Theorem tglnpt4 29003

Description: Find a second point on a line, outside of a second line. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Jun-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
tglnpt2.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
tglnpt2.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglnpt2.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglnpt2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
tglnpt2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
tglnpt4.y	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ran 𝐿)
tglnpt4.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
tglnpt4.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
tglnpt4	⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)𝑧 ≠ 𝑋)

Distinct variable groups:   𝑧,𝐴   𝑧,𝐺   𝑧,𝐼   𝑧,𝑃   𝑧,𝑋   𝜑,𝑧   𝑧,𝐵

Allowed substitution hint:   𝐿(𝑧)

Proof of Theorem tglnpt4

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tglnpt2.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		tglnpt2.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3		tglnpt2.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4		tglnpt2.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5	4	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		tglnpt2.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
7	6	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
8		tglnpt4.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
9	8	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐴)
10	1, 2, 3, 5, 7, 9	tglnpt2 29001	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑋 ≠ 𝑧)
11		simplr 781	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) → 𝑧 ∈ 𝐴)
12		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) → 𝑋 ≠ 𝑧)
13	12	neneqd 2960	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) → ¬ 𝑋 = 𝑧)
14	4	ad4antr 745	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ TarskiG)
15	6	ad4antr 745	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
16		tglnpt4.y	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ran 𝐿)
17	16	ad4antr 745	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝐵 ∈ ran 𝐿)
18		tglnpt4.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
19	18	ad4antr 745	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝐴 ≠ 𝐵)
20	8	ad4antr 745	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐴)
21		simp-4r 796	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
22	20, 21	elind 4146	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))
23		simpllr 788	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ 𝐴)
24		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ 𝐵)
25	23, 24	elind 4146	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))
26	1, 2, 3, 14, 15, 17, 19, 22, 25	tglineineq 28991	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑋 = 𝑧)
27	13, 26	mtand 828	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) → ¬ 𝑧 ∈ 𝐵)
28	11, 27	eldifd 3910	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) → 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵))
29	12	necomd 3010	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) → 𝑧 ≠ 𝑋)
30	28, 29	jca 521	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) → (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋))
31	30	expl 463	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) → (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋)))
32	31	reximdv2 3172	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑋 ≠ 𝑧 → ∃𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)𝑧 ≠ 𝑋))
33	10, 32	mpd 16	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ∃𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)𝑧 ≠ 𝑋)
34	4	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → 𝐺 ∈ TarskiG)
35	6	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
36	8	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → 𝑋 ∈ 𝐴)
37	1, 2, 3, 34, 35, 36	tglnpt2 29001	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑋 ≠ 𝑧)
38		simplr 781	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) → 𝑧 ∈ 𝐴)
39		simp-4r 796	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
40		simpllr 788	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ 𝐴)
41		simpr 490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ 𝐵)
42	40, 41	elind 4146	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))
43	42	ne0d 4288	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅)
44	43	neneqd 2960	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ¬ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
45	39, 44	pm2.65da 829	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) → ¬ 𝑧 ∈ 𝐵)
46	38, 45	eldifd 3910	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) → 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵))
47		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) → 𝑋 ≠ 𝑧)
48	47	necomd 3010	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) → 𝑧 ≠ 𝑋)
49	46, 48	jca 521	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) → (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋))
50	49	expl 463	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 𝑧) → (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋)))
51	50	reximdv2 3172	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑋 ≠ 𝑧 → ∃𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)𝑧 ≠ 𝑋))
52	37, 51	mpd 16	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → ∃𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)𝑧 ≠ 𝑋)
53	52	adantlr 728	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → ∃𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)𝑧 ≠ 𝑋)
54		simpr 490	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) → (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅)
55	4	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
56	6	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
57	8	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐴)
58		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))
59	58	elin1d 4150	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → 𝑦 ∈ 𝐴)
60		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))
61	60	elin2d 4151	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
62	61	adantlr 728	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
63		simplr 781	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → ¬ 𝑋 ∈ 𝐵)
64		nelne2 3053	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑦 ≠ 𝑋)
65	62, 63, 64	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → 𝑦 ≠ 𝑋)
66	65	necomd 3010	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → 𝑋 ≠ 𝑦)
67	1, 2, 3, 55, 56, 57, 59, 66	tglnpt3 29002	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ≠ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ 𝑦))
68		simpllr 788	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑦) → 𝑧 ∈ 𝐴)
69		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑦) → 𝑧 ≠ 𝑦)
70	69	neneqd 2960	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑦) → ¬ 𝑧 = 𝑦)
71	4	ad5antr 747	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ TarskiG)
72	6	ad5antr 747	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
73	16	ad5antr 747	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝐵 ∈ ran 𝐿)
74	18	ad5antr 747	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝐴 ≠ 𝐵)
75	68	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ 𝐴)
76		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ 𝐵)
77	75, 76	elind 4146	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))
78	60	ad4antr 745	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))
79	1, 2, 3, 71, 72, 73, 74, 77, 78	tglineineq 28991	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑦) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑧 = 𝑦)
80	70, 79	mtand 828	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑦) → ¬ 𝑧 ∈ 𝐵)
81	68, 80	eldifd 3910	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑦) → 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵))
82		simplr 781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑦) → 𝑧 ≠ 𝑋)
83	81, 82	jca 521	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋) ∧ 𝑧 ≠ 𝑦) → (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋))
84	83	anasss 472	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝑧 ≠ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ 𝑦)) → (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋))
85	84	expl 463	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → ((𝑧 ∈ 𝐴 ∧ (𝑧 ≠ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ 𝑦)) → (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑧 ≠ 𝑋)))
86	85	reximdv2 3172	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → (∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ≠ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ 𝑦) → ∃𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)𝑧 ≠ 𝑋))
87	86	adantlr 728	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → (∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑧 ≠ 𝑋 ∧ 𝑧 ≠ 𝑦) → ∃𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)𝑧 ≠ 𝑋))
88	67, 87	mpd 16	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → ∃𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)𝑧 ≠ 𝑋)
89	88	adantlr 728	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → ∃𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)𝑧 ≠ 𝑋)
90	54, 89	n0limd 4301	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) → ∃𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)𝑧 ≠ 𝑋)
91	53, 90	pm2.61dane 3042	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝐵) → ∃𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)𝑧 ≠ 𝑋)
92	33, 91	pm2.61dan 825	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)𝑧 ≠ 𝑋)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∃wrex 3086   ∖ cdif 3896   ∩ cin 3898  ∅c0 4279  ran crn 5656  ‘cfv 6533  Basecbs 17302  TarskiGcstrkg 28769  Itvcitv 28775  LineGclng 28776

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-oadd 8460  df-er 8697  df-pm 8830  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-dju 9907  df-card 9945  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-n0 12530  df-xnn0 12603  df-z 12617  df-uz 12889  df-fz 13563  df-fzo 13711  df-hash 14396  df-word 14580  df-concat 14637  df-s1 14664  df-s2 14920  df-s3 14921  df-trkgc 28790  df-trkgb 28791  df-trkgcb 28792  df-trkg 28795  df-cgrg 28854

This theorem is used by:  lnssplnglem  29149  perpeqlem  29227  perpprlng  29308  prlngex  29309  prlngmolem2  29311