Theorem perpeqlem 29226

Description: Lemma for perpeq 29227. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Jul-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
perpeq.1	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
perpeq.2	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
perpeq.3	⊢ 𝐸 = (hlG‘𝐺)
perpeq.4	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
perpeq.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
perpeq.6	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ran 𝐸)
perpeq.7	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
perpeq.8	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐻)
perpeq.9	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐻)
perpeq.10	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐻)
perpeq.11	⊢ (𝜑 → (𝑋𝐿𝑌)(⟂G‘𝐺)𝐴)
perpeq.12	⊢ (𝜑 → (𝑋𝐿𝑍)(⟂G‘𝐺)𝐴)
perpeqlem.1	⊢ (𝜑 → 𝑌((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑍)

Assertion

Ref	Expression
perpeqlem	⊢ (𝜑 → (𝑋𝐿𝑌) = (𝑋𝐿𝑍))

Proof of Theorem perpeqlem

Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		perpeq.1	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Itv‘𝐺) = (Itv‘𝐺)
3		perpeq.2	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4		perpeq.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5	4	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑋) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		perpeq.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
7		perpeq.7	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
8	1, 3, 2, 4, 6, 7	tglnpt 28891	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
9	8	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑋) → 𝑋 ∈ 𝑃)
10		perpeq.3	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (hlG‘𝐺)
11		perpeq.6	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ran 𝐸)
12		perpeq.9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐻)
13	1, 2, 3, 10, 4, 11, 12	plngrnssp 29136	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
14	13	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑋) → 𝑌 ∈ 𝑃)
15		perpeq.11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐿𝑌)(⟂G‘𝐺)𝐴)
16	3, 4, 15	perpln1 29064	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐿𝑌) ∈ ran 𝐿)
17	1, 2, 3, 4, 8, 13, 16	tglnne 28975	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)
18	17	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑋) → 𝑋 ≠ 𝑌)
19		perpeq.12	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐿𝑍)(⟂G‘𝐺)𝐴)
20	3, 4, 19	perpln1 29064	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐿𝑍) ∈ ran 𝐿)
21	20	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑋) → (𝑋𝐿𝑍) ∈ ran 𝐿)
22		perpeq.10	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐻)
23	1, 2, 3, 10, 4, 11, 22	plngrnssp 29136	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
24	1, 2, 3, 4, 8, 23, 20	tglnne 28975	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑍)
25	24	necomd 3010	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ≠ 𝑋)
26	1, 2, 3, 4, 23, 8, 25	tglinerflx2 28981	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑍𝐿𝑋))
27	1, 2, 3, 4, 8, 23, 24	tglinecom 28982	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐿𝑍) = (𝑍𝐿𝑋))
28	26, 27	eleqtrrd 2863	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑋𝐿𝑍))
29	28	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑋) → 𝑋 ∈ (𝑋𝐿𝑍))
30		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (hlG‘𝐺) = (hlG‘𝐺)
31	23	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑋) → 𝑍 ∈ 𝑃)
32	6	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑋) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
33		simplr 781	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑋) → 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑌)))
34	33	eldifad 3911	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑋) → 𝑡 ∈ 𝐴)
35	1, 3, 2, 5, 32, 34	tglnpt 28891	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑋) → 𝑡 ∈ 𝑃)
36		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑋) → 𝑡 ≠ 𝑋)
37	36	necomd 3010	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑋) → 𝑋 ≠ 𝑡)
38		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
39		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (pInvG‘𝐺) = (pInvG‘𝐺)
40	17	necomd 3010	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑋)
41	1, 2, 3, 4, 13, 8, 40	tglinerflx2 28981	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑋))
42	41	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑋) → 𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑋))
43	15	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑋) → (𝑋𝐿𝑌)(⟂G‘𝐺)𝐴)
44	1, 2, 3, 5, 9, 14, 18	tglinecom 28982	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑋) → (𝑋𝐿𝑌) = (𝑌𝐿𝑋))
45	7	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐴)
46	1, 2, 3, 5, 9, 35, 37, 37, 32, 45, 34	tglinethru 28983	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑋) → 𝐴 = (𝑋𝐿𝑡))
47	43, 44, 46	3brtr3d 5136	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑋) → (𝑌𝐿𝑋)(⟂G‘𝐺)(𝑋𝐿𝑡))
48	1, 38, 2, 3, 5, 14, 9, 42, 35, 47	perprag 29081	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑋) → ⟨“𝑌𝑋𝑡”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
49	1, 38, 2, 3, 39, 5, 14, 9, 35, 48	ragcom 29052	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑋) → ⟨“𝑡𝑋𝑌”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
50	26	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑋) → 𝑋 ∈ (𝑍𝐿𝑋))
51	27, 19	eqbrtrrd 5129	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑍𝐿𝑋)(⟂G‘𝐺)𝐴)
52	51	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑋) → (𝑍𝐿𝑋)(⟂G‘𝐺)𝐴)
53	52, 46	breqtrd 5131	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑋) → (𝑍𝐿𝑋)(⟂G‘𝐺)(𝑋𝐿𝑡))
54	1, 38, 2, 3, 5, 31, 9, 50, 35, 53	perprag 29081	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑋) → ⟨“𝑍𝑋𝑡”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
55	1, 38, 2, 3, 39, 5, 31, 9, 35, 54	ragcom 29052	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑋) → ⟨“𝑡𝑋𝑍”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
56	1, 2, 3, 5, 35, 9, 36, 36, 32, 34, 45	tglinethru 28983	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑋) → 𝐴 = (𝑡𝐿𝑋))
57	56	fveq2d 6882	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑋) → ((hpG‘𝐺)‘𝐴) = ((hpG‘𝐺)‘(𝑡𝐿𝑋)))
58		perpeqlem.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑍)
59	58	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑋) → 𝑌((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑍)
60	57, 59	breqdi 5118	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑋) → 𝑌((hpG‘𝐺)‘(𝑡𝐿𝑋))𝑍)
61	1, 3, 5, 9, 35, 14, 31, 37, 49, 55, 60	ragraghl 29225	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑋) → 𝑌((hlG‘𝐺)‘𝑋)𝑍)
62	1, 2, 30, 14, 31, 9, 5, 3, 61	hlln 28952	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑋) → 𝑌 ∈ (𝑍𝐿𝑋))
63	27	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑋) → (𝑋𝐿𝑍) = (𝑍𝐿𝑋))
64	62, 63	eleqtrrd 2863	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑋) → 𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑍))
65	1, 2, 3, 5, 9, 14, 18, 18, 21, 29, 64	tglinethru 28983	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑋) → (𝑋𝐿𝑍) = (𝑋𝐿𝑌))
66	65	eqcomd 2766	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑋) → (𝑋𝐿𝑌) = (𝑋𝐿𝑍))
67	1, 38, 2, 3, 4, 16, 6, 15	perpneq 29068	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐿𝑌) ≠ 𝐴)
68	67	necomd 3010	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ (𝑋𝐿𝑌))
69	1, 2, 3, 4, 6, 16, 7, 68	tglnpt4 29002	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑌))𝑡 ≠ 𝑋)
70	66, 69	r19.29a 3170	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐿𝑌) = (𝑋𝐿𝑍))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955   ∖ cdif 3896   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103  ran crn 5656  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  Basecbs 17301  distcds 17351  TarskiGcstrkg 28768  Itvcitv 28774  LineGclng 28775  hlGchlg 28942  pInvGcmir 29003  ⟂Gcperpg 29049  hpGchpg 29114  hlGcplng 29130

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-oadd 8459  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-dju 9906  df-card 9944  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12529  df-xnn0 12602  df-z 12616  df-uz 12888  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-hash 14395  df-word 14579  df-concat 14636  df-s1 14663  df-s2 14919  df-s3 14920  df-trkgc 28789  df-trkgb 28790  df-trkgcb 28791  df-trkgld 28793  df-trkg 28794  df-cgrg 28853  df-ismt 28875  df-leg 28925  df-hlg 28943  df-mir 29004  df-rag 29048  df-perpg 29050  df-hpg 29115  df-plng 29131  df-mid 29158  df-lmi 29159  df-cgra 29194

This theorem is used by:  perpeq  29227