Theorem sumsn 15782

Description: A sum of a singleton is the term. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
fsum1.1	⊢ (𝑘 = 𝑀 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
sumsn	⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = 𝐵)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑉

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem sumsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2905	. 2 ⊢ Ⅎ𝑘𝐵
2		fsum1.1	. 2 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → 𝐴 = 𝐵)
3	1, 2	sumsnf 15779	1 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  {csn 4626  ℂcc 11153  Σcsu 15722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723

This theorem is referenced by:  fsum1  15783  sumpr  15784  sumtp  15785  sumsns  15786  fsumm1  15787  fsum1p  15789  fsum2dlem  15806  fsumge1  15833  fsumrlim  15847  fsumo1  15848  fsumiun  15857  incexclem  15872  incexc  15873  binomfallfac  16077  fprodefsum  16131  rpnnen2lem11  16260  bitsinv1  16479  2ebits  16484  bitsinvp1  16486  ehl1eudis  25454  ovolfiniun  25536  volfiniun  25582  itg11  25726  itgfsum  25862  plyeq0lem  26249  coemulhi  26293  vieta1lem2  26353  vieta1  26354  chtprm  27196  musumsum  27235  muinv  27236  logexprlim  27269  perfectlem2  27274  dchrhash  27315  rpvmasum2  27556  eulerpartlems  34362  eulerpartlemgc  34364  plymulx0  34562  signsplypnf  34565  reprinfz1  34637  breprexp  34648  circlemeth  34655  ismrer1  37845  sticksstones9  42155  sticksstones11  42157  jm2.23  43008  k0004val0  44167  dvnprodlem3  45963  stoweidlem17  46032  stoweidlem44  46059  sge0cl  46396  carageniuncllem1  46536  perfectALTVlem2  47709  nnsum3primesprm  47777  nn0sumshdiglemB  48541  nn0sumshdiglem1  48542  nn0sumshdiglem2  48543