Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rrxmfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrxmfval 24020
 Description: The value of the Euclidean metric. Compare with rrnval 35284. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
rrxmval.1 𝑋 = { ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∣ finSupp 0}
rrxmval.d 𝐷 = (dist‘(ℝ^‘𝐼))
Assertion
Ref Expression
rrxmfval (𝐼𝑉𝐷 = (𝑓𝑋, 𝑔𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝑓 supp 0) ∪ (𝑔 supp 0))(((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2))))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑓,𝑔   𝑓,,𝑘,𝑔,𝐼   𝑓,𝑉,𝑔,,𝑘   𝑓,𝑋,𝑔,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐷(,𝑘)   𝑋()

Proof of Theorem rrxmfval
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2798 . . . . 5 (𝑓 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)), 𝑔 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)) ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2))))) = (𝑓 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)), 𝑔 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)) ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2)))))
2 fvex 6659 . . . . 5 (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2)))) ∈ V
31, 2fnmpoi 7753 . . . 4 (𝑓 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)), 𝑔 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)) ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2))))) Fn ((Base‘(ℝ^‘𝐼)) × (Base‘(ℝ^‘𝐼)))
4 rrxmval.d . . . . . 6 𝐷 = (dist‘(ℝ^‘𝐼))
5 eqid 2798 . . . . . . 7 (ℝ^‘𝐼) = (ℝ^‘𝐼)
6 eqid 2798 . . . . . . 7 (Base‘(ℝ^‘𝐼)) = (Base‘(ℝ^‘𝐼))
75, 6rrxds 24007 . . . . . 6 (𝐼𝑉 → (𝑓 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)), 𝑔 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)) ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2))))) = (dist‘(ℝ^‘𝐼)))
84, 7eqtr4id 2852 . . . . 5 (𝐼𝑉𝐷 = (𝑓 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)), 𝑔 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)) ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2))))))
9 rrxmval.1 . . . . . . 7 𝑋 = { ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∣ finSupp 0}
105, 6rrxbase 24002 . . . . . . 7 (𝐼𝑉 → (Base‘(ℝ^‘𝐼)) = { ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∣ finSupp 0})
119, 10eqtr4id 2852 . . . . . 6 (𝐼𝑉𝑋 = (Base‘(ℝ^‘𝐼)))
1211sqxpeqd 5552 . . . . 5 (𝐼𝑉 → (𝑋 × 𝑋) = ((Base‘(ℝ^‘𝐼)) × (Base‘(ℝ^‘𝐼))))
138, 12fneq12d 6419 . . . 4 (𝐼𝑉 → (𝐷 Fn (𝑋 × 𝑋) ↔ (𝑓 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)), 𝑔 ∈ (Base‘(ℝ^‘𝐼)) ↦ (√‘(ℝfld Σg (𝑥𝐼 ↦ (((𝑓𝑥) − (𝑔𝑥))↑2))))) Fn ((Base‘(ℝ^‘𝐼)) × (Base‘(ℝ^‘𝐼)))))
143, 13mpbiri 261 . . 3 (𝐼𝑉𝐷 Fn (𝑋 × 𝑋))
15 fnov 7263 . . 3 (𝐷 Fn (𝑋 × 𝑋) ↔ 𝐷 = (𝑓𝑋, 𝑔𝑋 ↦ (𝑓𝐷𝑔)))
1614, 15sylib 221 . 2 (𝐼𝑉𝐷 = (𝑓𝑋, 𝑔𝑋 ↦ (𝑓𝐷𝑔)))
179, 4rrxmval 24019 . . 3 ((𝐼𝑉𝑓𝑋𝑔𝑋) → (𝑓𝐷𝑔) = (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝑓 supp 0) ∪ (𝑔 supp 0))(((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2)))
1817mpoeq3dva 7211 . 2 (𝐼𝑉 → (𝑓𝑋, 𝑔𝑋 ↦ (𝑓𝐷𝑔)) = (𝑓𝑋, 𝑔𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝑓 supp 0) ∪ (𝑔 supp 0))(((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2))))
1916, 18eqtrd 2833 1 (𝐼𝑉𝐷 = (𝑓𝑋, 𝑔𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ ((𝑓 supp 0) ∪ (𝑔 supp 0))(((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  {crab 3110   ∪ cun 3879   class class class wbr 5031   ↦ cmpt 5111   × cxp 5518   Fn wfn 6320  ‘cfv 6325  (class class class)co 7136   ∈ cmpo 7138   supp csupp 7816   ↑m cmap 8392   finSupp cfsupp 8820  ℝcr 10528  0cc0 10529   − cmin 10862  2c2 11683  ↑cexp 13428  √csqrt 14587  Σcsu 15037  Basecbs 16478  distcds 16569   Σg cgsu 16709  ℝfldcrefld 20298  ℝ^crrx 23997 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-inf2 9091  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-addf 10608  ax-mulf 10609 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4840  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-se 5480  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6117  df-ord 6163  df-on 6164  df-lim 6165  df-suc 6166  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-isom 6334  df-riota 7094  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-of 7391  df-om 7564  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-supp 7817  df-tpos 7878  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-1o 8088  df-oadd 8092  df-er 8275  df-map 8394  df-ixp 8448  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-fin 8499  df-fsupp 8821  df-sup 8893  df-oi 8961  df-card 9355  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11629  df-2 11691  df-3 11692  df-4 11693  df-5 11694  df-6 11695  df-7 11696  df-8 11697  df-9 11698  df-n0 11889  df-z 11973  df-dec 12090  df-uz 12235  df-rp 12381  df-fz 12889  df-fzo 13032  df-seq 13368  df-exp 13429  df-hash 13690  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-clim 14840  df-sum 15038  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-starv 16575  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-ip 16578  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-unif 16583  df-hom 16584  df-cco 16585  df-0g 16710  df-gsum 16711  df-prds 16716  df-pws 16718  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-mhm 17951  df-grp 18101  df-minusg 18102  df-sbg 18103  df-subg 18272  df-ghm 18352  df-cntz 18443  df-cmn 18904  df-abl 18905  df-mgp 19237  df-ur 19249  df-ring 19296  df-cring 19297  df-oppr 19373  df-dvdsr 19391  df-unit 19392  df-invr 19422  df-dvr 19433  df-rnghom 19467  df-drng 19501  df-field 19502  df-subrg 19530  df-staf 19613  df-srng 19614  df-lmod 19633  df-lss 19701  df-sra 19941  df-rgmod 19942  df-cnfld 20096  df-refld 20299  df-dsmm 20426  df-frlm 20441  df-nm 23199  df-tng 23201  df-tcph 23784  df-rrx 23999 This theorem is referenced by:  rrxmet  24022
 Copyright terms: Public domain W3C validator