Theorem perpeqlem 29404

Description: Lemma for perpeq 29405. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Jul-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
perpeq.1	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
perpeq.2	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
perpeq.3	⊢ 𝐸 = (hlG‘𝐺)
perpeq.4	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
perpeq.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
perpeq.6	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ran 𝐸)
perpeq.7	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
perpeq.8	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐻)
perpeq.9	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐻)
perpeq.10	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐻)
perpeq.11	⊢ (𝜑 → (𝑋𝐿𝑌)(⟂G‘𝐺)𝐴)
perpeq.12	⊢ (𝜑 → (𝑋𝐿𝑍)(⟂G‘𝐺)𝐴)
perpeqlem.1	⊢ (𝜑 → 𝑌((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑍)

Assertion

Ref	Expression
perpeqlem	⊢ (𝜑 → (𝑋𝐿𝑌) = (𝑋𝐿𝑍))

Proof of Theorem perpeqlem

Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		perpeq.1	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Itv‘𝐺) = (Itv‘𝐺)
3		perpeq.2	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4		perpeq.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5	4	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑋) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		perpeq.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
7		perpeq.7	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
8	1, 3, 2, 4, 6, 7	tglnpt 29069	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
9	8	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑋) → 𝑋 ∈ 𝑃)
10		perpeq.3	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (hlG‘𝐺)
11		perpeq.6	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ran 𝐸)
12		perpeq.9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐻)
13	1, 2, 3, 10, 4, 11, 12	plngrnssp 29314	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
14	13	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑋) → 𝑌 ∈ 𝑃)
15		perpeq.11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐿𝑌)(⟂G‘𝐺)𝐴)
16	3, 4, 15	perpln1 29242	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐿𝑌) ∈ ran 𝐿)
17	1, 2, 3, 4, 8, 13, 16	tglnne 29153	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)
18	17	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑋) → 𝑋 ≠ 𝑌)
19		perpeq.12	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐿𝑍)(⟂G‘𝐺)𝐴)
20	3, 4, 19	perpln1 29242	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐿𝑍) ∈ ran 𝐿)
21	20	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑋) → (𝑋𝐿𝑍) ∈ ran 𝐿)
22		perpeq.10	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐻)
23	1, 2, 3, 10, 4, 11, 22	plngrnssp 29314	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
24	1, 2, 3, 4, 8, 23, 20	tglnne 29153	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑍)
25	24	necomd 3014	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ≠ 𝑋)
26	1, 2, 3, 4, 23, 8, 25	tglinerflx2 29159	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑍𝐿𝑋))
27	1, 2, 3, 4, 8, 23, 24	tglinecom 29160	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐿𝑍) = (𝑍𝐿𝑋))
28	26, 27	eleqtrrd 2867	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑋𝐿𝑍))
29	28	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑋) → 𝑋 ∈ (𝑋𝐿𝑍))
30		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (hlG‘𝐺) = (hlG‘𝐺)
31	23	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑋) → 𝑍 ∈ 𝑃)
32	6	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑋) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
33		simplr 781	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑋) → 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑌)))
34	33	eldifad 4054	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑋) → 𝑡 ∈ 𝐴)
35	1, 3, 2, 5, 32, 34	tglnpt 29069	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑋) → 𝑡 ∈ 𝑃)
36		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑋) → 𝑡 ≠ 𝑋)
37	36	necomd 3014	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑋) → 𝑋 ≠ 𝑡)
38		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
39		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (pInvG‘𝐺) = (pInvG‘𝐺)
40	17	necomd 3014	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑋)
41	1, 2, 3, 4, 13, 8, 40	tglinerflx2 29159	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑋))
42	41	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑋) → 𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑋))
43	15	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑋) → (𝑋𝐿𝑌)(⟂G‘𝐺)𝐴)
44	1, 2, 3, 5, 9, 14, 18	tglinecom 29160	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑋) → (𝑋𝐿𝑌) = (𝑌𝐿𝑋))
45	7	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐴)
46	1, 2, 3, 5, 9, 35, 37, 37, 32, 45, 34	tglinethru 29161	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑋) → 𝐴 = (𝑋𝐿𝑡))
47	43, 44, 46	3brtr3d 5142	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑋) → (𝑌𝐿𝑋)(⟂G‘𝐺)(𝑋𝐿𝑡))
48	1, 38, 2, 3, 5, 14, 9, 42, 35, 47	perprag 29259	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑋) → ⟨“𝑌𝑋𝑡”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
49	1, 38, 2, 3, 39, 5, 14, 9, 35, 48	ragcom 29230	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑋) → ⟨“𝑡𝑋𝑌”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
50	26	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑋) → 𝑋 ∈ (𝑍𝐿𝑋))
51	27, 19	eqbrtrrd 5135	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑍𝐿𝑋)(⟂G‘𝐺)𝐴)
52	51	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑋) → (𝑍𝐿𝑋)(⟂G‘𝐺)𝐴)
53	52, 46	breqtrd 5137	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑋) → (𝑍𝐿𝑋)(⟂G‘𝐺)(𝑋𝐿𝑡))
54	1, 38, 2, 3, 5, 31, 9, 50, 35, 53	perprag 29259	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑋) → ⟨“𝑍𝑋𝑡”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
55	1, 38, 2, 3, 39, 5, 31, 9, 35, 54	ragcom 29230	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑋) → ⟨“𝑡𝑋𝑍”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
56	1, 2, 3, 5, 35, 9, 36, 36, 32, 34, 45	tglinethru 29161	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑋) → 𝐴 = (𝑡𝐿𝑋))
57	56	fveq2d 6920	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑋) → ((hpG‘𝐺)‘𝐴) = ((hpG‘𝐺)‘(𝑡𝐿𝑋)))
58		perpeqlem.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑍)
59	58	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑋) → 𝑌((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑍)
60	57, 59	breqdi 5123	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑋) → 𝑌((hpG‘𝐺)‘(𝑡𝐿𝑋))𝑍)
61	1, 3, 5, 9, 35, 14, 31, 37, 49, 55, 60	ragraghl 29403	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑋) → 𝑌((hlG‘𝐺)‘𝑋)𝑍)
62	1, 2, 30, 14, 31, 9, 5, 3, 61	hlln 29130	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑋) → 𝑌 ∈ (𝑍𝐿𝑋))
63	27	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑋) → (𝑋𝐿𝑍) = (𝑍𝐿𝑋))
64	62, 63	eleqtrrd 2867	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑋) → 𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑍))
65	1, 2, 3, 5, 9, 14, 18, 18, 21, 29, 64	tglinethru 29161	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑋) → (𝑋𝐿𝑍) = (𝑋𝐿𝑌))
66	65	eqcomd 2769	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑋) → (𝑋𝐿𝑌) = (𝑋𝐿𝑍))
67	1, 38, 2, 3, 4, 16, 6, 15	perpneq 29246	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐿𝑌) ≠ 𝐴)
68	67	necomd 3014	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ (𝑋𝐿𝑌))
69	1, 2, 3, 4, 6, 16, 7, 68	tglnpt4 29180	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑌))𝑡 ≠ 𝑋)
70	66, 69	r19.29a 3174	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐿𝑌) = (𝑋𝐿𝑍))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959   ⊆ wss 3900   ∖ cdif 4048   class class class wbr 5108  ran crn 5659  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  Basecbs 17431  distcds 17481  TarskiGcstrkg 28946  Itvcitv 28952  LineGclng 28953  hlGchlg 29120  pInvGcmir 29181  ⟂Gcperpg 29227  hpGchpg 29292  hlGcplng 29308

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-oadd 8518  df-er 8755  df-map 8887  df-pm 8888  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-dju 10019  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-n0 12647  df-xnn0 12720  df-z 12734  df-uz 13006  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-hash 14516  df-word 14700  df-concat 14757  df-s1 14784  df-s2 15041  df-s3 15042  df-trkgc 28967  df-trkgb 28968  df-trkgcb 28969  df-trkgld 28971  df-trkg 28972  df-cgrg 29031  df-ismt 29053  df-leg 29103  df-hlg 29121  df-mir 29182  df-rag 29226  df-perpg 29228  df-hpg 29293  df-plng 29309  df-mid 29336  df-lmi 29337  df-cgra 29372

This theorem is used by:  perpeq  29405