Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stirlinglem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stirlinglem2 45696
Description: 𝐴 maps to positive reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
stirlinglem2.1 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
Assertion
Ref Expression
stirlinglem2 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐴𝑁) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem stirlinglem2
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnnn0 12531 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
2 faccl 14300 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
3 nnrp 13039 . . . . 5 ((!‘𝑁) ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℝ+)
41, 2, 33syl 18 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℝ+)
5 2rp 13033 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ+
65a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ+)
7 nnrp 13039 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
86, 7rpmulcld 13086 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℝ+)
98rpsqrtcld 15416 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ+)
10 epr 16210 . . . . . . . 8 e ∈ ℝ+
1110a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → e ∈ ℝ+)
127, 11rpdivcld 13087 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 / e) ∈ ℝ+)
13 nnz 12631 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
1412, 13rpexpcld 14264 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 / e)↑𝑁) ∈ ℝ+)
159, 14rpmulcld 13086 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁)) ∈ ℝ+)
164, 15rpdivcld 13087 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+)
17 stirlinglem2.1 . . . . . 6 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
18 fveq2 6901 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑘 → (!‘𝑛) = (!‘𝑘))
19 oveq2 7432 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑘 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑘))
2019fveq2d 6905 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑘 → (√‘(2 · 𝑛)) = (√‘(2 · 𝑘)))
21 oveq1 7431 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 / e) = (𝑘 / e))
22 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑘𝑛 = 𝑘)
2321, 22oveq12d 7442 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑘 → ((𝑛 / e)↑𝑛) = ((𝑘 / e)↑𝑘))
2420, 23oveq12d 7442 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑘 → ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) = ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘)))
2518, 24oveq12d 7442 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑘 → ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) = ((!‘𝑘) / ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘))))
2625cbvmptv 5266 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑘) / ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘))))
2717, 26eqtri 2754 . . . . 5 𝐴 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑘) / ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘))))
2827a1i 11 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) → 𝐴 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑘) / ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘)))))
29 simpr 483 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 = 𝑁) → 𝑘 = 𝑁)
3029fveq2d 6905 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 = 𝑁) → (!‘𝑘) = (!‘𝑁))
3129oveq2d 7440 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 = 𝑁) → (2 · 𝑘) = (2 · 𝑁))
3231fveq2d 6905 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 = 𝑁) → (√‘(2 · 𝑘)) = (√‘(2 · 𝑁)))
3329oveq1d 7439 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 = 𝑁) → (𝑘 / e) = (𝑁 / e))
3433, 29oveq12d 7442 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 = 𝑁) → ((𝑘 / e)↑𝑘) = ((𝑁 / e)↑𝑁))
3532, 34oveq12d 7442 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 = 𝑁) → ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘)) = ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁)))
3630, 35oveq12d 7442 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 = 𝑁) → ((!‘𝑘) / ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘))) = ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))))
37 simpl 481 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) → 𝑁 ∈ ℕ)
38 simpr 483 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) → ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+)
3928, 36, 37, 38fvmptd 7016 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) → (𝐴𝑁) = ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))))
4016, 39mpdan 685 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐴𝑁) = ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))))
4140, 16eqeltrd 2826 1 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐴𝑁) ∈ ℝ+)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099  cmpt 5236  cfv 6554  (class class class)co 7424   · cmul 11163   / cdiv 11921  cn 12264  2c2 12319  0cn0 12524  +crp 13028  cexp 14081  !cfa 14290  csqrt 15238  eceu 16064
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9684  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-pre-sup 11236
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-isom 6563  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-er 8734  df-pm 8858  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-sup 9485  df-inf 9486  df-oi 9553  df-card 9982  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-n0 12525  df-z 12611  df-uz 12875  df-q 12985  df-rp 13029  df-ico 13384  df-fz 13539  df-fzo 13682  df-fl 13812  df-seq 14022  df-exp 14082  df-fac 14291  df-bc 14320  df-hash 14348  df-shft 15072  df-cj 15104  df-re 15105  df-im 15106  df-sqrt 15240  df-abs 15241  df-limsup 15473  df-clim 15490  df-rlim 15491  df-sum 15691  df-ef 16069  df-e 16070
This theorem is referenced by:  stirlinglem4  45698  stirlinglem11  45705  stirlinglem12  45706  stirlinglem13  45707  stirlinglem14  45708
  Copyright terms: Public domain W3C validator