MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rrxmfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrxmfval 25289
Description: The value of the Euclidean metric. Compare with rrnval 37208. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
rrxmval.1 𝑋 = {β„Ž ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∣ β„Ž finSupp 0}
rrxmval.d 𝐷 = (distβ€˜(ℝ^β€˜πΌ))
Assertion
Ref Expression
rrxmfval (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 𝐷 = (𝑓 ∈ 𝑋, 𝑔 ∈ 𝑋 ↦ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ ((𝑓 supp 0) βˆͺ (𝑔 supp 0))(((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜))↑2))))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑓,𝑔   𝑓,β„Ž,π‘˜,𝑔,𝐼   𝑓,𝑉,𝑔,β„Ž,π‘˜   𝑓,𝑋,𝑔,π‘˜
Allowed substitution hints:   𝐷(β„Ž,π‘˜)   𝑋(β„Ž)

Proof of Theorem rrxmfval
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2726 . . . . 5 (𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)), 𝑔 ∈ (Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)) ↦ (βˆšβ€˜(ℝfld Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘”β€˜π‘₯))↑2))))) = (𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)), 𝑔 ∈ (Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)) ↦ (βˆšβ€˜(ℝfld Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘”β€˜π‘₯))↑2)))))
2 fvex 6898 . . . . 5 (βˆšβ€˜(ℝfld Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘”β€˜π‘₯))↑2)))) ∈ V
31, 2fnmpoi 8055 . . . 4 (𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)), 𝑔 ∈ (Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)) ↦ (βˆšβ€˜(ℝfld Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘”β€˜π‘₯))↑2))))) Fn ((Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)) Γ— (Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)))
4 rrxmval.d . . . . . 6 𝐷 = (distβ€˜(ℝ^β€˜πΌ))
5 eqid 2726 . . . . . . 7 (ℝ^β€˜πΌ) = (ℝ^β€˜πΌ)
6 eqid 2726 . . . . . . 7 (Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)) = (Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ))
75, 6rrxds 25276 . . . . . 6 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)), 𝑔 ∈ (Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)) ↦ (βˆšβ€˜(ℝfld Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘”β€˜π‘₯))↑2))))) = (distβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)))
84, 7eqtr4id 2785 . . . . 5 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 𝐷 = (𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)), 𝑔 ∈ (Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)) ↦ (βˆšβ€˜(ℝfld Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘”β€˜π‘₯))↑2))))))
9 rrxmval.1 . . . . . . 7 𝑋 = {β„Ž ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∣ β„Ž finSupp 0}
105, 6rrxbase 25271 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)) = {β„Ž ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∣ β„Ž finSupp 0})
119, 10eqtr4id 2785 . . . . . 6 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 𝑋 = (Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)))
1211sqxpeqd 5701 . . . . 5 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝑋 Γ— 𝑋) = ((Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)) Γ— (Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ))))
138, 12fneq12d 6638 . . . 4 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝐷 Fn (𝑋 Γ— 𝑋) ↔ (𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)), 𝑔 ∈ (Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)) ↦ (βˆšβ€˜(ℝfld Ξ£g (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (((π‘“β€˜π‘₯) βˆ’ (π‘”β€˜π‘₯))↑2))))) Fn ((Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)) Γ— (Baseβ€˜(ℝ^β€˜πΌ)))))
143, 13mpbiri 258 . . 3 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 𝐷 Fn (𝑋 Γ— 𝑋))
15 fnov 7536 . . 3 (𝐷 Fn (𝑋 Γ— 𝑋) ↔ 𝐷 = (𝑓 ∈ 𝑋, 𝑔 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓𝐷𝑔)))
1614, 15sylib 217 . 2 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 𝐷 = (𝑓 ∈ 𝑋, 𝑔 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓𝐷𝑔)))
179, 4rrxmval 25288 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ 𝑋 ∧ 𝑔 ∈ 𝑋) β†’ (𝑓𝐷𝑔) = (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ ((𝑓 supp 0) βˆͺ (𝑔 supp 0))(((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜))↑2)))
1817mpoeq3dva 7482 . 2 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝑓 ∈ 𝑋, 𝑔 ∈ 𝑋 ↦ (𝑓𝐷𝑔)) = (𝑓 ∈ 𝑋, 𝑔 ∈ 𝑋 ↦ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ ((𝑓 supp 0) βˆͺ (𝑔 supp 0))(((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜))↑2))))
1916, 18eqtrd 2766 1 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 𝐷 = (𝑓 ∈ 𝑋, 𝑔 ∈ 𝑋 ↦ (βˆšβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ ((𝑓 supp 0) βˆͺ (𝑔 supp 0))(((π‘“β€˜π‘˜) βˆ’ (π‘”β€˜π‘˜))↑2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3426   βˆͺ cun 3941   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224   Γ— cxp 5667   Fn wfn 6532  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   ∈ cmpo 7407   supp csupp 8146   ↑m cmap 8822   finSupp cfsupp 9363  β„cr 11111  0cc0 11112   βˆ’ cmin 11448  2c2 12271  β†‘cexp 14032  βˆšcsqrt 15186  Ξ£csu 15638  Basecbs 17153  distcds 17215   Ξ£g cgsu 17395  β„fldcrefld 21497  β„^crrx 25266
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-tpos 8212  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-sum 15639  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-prds 17402  df-pws 17404  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18713  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-subg 19050  df-ghm 19139  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-cring 20141  df-oppr 20236  df-dvdsr 20259  df-unit 20260  df-invr 20290  df-dvr 20303  df-rhm 20374  df-subrng 20446  df-subrg 20471  df-drng 20589  df-field 20590  df-staf 20688  df-srng 20689  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-sra 21021  df-rgmod 21022  df-cnfld 21241  df-refld 21498  df-dsmm 21627  df-frlm 21642  df-nm 24446  df-tng 24448  df-tcph 25052  df-rrx 25268
This theorem is referenced by:  rrxmet  25291
  Copyright terms: Public domain W3C validator