MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ehl2eudis Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ehl2eudis 25470
Description: The Euclidean distance function in a real Euclidean space of dimension 2. (Contributed by AV, 16-Jan-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
ehl2eudis.e 𝐸 = (𝔼hil‘2)
ehl2eudis.x 𝑋 = (ℝ ↑m {1, 2})
ehl2eudis.d 𝐷 = (dist‘𝐸)
Assertion
Ref Expression
ehl2eudis 𝐷 = (𝑓𝑋, 𝑔𝑋 ↦ (√‘((((𝑓‘1) − (𝑔‘1))↑2) + (((𝑓‘2) − (𝑔‘2))↑2))))
Distinct variable group:   𝑓,𝑔
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓,𝑔)   𝐸(𝑓,𝑔)   𝑋(𝑓,𝑔)

Proof of Theorem ehl2eudis
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2nn0 12541 . . 3 2 ∈ ℕ0
2 fz12pr 13618 . . . . 5 (1...2) = {1, 2}
32eqcomi 2744 . . . 4 {1, 2} = (1...2)
4 ehl2eudis.e . . . 4 𝐸 = (𝔼hil‘2)
5 ehl2eudis.x . . . 4 𝑋 = (ℝ ↑m {1, 2})
6 ehl2eudis.d . . . 4 𝐷 = (dist‘𝐸)
73, 4, 5, 6ehleudis 25466 . . 3 (2 ∈ ℕ0𝐷 = (𝑓𝑋, 𝑔𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ {1, 2} (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2))))
81, 7ax-mp 5 . 2 𝐷 = (𝑓𝑋, 𝑔𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ {1, 2} (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2)))
9 fveq2 6907 . . . . . . 7 (𝑘 = 1 → (𝑓𝑘) = (𝑓‘1))
10 fveq2 6907 . . . . . . 7 (𝑘 = 1 → (𝑔𝑘) = (𝑔‘1))
119, 10oveq12d 7449 . . . . . 6 (𝑘 = 1 → ((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘)) = ((𝑓‘1) − (𝑔‘1)))
1211oveq1d 7446 . . . . 5 (𝑘 = 1 → (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2) = (((𝑓‘1) − (𝑔‘1))↑2))
13 fveq2 6907 . . . . . . 7 (𝑘 = 2 → (𝑓𝑘) = (𝑓‘2))
14 fveq2 6907 . . . . . . 7 (𝑘 = 2 → (𝑔𝑘) = (𝑔‘2))
1513, 14oveq12d 7449 . . . . . 6 (𝑘 = 2 → ((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘)) = ((𝑓‘2) − (𝑔‘2)))
1615oveq1d 7446 . . . . 5 (𝑘 = 2 → (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2) = (((𝑓‘2) − (𝑔‘2))↑2))
175eleq2i 2831 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓𝑋𝑓 ∈ (ℝ ↑m {1, 2}))
18 reex 11244 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ ∈ V
19 prex 5443 . . . . . . . . . . . . 13 {1, 2} ∈ V
2018, 19elmap 8910 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 ∈ (ℝ ↑m {1, 2}) ↔ 𝑓:{1, 2}⟶ℝ)
2117, 20bitri 275 . . . . . . . . . . 11 (𝑓𝑋𝑓:{1, 2}⟶ℝ)
22 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:{1, 2}⟶ℝ → 𝑓:{1, 2}⟶ℝ)
23 1ex 11255 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ V
2423prid1 4767 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ {1, 2}
2524a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:{1, 2}⟶ℝ → 1 ∈ {1, 2})
2622, 25ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:{1, 2}⟶ℝ → (𝑓‘1) ∈ ℝ)
2721, 26sylbi 217 . . . . . . . . . 10 (𝑓𝑋 → (𝑓‘1) ∈ ℝ)
2827adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝑓𝑋𝑔𝑋) → (𝑓‘1) ∈ ℝ)
295eleq2i 2831 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔𝑋𝑔 ∈ (ℝ ↑m {1, 2}))
3018, 19elmap 8910 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 ∈ (ℝ ↑m {1, 2}) ↔ 𝑔:{1, 2}⟶ℝ)
3129, 30bitri 275 . . . . . . . . . . 11 (𝑔𝑋𝑔:{1, 2}⟶ℝ)
32 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔:{1, 2}⟶ℝ → 𝑔:{1, 2}⟶ℝ)
3324a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔:{1, 2}⟶ℝ → 1 ∈ {1, 2})
3432, 33ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . 11 (𝑔:{1, 2}⟶ℝ → (𝑔‘1) ∈ ℝ)
3531, 34sylbi 217 . . . . . . . . . 10 (𝑔𝑋 → (𝑔‘1) ∈ ℝ)
3635adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝑓𝑋𝑔𝑋) → (𝑔‘1) ∈ ℝ)
3728, 36resubcld 11689 . . . . . . . 8 ((𝑓𝑋𝑔𝑋) → ((𝑓‘1) − (𝑔‘1)) ∈ ℝ)
3837resqcld 14162 . . . . . . 7 ((𝑓𝑋𝑔𝑋) → (((𝑓‘1) − (𝑔‘1))↑2) ∈ ℝ)
3938recnd 11287 . . . . . 6 ((𝑓𝑋𝑔𝑋) → (((𝑓‘1) − (𝑔‘1))↑2) ∈ ℂ)
40 2ex 12341 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ V
4140prid2 4768 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ {1, 2}
4241a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:{1, 2}⟶ℝ → 2 ∈ {1, 2})
4322, 42ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:{1, 2}⟶ℝ → (𝑓‘2) ∈ ℝ)
4421, 43sylbi 217 . . . . . . . . . 10 (𝑓𝑋 → (𝑓‘2) ∈ ℝ)
4544adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝑓𝑋𝑔𝑋) → (𝑓‘2) ∈ ℝ)
4641a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔:{1, 2}⟶ℝ → 2 ∈ {1, 2})
4732, 46ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . 11 (𝑔:{1, 2}⟶ℝ → (𝑔‘2) ∈ ℝ)
4831, 47sylbi 217 . . . . . . . . . 10 (𝑔𝑋 → (𝑔‘2) ∈ ℝ)
4948adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝑓𝑋𝑔𝑋) → (𝑔‘2) ∈ ℝ)
5045, 49resubcld 11689 . . . . . . . 8 ((𝑓𝑋𝑔𝑋) → ((𝑓‘2) − (𝑔‘2)) ∈ ℝ)
5150resqcld 14162 . . . . . . 7 ((𝑓𝑋𝑔𝑋) → (((𝑓‘2) − (𝑔‘2))↑2) ∈ ℝ)
5251recnd 11287 . . . . . 6 ((𝑓𝑋𝑔𝑋) → (((𝑓‘2) − (𝑔‘2))↑2) ∈ ℂ)
5339, 52jca 511 . . . . 5 ((𝑓𝑋𝑔𝑋) → ((((𝑓‘1) − (𝑔‘1))↑2) ∈ ℂ ∧ (((𝑓‘2) − (𝑔‘2))↑2) ∈ ℂ))
5423, 40pm3.2i 470 . . . . . 6 (1 ∈ V ∧ 2 ∈ V)
5554a1i 11 . . . . 5 ((𝑓𝑋𝑔𝑋) → (1 ∈ V ∧ 2 ∈ V))
56 1ne2 12472 . . . . . 6 1 ≠ 2
5756a1i 11 . . . . 5 ((𝑓𝑋𝑔𝑋) → 1 ≠ 2)
5812, 16, 53, 55, 57sumpr 15781 . . . 4 ((𝑓𝑋𝑔𝑋) → Σ𝑘 ∈ {1, 2} (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2) = ((((𝑓‘1) − (𝑔‘1))↑2) + (((𝑓‘2) − (𝑔‘2))↑2)))
5958fveq2d 6911 . . 3 ((𝑓𝑋𝑔𝑋) → (√‘Σ𝑘 ∈ {1, 2} (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2)) = (√‘((((𝑓‘1) − (𝑔‘1))↑2) + (((𝑓‘2) − (𝑔‘2))↑2))))
6059mpoeq3ia 7511 . 2 (𝑓𝑋, 𝑔𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ {1, 2} (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2))) = (𝑓𝑋, 𝑔𝑋 ↦ (√‘((((𝑓‘1) − (𝑔‘1))↑2) + (((𝑓‘2) − (𝑔‘2))↑2))))
618, 60eqtri 2763 1 𝐷 = (𝑓𝑋, 𝑔𝑋 ↦ (√‘((((𝑓‘1) − (𝑔‘1))↑2) + (((𝑓‘2) − (𝑔‘2))↑2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  Vcvv 3478  {cpr 4633  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  cmpo 7433  m cmap 8865  cc 11151  cr 11152  1c1 11154   + caddc 11156  cmin 11490  2c2 12319  0cn0 12524  ...cfz 13544  cexp 14099  csqrt 15269  Σcsu 15719  distcds 17307  𝔼hilcehl 25432
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232  ax-mulf 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-sum 15720  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-prds 17494  df-pws 17496  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-subg 19154  df-ghm 19244  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-cring 20254  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-dvr 20418  df-rhm 20489  df-subrng 20563  df-subrg 20587  df-drng 20748  df-field 20749  df-staf 20857  df-srng 20858  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-sra 21190  df-rgmod 21191  df-cnfld 21383  df-refld 21641  df-dsmm 21770  df-frlm 21785  df-nm 24611  df-tng 24613  df-tcph 25217  df-rrx 25433  df-ehl 25434
This theorem is referenced by:  ehl2eudisval  25471
  Copyright terms: Public domain W3C validator