Theorem perpprlng 29421

Description: If two lines 𝐴 and 𝐵 have a common perpendicular 𝐶 and lie in the same plane 𝐻, then they are parallel. Theorem 12.9 of [Schwabhauser] p. 122. (Contributed by Thierry Arnoux, 5-Jul-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
perpprlng.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
perpprlng.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
perpprlng.e	⊢ 𝐸 = (hlG‘𝐺)
perpprlng.r	⊢ ∥ = (parlnG‘𝐺)
perpprlng.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
perpprlng.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ran 𝐸)
perpprlng.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐻)
perpprlng.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐻)
perpprlng.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐻)
perpprlng.q	⊢ (𝜑 → 𝐴(⟂G‘𝐺)𝐶)
perpprlng.2	⊢ (𝜑 → 𝐵(⟂G‘𝐺)𝐶)

Assertion

Ref	Expression
perpprlng	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∥ 𝐵)

Proof of Theorem perpprlng

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		perpprlng.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
2		perpprlng.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (hlG‘𝐺)
3		perpprlng.r	. . 3 ⊢ ∥ = (parlnG‘𝐺)
4		perpprlng.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5	4	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		perpprlng.q	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴(⟂G‘𝐺)𝐶)
7	1, 4, 6	perpln1 29178	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
8	7	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
9		perpprlng.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵(⟂G‘𝐺)𝐶)
10	1, 4, 9	perpln1 29178	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ran 𝐿)
11	10	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → 𝐵 ∈ ran 𝐿)
12		perpprlng.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ran 𝐸)
13	12	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → 𝐻 ∈ ran 𝐸)
14		perpprlng.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐻)
15	14	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → 𝐴 ⊆ 𝐻)
16		perpprlng.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐻)
17	16	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → 𝐵 ⊆ 𝐻)
18		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
19	1, 2, 3, 5, 8, 11, 13, 15, 17, 18	prlngd 29410	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → 𝐴 ∥ 𝐵)
20	4	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) → 𝐺 ∈ TarskiG)
21	7	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
22	1, 2, 3, 20, 21	prlngref 29411	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) → 𝐴 ∥ 𝐴)
23		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) → (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅)
24		perpprlng.p	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
25	4	ad7antr 751	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑦 ≠ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑧 ≠ 𝑥) → 𝐺 ∈ TarskiG)
26	1, 4, 6	perpln2 29179	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ran 𝐿)
27	26	ad7antr 751	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑦 ≠ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑧 ≠ 𝑥) → 𝐶 ∈ ran 𝐿)
28	12	ad7antr 751	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑦 ≠ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑧 ≠ 𝑥) → 𝐻 ∈ ran 𝐸)
29		simp-5r 798	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑦 ≠ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑧 ≠ 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐶)
30		perpprlng.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐻)
31	30	ad7antr 751	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑦 ≠ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑧 ≠ 𝑥) → 𝐶 ⊆ 𝐻)
32	14	ad7antr 751	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑦 ≠ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑧 ≠ 𝑥) → 𝐴 ⊆ 𝐻)
33		simplr 781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑦 ≠ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑧 ≠ 𝑥) → 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝐶))
34	33	eldifad 3911	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑦 ≠ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑧 ≠ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝐴)
35	32, 34	sseldd 3932	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑦 ≠ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑧 ≠ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝐻)
36	16	ad7antr 751	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑦 ≠ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑧 ≠ 𝑥) → 𝐵 ⊆ 𝐻)
37		simp-4r 796	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑦 ≠ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑧 ≠ 𝑥) → 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶))
38	37	eldifad 3911	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑦 ≠ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑧 ≠ 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝐵)
39	36, 38	sseldd 3932	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑦 ≠ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑧 ≠ 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝐻)
40		eqid 2761	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Itv‘𝐺) = (Itv‘𝐺)
41	7	ad7antr 751	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑦 ≠ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑧 ≠ 𝑥) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
42		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))
43	42	ad5antr 747	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑦 ≠ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑧 ≠ 𝑥) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))
44	43	elin1d 4150	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑦 ≠ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑧 ≠ 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐴)
45	24, 1, 40, 25, 41, 44	tglnpt 29005	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑦 ≠ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑧 ≠ 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝑃)
46	24, 1, 40, 25, 41, 34	tglnpt 29005	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑦 ≠ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑧 ≠ 𝑥) → 𝑧 ∈ 𝑃)
47		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑦 ≠ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑧 ≠ 𝑥) → 𝑧 ≠ 𝑥)
48	47	necomd 3011	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑦 ≠ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑧 ≠ 𝑥) → 𝑥 ≠ 𝑧)
49	24, 40, 1, 25, 45, 46, 48, 48, 41, 44, 34	tglinethru 29097	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑦 ≠ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑧 ≠ 𝑥) → 𝐴 = (𝑥𝐿𝑧))
50	6	ad7antr 751	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑦 ≠ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑧 ≠ 𝑥) → 𝐴(⟂G‘𝐺)𝐶)
51	49, 50	eqbrtrrd 5129	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑦 ≠ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑧 ≠ 𝑥) → (𝑥𝐿𝑧)(⟂G‘𝐺)𝐶)
52	20	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
53	52	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑦 ≠ 𝑥) → 𝐺 ∈ TarskiG)
54	10	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → 𝐵 ∈ ran 𝐿)
55	54	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑦 ≠ 𝑥) → 𝐵 ∈ ran 𝐿)
56	42	elin2d 4151	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
57	56	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑦 ≠ 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐵)
58	24, 1, 40, 53, 55, 57	tglnpt 29005	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑦 ≠ 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝑃)
59		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑦 ≠ 𝑥) → 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶))
60	59	eldifad 3911	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑦 ≠ 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝐵)
61	24, 1, 40, 53, 55, 60	tglnpt 29005	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑦 ≠ 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝑃)
62		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑦 ≠ 𝑥) → 𝑦 ≠ 𝑥)
63	62	necomd 3011	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑦 ≠ 𝑥) → 𝑥 ≠ 𝑦)
64	24, 40, 1, 53, 58, 61, 63, 63, 55, 57, 60	tglinethru 29097	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑦 ≠ 𝑥) → 𝐵 = (𝑥𝐿𝑦))
65	64	adantllr 732	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑦 ≠ 𝑥) → 𝐵 = (𝑥𝐿𝑦))
66	65	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑦 ≠ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑧 ≠ 𝑥) → 𝐵 = (𝑥𝐿𝑦))
67	9	ad7antr 751	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑦 ≠ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑧 ≠ 𝑥) → 𝐵(⟂G‘𝐺)𝐶)
68	66, 67	eqbrtrrd 5129	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑦 ≠ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑧 ≠ 𝑥) → (𝑥𝐿𝑦)(⟂G‘𝐺)𝐶)
69	24, 1, 2, 25, 27, 28, 29, 31, 35, 39, 51, 68	perpeq 29341	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑦 ≠ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑧 ≠ 𝑥) → (𝑥𝐿𝑧) = (𝑥𝐿𝑦))
70	69, 49, 66	3eqtr4d 2806	. . . . . . 7 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑦 ≠ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑧 ≠ 𝑥) → 𝐴 = 𝐵)
71	21	ad3antrrr 743	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑦 ≠ 𝑥) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
72	26	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → 𝐶 ∈ ran 𝐿)
73	72	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑦 ≠ 𝑥) → 𝐶 ∈ ran 𝐿)
74		simpllr 788	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑦 ≠ 𝑥) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))
75	74	elin1d 4150	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑦 ≠ 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐴)
76		eqid 2761	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
77	24, 76, 40, 1, 4, 7, 26, 6	perpneq 29182	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐶)
78	77	ad4antr 745	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑦 ≠ 𝑥) → 𝐴 ≠ 𝐶)
79	24, 40, 1, 53, 71, 73, 75, 78	tglnpt4 29116	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑦 ≠ 𝑥) → ∃𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝐶)𝑧 ≠ 𝑥)
80	79	adantllr 732	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑦 ≠ 𝑥) → ∃𝑧 ∈ (𝐴 ∖ 𝐶)𝑧 ≠ 𝑥)
81	70, 80	r19.29a 3171	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶)) ∧ 𝑦 ≠ 𝑥) → 𝐴 = 𝐵)
82	24, 76, 40, 1, 4, 10, 26, 9	perpneq 29182	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
83	82	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → 𝐵 ≠ 𝐶)
84	24, 40, 1, 52, 54, 72, 56, 83	tglnpt4 29116	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → ∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶)𝑦 ≠ 𝑥)
85	84	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ∃𝑦 ∈ (𝐵 ∖ 𝐶)𝑦 ≠ 𝑥)
86	81, 85	r19.29a 3171	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐴 = 𝐵)
87	52	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐺 ∈ TarskiG)
88	6	ad3antrrr 743	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐴(⟂G‘𝐺)𝐶)
89	87, 88	perpin 29193	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝐴 ∩ 𝐶) ≠ ∅)
90	87	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
91	9	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → 𝐵(⟂G‘𝐺)𝐶)
92	91	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝐵(⟂G‘𝐺)𝐶)
93	90, 92	perpin 29193	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → (𝐵 ∩ 𝐶) ≠ ∅)
94	90	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
95	72	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝐶 ∈ ran 𝐿)
96		simplr 781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶))
97	96	elin2d 4151	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑦 ∈ 𝐶)
98		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑧 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶))
99	98	elin2d 4151	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑧 ∈ 𝐶)
100	21	ad4antr 745	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝐴 ∈ ran 𝐿)
101		simp-4r 796	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵))
102	101	elin1d 4150	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
103	24, 1, 40, 94, 100, 102	tglnpt 29005	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑥 ∈ 𝑃)
104	24, 1, 40, 94, 95, 97	tglnpt 29005	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑦 ∈ 𝑃)
105		simpllr 788	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐶)
106		nelne2 3054	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐶 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝑦 ≠ 𝑥)
107	97, 105, 106	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑦 ≠ 𝑥)
108	96	elin1d 4150	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑦 ∈ 𝐴)
109	24, 40, 1, 94, 104, 103, 107, 107, 100, 108, 102	tglinethru 29097	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝐴 = (𝑦𝐿𝑥))
110	88	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝐴(⟂G‘𝐺)𝐶)
111	109, 110	eqbrtrrd 5129	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) → (𝑦𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐶)
112	24, 1, 40, 94, 95, 99	tglnpt 29005	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑧 ∈ 𝑃)
113		nelne2 3054	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝑧 ≠ 𝑥)
114	99, 105, 113	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑧 ≠ 𝑥)
115	54	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝐵 ∈ ran 𝐿)
116	98	elin1d 4150	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑧 ∈ 𝐵)
117	56	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
118	24, 40, 1, 94, 112, 103, 114, 114, 115, 116, 117	tglinethru 29097	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝐵 = (𝑧𝐿𝑥))
119	92	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝐵(⟂G‘𝐺)𝐶)
120	118, 119	eqbrtrrd 5129	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) → (𝑧𝐿𝑥)(⟂G‘𝐺)𝐶)
121	24, 76, 40, 1, 94, 95, 97, 99, 103, 111, 120	footeq 29192	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑦 = 𝑧)
122	121	oveq2d 7434	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) → (𝑥𝐿𝑦) = (𝑥𝐿𝑧))
123	107	necomd 3011	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑥 ≠ 𝑦)
124	24, 40, 1, 94, 103, 104, 123, 123, 100, 102, 108	tglinethru 29097	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝐴 = (𝑥𝐿𝑦))
125	114	necomd 3011	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝑥 ≠ 𝑧)
126	24, 40, 1, 94, 103, 112, 125, 125, 115, 117, 116	tglinethru 29097	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝐵 = (𝑥𝐿𝑧))
127	122, 124, 126	3eqtr4d 2806	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐵 ∩ 𝐶)) → 𝐴 = 𝐵)
128	93, 127	n0limd 4301	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴 ∩ 𝐶)) → 𝐴 = 𝐵)
129	89, 128	n0limd 4301	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐴 = 𝐵)
130	86, 129	pm2.61dan 825	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝐵)) → 𝐴 = 𝐵)
131	23, 130	n0limd 4301	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) → 𝐴 = 𝐵)
132	22, 131	breqtrd 5131	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) ≠ ∅) → 𝐴 ∥ 𝐵)
133	19, 132	pm2.61dane 3043	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∥ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∃wrex 3087   ∖ cdif 3896   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279   class class class wbr 5103  ran crn 5652  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  Basecbs 17380  distcds 17430  TarskiGcstrkg 28882  Itvcitv 28888  LineGclng 28889  ⟂Gcperpg 29163  hlGcplng 29244  parlnGcprlng 29407

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-oadd 8473  df-er 8710  df-map 8842  df-pm 8843  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-dju 9975  df-card 10013  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-n0 12600  df-xnn0 12673  df-z 12687  df-uz 12959  df-fz 13633  df-fzo 13782  df-hash 14468  df-word 14652  df-concat 14709  df-s1 14736  df-s2 14992  df-s3 14993  df-trkgc 28903  df-trkgb 28904  df-trkgcb 28905  df-trkgld 28907  df-trkg 28908  df-cgrg 28967  df-ismt 28989  df-leg 29039  df-hlg 29057  df-mir 29118  df-rag 29162  df-perpg 29164  df-hpg 29229  df-plng 29245  df-mid 29272  df-lmi 29273  df-cgra 29308  df-prlng 29408

This theorem is used by:  prlngex  29422  prlngmid2  29432