Theorem remulg 21725

Description: The multiplication (group power) operation of the group of reals. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Nov-2017.)

Assertion

Ref	Expression
remulg	⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑁(.g‘ℝfld)𝐴) = (𝑁 · 𝐴))

Proof of Theorem remulg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 11189	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
2		readdcl 11182	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
3		renegcl 11520	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → -𝑥 ∈ ℝ)
4		1re 11207	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
5	1, 2, 3, 4	cnsubglem 21534	. . 3 ⊢ ℝ ∈ (SubGrp‘ℂfld)
6		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (.g‘ℂfld) = (.g‘ℂfld)
7		df-refld 21723	. . . 4 ⊢ ℝfld = (ℂfld ↾s ℝ)
8		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (.g‘ℝfld) = (.g‘ℝfld)
9	6, 7, 8	subgmulg 19206	. . 3 ⊢ ((ℝ ∈ (SubGrp‘ℂfld) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑁(.g‘ℂfld)𝐴) = (𝑁(.g‘ℝfld)𝐴))
10	5, 9	mp3an1 1474	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑁(.g‘ℂfld)𝐴) = (𝑁(.g‘ℝfld)𝐴))
11		simpr 489	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
12	11	recnd 11236	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
13		cnfldmulg 21522	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑁(.g‘ℂfld)𝐴) = (𝑁 · 𝐴))
14	12, 13	syldan 602	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑁(.g‘ℂfld)𝐴) = (𝑁 · 𝐴))
15	10, 14	eqtr3d 2806	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑁(.g‘ℝfld)𝐴) = (𝑁 · 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  ℂcc 11097  ℝcr 11098  1c1 11100   · cmul 11104  ℤcz 12590  ._gcmg 19132  SubGrpcsubg 19185  ℂ_fldccnfld 21490  ℝ_fldcrefld 21722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-addf 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-9 12309  df-n0 12504  df-z 12591  df-dec 12711  df-uz 12862  df-fz 13535  df-seq 14037  df-struct 17206  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-ress 17290  df-plusg 17322  df-mulr 17323  df-starv 17324  df-tset 17328  df-ple 17329  df-ds 17331  df-unif 17332  df-0g 17493  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-grp 19002  df-minusg 19003  df-mulg 19133  df-subg 19188  df-cmn 19851  df-mgp 20216  df-ring 20316  df-cring 20317  df-cnfld 21491  df-refld 21723

This theorem is referenced by:  rearchi  33608  zrhre  34353