MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sumsn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sumsn 15095
Description: A sum of a singleton is the term. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
fsum1.1 (𝑘 = 𝑀𝐴 = 𝐵)
Assertion
Ref Expression
sumsn ((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = 𝐵)
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑉
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem sumsn
StepHypRef Expression
1 nfcv 2977 . 2 𝑘𝐵
2 fsum1.1 . 2 (𝑘 = 𝑀𝐴 = 𝐵)
31, 2sumsnf 15093 1 ((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398   = wceq 1533  wcel 2110  {csn 4561  cc 10529  Σcsu 15036
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-inf2 9098  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-isom 6359  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-sup 8900  df-oi 8968  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-rp 12384  df-fz 12887  df-fzo 13028  df-seq 13364  df-exp 13424  df-hash 13685  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589  df-clim 14839  df-sum 15037
This theorem is referenced by:  fsum1  15096  sumpr  15097  sumtp  15098  sumsns  15099  fsumm1  15100  fsum1p  15102  fsum2dlem  15119  fsumge1  15146  fsumrlim  15160  fsumo1  15161  fsumiun  15170  incexclem  15185  incexc  15186  binomfallfac  15389  fprodefsum  15442  rpnnen2lem11  15571  bitsinv1  15785  2ebits  15790  bitsinvp1  15792  ehl1eudis  24017  ovolfiniun  24096  volfiniun  24142  itg11  24286  itgfsum  24421  plyeq0lem  24794  coemulhi  24838  vieta1lem2  24894  vieta1  24895  chtprm  25724  musumsum  25763  muinv  25764  logexprlim  25795  perfectlem2  25800  dchrhash  25841  rpvmasum2  26082  eulerpartlems  31613  eulerpartlemgc  31615  plymulx0  31812  signsplypnf  31815  reprinfz1  31888  breprexp  31899  circlemeth  31906  ismrer1  35110  jm2.23  39586  k0004val0  40497  dvnprodlem3  42225  stoweidlem17  42295  stoweidlem44  42322  sge0cl  42656  carageniuncllem1  42796  perfectALTVlem2  43880  nnsum3primesprm  43948  nn0sumshdiglemB  44673  nn0sumshdiglem1  44674  nn0sumshdiglem2  44675
  Copyright terms: Public domain W3C validator