Theorem tglnpt3 29131

Description: Find a third point on a line. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Jun-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
tglnpt2.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tglnpt2.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglnpt2.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglnpt2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tglnpt2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
tglnpt3.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
tglnpt3.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐴)
tglnpt3.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
tglnpt3	⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ≠ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ 𝑌))

Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝐺   𝑧,𝐼   𝑧,𝑃   𝑧,𝑋   𝜑,𝑧   𝑧,𝑌

Allowed substitution hint:   𝐿(𝑧)

Proof of Theorem tglnpt3

Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tglnpt2.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
3		tglnpt2.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		tglnpt2.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5	4	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		tglnpt2.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
7		tglnpt2.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
8		tglnpt3.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐴)
9	1, 6, 3, 4, 7, 8	tglnpt 29021	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
10	9	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) → 𝑌 ∈ 𝑃)
11		tglnpt3.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
12	1, 6, 3, 4, 7, 11	tglnpt 29021	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
13	12	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) → 𝑋 ∈ 𝑃)
14	1	fvexi 6904	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 ∈ V
15	14	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ V)
16		tglnpt3.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)
17	15, 12, 9, 16	nehash2 14626	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ (♯‘𝑃))
18	17	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) → 2 ≤ (♯‘𝑃))
19	1, 2, 3, 5, 10, 13, 18	tgbtwndiff 28978	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) → ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧))
20	4	ad5antr 747	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) → 𝐺 ∈ TarskiG)
21	12	ad5antr 747	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) → 𝑋 ∈ 𝑃)
22	9	ad5antr 747	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) → 𝑌 ∈ 𝑃)
23		simpllr 788	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) → 𝑧 ∈ 𝑃)
24	16	ad5antr 747	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) → 𝑋 ≠ 𝑌)
25		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) → 𝑋 ≠ 𝑧)
26	20	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) ∧ 𝑌 = 𝑧) → 𝐺 ∈ TarskiG)
27	23	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) ∧ 𝑌 = 𝑧) → 𝑧 ∈ 𝑃)
28	21	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) ∧ 𝑌 = 𝑧) → 𝑋 ∈ 𝑃)
29		simpllr 788	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) ∧ 𝑌 = 𝑧) → 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧))
30		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) ∧ 𝑌 = 𝑧) → 𝑌 = 𝑧)
31	30	oveq1d 7439	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) ∧ 𝑌 = 𝑧) → (𝑌𝐼𝑧) = (𝑧𝐼𝑧))
32	29, 31	eleqtrd 2862	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) ∧ 𝑌 = 𝑧) → 𝑋 ∈ (𝑧𝐼𝑧))
33	1, 2, 3, 26, 27, 28, 32	axtgbtwnid 28937	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) ∧ 𝑌 = 𝑧) → 𝑧 = 𝑋)
34	33	eqcomd 2766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) ∧ 𝑌 = 𝑧) → 𝑋 = 𝑧)
35	25, 34	mteqand 3046	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) → 𝑌 ≠ 𝑧)
36		simplr 781	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) → 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧))
37	1, 3, 6, 20, 22, 23, 21, 35, 36	btwnlng1 29096	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) → 𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑧))
38	1, 3, 6, 20, 21, 22, 23, 24, 37, 35	lnrot2 29101	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) → 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌))
39	1, 3, 6, 4, 12, 9, 16, 16, 7, 11, 8	tglinethru 29113	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝑋𝐿𝑌))
40	39	ad5antr 747	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) → 𝐴 = (𝑋𝐿𝑌))
41	38, 40	eleqtrrd 2863	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) → 𝑧 ∈ 𝐴)
42	25	necomd 3010	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) → 𝑧 ≠ 𝑋)
43	35	necomd 3010	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) → 𝑧 ≠ 𝑌)
44	41, 42, 43	jca32 525	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) → (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ 𝑌)))
45	44	anasss 472	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧)) → (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ 𝑌)))
46	45	expl 463	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) → ((𝑧 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧)) → (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ 𝑌))))
47	46	reximdv2 3172	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) → (∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) → ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ≠ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ 𝑌)))
48	19, 47	mpd 16	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) → ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ≠ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ 𝑌))
49	1, 3, 6, 4, 7, 11	tglnpt2 29130	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑋 ≠ 𝑡)
50	48, 49	r19.29a 3170	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ≠ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ 𝑌))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∃wrex 3086  Vcvv 3450   class class class wbr 5102  ran crn 5652  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424   ≤ cle 11351  2c2 12404  ♯chash 14481  Basecbs 17396  distcds 17446  TarskiGcstrkg 28898  Itvcitv 28904  LineGclng 28905

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-1o 8484  df-oadd 8488  df-er 8725  df-pm 8858  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-fin 8985  df-dju 9989  df-card 10027  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-n0 12614  df-xnn0 12687  df-z 12701  df-uz 12973  df-fz 13647  df-fzo 13796  df-hash 14482  df-word 14666  df-concat 14723  df-s1 14750  df-s2 15007  df-s3 15008  df-trkgc 28919  df-trkgb 28920  df-trkgcb 28921  df-trkg 28924  df-cgrg 28983

This theorem is used by:  tglnpt4  29132