Theorem tglnpt3 29002

Description: Find a third point on a line. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Jun-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
tglnpt2.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tglnpt2.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglnpt2.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglnpt2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tglnpt2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
tglnpt3.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
tglnpt3.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐴)
tglnpt3.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
tglnpt3	⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ≠ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ 𝑌))

Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝐺   𝑧,𝐼   𝑧,𝑃   𝑧,𝑋   𝜑,𝑧   𝑧,𝑌

Allowed substitution hint:   𝐿(𝑧)

Proof of Theorem tglnpt3

Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tglnpt2.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
3		tglnpt2.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		tglnpt2.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5	4	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		tglnpt2.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
7		tglnpt2.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
8		tglnpt3.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐴)
9	1, 6, 3, 4, 7, 8	tglnpt 28892	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
10	9	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) → 𝑌 ∈ 𝑃)
11		tglnpt3.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
12	1, 6, 3, 4, 7, 11	tglnpt 28892	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
13	12	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) → 𝑋 ∈ 𝑃)
14	1	fvexi 6893	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 ∈ V
15	14	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ V)
16		tglnpt3.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)
17	15, 12, 9, 16	nehash2 14540	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ (♯‘𝑃))
18	17	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) → 2 ≤ (♯‘𝑃))
19	1, 2, 3, 5, 10, 13, 18	tgbtwndiff 28849	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) → ∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧))
20	4	ad5antr 747	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) → 𝐺 ∈ TarskiG)
21	12	ad5antr 747	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) → 𝑋 ∈ 𝑃)
22	9	ad5antr 747	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) → 𝑌 ∈ 𝑃)
23		simpllr 788	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) → 𝑧 ∈ 𝑃)
24	16	ad5antr 747	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) → 𝑋 ≠ 𝑌)
25		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) → 𝑋 ≠ 𝑧)
26	20	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) ∧ 𝑌 = 𝑧) → 𝐺 ∈ TarskiG)
27	23	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) ∧ 𝑌 = 𝑧) → 𝑧 ∈ 𝑃)
28	21	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) ∧ 𝑌 = 𝑧) → 𝑋 ∈ 𝑃)
29		simpllr 788	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) ∧ 𝑌 = 𝑧) → 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧))
30		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) ∧ 𝑌 = 𝑧) → 𝑌 = 𝑧)
31	30	oveq1d 7429	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) ∧ 𝑌 = 𝑧) → (𝑌𝐼𝑧) = (𝑧𝐼𝑧))
32	29, 31	eleqtrd 2862	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) ∧ 𝑌 = 𝑧) → 𝑋 ∈ (𝑧𝐼𝑧))
33	1, 2, 3, 26, 27, 28, 32	axtgbtwnid 28808	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) ∧ 𝑌 = 𝑧) → 𝑧 = 𝑋)
34	33	eqcomd 2766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) ∧ 𝑌 = 𝑧) → 𝑋 = 𝑧)
35	25, 34	mteqand 3046	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) → 𝑌 ≠ 𝑧)
36		simplr 781	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) → 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧))
37	1, 3, 6, 20, 22, 23, 21, 35, 36	btwnlng1 28967	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) → 𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑧))
38	1, 3, 6, 20, 21, 22, 23, 24, 37, 35	lnrot2 28972	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) → 𝑧 ∈ (𝑋𝐿𝑌))
39	1, 3, 6, 4, 12, 9, 16, 16, 7, 11, 8	tglinethru 28984	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝑋𝐿𝑌))
40	39	ad5antr 747	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) → 𝐴 = (𝑋𝐿𝑌))
41	38, 40	eleqtrrd 2863	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) → 𝑧 ∈ 𝐴)
42	25	necomd 3010	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) → 𝑧 ≠ 𝑋)
43	35	necomd 3010	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) → 𝑧 ≠ 𝑌)
44	41, 42, 43	jca32 525	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧)) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) → (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ 𝑌)))
45	44	anasss 472	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) ∧ 𝑧 ∈ 𝑃) ∧ (𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧)) → (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ 𝑌)))
46	45	expl 463	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) → ((𝑧 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧)) → (𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ 𝑌))))
47	46	reximdv2 3172	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) → (∃𝑧 ∈ 𝑃 (𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑧) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) → ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ≠ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ 𝑌)))
48	19, 47	mpd 16	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑡) → ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ≠ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ 𝑌))
49	1, 3, 6, 4, 7, 11	tglnpt2 29001	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑡 ∈ 𝐴 𝑋 ≠ 𝑡)
50	48, 49	r19.29a 3170	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ≠ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ 𝑌))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∃wrex 3086  Vcvv 3450   class class class wbr 5103  ran crn 5656  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414   ≤ cle 11269  2c2 12320  ♯chash 14395  Basecbs 17302  distcds 17352  TarskiGcstrkg 28769  Itvcitv 28775  LineGclng 28776

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-oadd 8460  df-er 8697  df-pm 8830  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-dju 9907  df-card 9945  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-n0 12530  df-xnn0 12603  df-z 12617  df-uz 12889  df-fz 13563  df-fzo 13711  df-hash 14396  df-word 14580  df-concat 14637  df-s1 14664  df-s2 14920  df-s3 14921  df-trkgc 28790  df-trkgb 28791  df-trkgcb 28792  df-trkg 28795  df-cgrg 28854

This theorem is used by:  tglnpt4  29003