Theorem tglnpt3 28978

Description: Find a third point on a line. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Jun-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
tglnpt2.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tglnpt2.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglnpt2.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglnpt2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tglnpt2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
tglnpt3.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
tglnpt3.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐴)
tglnpt3.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
tglnpt3	⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ≠ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ 𝑌))

Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝐺   𝑧,𝐼   𝑧,𝑃   𝑧,𝑋   𝜑,𝑧   𝑧,𝑌

Allowed substitution hint:   𝐿(𝑧)

Proof of Theorem tglnpt3

Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tglnpt2.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
3		tglnpt2.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		tglnpt2.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5	4	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		tglnpt2.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
7		tglnpt2.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
8		tglnpt3.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐴)
9	1, 6, 3, 4, 7, 8	tglnpt 28869	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
10	9	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) → 𝑌 ∈ 𝑃)
11		tglnpt3.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
12	1, 6, 3, 4, 7, 11	tglnpt 28869	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
13	12	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) → 𝑋 ∈ 𝑃)
14	1	fvexi 6899	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 ∈ V
15	14	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ V)
16		tglnpt3.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)
17	15, 12, 9, 16	nehash2 14529	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ (♯‘𝑃))
18	17	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) → 2 ≤ (♯‘𝑃))
19	1, 2, 3, 5, 10, 13, 18	tgbtwndiff 28826	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) → ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧))
20	4	ad5antr 747	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) → 𝐺 ∈ TarskiG)
21	12	ad5antr 747	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) → 𝑋 ∈ 𝑃)
22	9	ad5antr 747	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) → 𝑌 ∈ 𝑃)
23		simpllr 788	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) → 𝑧 ∈ 𝑃)
24	16	ad5antr 747	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) → 𝑋 ≠ 𝑌)
25		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) → 𝑋 ≠ 𝑧)
26	20	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) ∧ 𝑌 = 𝑧) → 𝐺 ∈ TarskiG)
27	23	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) ∧ 𝑌 = 𝑧) → 𝑧 ∈ 𝑃)
28	21	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) ∧ 𝑌 = 𝑧) → 𝑋 ∈ 𝑃)
29		simpllr 788	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) ∧ 𝑌 = 𝑧) → 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧))
30		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) ∧ 𝑌 = 𝑧) → 𝑌 = 𝑧)
31	30	oveq1d 7434	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) ∧ 𝑌 = 𝑧) → (𝑌𝐼𝑧) = (𝑧𝐼𝑧))
32	29, 31	eleqtrd 2867	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) ∧ 𝑌 = 𝑧) → 𝑋 ∈ (𝑧𝐼𝑧))
33	1, 2, 3, 26, 27, 28, 32	axtgbtwnid 28786	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) ∧ 𝑌 = 𝑧) → 𝑧 = 𝑋)
34	33	eqcomd 2771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) ∧ 𝑌 = 𝑧) → 𝑋 = 𝑧)
35	25, 34	mteqand 3051	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) → 𝑌 ≠ 𝑧)
36		simplr 781	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) → 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧))
37	1, 3, 6, 20, 22, 23, 21, 35, 36	btwnlng1 28943	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) → 𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑧))
38	1, 3, 6, 20, 21, 22, 23, 24, 37, 35	lnrot2 28948	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) → 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌))
39	1, 3, 6, 4, 12, 9, 16, 16, 7, 11, 8	tglinethru 28960	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝑋𝐿𝑌))
40	39	ad5antr 747	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) → 𝐴 = (𝑋𝐿𝑌))
41	38, 40	eleqtrrd 2868	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) → 𝑧 ∈ 𝐴)
42	25	necomd 3015	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) → 𝑧 ≠ 𝑋)
43	35	necomd 3015	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) → 𝑧 ≠ 𝑌)
44	41, 42, 43	jca32 525	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) → (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ 𝑌)))
45	44	anasss 472	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧)) → (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ 𝑌)))
46	45	expl 463	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) → ((𝑧 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧)) → (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ 𝑌))))
47	46	reximdv2 3177	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) → (∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) → ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ≠ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ 𝑌)))
48	19, 47	mpd 16	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) → ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ≠ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ 𝑌))
49	1, 3, 6, 4, 7, 11	tglnpt2 28977	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑋 ≠ 𝑡)
50	48, 49	r19.29a 3175	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ≠ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ 𝑌))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ∃wrex 3091  Vcvv 3457   class class class wbr 5111  ran crn 5664  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419   ≤ cle 11259  2c2 12310  ♯chash 14384  Basecbs 17291  distcds 17341  TarskiGcstrkg 28747  Itvcitv 28753  LineGclng 28754

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-oadd 8463  df-er 8700  df-pm 8833  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-dju 9903  df-card 9941  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-nn 12249  df-2 12318  df-3 12319  df-n0 12520  df-xnn0 12593  df-z 12607  df-uz 12879  df-fz 13552  df-fzo 13700  df-hash 14385  df-word 14569  df-concat 14626  df-s1 14653  df-s2 14909  df-s3 14910  df-trkgc 28768  df-trkgb 28769  df-trkgcb 28770  df-trkg 28773  df-cgrg 28831

This theorem is used by:  tglnpt4  28979