Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stirlinglem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stirlinglem2 44402
Description: ๐ด maps to positive reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
stirlinglem2.1 ๐ด = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((!โ€˜๐‘›) / ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘›)) ยท ((๐‘› / e)โ†‘๐‘›))))
Assertion
Ref Expression
stirlinglem2 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐ดโ€˜๐‘) โˆˆ โ„+)

Proof of Theorem stirlinglem2
Dummy variable ๐‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnnn0 12425 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
2 faccl 14189 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„•)
3 nnrp 12931 . . . . 5 ((!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„• โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„+)
41, 2, 33syl 18 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„+)
5 2rp 12925 . . . . . . . 8 2 โˆˆ โ„+
65a1i 11 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ 2 โˆˆ โ„+)
7 nnrp 12931 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„+)
86, 7rpmulcld 12978 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„+)
98rpsqrtcld 15302 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)) โˆˆ โ„+)
10 epr 16095 . . . . . . . 8 e โˆˆ โ„+
1110a1i 11 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ e โˆˆ โ„+)
127, 11rpdivcld 12979 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ / e) โˆˆ โ„+)
13 nnz 12525 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
1412, 13rpexpcld 14156 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ / e)โ†‘๐‘) โˆˆ โ„+)
159, 14rpmulcld 12978 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)) ยท ((๐‘ / e)โ†‘๐‘)) โˆˆ โ„+)
164, 15rpdivcld 12979 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((!โ€˜๐‘) / ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)) ยท ((๐‘ / e)โ†‘๐‘))) โˆˆ โ„+)
17 stirlinglem2.1 . . . . . 6 ๐ด = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((!โ€˜๐‘›) / ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘›)) ยท ((๐‘› / e)โ†‘๐‘›))))
18 fveq2 6843 . . . . . . . 8 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ (!โ€˜๐‘›) = (!โ€˜๐‘˜))
19 oveq2 7366 . . . . . . . . . 10 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ (2 ยท ๐‘›) = (2 ยท ๐‘˜))
2019fveq2d 6847 . . . . . . . . 9 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ (โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘›)) = (โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘˜)))
21 oveq1 7365 . . . . . . . . . 10 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ (๐‘› / e) = (๐‘˜ / e))
22 id 22 . . . . . . . . . 10 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ ๐‘› = ๐‘˜)
2321, 22oveq12d 7376 . . . . . . . . 9 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ ((๐‘› / e)โ†‘๐‘›) = ((๐‘˜ / e)โ†‘๐‘˜))
2420, 23oveq12d 7376 . . . . . . . 8 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘›)) ยท ((๐‘› / e)โ†‘๐‘›)) = ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘˜)) ยท ((๐‘˜ / e)โ†‘๐‘˜)))
2518, 24oveq12d 7376 . . . . . . 7 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ ((!โ€˜๐‘›) / ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘›)) ยท ((๐‘› / e)โ†‘๐‘›))) = ((!โ€˜๐‘˜) / ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘˜)) ยท ((๐‘˜ / e)โ†‘๐‘˜))))
2625cbvmptv 5219 . . . . . 6 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ ((!โ€˜๐‘›) / ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘›)) ยท ((๐‘› / e)โ†‘๐‘›)))) = (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†ฆ ((!โ€˜๐‘˜) / ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘˜)) ยท ((๐‘˜ / e)โ†‘๐‘˜))))
2717, 26eqtri 2761 . . . . 5 ๐ด = (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†ฆ ((!โ€˜๐‘˜) / ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘˜)) ยท ((๐‘˜ / e)โ†‘๐‘˜))))
2827a1i 11 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((!โ€˜๐‘) / ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)) ยท ((๐‘ / e)โ†‘๐‘))) โˆˆ โ„+) โ†’ ๐ด = (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†ฆ ((!โ€˜๐‘˜) / ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘˜)) ยท ((๐‘˜ / e)โ†‘๐‘˜)))))
29 simpr 486 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((!โ€˜๐‘) / ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)) ยท ((๐‘ / e)โ†‘๐‘))) โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘˜ = ๐‘) โ†’ ๐‘˜ = ๐‘)
3029fveq2d 6847 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((!โ€˜๐‘) / ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)) ยท ((๐‘ / e)โ†‘๐‘))) โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘˜ = ๐‘) โ†’ (!โ€˜๐‘˜) = (!โ€˜๐‘))
3129oveq2d 7374 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((!โ€˜๐‘) / ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)) ยท ((๐‘ / e)โ†‘๐‘))) โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘˜ = ๐‘) โ†’ (2 ยท ๐‘˜) = (2 ยท ๐‘))
3231fveq2d 6847 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((!โ€˜๐‘) / ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)) ยท ((๐‘ / e)โ†‘๐‘))) โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘˜ = ๐‘) โ†’ (โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘˜)) = (โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)))
3329oveq1d 7373 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((!โ€˜๐‘) / ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)) ยท ((๐‘ / e)โ†‘๐‘))) โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘˜ = ๐‘) โ†’ (๐‘˜ / e) = (๐‘ / e))
3433, 29oveq12d 7376 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((!โ€˜๐‘) / ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)) ยท ((๐‘ / e)โ†‘๐‘))) โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘˜ = ๐‘) โ†’ ((๐‘˜ / e)โ†‘๐‘˜) = ((๐‘ / e)โ†‘๐‘))
3532, 34oveq12d 7376 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((!โ€˜๐‘) / ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)) ยท ((๐‘ / e)โ†‘๐‘))) โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘˜ = ๐‘) โ†’ ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘˜)) ยท ((๐‘˜ / e)โ†‘๐‘˜)) = ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)) ยท ((๐‘ / e)โ†‘๐‘)))
3630, 35oveq12d 7376 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((!โ€˜๐‘) / ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)) ยท ((๐‘ / e)โ†‘๐‘))) โˆˆ โ„+) โˆง ๐‘˜ = ๐‘) โ†’ ((!โ€˜๐‘˜) / ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘˜)) ยท ((๐‘˜ / e)โ†‘๐‘˜))) = ((!โ€˜๐‘) / ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)) ยท ((๐‘ / e)โ†‘๐‘))))
37 simpl 484 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((!โ€˜๐‘) / ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)) ยท ((๐‘ / e)โ†‘๐‘))) โˆˆ โ„+) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
38 simpr 486 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((!โ€˜๐‘) / ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)) ยท ((๐‘ / e)โ†‘๐‘))) โˆˆ โ„+) โ†’ ((!โ€˜๐‘) / ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)) ยท ((๐‘ / e)โ†‘๐‘))) โˆˆ โ„+)
3928, 36, 37, 38fvmptd 6956 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((!โ€˜๐‘) / ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)) ยท ((๐‘ / e)โ†‘๐‘))) โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ดโ€˜๐‘) = ((!โ€˜๐‘) / ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)) ยท ((๐‘ / e)โ†‘๐‘))))
4016, 39mpdan 686 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐ดโ€˜๐‘) = ((!โ€˜๐‘) / ((โˆšโ€˜(2 ยท ๐‘)) ยท ((๐‘ / e)โ†‘๐‘))))
4140, 16eqeltrd 2834 1 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐ดโ€˜๐‘) โˆˆ โ„+)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ†ฆ cmpt 5189  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   ยท cmul 11061   / cdiv 11817  โ„•cn 12158  2c2 12213  โ„•0cn0 12418  โ„+crp 12920  โ†‘cexp 13973  !cfa 14179  โˆšcsqrt 15124  eceu 15950
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-pm 8771  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-q 12879  df-rp 12921  df-ico 13276  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-fl 13703  df-seq 13913  df-exp 13974  df-fac 14180  df-bc 14209  df-hash 14237  df-shft 14958  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-limsup 15359  df-clim 15376  df-rlim 15377  df-sum 15577  df-ef 15955  df-e 15956
This theorem is referenced by:  stirlinglem4  44404  stirlinglem11  44411  stirlinglem12  44412  stirlinglem13  44413  stirlinglem14  44414
  Copyright terms: Public domain W3C validator