Theorem remulg 21539

Description: The multiplication (group power) operation of the group of reals. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Nov-2017.)

Assertion

Ref	Expression
remulg	⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑁(.g‘ℝfld)𝐴) = (𝑁 · 𝐴))

Proof of Theorem remulg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 11229	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
2		readdcl 11222	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
3		renegcl 11554	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → -𝑥 ∈ ℝ)
4		1re 11245	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
5	1, 2, 3, 4	cnsubglem 21348	. . 3 ⊢ ℝ ∈ (SubGrp‘ℂfld)
6		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (.g‘ℂfld) = (.g‘ℂfld)
7		df-refld 21537	. . . 4 ⊢ ℝfld = (ℂfld ↾s ℝ)
8		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (.g‘ℝfld) = (.g‘ℝfld)
9	6, 7, 8	subgmulg 19095	. . 3 ⊢ ((ℝ ∈ (SubGrp‘ℂfld) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑁(.g‘ℂfld)𝐴) = (𝑁(.g‘ℝfld)𝐴))
10	5, 9	mp3an1 1445	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑁(.g‘ℂfld)𝐴) = (𝑁(.g‘ℝfld)𝐴))
11		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
12	11	recnd 11273	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
13		cnfldmulg 21331	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑁(.g‘ℂfld)𝐴) = (𝑁 · 𝐴))
14	12, 13	syldan 590	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑁(.g‘ℂfld)𝐴) = (𝑁 · 𝐴))
15	10, 14	eqtr3d 2770	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑁(.g‘ℝfld)𝐴) = (𝑁 · 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420  ℂcc 11137  ℝcr 11138  1c1 11140   · cmul 11144  ℤcz 12589  ._gcmg 19023  SubGrpcsubg 19075  ℂ_fldccnfld 21279  ℝ_fldcrefld 21536

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-addf 11218

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-n0 12504  df-z 12590  df-dec 12709  df-uz 12854  df-fz 13518  df-seq 14000  df-struct 17116  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-ress 17210  df-plusg 17246  df-mulr 17247  df-starv 17248  df-tset 17252  df-ple 17253  df-ds 17255  df-unif 17256  df-0g 17423  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-grp 18893  df-minusg 18894  df-mulg 19024  df-subg 19078  df-cmn 19737  df-mgp 20075  df-ring 20175  df-cring 20176  df-cnfld 21280  df-refld 21537

This theorem is referenced by:  rearchi  33071  zrhre  33620