Theorem stirlinglem2 43506

Description: 𝐴 maps to positive reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
stirlinglem2.1	⊢ 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))

Assertion

Ref	Expression
stirlinglem2	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐴‘𝑁) ∈ ℝ+)

Proof of Theorem stirlinglem2

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnnn0 12170	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		faccl 13925	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
3		nnrp 12670	. . . . 5 ⊢ ((!‘𝑁) ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℝ+)
4	1, 2, 3	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℝ+)
5		2rp 12664	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ+
6	5	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ+)
7		nnrp 12670	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
8	6, 7	rpmulcld 12717	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 · 𝑁) ∈ ℝ+)
9	8	rpsqrtcld 15051	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (√‘(2 · 𝑁)) ∈ ℝ+)
10		epr 15845	. . . . . . . 8 ⊢ e ∈ ℝ+
11	10	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → e ∈ ℝ+)
12	7, 11	rpdivcld 12718	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 / e) ∈ ℝ+)
13		nnz 12272	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
14	12, 13	rpexpcld 13890	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 / e)↑𝑁) ∈ ℝ+)
15	9, 14	rpmulcld 12717	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁)) ∈ ℝ+)
16	4, 15	rpdivcld 12718	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+)
17		stirlinglem2.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))))
18		fveq2 6756	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (!‘𝑛) = (!‘𝑘))
19		oveq2 7263	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑘))
20	19	fveq2d 6760	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (√‘(2 · 𝑛)) = (√‘(2 · 𝑘)))
21		oveq1 7262	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 / e) = (𝑘 / e))
22		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → 𝑛 = 𝑘)
23	21, 22	oveq12d 7273	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝑛 / e)↑𝑛) = ((𝑘 / e)↑𝑘))
24	20, 23	oveq12d 7273	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)) = ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘)))
25	18, 24	oveq12d 7273	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛))) = ((!‘𝑘) / ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘))))
26	25	cbvmptv 5183	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑛) / ((√‘(2 · 𝑛)) · ((𝑛 / e)↑𝑛)))) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑘) / ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘))))
27	17, 26	eqtri 2766	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑘) / ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘))))
28	27	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) → 𝐴 = (𝑘 ∈ ℕ ↦ ((!‘𝑘) / ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘)))))
29		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 = 𝑁) → 𝑘 = 𝑁)
30	29	fveq2d 6760	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 = 𝑁) → (!‘𝑘) = (!‘𝑁))
31	29	oveq2d 7271	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 = 𝑁) → (2 · 𝑘) = (2 · 𝑁))
32	31	fveq2d 6760	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 = 𝑁) → (√‘(2 · 𝑘)) = (√‘(2 · 𝑁)))
33	29	oveq1d 7270	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 = 𝑁) → (𝑘 / e) = (𝑁 / e))
34	33, 29	oveq12d 7273	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 = 𝑁) → ((𝑘 / e)↑𝑘) = ((𝑁 / e)↑𝑁))
35	32, 34	oveq12d 7273	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 = 𝑁) → ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘)) = ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁)))
36	30, 35	oveq12d 7273	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 = 𝑁) → ((!‘𝑘) / ((√‘(2 · 𝑘)) · ((𝑘 / e)↑𝑘))) = ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))))
37		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) → 𝑁 ∈ ℕ)
38		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) → ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+)
39	28, 36, 37, 38	fvmptd 6864	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))) ∈ ℝ+) → (𝐴‘𝑁) = ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))))
40	16, 39	mpdan 683	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐴‘𝑁) = ((!‘𝑁) / ((√‘(2 · 𝑁)) · ((𝑁 / e)↑𝑁))))
41	40, 16	eqeltrd 2839	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐴‘𝑁) ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ↦ cmpt 5153  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   · cmul 10807   / cdiv 11562  ℕcn 11903  2c2 11958  ℕ₀cn0 12163  ℝ⁺crp 12659  ↑cexp 13710  !cfa 13915  √csqrt 14872  eceu 15700

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-pm 8576  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-ico 13014  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-seq 13650  df-exp 13711  df-fac 13916  df-bc 13945  df-hash 13973  df-shft 14706  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-limsup 15108  df-clim 15125  df-rlim 15126  df-sum 15326  df-ef 15705  df-e 15706

This theorem is referenced by:  stirlinglem4  43508  stirlinglem11  43515  stirlinglem12  43516  stirlinglem13  43517  stirlinglem14  43518