Theorem tglnpt4 29132

Description: Find a second point on a line, outside of a second line. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Jun-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
tglnpt2.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tglnpt2.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglnpt2.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglnpt2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tglnpt2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
tglnpt4.y	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ran 𝐿)
tglnpt4.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
tglnpt4.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
tglnpt4	⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)𝑧 ≠ 𝑋)

Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝐺   𝑧,𝐼   𝑧,𝑃   𝑧,𝑋   𝜑,𝑧   𝑧,𝐵

Allowed substitution hint:   𝐿(𝑧)

Proof of Theorem tglnpt4

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tglnpt2.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		tglnpt2.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3		tglnpt2.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4		tglnpt2.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5	4	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		tglnpt2.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
7	6	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
8		tglnpt4.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
9	8	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐴)
10	1, 2, 3, 5, 7, 9	tglnpt2 29130	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑋 ≠ 𝑧)
11		simplr 781	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) → 𝑧 ∈ 𝐴)
12		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) → 𝑋 ≠ 𝑧)
13	12	neneqd 2960	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) → ¬ 𝑋 = 𝑧)
14	4	ad4antr 745	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ TarskiG)
15	6	ad4antr 745	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
16		tglnpt4.y	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ran 𝐿)
17	16	ad4antr 745	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝐵 ∈ ran 𝐿)
18		tglnpt4.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
19	18	ad4antr 745	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝐴 ≠ 𝐵)
20	8	ad4antr 745	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐴)
21		simp-4r 796	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
22	20, 21	elind 4096	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))
23		simpllr 788	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ 𝐴)
24		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ 𝐵)
25	23, 24	elind 4096	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))
26	1, 2, 3, 14, 15, 17, 19, 22, 25	tglineineq 29120	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑋 = 𝑧)
27	13, 26	mtand 828	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) → ¬ 𝑧 ∈ 𝐵)
28	11, 27	eldifd 4049	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) → 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵))
29	12	necomd 3010	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) → 𝑧 ≠ 𝑋)
30	28, 29	jca 521	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) → (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋))
31	30	expl 463	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) → (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋)))
32	31	reximdv2 3172	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑋 ≠ 𝑧 → ∃𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)𝑧 ≠ 𝑋))
33	10, 32	mpd 16	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ∃𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)𝑧 ≠ 𝑋)
34	4	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → 𝐺 ∈ TarskiG)
35	6	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
36	8	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → 𝑋 ∈ 𝐴)
37	1, 2, 3, 34, 35, 36	tglnpt2 29130	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑋 ≠ 𝑧)
38		simplr 781	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) → 𝑧 ∈ 𝐴)
39		simp-4r 796	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
40		simpllr 788	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ 𝐴)
41		simpr 490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ 𝐵)
42	40, 41	elind 4096	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))
43	42	ne0d 4287	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅)
44	43	neneqd 2960	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ¬ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
45	39, 44	pm2.65da 829	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) → ¬ 𝑧 ∈ 𝐵)
46	38, 45	eldifd 4049	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) → 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵))
47		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) → 𝑋 ≠ 𝑧)
48	47	necomd 3010	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) → 𝑧 ≠ 𝑋)
49	46, 48	jca 521	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) → (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋))
50	49	expl 463	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) → (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋)))
51	50	reximdv2 3172	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑋 ≠ 𝑧 → ∃𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)𝑧 ≠ 𝑋))
52	37, 51	mpd 16	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → ∃𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)𝑧 ≠ 𝑋)
53	52	adantlr 728	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → ∃𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)𝑧 ≠ 𝑋)
54		simpr 490	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) → (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅)
55	4	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
56	6	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
57	8	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐴)
58		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))
59	58	elin1d 4100	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → 𝑦 ∈ 𝐴)
60		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))
61	60	elin2d 4101	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
62	61	adantlr 728	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
63		simplr 781	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → ¬ 𝑋 ∈ 𝐵)
64		nelne2 3053	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑦 ≠ 𝑋)
65	62, 63, 64	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → 𝑦 ≠ 𝑋)
66	65	necomd 3010	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → 𝑋 ≠ 𝑦)
67	1, 2, 3, 55, 56, 57, 59, 66	tglnpt3 29131	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ≠ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ 𝑦))
68		simpllr 788	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑦) → 𝑧 ∈ 𝐴)
69		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑦) → 𝑧 ≠ 𝑦)
70	69	neneqd 2960	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑦) → ¬ 𝑧 = 𝑦)
71	4	ad5antr 747	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ TarskiG)
72	6	ad5antr 747	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
73	16	ad5antr 747	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝐵 ∈ ran 𝐿)
74	18	ad5antr 747	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝐴 ≠ 𝐵)
75	68	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ 𝐴)
76		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ 𝐵)
77	75, 76	elind 4096	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))
78	60	ad4antr 745	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))
79	1, 2, 3, 71, 72, 73, 74, 77, 78	tglineineq 29120	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑧 = 𝑦)
80	70, 79	mtand 828	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑦) → ¬ 𝑧 ∈ 𝐵)
81	68, 80	eldifd 4049	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑦) → 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵))
82		simplr 781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑦) → 𝑧 ≠ 𝑋)
83	81, 82	jca 521	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑦) → (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋))
84	83	anasss 472	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧 ≠ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ 𝑦)) → (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋))
85	84	expl 463	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ 𝑦)) → (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋)))
86	85	reximdv2 3172	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → (∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ≠ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ 𝑦) → ∃𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)𝑧 ≠ 𝑋))
87	86	adantlr 728	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → (∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ≠ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ 𝑦) → ∃𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)𝑧 ≠ 𝑋))
88	67, 87	mpd 16	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → ∃𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)𝑧 ≠ 𝑋)
89	88	adantlr 728	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → ∃𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)𝑧 ≠ 𝑋)
90	54, 89	n0limd 4300	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) → ∃𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)𝑧 ≠ 𝑋)
91	53, 90	pm2.61dane 3042	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐵) → ∃𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)𝑧 ≠ 𝑋)
92	33, 91	pm2.61dan 825	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)𝑧 ≠ 𝑋)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∃wrex 3086   ∖ cdif 4044   ∩ cin 4088  ∅c0 4277  ran crn 5652  ‘cfv 6543  Basecbs 17396  TarskiGcstrkg 28898  Itvcitv 28904  LineGclng 28905

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-1o 8484  df-oadd 8488  df-er 8725  df-pm 8858  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-fin 8985  df-dju 9989  df-card 10027  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-n0 12614  df-xnn0 12687  df-z 12701  df-uz 12973  df-fz 13647  df-fzo 13796  df-hash 14482  df-word 14666  df-concat 14723  df-s1 14750  df-s2 15007  df-s3 15008  df-trkgc 28919  df-trkgb 28920  df-trkgcb 28921  df-trkg 28924  df-cgrg 28983

This theorem is used by:  lnssplnglem  29278  perpeqlem  29356  perpprlng  29437  prlngex  29438  prlngmolem2  29440