Theorem remulg 21496

Description: The multiplication (group power) operation of the group of reals. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Nov-2017.)

Assertion

Ref	Expression
remulg	⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑁(.g‘ℝfld)𝐴) = (𝑁 · 𝐴))

Proof of Theorem remulg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 11199	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
2		readdcl 11192	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
3		renegcl 11524	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → -𝑥 ∈ ℝ)
4		1re 11215	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
5	1, 2, 3, 4	cnsubglem 21305	. . 3 ⊢ ℝ ∈ (SubGrp‘ℂfld)
6		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (.g‘ℂfld) = (.g‘ℂfld)
7		df-refld 21494	. . . 4 ⊢ ℝfld = (ℂfld ↾s ℝ)
8		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (.g‘ℝfld) = (.g‘ℝfld)
9	6, 7, 8	subgmulg 19065	. . 3 ⊢ ((ℝ ∈ (SubGrp‘ℂfld) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑁(.g‘ℂfld)𝐴) = (𝑁(.g‘ℝfld)𝐴))
10	5, 9	mp3an1 1444	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑁(.g‘ℂfld)𝐴) = (𝑁(.g‘ℝfld)𝐴))
11		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
12	11	recnd 11243	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
13		cnfldmulg 21288	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑁(.g‘ℂfld)𝐴) = (𝑁 · 𝐴))
14	12, 13	syldan 590	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑁(.g‘ℂfld)𝐴) = (𝑁 · 𝐴))
15	10, 14	eqtr3d 2768	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑁(.g‘ℝfld)𝐴) = (𝑁 · 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6536  (class class class)co 7404  ℂcc 11107  ℝcr 11108  1c1 11110   · cmul 11114  ℤcz 12559  ._gcmg 18993  SubGrpcsubg 19045  ℂ_fldccnfld 21236  ℝ_fldcrefld 21493

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-addf 11188

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-fz 13488  df-seq 13970  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-0g 17394  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-mulg 18994  df-subg 19048  df-cmn 19700  df-mgp 20038  df-ring 20138  df-cring 20139  df-cnfld 21237  df-refld 21494

This theorem is referenced by:  rearchi  32964  zrhre  33529