Theorem tglnpt3 28907

Description: Find a third point on a line. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Jun-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
tglnpt2.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tglnpt2.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglnpt2.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglnpt2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tglnpt2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
tglnpt3.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
tglnpt3.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐴)
tglnpt3.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
tglnpt3	⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ≠ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ 𝑌))

Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝐺   𝑧,𝐼   𝑧,𝑃   𝑧,𝑋   𝜑,𝑧   𝑧,𝑌

Allowed substitution hint:   𝐿(𝑧)

Proof of Theorem tglnpt3

Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tglnpt2.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2770	. . . 4 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
3		tglnpt2.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		tglnpt2.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5	4	ad2antrr 738	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		tglnpt2.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
7		tglnpt2.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
8		tglnpt3.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐴)
9	1, 6, 3, 4, 7, 8	tglnpt 28798	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
10	9	ad2antrr 738	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) → 𝑌 ∈ 𝑃)
11		tglnpt3.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
12	1, 6, 3, 4, 7, 11	tglnpt 28798	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
13	12	ad2antrr 738	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) → 𝑋 ∈ 𝑃)
14	1	fvexi 6899	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 ∈ V
15	14	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ V)
16		tglnpt3.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)
17	15, 12, 9, 16	nehash2 14514	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ (♯‘𝑃))
18	17	ad2antrr 738	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) → 2 ≤ (♯‘𝑃))
19	1, 2, 3, 5, 10, 13, 18	tgbtwndiff 28755	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) → ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧))
20	4	ad5antr 746	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) → 𝐺 ∈ TarskiG)
21	12	ad5antr 746	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) → 𝑋 ∈ 𝑃)
22	9	ad5antr 746	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) → 𝑌 ∈ 𝑃)
23		simpllr 787	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) → 𝑧 ∈ 𝑃)
24	16	ad5antr 746	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) → 𝑋 ≠ 𝑌)
25		simpr 489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) → 𝑋 ≠ 𝑧)
26	20	adantr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) ∧ 𝑌 = 𝑧) → 𝐺 ∈ TarskiG)
27	23	adantr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) ∧ 𝑌 = 𝑧) → 𝑧 ∈ 𝑃)
28	21	adantr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) ∧ 𝑌 = 𝑧) → 𝑋 ∈ 𝑃)
29		simpllr 787	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) ∧ 𝑌 = 𝑧) → 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧))
30		simpr 489	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) ∧ 𝑌 = 𝑧) → 𝑌 = 𝑧)
31	30	oveq1d 7429	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) ∧ 𝑌 = 𝑧) → (𝑌𝐼𝑧) = (𝑧𝐼𝑧))
32	29, 31	eleqtrd 2872	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) ∧ 𝑌 = 𝑧) → 𝑋 ∈ (𝑧𝐼𝑧))
33	1, 2, 3, 26, 27, 28, 32	axtgbtwnid 28715	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) ∧ 𝑌 = 𝑧) → 𝑧 = 𝑋)
34	33	eqcomd 2776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) ∧ 𝑌 = 𝑧) → 𝑋 = 𝑧)
35	25, 34	mteqand 3056	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) → 𝑌 ≠ 𝑧)
36		simplr 780	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) → 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧))
37	1, 3, 6, 20, 22, 23, 21, 35, 36	btwnlng1 28872	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) → 𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑧))
38	1, 3, 6, 20, 21, 22, 23, 24, 37, 35	lnrot2 28877	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) → 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌))
39	1, 3, 6, 4, 12, 9, 16, 16, 7, 11, 8	tglinethru 28889	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝑋𝐿𝑌))
40	39	ad5antr 746	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) → 𝐴 = (𝑋𝐿𝑌))
41	38, 40	eleqtrrd 2873	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) → 𝑧 ∈ 𝐴)
42	25	necomd 3020	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) → 𝑧 ≠ 𝑋)
43	35	necomd 3020	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) → 𝑧 ≠ 𝑌)
44	41, 42, 43	jca32 524	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) → (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ 𝑌)))
45	44	anasss 471	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧)) → (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ 𝑌)))
46	45	expl 462	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) → ((𝑧 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧)) → (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ 𝑌))))
47	46	reximdv2 3182	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) → (∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) → ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ≠ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ 𝑌)))
48	19, 47	mpd 16	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) → ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ≠ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ 𝑌))
49	1, 3, 6, 4, 7, 11	tglnpt2 28906	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑋 ≠ 𝑡)
50	48, 49	r19.29a 3180	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ≠ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1568   ∈ wcel 2150   ≠ wne 2965  ∃wrex 3096  Vcvv 3462   class class class wbr 5114  ran crn 5666  ‘cfv 6540  (class class class)co 7414   ≤ cle 11247  2c2 12298  ♯chash 14369  Basecbs 17272  distcds 17322  TarskiGcstrkg 28676  Itvcitv 28682  LineGclng 28683

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2152  ax-9 2160  ax-10 2183  ax-11 2199  ax-12 2220  ax-ext 2742  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5340  ax-pr 5408  ax-un 7736  ax-cnex 11159  ax-resscn 11160  ax-1cn 11161  ax-icn 11162  ax-addcl 11163  ax-addrcl 11164  ax-mulcl 11165  ax-mulrcl 11166  ax-mulcom 11167  ax-addass 11168  ax-mulass 11169  ax-distr 11170  ax-i2m1 11171  ax-1ne0 11172  ax-1rid 11173  ax-rnegex 11174  ax-rrecex 11175  ax-cnre 11176  ax-pre-lttri 11177  ax-pre-lttrn 11178  ax-pre-ltadd 11179  ax-pre-mulgt0 11180

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2099  df-mo 2574  df-eu 2604  df-clab 2749  df-cleq 2762  df-clel 2845  df-nfc 2919  df-ne 2966  df-nel 3072  df-ral 3087  df-rex 3097  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3464  df-sbc 3753  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5560  df-eprel 5565  df-po 5573  df-so 5574  df-fr 5618  df-we 5620  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-oadd 8460  df-er 8697  df-pm 8830  df-en 8947  df-dom 8948  df-sdom 8949  df-fin 8950  df-dju 9890  df-card 9928  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12237  df-2 12306  df-3 12307  df-n0 12508  df-xnn0 12581  df-z 12595  df-uz 12866  df-fz 13539  df-fzo 13686  df-hash 14370  df-word 14554  df-concat 14611  df-s1 14637  df-s2 14888  df-s3 14889  df-trkgc 28697  df-trkgb 28698  df-trkgcb 28699  df-trkg 28702  df-cgrg 28760

This theorem is referenced by:  tglnpt4  28908