MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ehl2eudis Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ehl2eudis 25441
Description: The Euclidean distance function in a real Euclidean space of dimension 2. (Contributed by AV, 16-Jan-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
ehl2eudis.e 𝐸 = (𝔼hil‘2)
ehl2eudis.x 𝑋 = (ℝ ↑m {1, 2})
ehl2eudis.d 𝐷 = (dist‘𝐸)
Assertion
Ref Expression
ehl2eudis 𝐷 = (𝑓𝑋, 𝑔𝑋 ↦ (√‘((((𝑓‘1) − (𝑔‘1))↑2) + (((𝑓‘2) − (𝑔‘2))↑2))))
Distinct variable group:   𝑓,𝑔
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓,𝑔)   𝐸(𝑓,𝑔)   𝑋(𝑓,𝑔)

Proof of Theorem ehl2eudis
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2nn0 12541 . . 3 2 ∈ ℕ0
2 fz12pr 13612 . . . . 5 (1...2) = {1, 2}
32eqcomi 2735 . . . 4 {1, 2} = (1...2)
4 ehl2eudis.e . . . 4 𝐸 = (𝔼hil‘2)
5 ehl2eudis.x . . . 4 𝑋 = (ℝ ↑m {1, 2})
6 ehl2eudis.d . . . 4 𝐷 = (dist‘𝐸)
73, 4, 5, 6ehleudis 25437 . . 3 (2 ∈ ℕ0𝐷 = (𝑓𝑋, 𝑔𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ {1, 2} (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2))))
81, 7ax-mp 5 . 2 𝐷 = (𝑓𝑋, 𝑔𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ {1, 2} (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2)))
9 fveq2 6901 . . . . . . 7 (𝑘 = 1 → (𝑓𝑘) = (𝑓‘1))
10 fveq2 6901 . . . . . . 7 (𝑘 = 1 → (𝑔𝑘) = (𝑔‘1))
119, 10oveq12d 7442 . . . . . 6 (𝑘 = 1 → ((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘)) = ((𝑓‘1) − (𝑔‘1)))
1211oveq1d 7439 . . . . 5 (𝑘 = 1 → (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2) = (((𝑓‘1) − (𝑔‘1))↑2))
13 fveq2 6901 . . . . . . 7 (𝑘 = 2 → (𝑓𝑘) = (𝑓‘2))
14 fveq2 6901 . . . . . . 7 (𝑘 = 2 → (𝑔𝑘) = (𝑔‘2))
1513, 14oveq12d 7442 . . . . . 6 (𝑘 = 2 → ((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘)) = ((𝑓‘2) − (𝑔‘2)))
1615oveq1d 7439 . . . . 5 (𝑘 = 2 → (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2) = (((𝑓‘2) − (𝑔‘2))↑2))
175eleq2i 2818 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓𝑋𝑓 ∈ (ℝ ↑m {1, 2}))
18 reex 11249 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ ∈ V
19 prex 5438 . . . . . . . . . . . . 13 {1, 2} ∈ V
2018, 19elmap 8900 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 ∈ (ℝ ↑m {1, 2}) ↔ 𝑓:{1, 2}⟶ℝ)
2117, 20bitri 274 . . . . . . . . . . 11 (𝑓𝑋𝑓:{1, 2}⟶ℝ)
22 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:{1, 2}⟶ℝ → 𝑓:{1, 2}⟶ℝ)
23 1ex 11260 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ V
2423prid1 4771 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ {1, 2}
2524a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:{1, 2}⟶ℝ → 1 ∈ {1, 2})
2622, 25ffvelcdmd 7099 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:{1, 2}⟶ℝ → (𝑓‘1) ∈ ℝ)
2721, 26sylbi 216 . . . . . . . . . 10 (𝑓𝑋 → (𝑓‘1) ∈ ℝ)
2827adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝑓𝑋𝑔𝑋) → (𝑓‘1) ∈ ℝ)
295eleq2i 2818 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔𝑋𝑔 ∈ (ℝ ↑m {1, 2}))
3018, 19elmap 8900 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 ∈ (ℝ ↑m {1, 2}) ↔ 𝑔:{1, 2}⟶ℝ)
3129, 30bitri 274 . . . . . . . . . . 11 (𝑔𝑋𝑔:{1, 2}⟶ℝ)
32 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔:{1, 2}⟶ℝ → 𝑔:{1, 2}⟶ℝ)
3324a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔:{1, 2}⟶ℝ → 1 ∈ {1, 2})
3432, 33ffvelcdmd 7099 . . . . . . . . . . 11 (𝑔:{1, 2}⟶ℝ → (𝑔‘1) ∈ ℝ)
3531, 34sylbi 216 . . . . . . . . . 10 (𝑔𝑋 → (𝑔‘1) ∈ ℝ)
3635adantl 480 . . . . . . . . 9 ((𝑓𝑋𝑔𝑋) → (𝑔‘1) ∈ ℝ)
3728, 36resubcld 11692 . . . . . . . 8 ((𝑓𝑋𝑔𝑋) → ((𝑓‘1) − (𝑔‘1)) ∈ ℝ)
3837resqcld 14144 . . . . . . 7 ((𝑓𝑋𝑔𝑋) → (((𝑓‘1) − (𝑔‘1))↑2) ∈ ℝ)
3938recnd 11292 . . . . . 6 ((𝑓𝑋𝑔𝑋) → (((𝑓‘1) − (𝑔‘1))↑2) ∈ ℂ)
40 2ex 12341 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ V
4140prid2 4772 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ {1, 2}
4241a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:{1, 2}⟶ℝ → 2 ∈ {1, 2})
4322, 42ffvelcdmd 7099 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:{1, 2}⟶ℝ → (𝑓‘2) ∈ ℝ)
4421, 43sylbi 216 . . . . . . . . . 10 (𝑓𝑋 → (𝑓‘2) ∈ ℝ)
4544adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝑓𝑋𝑔𝑋) → (𝑓‘2) ∈ ℝ)
4641a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔:{1, 2}⟶ℝ → 2 ∈ {1, 2})
4732, 46ffvelcdmd 7099 . . . . . . . . . . 11 (𝑔:{1, 2}⟶ℝ → (𝑔‘2) ∈ ℝ)
4831, 47sylbi 216 . . . . . . . . . 10 (𝑔𝑋 → (𝑔‘2) ∈ ℝ)
4948adantl 480 . . . . . . . . 9 ((𝑓𝑋𝑔𝑋) → (𝑔‘2) ∈ ℝ)
5045, 49resubcld 11692 . . . . . . . 8 ((𝑓𝑋𝑔𝑋) → ((𝑓‘2) − (𝑔‘2)) ∈ ℝ)
5150resqcld 14144 . . . . . . 7 ((𝑓𝑋𝑔𝑋) → (((𝑓‘2) − (𝑔‘2))↑2) ∈ ℝ)
5251recnd 11292 . . . . . 6 ((𝑓𝑋𝑔𝑋) → (((𝑓‘2) − (𝑔‘2))↑2) ∈ ℂ)
5339, 52jca 510 . . . . 5 ((𝑓𝑋𝑔𝑋) → ((((𝑓‘1) − (𝑔‘1))↑2) ∈ ℂ ∧ (((𝑓‘2) − (𝑔‘2))↑2) ∈ ℂ))
5423, 40pm3.2i 469 . . . . . 6 (1 ∈ V ∧ 2 ∈ V)
5554a1i 11 . . . . 5 ((𝑓𝑋𝑔𝑋) → (1 ∈ V ∧ 2 ∈ V))
56 1ne2 12472 . . . . . 6 1 ≠ 2
5756a1i 11 . . . . 5 ((𝑓𝑋𝑔𝑋) → 1 ≠ 2)
5812, 16, 53, 55, 57sumpr 15752 . . . 4 ((𝑓𝑋𝑔𝑋) → Σ𝑘 ∈ {1, 2} (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2) = ((((𝑓‘1) − (𝑔‘1))↑2) + (((𝑓‘2) − (𝑔‘2))↑2)))
5958fveq2d 6905 . . 3 ((𝑓𝑋𝑔𝑋) → (√‘Σ𝑘 ∈ {1, 2} (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2)) = (√‘((((𝑓‘1) − (𝑔‘1))↑2) + (((𝑓‘2) − (𝑔‘2))↑2))))
6059mpoeq3ia 7503 . 2 (𝑓𝑋, 𝑔𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ {1, 2} (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2))) = (𝑓𝑋, 𝑔𝑋 ↦ (√‘((((𝑓‘1) − (𝑔‘1))↑2) + (((𝑓‘2) − (𝑔‘2))↑2))))
618, 60eqtri 2754 1 𝐷 = (𝑓𝑋, 𝑔𝑋 ↦ (√‘((((𝑓‘1) − (𝑔‘1))↑2) + (((𝑓‘2) − (𝑔‘2))↑2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2930  Vcvv 3462  {cpr 4635  wf 6550  cfv 6554  (class class class)co 7424  cmpo 7426  m cmap 8855  cc 11156  cr 11157  1c1 11159   + caddc 11161  cmin 11494  2c2 12319  0cn0 12524  ...cfz 13538  cexp 14081  csqrt 15238  Σcsu 15690  distcds 17275  𝔼hilcehl 25403
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9684  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-pre-sup 11236  ax-addf 11237  ax-mulf 11238
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-tp 4638  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-isom 6563  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7690  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-supp 8175  df-tpos 8241  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-2o 8497  df-er 8734  df-map 8857  df-ixp 8927  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-fsupp 9406  df-sup 9485  df-oi 9553  df-card 9982  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12611  df-dec 12730  df-uz 12875  df-rp 13029  df-fz 13539  df-fzo 13682  df-seq 14022  df-exp 14082  df-hash 14348  df-cj 15104  df-re 15105  df-im 15106  df-sqrt 15240  df-abs 15241  df-clim 15490  df-sum 15691  df-struct 17149  df-sets 17166  df-slot 17184  df-ndx 17196  df-base 17214  df-ress 17243  df-plusg 17279  df-mulr 17280  df-starv 17281  df-sca 17282  df-vsca 17283  df-ip 17284  df-tset 17285  df-ple 17286  df-ds 17288  df-unif 17289  df-hom 17290  df-cco 17291  df-0g 17456  df-gsum 17457  df-prds 17462  df-pws 17464  df-mgm 18633  df-sgrp 18712  df-mnd 18728  df-mhm 18773  df-grp 18931  df-minusg 18932  df-sbg 18933  df-subg 19117  df-ghm 19207  df-cntz 19311  df-cmn 19780  df-abl 19781  df-mgp 20118  df-rng 20136  df-ur 20165  df-ring 20218  df-cring 20219  df-oppr 20316  df-dvdsr 20339  df-unit 20340  df-invr 20370  df-dvr 20383  df-rhm 20454  df-subrng 20528  df-subrg 20553  df-drng 20709  df-field 20710  df-staf 20818  df-srng 20819  df-lmod 20838  df-lss 20909  df-sra 21151  df-rgmod 21152  df-cnfld 21344  df-refld 21601  df-dsmm 21730  df-frlm 21745  df-nm 24582  df-tng 24584  df-tcph 25188  df-rrx 25404  df-ehl 25405
This theorem is referenced by:  ehl2eudisval  25442
  Copyright terms: Public domain W3C validator