MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ehl2eudis Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ehl2eudis 23639
Description: The Euclidean distance function in a real Euclidean space of dimension 2. (Contributed by AV, 16-Jan-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
ehl2eudis.e 𝐸 = (𝔼hil‘2)
ehl2eudis.x 𝑋 = (ℝ ↑𝑚 {1, 2})
ehl2eudis.d 𝐷 = (dist‘𝐸)
Assertion
Ref Expression
ehl2eudis 𝐷 = (𝑓𝑋, 𝑔𝑋 ↦ (√‘((((𝑓‘1) − (𝑔‘1))↑2) + (((𝑓‘2) − (𝑔‘2))↑2))))
Distinct variable group:   𝑓,𝑔
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓,𝑔)   𝐸(𝑓,𝑔)   𝑋(𝑓,𝑔)

Proof of Theorem ehl2eudis
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2nn0 11666 . . 3 2 ∈ ℕ0
2 fz12pr 12720 . . . . 5 (1...2) = {1, 2}
32eqcomi 2787 . . . 4 {1, 2} = (1...2)
4 ehl2eudis.e . . . 4 𝐸 = (𝔼hil‘2)
5 ehl2eudis.x . . . 4 𝑋 = (ℝ ↑𝑚 {1, 2})
6 ehl2eudis.d . . . 4 𝐷 = (dist‘𝐸)
73, 4, 5, 6ehleudis 23635 . . 3 (2 ∈ ℕ0𝐷 = (𝑓𝑋, 𝑔𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ {1, 2} (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2))))
81, 7ax-mp 5 . 2 𝐷 = (𝑓𝑋, 𝑔𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ {1, 2} (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2)))
9 fveq2 6448 . . . . . . 7 (𝑘 = 1 → (𝑓𝑘) = (𝑓‘1))
10 fveq2 6448 . . . . . . 7 (𝑘 = 1 → (𝑔𝑘) = (𝑔‘1))
119, 10oveq12d 6942 . . . . . 6 (𝑘 = 1 → ((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘)) = ((𝑓‘1) − (𝑔‘1)))
1211oveq1d 6939 . . . . 5 (𝑘 = 1 → (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2) = (((𝑓‘1) − (𝑔‘1))↑2))
13 fveq2 6448 . . . . . . 7 (𝑘 = 2 → (𝑓𝑘) = (𝑓‘2))
14 fveq2 6448 . . . . . . 7 (𝑘 = 2 → (𝑔𝑘) = (𝑔‘2))
1513, 14oveq12d 6942 . . . . . 6 (𝑘 = 2 → ((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘)) = ((𝑓‘2) − (𝑔‘2)))
1615oveq1d 6939 . . . . 5 (𝑘 = 2 → (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2) = (((𝑓‘2) − (𝑔‘2))↑2))
175eleq2i 2851 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓𝑋𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 {1, 2}))
18 reex 10365 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ ∈ V
19 prex 5143 . . . . . . . . . . . . 13 {1, 2} ∈ V
2018, 19elmap 8171 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 ∈ (ℝ ↑𝑚 {1, 2}) ↔ 𝑓:{1, 2}⟶ℝ)
2117, 20bitri 267 . . . . . . . . . . 11 (𝑓𝑋𝑓:{1, 2}⟶ℝ)
22 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:{1, 2}⟶ℝ → 𝑓:{1, 2}⟶ℝ)
23 1ex 10374 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ V
2423prid1 4529 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ {1, 2}
2524a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:{1, 2}⟶ℝ → 1 ∈ {1, 2})
2622, 25ffvelrnd 6626 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:{1, 2}⟶ℝ → (𝑓‘1) ∈ ℝ)
2721, 26sylbi 209 . . . . . . . . . 10 (𝑓𝑋 → (𝑓‘1) ∈ ℝ)
2827adantr 474 . . . . . . . . 9 ((𝑓𝑋𝑔𝑋) → (𝑓‘1) ∈ ℝ)
295eleq2i 2851 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔𝑋𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 {1, 2}))
3018, 19elmap 8171 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 ∈ (ℝ ↑𝑚 {1, 2}) ↔ 𝑔:{1, 2}⟶ℝ)
3129, 30bitri 267 . . . . . . . . . . 11 (𝑔𝑋𝑔:{1, 2}⟶ℝ)
32 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔:{1, 2}⟶ℝ → 𝑔:{1, 2}⟶ℝ)
3324a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔:{1, 2}⟶ℝ → 1 ∈ {1, 2})
3432, 33ffvelrnd 6626 . . . . . . . . . . 11 (𝑔:{1, 2}⟶ℝ → (𝑔‘1) ∈ ℝ)
3531, 34sylbi 209 . . . . . . . . . 10 (𝑔𝑋 → (𝑔‘1) ∈ ℝ)
3635adantl 475 . . . . . . . . 9 ((𝑓𝑋𝑔𝑋) → (𝑔‘1) ∈ ℝ)
3728, 36resubcld 10806 . . . . . . . 8 ((𝑓𝑋𝑔𝑋) → ((𝑓‘1) − (𝑔‘1)) ∈ ℝ)
3837resqcld 13362 . . . . . . 7 ((𝑓𝑋𝑔𝑋) → (((𝑓‘1) − (𝑔‘1))↑2) ∈ ℝ)
3938recnd 10407 . . . . . 6 ((𝑓𝑋𝑔𝑋) → (((𝑓‘1) − (𝑔‘1))↑2) ∈ ℂ)
40 2ex 11457 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ V
4140prid2 4530 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ {1, 2}
4241a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:{1, 2}⟶ℝ → 2 ∈ {1, 2})
4322, 42ffvelrnd 6626 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:{1, 2}⟶ℝ → (𝑓‘2) ∈ ℝ)
4421, 43sylbi 209 . . . . . . . . . 10 (𝑓𝑋 → (𝑓‘2) ∈ ℝ)
4544adantr 474 . . . . . . . . 9 ((𝑓𝑋𝑔𝑋) → (𝑓‘2) ∈ ℝ)
4641a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔:{1, 2}⟶ℝ → 2 ∈ {1, 2})
4732, 46ffvelrnd 6626 . . . . . . . . . . 11 (𝑔:{1, 2}⟶ℝ → (𝑔‘2) ∈ ℝ)
4831, 47sylbi 209 . . . . . . . . . 10 (𝑔𝑋 → (𝑔‘2) ∈ ℝ)
4948adantl 475 . . . . . . . . 9 ((𝑓𝑋𝑔𝑋) → (𝑔‘2) ∈ ℝ)
5045, 49resubcld 10806 . . . . . . . 8 ((𝑓𝑋𝑔𝑋) → ((𝑓‘2) − (𝑔‘2)) ∈ ℝ)
5150resqcld 13362 . . . . . . 7 ((𝑓𝑋𝑔𝑋) → (((𝑓‘2) − (𝑔‘2))↑2) ∈ ℝ)
5251recnd 10407 . . . . . 6 ((𝑓𝑋𝑔𝑋) → (((𝑓‘2) − (𝑔‘2))↑2) ∈ ℂ)
5339, 52jca 507 . . . . 5 ((𝑓𝑋𝑔𝑋) → ((((𝑓‘1) − (𝑔‘1))↑2) ∈ ℂ ∧ (((𝑓‘2) − (𝑔‘2))↑2) ∈ ℂ))
5423, 40pm3.2i 464 . . . . . 6 (1 ∈ V ∧ 2 ∈ V)
5554a1i 11 . . . . 5 ((𝑓𝑋𝑔𝑋) → (1 ∈ V ∧ 2 ∈ V))
56 1ne2 11595 . . . . . 6 1 ≠ 2
5756a1i 11 . . . . 5 ((𝑓𝑋𝑔𝑋) → 1 ≠ 2)
5812, 16, 53, 55, 57sumpr 14893 . . . 4 ((𝑓𝑋𝑔𝑋) → Σ𝑘 ∈ {1, 2} (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2) = ((((𝑓‘1) − (𝑔‘1))↑2) + (((𝑓‘2) − (𝑔‘2))↑2)))
5958fveq2d 6452 . . 3 ((𝑓𝑋𝑔𝑋) → (√‘Σ𝑘 ∈ {1, 2} (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2)) = (√‘((((𝑓‘1) − (𝑔‘1))↑2) + (((𝑓‘2) − (𝑔‘2))↑2))))
6059mpt2eq3ia 6999 . 2 (𝑓𝑋, 𝑔𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ {1, 2} (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2))) = (𝑓𝑋, 𝑔𝑋 ↦ (√‘((((𝑓‘1) − (𝑔‘1))↑2) + (((𝑓‘2) − (𝑔‘2))↑2))))
618, 60eqtri 2802 1 𝐷 = (𝑓𝑋, 𝑔𝑋 ↦ (√‘((((𝑓‘1) − (𝑔‘1))↑2) + (((𝑓‘2) − (𝑔‘2))↑2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 386   = wceq 1601  wcel 2107  wne 2969  Vcvv 3398  {cpr 4400  wf 6133  cfv 6137  (class class class)co 6924  cmpt2 6926  𝑚 cmap 8142  cc 10272  cr 10273  1c1 10275   + caddc 10277  cmin 10608  2c2 11435  0cn0 11647  ...cfz 12648  cexp 13183  csqrt 14386  Σcsu 14833  distcds 16358  𝔼hilcehl 23601
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-inf2 8837  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351  ax-pre-sup 10352  ax-addf 10353  ax-mulf 10354
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-se 5317  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-isom 6146  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-of 7176  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-supp 7579  df-tpos 7636  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-oadd 7849  df-er 8028  df-map 8144  df-ixp 8197  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-fsupp 8566  df-sup 8638  df-oi 8706  df-card 9100  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-div 11036  df-nn 11380  df-2 11443  df-3 11444  df-4 11445  df-5 11446  df-6 11447  df-7 11448  df-8 11449  df-9 11450  df-n0 11648  df-z 11734  df-dec 11851  df-uz 11998  df-rp 12143  df-fz 12649  df-fzo 12790  df-seq 13125  df-exp 13184  df-hash 13442  df-cj 14252  df-re 14253  df-im 14254  df-sqrt 14388  df-abs 14389  df-clim 14636  df-sum 14834  df-struct 16268  df-ndx 16269  df-slot 16270  df-base 16272  df-sets 16273  df-ress 16274  df-plusg 16362  df-mulr 16363  df-starv 16364  df-sca 16365  df-vsca 16366  df-ip 16367  df-tset 16368  df-ple 16369  df-ds 16371  df-unif 16372  df-hom 16373  df-cco 16374  df-0g 16499  df-gsum 16500  df-prds 16505  df-pws 16507  df-mgm 17639  df-sgrp 17681  df-mnd 17692  df-mhm 17732  df-grp 17823  df-minusg 17824  df-sbg 17825  df-subg 17986  df-ghm 18053  df-cntz 18144  df-cmn 18592  df-abl 18593  df-mgp 18888  df-ur 18900  df-ring 18947  df-cring 18948  df-oppr 19021  df-dvdsr 19039  df-unit 19040  df-invr 19070  df-dvr 19081  df-rnghom 19115  df-drng 19152  df-field 19153  df-subrg 19181  df-staf 19248  df-srng 19249  df-lmod 19268  df-lss 19336  df-sra 19580  df-rgmod 19581  df-cnfld 20154  df-refld 20359  df-dsmm 20486  df-frlm 20501  df-nm 22806  df-tng 22808  df-tcph 23387  df-rrx 23602  df-ehl 23603
This theorem is referenced by:  ehl2eudisval  23640
  Copyright terms: Public domain W3C validator