Theorem perpeqlem 29179

Description: Lemma for perpeq 29180. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Jul-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
perpeq.1	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
perpeq.2	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
perpeq.3	⊢ 𝐸 = (hlG‘𝐺)
perpeq.4	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
perpeq.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
perpeq.6	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ran 𝐸)
perpeq.7	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
perpeq.8	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐻)
perpeq.9	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐻)
perpeq.10	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐻)
perpeq.11	⊢ (𝜑 → (𝑋𝐿𝑌)(⟂G‘𝐺)𝐴)
perpeq.12	⊢ (𝜑 → (𝑋𝐿𝑍)(⟂G‘𝐺)𝐴)
perpeqlem.1	⊢ (𝜑 → 𝑌((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑍)

Assertion

Ref	Expression
perpeqlem	⊢ (𝜑 → (𝑋𝐿𝑌) = (𝑋𝐿𝑍))

Proof of Theorem perpeqlem

Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		perpeq.1	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (Itv‘𝐺) = (Itv‘𝐺)
3		perpeq.2	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4		perpeq.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5	4	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑋) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		perpeq.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
7		perpeq.7	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
8	1, 3, 2, 4, 6, 7	tglnpt 28847	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
9	8	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑋) → 𝑋 ∈ 𝑃)
10		perpeq.3	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (hlG‘𝐺)
11		perpeq.6	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ran 𝐸)
12		perpeq.9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐻)
13	1, 2, 3, 10, 4, 11, 12	plngrnssp 29090	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
14	13	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑋) → 𝑌 ∈ 𝑃)
15		perpeq.11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐿𝑌)(⟂G‘𝐺)𝐴)
16	3, 4, 15	perpln1 29019	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐿𝑌) ∈ ran 𝐿)
17	1, 2, 3, 4, 8, 13, 16	tglnne 28930	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)
18	17	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑋) → 𝑋 ≠ 𝑌)
19		perpeq.12	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐿𝑍)(⟂G‘𝐺)𝐴)
20	3, 4, 19	perpln1 29019	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐿𝑍) ∈ ran 𝐿)
21	20	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑋) → (𝑋𝐿𝑍) ∈ ran 𝐿)
22		perpeq.10	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐻)
23	1, 2, 3, 10, 4, 11, 22	plngrnssp 29090	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
24	1, 2, 3, 4, 8, 23, 20	tglnne 28930	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑍)
25	24	necomd 3015	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ≠ 𝑋)
26	1, 2, 3, 4, 23, 8, 25	tglinerflx2 28936	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑍𝐿𝑋))
27	1, 2, 3, 4, 8, 23, 24	tglinecom 28937	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐿𝑍) = (𝑍𝐿𝑋))
28	26, 27	eleqtrrd 2868	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑋𝐿𝑍))
29	28	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑋) → 𝑋 ∈ (𝑋𝐿𝑍))
30		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (hlG‘𝐺) = (hlG‘𝐺)
31	23	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑋) → 𝑍 ∈ 𝑃)
32	6	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑋) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
33		simplr 781	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑋) → 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑌)))
34	33	eldifad 3918	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑋) → 𝑡 ∈ 𝐴)
35	1, 3, 2, 5, 32, 34	tglnpt 28847	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑋) → 𝑡 ∈ 𝑃)
36		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑋) → 𝑡 ≠ 𝑋)
37	36	necomd 3015	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑋) → 𝑋 ≠ 𝑡)
38		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
39		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (pInvG‘𝐺) = (pInvG‘𝐺)
40	17	necomd 3015	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑋)
41	1, 2, 3, 4, 13, 8, 40	tglinerflx2 28936	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑋))
42	41	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑋) → 𝑋 ∈ (𝑌𝐿𝑋))
43	15	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑋) → (𝑋𝐿𝑌)(⟂G‘𝐺)𝐴)
44	1, 2, 3, 5, 9, 14, 18	tglinecom 28937	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑋) → (𝑋𝐿𝑌) = (𝑌𝐿𝑋))
45	7	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑋) → 𝑋 ∈ 𝐴)
46	1, 2, 3, 5, 9, 35, 37, 37, 32, 45, 34	tglinethru 28938	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑋) → 𝐴 = (𝑋𝐿𝑡))
47	43, 44, 46	3brtr3d 5144	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑋) → (𝑌𝐿𝑋)(⟂G‘𝐺)(𝑋𝐿𝑡))
48	1, 38, 2, 3, 5, 14, 9, 42, 35, 47	perprag 29036	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑋) → ⟨“𝑌𝑋𝑡”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
49	1, 38, 2, 3, 39, 5, 14, 9, 35, 48	ragcom 29007	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑋) → ⟨“𝑡𝑋𝑌”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
50	26	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑋) → 𝑋 ∈ (𝑍𝐿𝑋))
51	27, 19	eqbrtrrd 5137	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑍𝐿𝑋)(⟂G‘𝐺)𝐴)
52	51	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑋) → (𝑍𝐿𝑋)(⟂G‘𝐺)𝐴)
53	52, 46	breqtrd 5139	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑋) → (𝑍𝐿𝑋)(⟂G‘𝐺)(𝑋𝐿𝑡))
54	1, 38, 2, 3, 5, 31, 9, 50, 35, 53	perprag 29036	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑋) → ⟨“𝑍𝑋𝑡”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
55	1, 38, 2, 3, 39, 5, 31, 9, 35, 54	ragcom 29007	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑋) → ⟨“𝑡𝑋𝑍”⟩ ∈ (∟G‘𝐺))
56	1, 2, 3, 5, 35, 9, 36, 36, 32, 34, 45	tglinethru 28938	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑋) → 𝐴 = (𝑡𝐿𝑋))
57	56	fveq2d 6889	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑋) → ((hpG‘𝐺)‘𝐴) = ((hpG‘𝐺)‘(𝑡𝐿𝑋)))
58		perpeqlem.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑍)
59	58	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑋) → 𝑌((hpG‘𝐺)‘𝐴)𝑍)
60	57, 59	breqdi 5126	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑋) → 𝑌((hpG‘𝐺)‘(𝑡𝐿𝑋))𝑍)
61	1, 3, 5, 9, 35, 14, 31, 37, 49, 55, 60	ragraghl 29178	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑋) → 𝑌((hlG‘𝐺)‘𝑋)𝑍)
62	1, 2, 30, 14, 31, 9, 5, 3, 61	hlln 28908	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑋) → 𝑌 ∈ (𝑍𝐿𝑋))
63	27	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑋) → (𝑋𝐿𝑍) = (𝑍𝐿𝑋))
64	62, 63	eleqtrrd 2868	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑋) → 𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑍))
65	1, 2, 3, 5, 9, 14, 18, 18, 21, 29, 64	tglinethru 28938	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑋) → (𝑋𝐿𝑍) = (𝑋𝐿𝑌))
66	65	eqcomd 2771	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ 𝑡 ≠ 𝑋) → (𝑋𝐿𝑌) = (𝑋𝐿𝑍))
67	1, 38, 2, 3, 4, 16, 6, 15	perpneq 29023	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐿𝑌) ≠ 𝐴)
68	67	necomd 3015	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ (𝑋𝐿𝑌))
69	1, 2, 3, 4, 6, 16, 7, 68	tglnpt4 28957	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑡 ∈ (𝐴 ∖ (𝑋𝐿𝑌))𝑡 ≠ 𝑋)
70	66, 69	r19.29a 3175	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐿𝑌) = (𝑋𝐿𝑍))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960   ∖ cdif 3903   ⊆ wss 3906   class class class wbr 5111  ran crn 5664  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  Basecbs 17286  distcds 17336  TarskiGcstrkg 28725  Itvcitv 28731  LineGclng 28732  hlGchlg 28898  pInvGcmir 28958  ⟂Gcperpg 29004  hpGchpg 29068  hlGcplng 29084

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-oadd 8459  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-dju 9899  df-card 9937  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-n0 12516  df-xnn0 12589  df-z 12603  df-uz 12874  df-fz 13547  df-fzo 13695  df-hash 14380  df-word 14564  df-concat 14621  df-s1 14648  df-s2 14904  df-s3 14905  df-trkgc 28746  df-trkgb 28747  df-trkgcb 28748  df-trkgld 28750  df-trkg 28751  df-cgrg 28809  df-ismt 28831  df-leg 28881  df-hlg 28899  df-mir 28959  df-rag 29003  df-perpg 29005  df-hpg 29069  df-plng 29085  df-mid 29112  df-lmi 29113  df-cgra 29148

This theorem is used by:  perpeq  29180