Theorem perpprlng 29209

Description: If two lines 𝐴 and 𝐵 have a common perpendicular 𝐶 and lie in the same plane 𝐻, then they are parallel. Theorem 12.9 of [Schwabhauser] p. 122. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Jul-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
perpprlng.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
perpprlng.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
perpprlng.e	⊢ 𝐸 = (hlG‘𝐺)
perpprlng.r	⊢ ∥ = (parlnG‘𝐺)
perpprlng.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
perpprlng.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ran 𝐸)
perpprlng.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐻)
perpprlng.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐻)
perpprlng.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐻)
perpprlng.q	⊢ (𝜑 → 𝐴(⟂G‘𝐺)𝐶)
perpprlng.2	⊢ (𝜑 → 𝐵(⟂G‘𝐺)𝐶)

Assertion

Ref	Expression
perpprlng	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∥ 𝐵)

Proof of Theorem perpprlng

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		perpprlng.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
2		perpprlng.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (hlG‘𝐺)
3		perpprlng.r	. . 3 ⊢ ∥ = (parlnG‘𝐺)
4		perpprlng.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5	4	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		perpprlng.q	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴(⟂G‘𝐺)𝐶)
7	1, 4, 6	perpln1 28999	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
8	7	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
9		perpprlng.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵(⟂G‘𝐺)𝐶)
10	1, 4, 9	perpln1 28999	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ran 𝐿)
11	10	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → 𝐵 ∈ ran 𝐿)
12		perpprlng.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ran 𝐸)
13	12	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → 𝐻 ∈ ran 𝐸)
14		perpprlng.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐻)
15	14	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → 𝐴 ⊆ 𝐻)
16		perpprlng.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐻)
17	16	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → 𝐵 ⊆ 𝐻)
18		simpr 489	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
19	1, 2, 3, 5, 8, 11, 13, 15, 17, 18	prlngd 29198	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → 𝐴 ∥ 𝐵)
20	4	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) → 𝐺 ∈ TarskiG)
21	7	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
22	1, 2, 3, 20, 21	prlngref 29199	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) → 𝐴 ∥ 𝐴)
23		simpr 489	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) → (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅)
24		perpprlng.p	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
25	4	ad7antr 750	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑦 ≠ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑧 ≠ 𝑥) → 𝐺 ∈ TarskiG)
26	1, 4, 6	perpln2 29000	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ran 𝐿)
27	26	ad7antr 750	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑦 ≠ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑧 ≠ 𝑥) → 𝐶 ∈ ran 𝐿)
28	12	ad7antr 750	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑦 ≠ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑧 ≠ 𝑥) → 𝐻 ∈ ran 𝐸)
29		simp-5r 797	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑦 ≠ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑧 ≠ 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐶)
30		perpprlng.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐻)
31	30	ad7antr 750	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑦 ≠ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑧 ≠ 𝑥) → 𝐶 ⊆ 𝐻)
32	14	ad7antr 750	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑦 ≠ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑧 ≠ 𝑥) → 𝐴 ⊆ 𝐻)
33		simplr 780	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑦 ≠ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑧 ≠ 𝑥) → 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝐶))
34	33	eldifad 3917	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑦 ≠ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑧 ≠ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝐴)
35	32, 34	sseldd 3938	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑦 ≠ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑧 ≠ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝐻)
36	16	ad7antr 750	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑦 ≠ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑧 ≠ 𝑥) → 𝐵 ⊆ 𝐻)
37		simp-4r 795	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑦 ≠ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑧 ≠ 𝑥) → 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶))
38	37	eldifad 3917	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑦 ≠ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑧 ≠ 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝐵)
39	36, 38	sseldd 3938	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑦 ≠ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑧 ≠ 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝐻)
40		eqid 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Itv‘𝐺) = (Itv‘𝐺)
41	7	ad7antr 750	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑦 ≠ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑧 ≠ 𝑥) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
42		simpr 489	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))
43	42	ad5antr 746	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑦 ≠ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑧 ≠ 𝑥) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))
44	43	elin1d 4157	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑦 ≠ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑧 ≠ 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐴)
45	24, 1, 40, 25, 41, 44	tglnpt 28827	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑦 ≠ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑧 ≠ 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝑃)
46	24, 1, 40, 25, 41, 34	tglnpt 28827	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑦 ≠ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑧 ≠ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑃)
47		simpr 489	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑦 ≠ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑧 ≠ 𝑥) → 𝑧 ≠ 𝑥)
48	47	necomd 3013	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑦 ≠ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑧 ≠ 𝑥) → 𝑥 ≠ 𝑧)
49	24, 40, 1, 25, 45, 46, 48, 48, 41, 44, 34	tglinethru 28918	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑦 ≠ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑧 ≠ 𝑥) → 𝐴 = (𝑥𝐿𝑧))
50	6	ad7antr 750	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑦 ≠ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑧 ≠ 𝑥) → 𝐴(⟂G‘𝐺)𝐶)
51	49, 50	eqbrtrrd 5135	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑦 ≠ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑧 ≠ 𝑥) → (𝑥𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐶)
52	20	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
53	52	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑦 ≠ 𝑥) → 𝐺 ∈ TarskiG)
54	10	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → 𝐵 ∈ ran 𝐿)
55	54	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑦 ≠ 𝑥) → 𝐵 ∈ ran 𝐿)
56	42	elin2d 4158	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
57	56	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑦 ≠ 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐵)
58	24, 1, 40, 53, 55, 57	tglnpt 28827	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑦 ≠ 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝑃)
59		simplr 780	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑦 ≠ 𝑥) → 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶))
60	59	eldifad 3917	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑦 ≠ 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝐵)
61	24, 1, 40, 53, 55, 60	tglnpt 28827	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑦 ≠ 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝑃)
62		simpr 489	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑦 ≠ 𝑥) → 𝑦 ≠ 𝑥)
63	62	necomd 3013	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑦 ≠ 𝑥) → 𝑥 ≠ 𝑦)
64	24, 40, 1, 53, 58, 61, 63, 63, 55, 57, 60	tglinethru 28918	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑦 ≠ 𝑥) → 𝐵 = (𝑥𝐿𝑦))
65	64	adantllr 731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑦 ≠ 𝑥) → 𝐵 = (𝑥𝐿𝑦))
66	65	ad2antrr 738	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑦 ≠ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑧 ≠ 𝑥) → 𝐵 = (𝑥𝐿𝑦))
67	9	ad7antr 750	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑦 ≠ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑧 ≠ 𝑥) → 𝐵(⟂G‘𝐺)𝐶)
68	66, 67	eqbrtrrd 5135	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑦 ≠ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑧 ≠ 𝑥) → (𝑥𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐶)
69	24, 1, 2, 25, 27, 28, 29, 31, 35, 39, 51, 68	perpeq 29160	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑦 ≠ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑧 ≠ 𝑥) → (𝑥𝐿𝑧) = (𝑥𝐿𝑦))
70	69, 49, 66	3eqtr4d 2808	. . . . . . 7 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑦 ≠ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑧 ≠ 𝑥) → 𝐴 = 𝐵)
71	21	ad3antrrr 742	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑦 ≠ 𝑥) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
72	26	ad2antrr 738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → 𝐶 ∈ ran 𝐿)
73	72	ad2antrr 738	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑦 ≠ 𝑥) → 𝐶 ∈ ran 𝐿)
74		simpllr 787	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑦 ≠ 𝑥) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))
75	74	elin1d 4157	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑦 ≠ 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐴)
76		eqid 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
77	24, 76, 40, 1, 4, 7, 26, 6	perpneq 29003	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐶)
78	77	ad4antr 744	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑦 ≠ 𝑥) → 𝐴 ≠ 𝐶)
79	24, 40, 1, 53, 71, 73, 75, 78	tglnpt4 28937	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑦 ≠ 𝑥) → ∃𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝐶)𝑧 ≠ 𝑥)
80	79	adantllr 731	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑦 ≠ 𝑥) → ∃𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝐶)𝑧 ≠ 𝑥)
81	70, 80	r19.29a 3173	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑦 ≠ 𝑥) → 𝐴 = 𝐵)
82	24, 76, 40, 1, 4, 10, 26, 9	perpneq 29003	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
83	82	ad2antrr 738	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → 𝐵 ≠ 𝐶)
84	24, 40, 1, 52, 54, 72, 56, 83	tglnpt4 28937	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → ∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶)𝑦 ≠ 𝑥)
85	84	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶)𝑦 ≠ 𝑥)
86	81, 85	r19.29a 3173	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐴 = 𝐵)
87	52	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐺 ∈ TarskiG)
88	6	ad3antrrr 742	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐴(⟂G‘𝐺)𝐶)
89	87, 88	perpin 29014	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝐴 ∩ 𝐶) ≠ ∅)
90	87	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
91	9	ad2antrr 738	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → 𝐵(⟂G‘𝐺)𝐶)
92	91	ad2antrr 738	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝐵(⟂G‘𝐺)𝐶)
93	90, 92	perpin 29014	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → (𝐵 ∩ 𝐶) ≠ ∅)
94	90	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
95	72	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝐶 ∈ ran 𝐿)
96		simplr 780	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶))
97	96	elin2d 4158	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑦 ∈ 𝐶)
98		simpr 489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑧 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶))
99	98	elin2d 4158	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑧 ∈ 𝐶)
100	21	ad4antr 744	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
101		simp-4r 795	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))
102	101	elin1d 4157	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
103	24, 1, 40, 94, 100, 102	tglnpt 28827	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑥 ∈ 𝑃)
104	24, 1, 40, 94, 95, 97	tglnpt 28827	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑦 ∈ 𝑃)
105		simpllr 787	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)
106		nelne2 3056	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐶 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝑦 ≠ 𝑥)
107	97, 105, 106	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑦 ≠ 𝑥)
108	96	elin1d 4157	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑦 ∈ 𝐴)
109	24, 40, 1, 94, 104, 103, 107, 107, 100, 108, 102	tglinethru 28918	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝐴 = (𝑦𝐿𝑥))
110	88	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝐴(⟂G‘𝐺)𝐶)
111	109, 110	eqbrtrrd 5135	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) → (𝑦𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐶)
112	24, 1, 40, 94, 95, 99	tglnpt 28827	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑧 ∈ 𝑃)
113		nelne2 3056	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝑧 ≠ 𝑥)
114	99, 105, 113	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑧 ≠ 𝑥)
115	54	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝐵 ∈ ran 𝐿)
116	98	elin1d 4157	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑧 ∈ 𝐵)
117	56	ad3antrrr 742	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
118	24, 40, 1, 94, 112, 103, 114, 114, 115, 116, 117	tglinethru 28918	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝐵 = (𝑧𝐿𝑥))
119	92	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝐵(⟂G‘𝐺)𝐶)
120	118, 119	eqbrtrrd 5135	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) → (𝑧𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐶)
121	24, 76, 40, 1, 94, 95, 97, 99, 103, 111, 120	footeq 29013	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑦 = 𝑧)
122	121	oveq2d 7426	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) → (𝑥𝐿𝑦) = (𝑥𝐿𝑧))
123	107	necomd 3013	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑥 ≠ 𝑦)
124	24, 40, 1, 94, 103, 104, 123, 123, 100, 102, 108	tglinethru 28918	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦))
125	114	necomd 3013	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑥 ≠ 𝑧)
126	24, 40, 1, 94, 103, 112, 125, 125, 115, 117, 116	tglinethru 28918	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝐵 = (𝑥𝐿𝑧))
127	122, 124, 126	3eqtr4d 2808	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝐴 = 𝐵)
128	93, 127	n0limd 4308	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝐴 = 𝐵)
129	89, 128	n0limd 4308	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐴 = 𝐵)
130	86, 129	pm2.61dan 824	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → 𝐴 = 𝐵)
131	23, 130	n0limd 4308	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) → 𝐴 = 𝐵)
132	22, 131	breqtrd 5137	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) → 𝐴 ∥ 𝐵)
133	19, 132	pm2.61dane 3045	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∥ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∃wrex 3089   ∖ cdif 3902   ∩ cin 3904   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286   class class class wbr 5109  ran crn 5662  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17273  distcds 17323  TarskiGcstrkg 28705  Itvcitv 28711  LineGclng 28712  ⟂Gcperpg 28984  hlGcplng 29064  parlnGcprlng 29195

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-oadd 8453  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-dju 9892  df-card 9930  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12238  df-2 12307  df-3 12308  df-n0 12509  df-xnn0 12582  df-z 12596  df-uz 12867  df-fz 13540  df-fzo 13688  df-hash 14372  df-word 14556  df-concat 14613  df-s1 14639  df-s2 14890  df-s3 14891  df-trkgc 28726  df-trkgb 28727  df-trkgcb 28728  df-trkgld 28730  df-trkg 28731  df-cgrg 28789  df-ismt 28811  df-leg 28861  df-hlg 28879  df-mir 28939  df-rag 28983  df-perpg 28985  df-hpg 29049  df-plng 29065  df-mid 29092  df-lmi 29093  df-cgra 29128  df-prlng 29196

This theorem is used by:  prlngex  29210  prlngmid2  29220