Theorem tglnpt3 28820

Description: Find a third point on a line. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Jun-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
tglnpt2.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tglnpt2.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglnpt2.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglnpt2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tglnpt2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
tglnpt3.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
tglnpt3.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐴)
tglnpt3.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
tglnpt3	⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ≠ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ 𝑌))

Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝐺   𝑧,𝐼   𝑧,𝑃   𝑧,𝑋   𝜑,𝑧   𝑧,𝑌

Allowed substitution hint:   𝐿(𝑧)

Proof of Theorem tglnpt3

Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tglnpt2.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
3		tglnpt2.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		tglnpt2.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5	4	ad2antrr 736	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		tglnpt2.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
7		tglnpt2.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
8		tglnpt3.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐴)
9	1, 6, 3, 4, 7, 8	tglnpt 28715	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
10	9	ad2antrr 736	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) → 𝑌 ∈ 𝑃)
11		tglnpt3.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
12	1, 6, 3, 4, 7, 11	tglnpt 28715	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
13	12	ad2antrr 736	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) → 𝑋 ∈ 𝑃)
14	1	fvexi 6881	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 ∈ V
15	14	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ V)
16		tglnpt3.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)
17	15, 12, 9, 16	nehash2 14487	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ (♯‘𝑃))
18	17	ad2antrr 736	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) → 2 ≤ (♯‘𝑃))
19	1, 2, 3, 5, 10, 13, 18	tgbtwndiff 28672	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) → ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧))
20	4	ad5antr 744	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) → 𝐺 ∈ TarskiG)
21	12	ad5antr 744	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) → 𝑋 ∈ 𝑃)
22	9	ad5antr 744	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) → 𝑌 ∈ 𝑃)
23		simpllr 785	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) → 𝑧 ∈ 𝑃)
24	16	ad5antr 744	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) → 𝑋 ≠ 𝑌)
25		simpr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) → 𝑋 ≠ 𝑧)
26	20	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) ∧ 𝑌 = 𝑧) → 𝐺 ∈ TarskiG)
27	23	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) ∧ 𝑌 = 𝑧) → 𝑧 ∈ 𝑃)
28	21	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) ∧ 𝑌 = 𝑧) → 𝑋 ∈ 𝑃)
29		simpllr 785	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) ∧ 𝑌 = 𝑧) → 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧))
30		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) ∧ 𝑌 = 𝑧) → 𝑌 = 𝑧)
31	30	oveq1d 7411	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) ∧ 𝑌 = 𝑧) → (𝑌𝐼𝑧) = (𝑧𝐼𝑧))
32	29, 31	eleqtrd 2864	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) ∧ 𝑌 = 𝑧) → 𝑋 ∈ (𝑧𝐼𝑧))
33	1, 2, 3, 26, 27, 28, 32	axtgbtwnid 28632	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) ∧ 𝑌 = 𝑧) → 𝑧 = 𝑋)
34	33	eqcomd 2768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) ∧ 𝑌 = 𝑧) → 𝑋 = 𝑧)
35	25, 34	mteqand 3048	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) → 𝑌 ≠ 𝑧)
36		simplr 778	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) → 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧))
37	1, 3, 6, 20, 22, 23, 21, 35, 36	btwnlng1 28785	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) → 𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑧))
38	1, 3, 6, 20, 21, 22, 23, 24, 37, 35	lnrot2 28790	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) → 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌))
39	1, 3, 6, 4, 12, 9, 16, 16, 7, 11, 8	tglinethru 28802	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝑋𝐿𝑌))
40	39	ad5antr 744	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) → 𝐴 = (𝑋𝐿𝑌))
41	38, 40	eleqtrrd 2865	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) → 𝑧 ∈ 𝐴)
42	25	necomd 3012	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) → 𝑧 ≠ 𝑋)
43	35	necomd 3012	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) → 𝑧 ≠ 𝑌)
44	41, 42, 43	jca32 523	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) → (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ 𝑌)))
45	44	anasss 470	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧)) → (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ 𝑌)))
46	45	expl 461	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) → ((𝑧 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧)) → (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ 𝑌))))
47	46	reximdv2 3172	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) → (∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) → ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ≠ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ 𝑌)))
48	19, 47	mpd 15	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) → ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ≠ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ 𝑌))
49	1, 3, 6, 4, 7, 11	tglnpt2 28819	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑋 ≠ 𝑡)
50	48, 49	r19.29a 3170	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ≠ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  ∃wrex 3086  Vcvv 3454   class class class wbr 5100  ran crn 5648  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396   ≤ cle 11217  2c2 12272  ♯chash 14343  Basecbs 17245  distcds 17295  TarskiGcstrkg 28593  Itvcitv 28599  LineGclng 28600

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-oadd 8441  df-er 8678  df-pm 8811  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-dju 9859  df-card 9897  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12482  df-xnn0 12555  df-z 12569  df-uz 12840  df-fz 13513  df-fzo 13660  df-hash 14344  df-word 14527  df-concat 14584  df-s1 14610  df-s2 14861  df-s3 14862  df-trkgc 28614  df-trkgb 28615  df-trkgcb 28616  df-trkg 28619  df-cgrg 28677

This theorem is referenced by:  tglnpt4  28821