Theorem sumsn 15763

Description: A sum of a singleton is the term. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
fsum1.1	⊢ (𝑘 = 𝑀 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
sumsn	⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = 𝐵)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑉

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem sumsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2923	. 2 ⊢ Ⅎ𝑘𝐵
2		fsum1.1	. 2 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → 𝐴 = 𝐵)
3	1, 2	sumsnf 15760	1 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  {csn 4579  ℂcc 11064  Σcsu 15703

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-inf2 9589  ax-cnex 11122  ax-resscn 11123  ax-1cn 11124  ax-icn 11125  ax-addcl 11126  ax-addrcl 11127  ax-mulcl 11128  ax-mulrcl 11129  ax-mulcom 11130  ax-addass 11131  ax-mulass 11132  ax-distr 11133  ax-i2m1 11134  ax-1ne0 11135  ax-1rid 11136  ax-rnegex 11137  ax-rrecex 11138  ax-cnre 11139  ax-pre-lttri 11140  ax-pre-lttrn 11141  ax-pre-ltadd 11142  ax-pre-mulgt0 11143  ax-pre-sup 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-se 5597  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-isom 6524  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7841  df-1st 7964  df-2nd 7965  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-1o 8430  df-er 8671  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-sup 9381  df-oi 9451  df-card 9890  df-pnf 11211  df-mnf 11212  df-xr 11213  df-ltxr 11214  df-le 11215  df-sub 11409  df-neg 11410  df-div 11838  df-nn 12204  df-2 12273  df-3 12274  df-n0 12475  df-z 12562  df-uz 12833  df-rp 12987  df-fz 13506  df-fzo 13653  df-seq 14008  df-exp 14068  df-hash 14337  df-cj 15116  df-re 15117  df-im 15118  df-sqrt 15252  df-abs 15253  df-clim 15505  df-sum 15704

This theorem is referenced by:  fsum1  15764  sumpr  15765  sumtp  15766  sumsns  15767  fsumm1  15768  fsum1p  15770  fsum2dlem  15787  fsumge1  15815  fsumrlim  15829  fsumo1  15830  fsumiun  15839  incexclem  15856  incexc  15857  binomfallfac  16061  fprodefsum  16115  rpnnen2lem11  16246  bitsinv1  16466  2ebits  16471  bitsinvp1  16473  ehl1eudis  25469  ovolfiniun  25550  volfiniun  25596  itg11  25740  itgfsum  25876  plyeq0lem  26257  coemulhi  26301  plyn0mulidp  26332  vieta1lem2  26362  vieta1  26363  chtprm  27204  musumsum  27243  muinv  27244  logexprlim  27276  perfectlem2  27281  dchrhash  27322  rpvmasum2  27563  eulerpartlems  34617  eulerpartlemgc  34619  signsplypnf  34804  reprinfz1  34876  breprexp  34887  circlemeth  34894  ismrer1  38297  sticksstones9  42731  sticksstones11  42733  jm2.23  43533  k0004val0  44690  dvnprodlem3  46482  stoweidlem17  46551  stoweidlem44  46578  sge0cl  46915  carageniuncllem1  47055  perfectALTVlem2  48304  nnsum3primesprm  48372  nn0sumshdiglemB  49202  nn0sumshdiglem1  49203  nn0sumshdiglem2  49204