MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ehl2eudis Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ehl2eudis 23952
Description: The Euclidean distance function in a real Euclidean space of dimension 2. (Contributed by AV, 16-Jan-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
ehl2eudis.e 𝐸 = (𝔼hil‘2)
ehl2eudis.x 𝑋 = (ℝ ↑m {1, 2})
ehl2eudis.d 𝐷 = (dist‘𝐸)
Assertion
Ref Expression
ehl2eudis 𝐷 = (𝑓𝑋, 𝑔𝑋 ↦ (√‘((((𝑓‘1) − (𝑔‘1))↑2) + (((𝑓‘2) − (𝑔‘2))↑2))))
Distinct variable group:   𝑓,𝑔
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓,𝑔)   𝐸(𝑓,𝑔)   𝑋(𝑓,𝑔)

Proof of Theorem ehl2eudis
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2nn0 11902 . . 3 2 ∈ ℕ0
2 fz12pr 12952 . . . . 5 (1...2) = {1, 2}
32eqcomi 2827 . . . 4 {1, 2} = (1...2)
4 ehl2eudis.e . . . 4 𝐸 = (𝔼hil‘2)
5 ehl2eudis.x . . . 4 𝑋 = (ℝ ↑m {1, 2})
6 ehl2eudis.d . . . 4 𝐷 = (dist‘𝐸)
73, 4, 5, 6ehleudis 23948 . . 3 (2 ∈ ℕ0𝐷 = (𝑓𝑋, 𝑔𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ {1, 2} (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2))))
81, 7ax-mp 5 . 2 𝐷 = (𝑓𝑋, 𝑔𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ {1, 2} (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2)))
9 fveq2 6663 . . . . . . 7 (𝑘 = 1 → (𝑓𝑘) = (𝑓‘1))
10 fveq2 6663 . . . . . . 7 (𝑘 = 1 → (𝑔𝑘) = (𝑔‘1))
119, 10oveq12d 7163 . . . . . 6 (𝑘 = 1 → ((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘)) = ((𝑓‘1) − (𝑔‘1)))
1211oveq1d 7160 . . . . 5 (𝑘 = 1 → (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2) = (((𝑓‘1) − (𝑔‘1))↑2))
13 fveq2 6663 . . . . . . 7 (𝑘 = 2 → (𝑓𝑘) = (𝑓‘2))
14 fveq2 6663 . . . . . . 7 (𝑘 = 2 → (𝑔𝑘) = (𝑔‘2))
1513, 14oveq12d 7163 . . . . . 6 (𝑘 = 2 → ((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘)) = ((𝑓‘2) − (𝑔‘2)))
1615oveq1d 7160 . . . . 5 (𝑘 = 2 → (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2) = (((𝑓‘2) − (𝑔‘2))↑2))
175eleq2i 2901 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓𝑋𝑓 ∈ (ℝ ↑m {1, 2}))
18 reex 10616 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ ∈ V
19 prex 5323 . . . . . . . . . . . . 13 {1, 2} ∈ V
2018, 19elmap 8424 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 ∈ (ℝ ↑m {1, 2}) ↔ 𝑓:{1, 2}⟶ℝ)
2117, 20bitri 276 . . . . . . . . . . 11 (𝑓𝑋𝑓:{1, 2}⟶ℝ)
22 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:{1, 2}⟶ℝ → 𝑓:{1, 2}⟶ℝ)
23 1ex 10625 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ V
2423prid1 4690 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ {1, 2}
2524a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:{1, 2}⟶ℝ → 1 ∈ {1, 2})
2622, 25ffvelrnd 6844 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:{1, 2}⟶ℝ → (𝑓‘1) ∈ ℝ)
2721, 26sylbi 218 . . . . . . . . . 10 (𝑓𝑋 → (𝑓‘1) ∈ ℝ)
2827adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝑓𝑋𝑔𝑋) → (𝑓‘1) ∈ ℝ)
295eleq2i 2901 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔𝑋𝑔 ∈ (ℝ ↑m {1, 2}))
3018, 19elmap 8424 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 ∈ (ℝ ↑m {1, 2}) ↔ 𝑔:{1, 2}⟶ℝ)
3129, 30bitri 276 . . . . . . . . . . 11 (𝑔𝑋𝑔:{1, 2}⟶ℝ)
32 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔:{1, 2}⟶ℝ → 𝑔:{1, 2}⟶ℝ)
3324a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔:{1, 2}⟶ℝ → 1 ∈ {1, 2})
3432, 33ffvelrnd 6844 . . . . . . . . . . 11 (𝑔:{1, 2}⟶ℝ → (𝑔‘1) ∈ ℝ)
3531, 34sylbi 218 . . . . . . . . . 10 (𝑔𝑋 → (𝑔‘1) ∈ ℝ)
3635adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝑓𝑋𝑔𝑋) → (𝑔‘1) ∈ ℝ)
3728, 36resubcld 11056 . . . . . . . 8 ((𝑓𝑋𝑔𝑋) → ((𝑓‘1) − (𝑔‘1)) ∈ ℝ)
3837resqcld 13599 . . . . . . 7 ((𝑓𝑋𝑔𝑋) → (((𝑓‘1) − (𝑔‘1))↑2) ∈ ℝ)
3938recnd 10657 . . . . . 6 ((𝑓𝑋𝑔𝑋) → (((𝑓‘1) − (𝑔‘1))↑2) ∈ ℂ)
40 2ex 11702 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ V
4140prid2 4691 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ {1, 2}
4241a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:{1, 2}⟶ℝ → 2 ∈ {1, 2})
4322, 42ffvelrnd 6844 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:{1, 2}⟶ℝ → (𝑓‘2) ∈ ℝ)
4421, 43sylbi 218 . . . . . . . . . 10 (𝑓𝑋 → (𝑓‘2) ∈ ℝ)
4544adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝑓𝑋𝑔𝑋) → (𝑓‘2) ∈ ℝ)
4641a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔:{1, 2}⟶ℝ → 2 ∈ {1, 2})
4732, 46ffvelrnd 6844 . . . . . . . . . . 11 (𝑔:{1, 2}⟶ℝ → (𝑔‘2) ∈ ℝ)
4831, 47sylbi 218 . . . . . . . . . 10 (𝑔𝑋 → (𝑔‘2) ∈ ℝ)
4948adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝑓𝑋𝑔𝑋) → (𝑔‘2) ∈ ℝ)
5045, 49resubcld 11056 . . . . . . . 8 ((𝑓𝑋𝑔𝑋) → ((𝑓‘2) − (𝑔‘2)) ∈ ℝ)
5150resqcld 13599 . . . . . . 7 ((𝑓𝑋𝑔𝑋) → (((𝑓‘2) − (𝑔‘2))↑2) ∈ ℝ)
5251recnd 10657 . . . . . 6 ((𝑓𝑋𝑔𝑋) → (((𝑓‘2) − (𝑔‘2))↑2) ∈ ℂ)
5339, 52jca 512 . . . . 5 ((𝑓𝑋𝑔𝑋) → ((((𝑓‘1) − (𝑔‘1))↑2) ∈ ℂ ∧ (((𝑓‘2) − (𝑔‘2))↑2) ∈ ℂ))
5423, 40pm3.2i 471 . . . . . 6 (1 ∈ V ∧ 2 ∈ V)
5554a1i 11 . . . . 5 ((𝑓𝑋𝑔𝑋) → (1 ∈ V ∧ 2 ∈ V))
56 1ne2 11833 . . . . . 6 1 ≠ 2
5756a1i 11 . . . . 5 ((𝑓𝑋𝑔𝑋) → 1 ≠ 2)
5812, 16, 53, 55, 57sumpr 15091 . . . 4 ((𝑓𝑋𝑔𝑋) → Σ𝑘 ∈ {1, 2} (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2) = ((((𝑓‘1) − (𝑔‘1))↑2) + (((𝑓‘2) − (𝑔‘2))↑2)))
5958fveq2d 6667 . . 3 ((𝑓𝑋𝑔𝑋) → (√‘Σ𝑘 ∈ {1, 2} (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2)) = (√‘((((𝑓‘1) − (𝑔‘1))↑2) + (((𝑓‘2) − (𝑔‘2))↑2))))
6059mpoeq3ia 7221 . 2 (𝑓𝑋, 𝑔𝑋 ↦ (√‘Σ𝑘 ∈ {1, 2} (((𝑓𝑘) − (𝑔𝑘))↑2))) = (𝑓𝑋, 𝑔𝑋 ↦ (√‘((((𝑓‘1) − (𝑔‘1))↑2) + (((𝑓‘2) − (𝑔‘2))↑2))))
618, 60eqtri 2841 1 𝐷 = (𝑓𝑋, 𝑔𝑋 ↦ (√‘((((𝑓‘1) − (𝑔‘1))↑2) + (((𝑓‘2) − (𝑔‘2))↑2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  Vcvv 3492  {cpr 4559  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  cmpo 7147  m cmap 8395  cc 10523  cr 10524  1c1 10526   + caddc 10528  cmin 10858  2c2 11680  0cn0 11885  ...cfz 12880  cexp 13417  csqrt 14580  Σcsu 15030  distcds 16562  𝔼hilcehl 23914
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603  ax-addf 10604  ax-mulf 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-tpos 7881  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-ixp 8450  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-sup 8894  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-seq 13358  df-exp 13418  df-hash 13679  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-clim 14833  df-sum 15031  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-ip 16571  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-hom 16577  df-cco 16578  df-0g 16703  df-gsum 16704  df-prds 16709  df-pws 16711  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-mhm 17944  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-sbg 18046  df-subg 18214  df-ghm 18294  df-cntz 18385  df-cmn 18837  df-abl 18838  df-mgp 19169  df-ur 19181  df-ring 19228  df-cring 19229  df-oppr 19302  df-dvdsr 19320  df-unit 19321  df-invr 19351  df-dvr 19362  df-rnghom 19396  df-drng 19433  df-field 19434  df-subrg 19462  df-staf 19545  df-srng 19546  df-lmod 19565  df-lss 19633  df-sra 19873  df-rgmod 19874  df-cnfld 20474  df-refld 20677  df-dsmm 20804  df-frlm 20819  df-nm 23119  df-tng 23121  df-tcph 23700  df-rrx 23915  df-ehl 23916
This theorem is referenced by:  ehl2eudisval  23953
  Copyright terms: Public domain W3C validator