620  df-fzo 12761  df-fl 12888  df-seq 13096  df-exp 13155  df-fac 13354  df-hash 13411  df-shft 14184  df-cj 14216  df-re 14217  df-im 14218  df-sqrt 14352  df-abs 14353  df-limsup 14579  df-clim 14596  df-rlim 14597  df-sum 14794  df-ef 15170  df-sin 15172  df-csc 43377

This theorem is referenced by: (None)