Theorem remulg 21492

Description: The multiplication (group power) operation of the group of reals. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Nov-2017.)

Assertion

Ref	Expression
remulg	⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑁(.g‘ℝfld)𝐴) = (𝑁 · 𝐴))

Proof of Theorem remulg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 11134	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
2		readdcl 11127	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
3		renegcl 11461	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → -𝑥 ∈ ℝ)
4		1re 11150	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
5	1, 2, 3, 4	cnsubglem 21308	. . 3 ⊢ ℝ ∈ (SubGrp‘ℂfld)
6		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (.g‘ℂfld) = (.g‘ℂfld)
7		df-refld 21490	. . . 4 ⊢ ℝfld = (ℂfld ↾s ℝ)
8		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (.g‘ℝfld) = (.g‘ℝfld)
9	6, 7, 8	subgmulg 19048	. . 3 ⊢ ((ℝ ∈ (SubGrp‘ℂfld) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑁(.g‘ℂfld)𝐴) = (𝑁(.g‘ℝfld)𝐴))
10	5, 9	mp3an1 1450	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑁(.g‘ℂfld)𝐴) = (𝑁(.g‘ℝfld)𝐴))
11		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
12	11	recnd 11178	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
13		cnfldmulg 21291	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑁(.g‘ℂfld)𝐴) = (𝑁 · 𝐴))
14	12, 13	syldan 591	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑁(.g‘ℂfld)𝐴) = (𝑁 · 𝐴))
15	10, 14	eqtr3d 2766	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑁(.g‘ℝfld)𝐴) = (𝑁 · 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  ℂcc 11042  ℝcr 11043  1c1 11045   · cmul 11049  ℤcz 12505  ._gcmg 18975  SubGrpcsubg 19028  ℂ_fldccnfld 21240  ℝ_fldcrefld 21489

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-addf 11123

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-fz 13445  df-seq 13943  df-struct 17093  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-0g 17380  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-grp 18844  df-minusg 18845  df-mulg 18976  df-subg 19031  df-cmn 19688  df-mgp 20026  df-ring 20120  df-cring 20121  df-cnfld 21241  df-refld 21490

This theorem is referenced by:  rearchi  33290  zrhre  33982