Theorem stirlinglem2 47084

Description: 𝐴 maps to positive reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
stirlinglem2.1	⊢ 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))

Assertion

Ref	Expression
stirlinglem2	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐴‘𝑁) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem stirlinglem2

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnn0 12613	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		faccl 14427	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
3		nnrp 13132	. . . . 5 ⊢ ((!‘𝑁) ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℝ+)
4	1, 2, 3	3syl 19	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℝ+)
5		2rp 13125	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ+
6	5	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ+)
7		nnrp 13132	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
8	6, 7	rpmulcld 13180	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℝ+)
9	8	rpsqrtcld 15579	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ+)
10		epr 16376	. . . . . . . 8 ⊢ e ∈ ℝ+
11	10	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → e ∈ ℝ+)
12	7, 11	rpdivcld 13181	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 / e) ∈ ℝ+)
13		nnz 12714	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
14	12, 13	rpexpcld 14391	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 / e)↑𝑁) ∈ ℝ+)
15	9, 14	rpmulcld 13180	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁)) ∈ ℝ+)
16	4, 15	rpdivcld 13181	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+)
17		stirlinglem2.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
18		fveq2 6885	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (!‘𝑛) = (!‘𝑘))
19		oveq2 7428	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑘))
20	19	fveq2d 6889	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (√‘(2 · 𝑛)) = (√‘(2 · 𝑘)))
21		oveq1 7427	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 / e) = (𝑘 / e))
22		id 23	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → 𝑛 = 𝑘)
23	21, 22	oveq12d 7438	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝑛 / e)↑𝑛) = ((𝑘 / e)↑𝑘))
24	20, 23	oveq12d 7438	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) = ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘)))
25	18, 24	oveq12d 7438	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) = ((!‘𝑘) / ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘))))
26	25	cbvmptv 5209	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑘) / ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘))))
27	17, 26	eqtri 2784	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑘) / ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘))))
28	27	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) → 𝐴 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑘) / ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘)))))
29		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 = 𝑁) → 𝑘 = 𝑁)
30	29	fveq2d 6889	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 = 𝑁) → (!‘𝑘) = (!‘𝑁))
31	29	oveq2d 7436	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 = 𝑁) → (2 · 𝑘) = (2 · 𝑁))
32	31	fveq2d 6889	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 = 𝑁) → (√‘(2 · 𝑘)) = (√‘(2 · 𝑁)))
33	29	oveq1d 7435	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 = 𝑁) → (𝑘 / e) = (𝑁 / e))
34	33, 29	oveq12d 7438	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 = 𝑁) → ((𝑘 / e)↑𝑘) = ((𝑁 / e)↑𝑁))
35	32, 34	oveq12d 7438	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 = 𝑁) → ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘)) = ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁)))
36	30, 35	oveq12d 7438	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 = 𝑁) → ((!‘𝑘) / ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘))) = ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))))
37		simpl 488	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) → 𝑁 ∈ ℕ)
38		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) → ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+)
39	28, 36, 37, 38	fvmptd 7001	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) → (𝐴‘𝑁) = ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))))
40	16, 39	mpdan 700	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐴‘𝑁) = ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))))
41	40, 16	eqeltrd 2861	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐴‘𝑁) ∈ ℝ+)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   · cmul 11205   / cdiv 11973  ℕcn 12335  2c2 12397  ℕ₀cn0 12606  ℝ⁺crp 13120  ↑cexp 14204  !cfa 14417  √csqrt 15400  eceu 16228

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-inf2 9642  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-pm 8850  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9504  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-q 13076  df-rp 13121  df-ico 13482  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-fl 13932  df-seq 14145  df-exp 14205  df-fac 14418  df-bc 14447  df-hash 14475  df-shft 15220  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-limsup 15638  df-clim 15655  df-rlim 15656  df-sum 15854  df-ef 16233  df-e 16234

This theorem is used by:  stirlinglem4  47086  stirlinglem11  47093  stirlinglem12  47094  stirlinglem13  47095  stirlinglem14  47096