MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rrxmfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrxmfval 23680
Description: The value of the Euclidean metric. Compare with rrnval 34583. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
rrxmval.1 𝑋 = { ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ∣ finSupp 0}
rrxmval.d 𝐷 = (dist‘(ℝ^‘𝐼))
Assertion
Ref Expression
rrxmfval (𝐼𝑉𝐷 = (𝑓𝑋, 𝑔𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝑓 supp 0) ∪ (𝑔 supp 0))(((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2))))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑓,𝑔   𝑓,,𝑘,𝑔,𝐼   𝑓,𝑉,𝑔,,𝑘   𝑓,𝑋,𝑔,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐷(,𝑘)   𝑋()

Proof of Theorem rrxmfval
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2793 . . . . 5 (𝑓 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)), 𝑔 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)) ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2))))) = (𝑓 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)), 𝑔 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)) ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2)))))
2 fvex 6543 . . . . 5 (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2)))) ∈ V
31, 2fnmpoi 7615 . . . 4 (𝑓 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)), 𝑔 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)) ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2))))) Fn ((Base‘(ℝ^‘𝐼)) × (Base‘(ℝ^‘𝐼)))
4 eqid 2793 . . . . . . 7 (ℝ^‘𝐼) = (ℝ^‘𝐼)
5 eqid 2793 . . . . . . 7 (Base‘(ℝ^‘𝐼)) = (Base‘(ℝ^‘𝐼))
64, 5rrxds 23667 . . . . . 6 (𝐼𝑉 → (𝑓 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)), 𝑔 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)) ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2))))) = (dist‘(ℝ^‘𝐼)))
7 rrxmval.d . . . . . 6 𝐷 = (dist‘(ℝ^‘𝐼))
86, 7syl6reqr 2848 . . . . 5 (𝐼𝑉𝐷 = (𝑓 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)), 𝑔 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)) ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2))))))
94, 5rrxbase 23662 . . . . . . 7 (𝐼𝑉 → (Base‘(ℝ^‘𝐼)) = { ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ∣ finSupp 0})
10 rrxmval.1 . . . . . . 7 𝑋 = { ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ∣ finSupp 0}
119, 10syl6reqr 2848 . . . . . 6 (𝐼𝑉𝑋 = (Base‘(ℝ^‘𝐼)))
1211sqxpeqd 5467 . . . . 5 (𝐼𝑉 → (𝑋 × 𝑋) = ((Base‘(ℝ^‘𝐼)) × (Base‘(ℝ^‘𝐼))))
138, 12fneq12d 6310 . . . 4 (𝐼𝑉 → (𝐷 Fn (𝑋 × 𝑋) ↔ (𝑓 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)), 𝑔 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)) ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2))))) Fn ((Base‘(ℝ^‘𝐼)) × (Base‘(ℝ^‘𝐼)))))
143, 13mpbiri 259 . . 3 (𝐼𝑉𝐷 Fn (𝑋 × 𝑋))
15 fnov 7129 . . 3 (𝐷 Fn (𝑋 × 𝑋) ↔ 𝐷 = (𝑓𝑋, 𝑔𝑋 ↦ (𝑓𝐷𝑔)))
1614, 15sylib 219 . 2 (𝐼𝑉𝐷 = (𝑓𝑋, 𝑔𝑋 ↦ (𝑓𝐷𝑔)))
1710, 7rrxmval 23679 . . 3 ((𝐼𝑉𝑓𝑋𝑔𝑋) → (𝑓𝐷𝑔) = (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝑓 supp 0) ∪ (𝑔 supp 0))(((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2)))
1817mpoeq3dva 7080 . 2 (𝐼𝑉 → (𝑓𝑋, 𝑔𝑋 ↦ (𝑓𝐷𝑔)) = (𝑓𝑋, 𝑔𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝑓 supp 0) ∪ (𝑔 supp 0))(((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2))))
1916, 18eqtrd 2829 1 (𝐼𝑉𝐷 = (𝑓𝑋, 𝑔𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝑓 supp 0) ∪ (𝑔 supp 0))(((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1520  wcel 2079  {crab 3107  cun 3852   class class class wbr 4956  cmpt 5035   × cxp 5433   Fn wfn 6212  cfv 6217  (class class class)co 7007  cmpo 7009   supp csupp 7672  𝑚 cmap 8247   finSupp cfsupp 8669  cr 10371  0cc0 10372  cmin 10706  2c2 11529  cexp 13267  csqrt 14414  Σcsu 14864  Basecbs 16300  distcds 16391   Σg cgsu 16531  fldcrefld 20418  ℝ^crrx 23657
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1775  ax-4 1789  ax-5 1886  ax-6 1945  ax-7 1990  ax-8 2081  ax-9 2089  ax-10 2110  ax-11 2124  ax-12 2139  ax-13 2342  ax-ext 2767  ax-rep 5075  ax-sep 5088  ax-nul 5095  ax-pow 5150  ax-pr 5214  ax-un 7310  ax-inf2 8939  ax-cnex 10428  ax-resscn 10429  ax-1cn 10430  ax-icn 10431  ax-addcl 10432  ax-addrcl 10433  ax-mulcl 10434  ax-mulrcl 10435  ax-mulcom 10436  ax-addass 10437  ax-mulass 10438  ax-distr 10439  ax-i2m1 10440  ax-1ne0 10441  ax-1rid 10442  ax-rnegex 10443  ax-rrecex 10444  ax-cnre 10445  ax-pre-lttri 10446  ax-pre-lttrn 10447  ax-pre-ltadd 10448  ax-pre-mulgt0 10449  ax-pre-sup 10450  ax-addf 10451  ax-mulf 10452
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1079  df-3an 1080  df-tru 1523  df-fal 1533  df-ex 1760  df-nf 1764  df-sb 2041  df-mo 2574  df-eu 2610  df-clab 2774  df-cleq 2786  df-clel 2861  df-nfc 2933  df-ne 2983  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rmo 3111  df-rab 3112  df-v 3434  df-sbc 3702  df-csb 3807  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3869  df-pss 3871  df-nul 4207  df-if 4376  df-pw 4449  df-sn 4467  df-pr 4469  df-tp 4471  df-op 4473  df-uni 4740  df-int 4777  df-iun 4821  df-br 4957  df-opab 5019  df-mpt 5036  df-tr 5058  df-id 5340  df-eprel 5345  df-po 5354  df-so 5355  df-fr 5394  df-se 5395  df-we 5396  df-xp 5441  df-rel 5442  df-cnv 5443  df-co 5444  df-dm 5445  df-rn 5446  df-res 5447  df-ima 5448  df-pred 6015  df-ord 6061  df-on 6062  df-lim 6063  df-suc 6064  df-iota 6181  df-fun 6219  df-fn 6220  df-f 6221  df-f1 6222  df-fo 6223  df-f1o 6224  df-fv 6225  df-isom 6226  df-riota 6968  df-ov 7010  df-oprab 7011  df-mpo 7012  df-of 7258  df-om 7428  df-1st 7536  df-2nd 7537  df-supp 7673  df-tpos 7734  df-wrecs 7789  df-recs 7851  df-rdg 7889  df-1o 7944  df-oadd 7948  df-er 8130  df-map 8249  df-ixp 8301  df-en 8348  df-dom 8349  df-sdom 8350  df-fin 8351  df-fsupp 8670  df-sup 8742  df-oi 8810  df-card 9203  df-pnf 10512  df-mnf 10513  df-xr 10514  df-ltxr 10515  df-le 10516  df-sub 10708  df-neg 10709  df-div 11135  df-nn 11476  df-2 11537  df-3 11538  df-4 11539  df-5 11540  df-6 11541  df-7 11542  df-8 11543  df-9 11544  df-n0 11735  df-z 11819  df-dec 11937  df-uz 12083  df-rp 12229  df-fz 12732  df-fzo 12873  df-seq 13208  df-exp 13268  df-hash 13529  df-cj 14280  df-re 14281  df-im 14282  df-sqrt 14416  df-abs 14417  df-clim 14667  df-sum 14865  df-struct 16302  df-ndx 16303  df-slot 16304  df-base 16306  df-sets 16307  df-ress 16308  df-plusg 16395  df-mulr 16396  df-starv 16397  df-sca 16398  df-vsca 16399  df-ip 16400  df-tset 16401  df-ple 16402  df-ds 16404  df-unif 16405  df-hom 16406  df-cco 16407  df-0g 16532  df-gsum 16533  df-prds 16538  df-pws 16540  df-mgm 17669  df-sgrp 17711  df-mnd 17722  df-mhm 17762  df-grp 17852  df-minusg 17853  df-sbg 17854  df-subg 18018  df-ghm 18085  df-cntz 18176  df-cmn 18623  df-abl 18624  df-mgp 18918  df-ur 18930  df-ring 18977  df-cring 18978  df-oppr 19051  df-dvdsr 19069  df-unit 19070  df-invr 19100  df-dvr 19111  df-rnghom 19145  df-drng 19182  df-field 19183  df-subrg 19211  df-staf 19294  df-srng 19295  df-lmod 19314  df-lss 19382  df-sra 19622  df-rgmod 19623  df-cnfld 20216  df-refld 20419  df-dsmm 20546  df-frlm 20561  df-nm 22863  df-tng 22865  df-tcph 23444  df-rrx 23659
This theorem is referenced by:  rrxmet  23682
  Copyright terms: Public domain W3C validator