Theorem stirlinglem2 46809

Description: 𝐴 maps to positive reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
stirlinglem2.1	⊢ 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))

Assertion

Ref	Expression
stirlinglem2	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐴‘𝑁) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem stirlinglem2

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnn0 12506	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		faccl 14315	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
3		nnrp 13023	. . . . 5 ⊢ ((!‘𝑁) ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℝ+)
4	1, 2, 3	3syl 19	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℝ+)
5		2rp 13016	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ+
6	5	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ+)
7		nnrp 13023	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
8	6, 7	rpmulcld 13071	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℝ+)
9	8	rpsqrtcld 15459	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ+)
10		epr 16259	. . . . . . . 8 ⊢ e ∈ ℝ+
11	10	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → e ∈ ℝ+)
12	7, 11	rpdivcld 13072	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 / e) ∈ ℝ+)
13		nnz 12607	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
14	12, 13	rpexpcld 14279	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 / e)↑𝑁) ∈ ℝ+)
15	9, 14	rpmulcld 13071	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁)) ∈ ℝ+)
16	4, 15	rpdivcld 13072	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+)
17		stirlinglem2.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
18		fveq2 6881	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (!‘𝑛) = (!‘𝑘))
19		oveq2 7418	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑘))
20	19	fveq2d 6885	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (√‘(2 · 𝑛)) = (√‘(2 · 𝑘)))
21		oveq1 7417	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 / e) = (𝑘 / e))
22		id 23	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → 𝑛 = 𝑘)
23	21, 22	oveq12d 7428	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝑛 / e)↑𝑛) = ((𝑘 / e)↑𝑘))
24	20, 23	oveq12d 7428	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) = ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘)))
25	18, 24	oveq12d 7428	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) = ((!‘𝑘) / ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘))))
26	25	cbvmptv 5215	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑘) / ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘))))
27	17, 26	eqtri 2786	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑘) / ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘))))
28	27	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) → 𝐴 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑘) / ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘)))))
29		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 = 𝑁) → 𝑘 = 𝑁)
30	29	fveq2d 6885	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 = 𝑁) → (!‘𝑘) = (!‘𝑁))
31	29	oveq2d 7426	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 = 𝑁) → (2 · 𝑘) = (2 · 𝑁))
32	31	fveq2d 6885	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 = 𝑁) → (√‘(2 · 𝑘)) = (√‘(2 · 𝑁)))
33	29	oveq1d 7425	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 = 𝑁) → (𝑘 / e) = (𝑁 / e))
34	33, 29	oveq12d 7428	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 = 𝑁) → ((𝑘 / e)↑𝑘) = ((𝑁 / e)↑𝑁))
35	32, 34	oveq12d 7428	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 = 𝑁) → ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘)) = ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁)))
36	30, 35	oveq12d 7428	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 = 𝑁) → ((!‘𝑘) / ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘))) = ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))))
37		simpl 487	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) → 𝑁 ∈ ℕ)
38		simpr 489	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) → ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+)
39	28, 36, 37, 38	fvmptd 6997	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) → (𝐴‘𝑁) = ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))))
40	16, 39	mpdan 699	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐴‘𝑁) = ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))))
41	40, 16	eqeltrd 2863	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐴‘𝑁) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ↦ cmpt 5192  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   · cmul 11100   / cdiv 11866  ℕcn 12228  2c2 12290  ℕ₀cn0 12499  ℝ⁺crp 13011  ↑cexp 14093  !cfa 14305  √csqrt 15280  eceu 16111

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9606  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-inf 9399  df-oi 9468  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-q 12968  df-rp 13012  df-ico 13373  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-fl 13821  df-seq 14034  df-exp 14094  df-fac 14306  df-bc 14335  df-hash 14363  df-shft 15100  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-limsup 15518  df-clim 15535  df-rlim 15536  df-sum 15734  df-ef 16116  df-e 16117

This theorem is referenced by:  stirlinglem4  46811  stirlinglem11  46818  stirlinglem12  46819  stirlinglem13  46820  stirlinglem14  46821