Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stirlinglem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stirlinglem2 42643
Description: 𝐴 maps to positive reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
stirlinglem2.1 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
Assertion
Ref Expression
stirlinglem2 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐴𝑁) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem stirlinglem2
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnnn0 11901 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
2 faccl 13648 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
3 nnrp 12397 . . . . 5 ((!‘𝑁) ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℝ+)
41, 2, 33syl 18 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℝ+)
5 2rp 12391 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ+
65a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ+)
7 nnrp 12397 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
86, 7rpmulcld 12444 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℝ+)
98rpsqrtcld 14771 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ+)
10 epr 15561 . . . . . . . 8 e ∈ ℝ+
1110a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → e ∈ ℝ+)
127, 11rpdivcld 12445 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 / e) ∈ ℝ+)
13 nnz 12001 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
1412, 13rpexpcld 13613 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 / e)↑𝑁) ∈ ℝ+)
159, 14rpmulcld 12444 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁)) ∈ ℝ+)
164, 15rpdivcld 12445 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+)
17 stirlinglem2.1 . . . . . 6 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
18 fveq2 6661 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑘 → (!‘𝑛) = (!‘𝑘))
19 oveq2 7157 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑘 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑘))
2019fveq2d 6665 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑘 → (√‘(2 · 𝑛)) = (√‘(2 · 𝑘)))
21 oveq1 7156 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 / e) = (𝑘 / e))
22 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑘𝑛 = 𝑘)
2321, 22oveq12d 7167 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑘 → ((𝑛 / e)↑𝑛) = ((𝑘 / e)↑𝑘))
2420, 23oveq12d 7167 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑘 → ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) = ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘)))
2518, 24oveq12d 7167 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑘 → ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) = ((!‘𝑘) / ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘))))
2625cbvmptv 5155 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑘) / ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘))))
2717, 26eqtri 2847 . . . . 5 𝐴 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑘) / ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘))))
2827a1i 11 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) → 𝐴 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑘) / ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘)))))
29 simpr 488 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 = 𝑁) → 𝑘 = 𝑁)
3029fveq2d 6665 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 = 𝑁) → (!‘𝑘) = (!‘𝑁))
3129oveq2d 7165 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 = 𝑁) → (2 · 𝑘) = (2 · 𝑁))
3231fveq2d 6665 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 = 𝑁) → (√‘(2 · 𝑘)) = (√‘(2 · 𝑁)))
3329oveq1d 7164 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 = 𝑁) → (𝑘 / e) = (𝑁 / e))
3433, 29oveq12d 7167 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 = 𝑁) → ((𝑘 / e)↑𝑘) = ((𝑁 / e)↑𝑁))
3532, 34oveq12d 7167 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 = 𝑁) → ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘)) = ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁)))
3630, 35oveq12d 7167 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 = 𝑁) → ((!‘𝑘) / ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘))) = ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))))
37 simpl 486 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) → 𝑁 ∈ ℕ)
38 simpr 488 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) → ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+)
3928, 36, 37, 38fvmptd 6766 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) → (𝐴𝑁) = ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))))
4016, 39mpdan 686 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐴𝑁) = ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))))
4140, 16eqeltrd 2916 1 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐴𝑁) ∈ ℝ+)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  cmpt 5132  cfv 6343  (class class class)co 7149   · cmul 10540   / cdiv 11295  cn 11634  2c2 11689  0cn0 11894  +crp 12386  cexp 13434  !cfa 13638  csqrt 14592  eceu 15416
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-inf2 9101  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612  ax-pre-sup 10613  ax-addf 10614  ax-mulf 10615
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-se 5502  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-isom 6352  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-er 8285  df-pm 8405  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-sup 8903  df-inf 8904  df-oi 8971  df-card 9365  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-div 11296  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-4 11699  df-n0 11895  df-z 11979  df-uz 12241  df-q 12346  df-rp 12387  df-ico 12741  df-fz 12895  df-fzo 13038  df-fl 13166  df-seq 13374  df-exp 13435  df-fac 13639  df-bc 13668  df-hash 13696  df-shft 14426  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-limsup 14828  df-clim 14845  df-rlim 14846  df-sum 15043  df-ef 15421  df-e 15422
This theorem is referenced by:  stirlinglem4  42645  stirlinglem11  42652  stirlinglem12  42653  stirlinglem13  42654  stirlinglem14  42655
  Copyright terms: Public domain W3C validator