MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rrxmfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrxmfval 24716
Description: The value of the Euclidean metric. Compare with rrnval 36218. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
rrxmval.1 𝑋 = { ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∣ finSupp 0}
rrxmval.d 𝐷 = (dist‘(ℝ^‘𝐼))
Assertion
Ref Expression
rrxmfval (𝐼𝑉𝐷 = (𝑓𝑋, 𝑔𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝑓 supp 0) ∪ (𝑔 supp 0))(((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2))))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑓,𝑔   𝑓,,𝑘,𝑔,𝐼   𝑓,𝑉,𝑔,,𝑘   𝑓,𝑋,𝑔,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐷(,𝑘)   𝑋()

Proof of Theorem rrxmfval
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2736 . . . . 5 (𝑓 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)), 𝑔 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)) ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2))))) = (𝑓 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)), 𝑔 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)) ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2)))))
2 fvex 6852 . . . . 5 (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2)))) ∈ V
31, 2fnmpoi 7994 . . . 4 (𝑓 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)), 𝑔 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)) ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2))))) Fn ((Base‘(ℝ^‘𝐼)) × (Base‘(ℝ^‘𝐼)))
4 rrxmval.d . . . . . 6 𝐷 = (dist‘(ℝ^‘𝐼))
5 eqid 2736 . . . . . . 7 (ℝ^‘𝐼) = (ℝ^‘𝐼)
6 eqid 2736 . . . . . . 7 (Base‘(ℝ^‘𝐼)) = (Base‘(ℝ^‘𝐼))
75, 6rrxds 24703 . . . . . 6 (𝐼𝑉 → (𝑓 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)), 𝑔 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)) ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2))))) = (dist‘(ℝ^‘𝐼)))
84, 7eqtr4id 2795 . . . . 5 (𝐼𝑉𝐷 = (𝑓 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)), 𝑔 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)) ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2))))))
9 rrxmval.1 . . . . . . 7 𝑋 = { ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∣ finSupp 0}
105, 6rrxbase 24698 . . . . . . 7 (𝐼𝑉 → (Base‘(ℝ^‘𝐼)) = { ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∣ finSupp 0})
119, 10eqtr4id 2795 . . . . . 6 (𝐼𝑉𝑋 = (Base‘(ℝ^‘𝐼)))
1211sqxpeqd 5663 . . . . 5 (𝐼𝑉 → (𝑋 × 𝑋) = ((Base‘(ℝ^‘𝐼)) × (Base‘(ℝ^‘𝐼))))
138, 12fneq12d 6594 . . . 4 (𝐼𝑉 → (𝐷 Fn (𝑋 × 𝑋) ↔ (𝑓 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)), 𝑔 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)) ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2))))) Fn ((Base‘(ℝ^‘𝐼)) × (Base‘(ℝ^‘𝐼)))))
143, 13mpbiri 257 . . 3 (𝐼𝑉𝐷 Fn (𝑋 × 𝑋))
15 fnov 7481 . . 3 (𝐷 Fn (𝑋 × 𝑋) ↔ 𝐷 = (𝑓𝑋, 𝑔𝑋 ↦ (𝑓𝐷𝑔)))
1614, 15sylib 217 . 2 (𝐼𝑉𝐷 = (𝑓𝑋, 𝑔𝑋 ↦ (𝑓𝐷𝑔)))
179, 4rrxmval 24715 . . 3 ((𝐼𝑉𝑓𝑋𝑔𝑋) → (𝑓𝐷𝑔) = (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝑓 supp 0) ∪ (𝑔 supp 0))(((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2)))
1817mpoeq3dva 7428 . 2 (𝐼𝑉 → (𝑓𝑋, 𝑔𝑋 ↦ (𝑓𝐷𝑔)) = (𝑓𝑋, 𝑔𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝑓 supp 0) ∪ (𝑔 supp 0))(((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2))))
1916, 18eqtrd 2776 1 (𝐼𝑉𝐷 = (𝑓𝑋, 𝑔𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝑓 supp 0) ∪ (𝑔 supp 0))(((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1541  wcel 2106  {crab 3405  cun 3906   class class class wbr 5103  cmpt 5186   × cxp 5629   Fn wfn 6488  cfv 6493  (class class class)co 7351  cmpo 7353   supp csupp 8084  m cmap 8723   finSupp cfsupp 9263  cr 11008  0cc0 11009  cmin 11343  2c2 12166  cexp 13921  csqrt 15072  Σcsu 15524  Basecbs 17037  distcds 17096   Σg cgsu 17276  fldcrefld 20955  ℝ^crrx 24693
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-inf2 9535  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087  ax-addf 11088  ax-mulf 11089
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-se 5587  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-of 7609  df-om 7795  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-supp 8085  df-tpos 8149  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-1o 8404  df-er 8606  df-map 8725  df-ixp 8794  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-fin 8845  df-fsupp 9264  df-sup 9336  df-oi 9404  df-card 9833  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-div 11771  df-nn 12112  df-2 12174  df-3 12175  df-4 12176  df-5 12177  df-6 12178  df-7 12179  df-8 12180  df-9 12181  df-n0 12372  df-z 12458  df-dec 12577  df-uz 12722  df-rp 12870  df-fz 13379  df-fzo 13522  df-seq 13861  df-exp 13922  df-hash 14185  df-cj 14938  df-re 14939  df-im 14940  df-sqrt 15074  df-abs 15075  df-clim 15324  df-sum 15525  df-struct 16973  df-sets 16990  df-slot 17008  df-ndx 17020  df-base 17038  df-ress 17067  df-plusg 17100  df-mulr 17101  df-starv 17102  df-sca 17103  df-vsca 17104  df-ip 17105  df-tset 17106  df-ple 17107  df-ds 17109  df-unif 17110  df-hom 17111  df-cco 17112  df-0g 17277  df-gsum 17278  df-prds 17283  df-pws 17285  df-mgm 18451  df-sgrp 18500  df-mnd 18511  df-mhm 18555  df-grp 18705  df-minusg 18706  df-sbg 18707  df-subg 18878  df-ghm 18959  df-cntz 19050  df-cmn 19517  df-abl 19518  df-mgp 19850  df-ur 19867  df-ring 19914  df-cring 19915  df-oppr 19996  df-dvdsr 20017  df-unit 20018  df-invr 20048  df-dvr 20059  df-rnghom 20093  df-drng 20134  df-field 20135  df-subrg 20167  df-staf 20251  df-srng 20252  df-lmod 20271  df-lss 20340  df-sra 20580  df-rgmod 20581  df-cnfld 20744  df-refld 20956  df-dsmm 21085  df-frlm 21100  df-nm 23884  df-tng 23886  df-tcph 24479  df-rrx 24695
This theorem is referenced by:  rrxmet  24718
  Copyright terms: Public domain W3C validator